寧夏石嘴山市平羅縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

Page172024—2025學(xué)年度第一學(xué)期第一次月考試卷高二數(shù)學(xué)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，將直線方程化為斜截式，求出直線的斜率，由斜率與傾斜角的關(guān)系，及可求解．【詳解】由，得，故斜率為，因，所以傾斜角．故選：D．2.已知直線與相交，則他們的交點是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】聯(lián)立直線方程：，解得：，即直線的交點坐標為.本題選擇B選項.3.已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三點，則的值為()A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】依據(jù)所給的三個點的坐標，利用兩點間的距離公式，寫出要用的兩點之間的距離，代入分式求出兩個距離的比值，得到結(jié)果．【詳解】∵，，，∴，，∴，故選D．【點睛】本題考查兩點間距離公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算實力，屬于基礎(chǔ)題.4.在正方體中，底面ABCD的對角線交于點O，且，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的減法可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：.故選：A.5.過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出該直線的方程，由點在該直線上，即可得出該直線方程.【詳解】設(shè)該直線方程為由點在該直線上，則，即即該直線方程為故選：C【點睛】本題主要考查了由兩直線垂直求直線方程，屬于中檔題.6.在空間直角坐標系中，為直線l的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（）A.3 B.1 C.－3 D.－1【答案】C【解析】【分析】由得到與垂直，進而得到方程，求出答案.【詳解】因為，所以與垂直，故，解得.故選：C7.直線（）的圖形可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對a分成和兩種狀況，分析出正確的圖象即可.【詳解】直線（）的斜率是，在軸上的截距是，當時，直線在軸上的截距，此時直線過第一、二、三象限；當時，直線在軸上截距，此時直線過其次、三、四象限，只有選項B符合．故選：B.【點睛】本題主要考查直線方程斜率和縱截距，考查直線圖象的識別，屬于基礎(chǔ)題.8.已知四棱錐底面是邊長為的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點是線段上的動點(不含端點)，若線段上存在點(不含端點)，使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依題意建立空間直角坐標系，用未知量設(shè)點E，F(xiàn)，留意范圍，利用異面直線與成角構(gòu)建關(guān)系，解出范圍即可.【詳解】由是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，取中點，建立如圖空間直角坐標系，依題意，設(shè)，，設(shè)，，故，又，異面直線與成的角，故，即，即，，故，又，故.故選：B二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9.設(shè)向量，，則（）A. B.C.與的夾角為 D.【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)兩向量的坐標進行減法計算求出，然后依據(jù)向量共線和垂直的性質(zhì)推斷A、B選項，通過向量坐標法求夾角推斷C選項，通過坐標求兩個向量模長，比較大小即可推斷D選項.【詳解】，，所以，故A選項錯誤，B選項正確；，，則與的夾角為，故C選項正確；，，，故D選項錯誤.故選：BC.10.若兩條平行直線：與：之間的距離是，則的可能值為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由兩直線平行可得n，再利用平行直線間的距離公式計算可得m，相加即可得到答案.【詳解】由題意，，，所以，所以：，即，由兩平行直線間的距離公式得，解得或，所以或.故選：AB【點睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系以及平行直線間的距離公式，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算實力，是一道簡潔題.11.已知等腰直角三角形的直角頂點為，點的坐標為，則點的坐標可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)三角形為等腰直角三角形列方程組，即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可得，可化為，解得:或，即或．故選：AC12.如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.平面C.三棱錐的體積為定值D.異面直線，所成的角為定值【答案】ABC【解析】【分析】通過線面的垂直關(guān)系可判A項真假；依據(jù)線面平行可判B項真假；依據(jù)三棱錐的體積計算的公式可判C項真假；依據(jù)列舉特別狀況可判D項真假.【詳解】因為，，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，故A項正確；易知，所以，且平面，平面，所以平面，故B項正確；如圖1，連結(jié)交于點.圖1因為平面，平面，所以，所以因為，，，平面，平面，，所以平面.所以到平面的距離為，所以為定值，故C項正確；D．當，，取為，如下圖2所示：圖2因為，所以異面直線所成角為，，且；當，，取為，如下圖3所示：圖3易知，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，是的中點，所以.又，，，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：ABC.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13.如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為________【答案】【解析】【詳解】如圖所示，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為的坐標為，所以,所以.14.