平面與平面垂直課件（2）-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

8.6.3平面與平面垂直（2）

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

這個定理說明，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.4.平面與平面垂直的判定定理線面垂直

面面垂直圖形語言：符號語言：βaAα1.下列命題正確的是A.若平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥βB.若平面α⊥β，則α內(nèi)的直線垂直于平面βC.若平面α⊥β，且α∩β＝l，則過α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線垂直于平面βD.若直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則不能說一定有a⊥α√2.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法中正確的是A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β√∵m∥α，m∥n，∴n∥α或n?α，又n⊥β，∴α⊥β.【練習(xí)】(1)在四面體A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在圖中發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？由AB⊥平面BCD可知：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．易證：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”；將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”；底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．塹堵陽馬鱉臑兩個塹堵組成一個長方體一個陽馬和一個鱉臑組成一個塹堵兩個鱉臑組成一個陽馬問題4如圖，已知平面α⊥平面β，

α∩β=a，則β內(nèi)異于a的直線b與a是什么位置關(guān)系？相應(yīng)地，b與α是什么位置關(guān)系？因?yàn)閎與a在同一平面內(nèi)，故可能平行，也可能相交b//a→b//αb與a相交

→b與α相交問題5教室內(nèi)的黑板所在的平面與地面所在的平面垂直,在黑板上任意畫一條直線與地面垂直嗎?怎樣畫才能保證所畫直線與地面垂直?兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言：5.平面與平面垂直的性質(zhì)定理面面垂直

線面垂直圖形語言：例3

如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

PABC證明：過點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E．∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AE⊥平面PBC．∵BC平面PBC，∴AE⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，∴PA⊥BC．又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB．4.如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝_____.∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直判定性質(zhì)判定定義例1

如圖所示，已知三棱錐A－BCD的各棱長均為2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定義可知∠AMB為二面角A－CD－B的平面角.設(shè)點(diǎn)H是△BCD的中心，連接AH，則AH⊥平面BCD，且點(diǎn)H在線段BM上.11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于√如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，則∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角，跟蹤訓(xùn)練1如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC