安徽省黃山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中試題含解析

Page19考生留意：1．本試卷共150分.考試時間120分鐘.2．請將各題答案填寫在答題卡上.3．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第三章3.1.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和為（）A.2 B.6 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓方程可得，再由橢圓定義即可求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)橢圓方程為可知，橢圓焦點在軸上，且，即，由橢圓定義可知橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為.故選：B2.直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直線方程為斜截式即得．【詳解】直線的一般式為，其斜率為．故選：B．3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德多年前利用“靠近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，則橢圓的面積為（）A.30 B.120 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓方程求出，再供應(yīng)的橢圓面積公式求出橢圓的面積.【詳解】因為，，所以橢圓的面積為．故選：C4.在三棱錐中，M是平面ABC上一點，且，則t=（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量的基本定理，進(jìn)而得出方程，解之即可.【詳解】因為，所以，即．因為M平面ABC上一點，所以，所以．故選：A.5.直線被圓截得的弦長為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】先求出弦心距，然后依據(jù)圓的弦長公式干脆求解即可.【詳解】圓，所以圓心，半徑，所以弦心距為，所以弦長為，故選：C6.如圖所示，在幾何體ABCDEF中，，，，，，平面ABCD，則異面直線EF與AB所成的角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，又，建立如圖空間坐標(biāo)坐標(biāo)系，利用向量法即可求出空間中的線線角.【詳解】由題意知，因為平面，平面，所以，以A為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，．所以，，所以，故異面直線EF與AB所成的角為．故選：A.7.一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)兩點式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點，再依據(jù)反射光線經(jīng)過入射點的對稱點，結(jié)合點關(guān)于直線對稱求得對稱點，再利用兩點式即可得解.【詳解】入射光線所在的直線方程為，即，聯(lián)立方程組解得即入射點的坐標(biāo)為．設(shè)P關(guān)于直線對稱的點為，則解得即．因為反射光線所在直線經(jīng)過入射點和點，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，即．故選：D8.已知對隨意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線：，半圓：，則問題轉(zhuǎn)化為原點到直線的距離大于或等于，利用點到直線的距離公式得到不等式，解得即可.【詳解】解：設(shè)直線：，半圓：，則表示半圓弧上隨意一點到直線的距離大于或等于，即原點到直線的距離大于或等于．由，解得，即實數(shù)的最大值是．故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知橢圓，則（）A.的焦點坐標(biāo)為 B.的長軸長為8C.的短軸長為6 D.的一個頂點為【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)題意，求得，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，則，對于A中，由橢圓的焦點坐標(biāo)為，所以A錯誤；對于B中，由橢圓的長軸長為，所以B正確；對于C中，由橢圓的短軸長為，所以C正確；對于D中，頂點坐標(biāo)和，所以D錯誤.故選：BC.10.如圖，在正三棱柱中，若，則（）A.三棱錐的體積為B.三棱錐的體積為C.點C到直線的距離為D.點C到直線的距離為【答案】AC【解析】【分析】利用等體積法和三棱錐的體積公式計算即可推斷AB；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出在上的投影的長度，利用向量法求出點線距即可推斷CD.【詳解】三棱錐即三棱錐，其體積為，故A正確，B不正確；取AC的中點O，則，，以O(shè)為原點，，的方向分別為x，y軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以在上的投影的長度為，故點C到直線的距離，故C正確，D錯誤.故選：AC.11.已知直線l：和圓C：，則下列說法正確的是（）A.直線l過定點B.對隨意λ，直線l與圓C相交C.若，直線l與圓C交于A，B兩點，則的最大值為D.對隨意λ，圓C上恒有4個點到直線的距離為1【答案】AB【解析】【分析】對A：依據(jù)直線過定點運(yùn)算求解；對B：先推斷定點與圓C的位置關(guān)系，進(jìn)而確定直線l與圓C的位置關(guān)系；對C：先求圓心到直線l的距離，再依據(jù)垂徑定理結(jié)合基本不等式求弦長的取值范圍；對D：依據(jù)圓心到直線l的距離的取值范圍，分析推斷.【詳解】對A：整理直線l的方程，得，令，解得，可知l過定點，故A正確；對B：將代入圓C的方程，得到，可知點在圓C內(nèi)，所以對隨意λ，直線l與圓C相交，故B正確；對C：圓C：的圓心，半徑，因為圓心到直線l的距離，所以，∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，則，所以的最大值為4，故C不正確；對D：因為圓心與點之間的距離為，則圓心到直線l的距離，當(dāng)時，即，則圓C上有2個點到直線的距離為1；當(dāng)時，即，則圓C上有3個點到直線的距離為1；當(dāng)時，即，則圓C上有4個點到直線的距離為1；故D不正確.故選：AB.12.已知左、右焦點分別是，的橢圓C：的離心率為e，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為P，則下列說法中正確的有（）A.的周長為4aB.若直線OP斜率為，AB的斜率為，則C.若，則e的最小值為D.若，則e的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義即可推斷A；設(shè)，，利用點差法和中點坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而推斷B；依據(jù)平面對量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合選項計算即可推斷CD.