不論m取何實數(shù)，直線(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒過定點________．【答案】(0，1)【解析】【分析】將直線化為m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，聯(lián)立方程即可求出.【詳解】由直線(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0變形為m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，令，解得，∴該直線過定點(0，1)．故答案為：.15.已知點，平面a經(jīng)過原點O，且垂直于向量，則點A到平面a的距離為______.【答案】【解析】【分析】利用點到平面的距離為，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，，所以點到平面的距離為.故答案：.16.△ABC中BC邊上高所在直線方程為x-2y+1=0，∠A平分線方程為y=0，頂點B的坐標為（1，2），則△ABC的面積為_______【答案】【解析】【分析】聯(lián)立方程組求得，得到的直線，得出直線的方程，聯(lián)立方程組，求得頂點C的坐標為，再由點到直線的距離公式和面積公式，即可求解.【詳解】由方程組，解得頂點的坐標為，又的斜率為，且軸是的平分線，故直線的斜率為，所在的直線為，即，已知邊上的高所在的直線方程為，故的斜率為，所在直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，解得頂點C的坐標為，所以，點到直線的距離，所以的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及三角形面積的計算，其中解答中藥細致審題，留意直線方程的性質(zhì)的合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17.已知，，，，，求：（1），，；（2）與所成角的余弦值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)空間向量平行公式與垂直公式求解即可；（2）依據(jù)空間向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】因為，故，解得，故，.由可得，解得，故.【小問2詳解】，，故與所成角的余弦值.18.已知直線l經(jīng)過點P(－2，5)，且斜率為.（1）求直線l的方程；（2）若直線m與直線l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程．【答案】（1）3x＋4y－14＝0（2）3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0【解析】【分析】（1）由點斜式干脆求解即可；（2）由題可設(shè)直線m的方程為3x＋4y＋c＝0，再利用點到直線的距離的公式即得.【小問1詳解】由直線的點斜式方程得，整理得直線l的方程為3x＋4y－14＝0.【小問2詳解】∵直線m與l平行，可設(shè)直線m的方程為3x＋4y＋c＝0，∴，即|14＋c|＝15.∴c＝1或c＝－29.故所求直線m的方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.19.如圖，正方形與梯形所在的平面相互垂直，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可以D為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量共面定理可證明共面，即可證明平面；（2）由空間向量數(shù)量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.【小問1詳解】依據(jù)題意可知平面平面，平面平面，又是正方形，所以，平面，所以平面，即，，兩兩垂直；以D為原點，分別以，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．則，又為的中點，所以，則，所以，故共面．又平面，所以平面；【小問2詳解】易知，所以；又，可得；又，平面，所以平面.20.在銳角△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，且，求△ABC的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理邊角互化即可求解；（2）依據(jù)余弦定理即可求解.【小問1詳解】由及正弦定理得因為，故．又∵為銳角三角形，所以．【小問2詳解】由余弦定理，∵，得解得：或∴的周長為．21.已知點P(2，－1)．(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？【答案】（1）x＝2或3x－4y－10＝0；（2）【解析】【詳解】試題分析：第一步首先考慮直線的斜率不存在的狀況，然后可設(shè)直線方程的點斜式，依據(jù)原點到直線的距離為2，列方程求出斜率，得出直線方程；其次步過P點且與原點距離最大的直線就是過P點與OP垂直的直線，P點與原點距離就是原點到直線距離的最大值，OP長即為所求.試題解析：(1)①當l的斜率k不存在時明顯滿意要求，∴l(xiāng)的方程為x＝2；②當l的斜率k存在時，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由點到直線距離公式得，∴k＝，∴l(xiāng)的方程為3x－4y－10＝0.故所求l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)易知過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以＝－＝2.由直線方程的點斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直線2x－y－5＝0是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為.【點睛】利用直線方程的點斜式解決問題，首先要考慮直線的斜率不存在的狀況，然后再設(shè)直線方程的點斜式，依據(jù)原點到直線的距離為2，列方程求出斜率，得出直線方程；求過P點且與原點距離最大的直線就是過P點與OP垂直的直線，P點與原點距離就是原點到直線距離的最大值，OP長即為所求.22.如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．（1）證明：；（2）點F滿意，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點為原點