新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第1課時直線與平面垂直的定義及判定定理學(xué)生用書新人教A版必修第二冊

直線與平面垂直第1課時直線與平面垂直的定義及判定定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系．(直觀想象)2．歸納出直線與平面垂直的判定定理．(數(shù)學(xué)抽象)3．了解直線與平面所成的角．(數(shù)學(xué)抽象)木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次，如圖．假如兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直．問題：(1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？(2)上述問題說明白直線與平面垂直的條件是什么？學(xué)問點(diǎn)1直線與平面垂直的定義定義一般地，假如直線l與平面α內(nèi)的________直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直，記作l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的____，平面α叫做直線l的____．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做____圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“隨意一條直線”是否可以換成“多數(shù)條直線”？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)問點(diǎn)2直線與平面垂直的判定定理文字語言假如一條直線與一個平面內(nèi)的____________垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言m?α，n?α，______＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α圖形語言學(xué)問點(diǎn)3直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與一個平面____，但不與這個平面____，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的____，如圖中點(diǎn)A射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引____，過____和____的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO；規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是______；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是____．取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則________________1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直． ()(2)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線． ()(3)若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線． ()2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________；AB1與平面ADD1A1所成的角等于________；AB1與平面DCC1D1所成的角等于________．類型1直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________證線面垂直的方法(1)線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)．②判定定理最常用：要著力找尋平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時作幫助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α.②α∥β，a⊥α?a⊥β.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上隨意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2直線與平面所成的角【例2】已知正方體ABCD-A1B1C1D1．(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母題探究]在本例正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn)，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求直線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的____，再過垂足和斜足作直線，留意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的__________中計算．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不確定2．(多選)下列說法，正確的是()A．若直線l垂直于α，則直線l垂直于α內(nèi)任始終線B．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行C．若a∥b，a?α，l⊥α，則l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，則a∥α3．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°4．設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是點(diǎn)H，給出以下說法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點(diǎn)H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則點(diǎn)H是△ABC的垂心；③若點(diǎn)P到△ABC的三邊距離相等，且點(diǎn)H在△ABC的內(nèi)部，則H是△ABC的內(nèi)心；④若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)H是△ABC的外心．其中正確的說法是________(填序號)．回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．直線與平面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？證明線面垂直的主要方法有哪些？2．若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？如何求直線與平面所成的角？8.6.2直線與平面垂直第1課時直線與平面垂直的定義及判定定理[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點(diǎn)1隨意一條垂線垂面垂足思索提示：不行以，因為一條直線與某平面內(nèi)多數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個平面不愿定垂直．學(xué)問點(diǎn)2兩條相交直線m∩n學(xué)問點(diǎn)3相交垂直交點(diǎn)垂線垂足斜足90°0°0°≤θ≤90°課前自主體驗1．(1)×(2)√(3)×2．45°45°0°[∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.][關(guān)鍵實(shí)力·合作探究釋疑難]例1證明：(1)因為SA＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因為SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.跟進(jìn)訓(xùn)練1．證明：設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，∴AN與PM、BM兩條相交直線相互垂直．故AN⊥平面PBM.2．證明：如圖，連接AC，則AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.例2解：(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝2，∴tan∠A1CA＝22(2)連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.母題探究解：連接AC交BD于點(diǎn)O，過E作EO1∥AC交BD于點(diǎn)O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為a.∵E是AB的中點(diǎn)，EO1∥AC，∴O1是BO的中點(diǎn)，∴EO1＝12AO＝12×B1O1＝BO12+BB∴tan∠EB1O1＝EO1B1O發(fā)覺規(guī)律(1)垂線(3)直角三角形跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：如圖所示，取A′B′的中點(diǎn)D，連接C′D，BD.因為底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.因為AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥側(cè)面ABB′A′，所以BD是斜線BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成的角．等邊三角形A′B′C′的邊長為1，C′D＝32在Rt△BB′C′中，BC′＝B'B2故直線BC′與平面ABB′A′所成的角的正弦值為sin∠C′BD＝C'DB[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]1．B[一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．]2．AC[由線面垂直的定義知，A正確；當(dāng)l⊥α?xí)r