【詳解】A:依據(jù)橢圓的定義，的周長為，故A正確；B:設(shè)，，則，所以，，由得，所以，即，故B不正確；C:，因為，所以，由，得，故C正確；D:由，得，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知橢圓的焦距為6，且短軸的一個頂點為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可得橢圓焦點在軸上，且，即可得出答案.【詳解】由焦距為6可知，即可得，又短軸的一個頂點為，即可得，所以可得，且焦點在軸上；因此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14.已知圓：與圓：相離，則整數(shù)m的一個取值可以是______．【答案】2##3##4【解析】【分析】寫出兩圓的圓心及半徑，利用兩點之間坐標(biāo)公式求出圓心的距離，利用兩圓相離的關(guān)系列出不等式，求出整數(shù)m的值.【詳解】解：由題意在圓：與圓：中，圓的圓心為，圓的圓心為，圓的半徑為3，圓的半徑為，∴兩圓圓心的距離為．∴，解得，∴整數(shù)m的取值可能是2，3，4．故答案為：2或3或4.15.已知橢圓，則橢圓上的點到直線的距離的最大值為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)點，利用點到直線的距離公式求得到直線的距離，結(jié)合幫助角公式，即可求得最大值.【詳解】因為橢圓，所以可設(shè)橢圓上一點，則點到直線的距離，則當(dāng)時，故答案為;16.在長方體中，，，，則______；點C到平面的距離為______．【答案】①.②.【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，利用空間向量求解出答案.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，，，所以，，，，．因為，，所以．設(shè)平面的法向量為，因為，，所以,令，得．因為，所以點C到平面的距離．故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線，直線．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】17.18.或【解析】【分析】（1），，若，則，求出參數(shù)后，需代入驗證，解除兩直線重合的狀況；（2），，若，則，由此求參數(shù)即可.【小問1詳解】因為，所以，整理得：，即：，解得：或，當(dāng)時，，，即，符合題意；當(dāng)時，，即，，即，此時與重合，不符合題意.所以.【小問2詳解】因為，所以，整理得：，即：，解得：或，所以或.18.已知圓C：．（1）過點向圓C作切線l，求切線l的方程；（2）若Q為直線m：上的動點，過Q向圓C作切線，切點為M，求的最小值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）按斜率存在和不存在兩種情形分類求解，斜率存在時設(shè)出直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑求得參數(shù)值；（2）確定直線與圓相離，由切線長公式最小即可，只要求得圓心到直線的距離（為最小值）即可得切線長的最小值．【小問1詳解】若切線l的斜率不存在，則切線l的方程為．若切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為，即．因為直線l與圓C相切，所以圓心到l的距離為2，即，解得，所以切線l的方程為，即．綜上，切線l的方程為或．【小問2詳解】圓心到直線的距離為，直線m與圓C相離，因為，所以當(dāng)最小時，有最小值．當(dāng)時，最小，最小值為，所以的最小值為．19.已知為橢圓上一動點，的上，下焦點分別為，，定點．（1）求的最大值；（2）若直線與交于兩點，且的中點為，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，求得，得到，結(jié)合橢圓的定義，得到，即可求解；（2）設(shè)，利用點差法求得直線的斜率為，得到的直線方程，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合弦長公式和點到直線的距離公式，利用三角形的面積公式，即可求解.【小問1詳解】解：如圖所示，連接，由橢圓得的定義，可得，又由橢圓，可得，則，所以，因為，可得，又因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，且點在的延長線上時，等號成立，所以的最大值為.【小問2詳解】解：如圖所示，設(shè)，因為點為的中點，可得，又由，兩式相減，可得，可得，即直線的斜率為，所以的方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，又由焦點到直線的距離為，所以的面積為.20.在長方體中，底面ABCD是邊長為2正方形，，M，N分別是AD，的中點．（1）證明：MN與平面BCN不垂直．（2）求MN與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用向量證明與平面內(nèi)的一條直線不垂直即可；（2）求出平面的法向量，利用線面角的向量求法進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：以D為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．（1）證明：因為，，所以，但，所以MN與平面BCN不垂直．【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得．設(shè)MN與平面所成的角為θ，則，故MN與平面所成角的正弦值為．21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，平面ABCD，M為PD的中點．（1）證明：平面PBC．（2）求平面PBC與平面PCD的夾角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)取PC的中點為N，連接MN，NB，利用中位線證明且，所以四邊形MNBA為平行四邊形，得到，再利用線面平行得判定即可證明；(2)過A作，垂足為H，以A為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PBC與平面PCD的法向量，代入向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：取PC的中點為N，連接MN，NB，則且．因為且，所以且，所以四邊形MNBA為平行四邊形，所以．又因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．【小問2詳解】過A作，垂足為H，則．如圖，以A為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．設(shè)平面PBC的法向量為，因為，，所以令，得．設(shè)平面PCD的法向量為，因為，，所以令，得．設(shè)平面PBC與平面PCD的夾角為θ，則，所以平面PBC與平面PCD的夾角為．22.已知橢圓W：的離心率為，左、右焦點分別為，，過且垂直于x軸的直線被橢圓W所截得的線段長為．（1）求橢圓W的方程；（2）直線與橢圓W交于A，B兩點，連接交橢圓W于點C，若，求直線AC的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得，結(jié)合離心率和即可求解；（2）依據(jù)題意可設(shè)直