導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修二冊(cè)

§3計(jì)算導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)

當(dāng)x1趨于x0,即Δx趨于0時(shí),如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值①,那么這個(gè)值就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率.在數(shù)學(xué)中,稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),通常用符號(hào)f'(x0)表示,記作

復(fù)習(xí)引入2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率.函數(shù)y=f(x)在x0處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義.1.掌握導(dǎo)數(shù)的概念,會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求簡單函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).(重點(diǎn))2.會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(重點(diǎn))3.掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過常用導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).2.借助基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).探究點(diǎn)1計(jì)算函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟例1

已知一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體走過的路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為s=s(t)=2t2.求s'(5),并解釋它的實(shí)際意義.探究導(dǎo)學(xué)解:Δs=s(5+Δt)?s(5)=2(5+Δt)2?2×52=2[10Δt+(Δt)2]

當(dāng)Δt趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù)s'(5)=20(m/s).導(dǎo)數(shù)s'(5)表示的是物體在第5秒時(shí)的瞬時(shí)速度,即物體在第5秒時(shí)的瞬時(shí)速度為20m/s.計(jì)算函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)通過自變量在x=x0處的改變量Δx,確定函數(shù)值在x0處的改變量

Δy=f(x0+Δx)?f(x0).(2)確定函數(shù)y=f(x)從x0到x0+Δx處的平均變化率(3)當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù)例2求函數(shù)y=f(x)=+x在下列各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù):(1)x=l; (2)x=x0.

解(1)Δy=f(1+Δx)?f(1)=+(1+Δx)?(+1)=.當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù)f'(1)=例2求函數(shù)y=f(x)=+x在下列各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù):(1)x=l; (2)x=x0.

當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù)f'(x0)=解(2)Δy=f(x0+Δx)?f(x0)=+(x0+Δx)?()=探究點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)函數(shù)例2中的函數(shù)f(x)=

+x對(duì)于定義域中的每一個(gè)自變量的取值x0,都有唯一一個(gè)導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=+1與之對(duì)應(yīng),所以f'(x)=+1是x的函數(shù).導(dǎo)函數(shù)一般地,如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)那么f'(x)是關(guān)于x的函數(shù),稱f'(x)為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),也簡稱為導(dǎo)數(shù),有時(shí)也將導(dǎo)數(shù)記作y'.例如,由例2可知函數(shù)f(x)=+x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=+1.顯然,前面求f(x)=+x在x=1,x0各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)f'(x)=+1在各點(diǎn)處的函數(shù)值.

中學(xué)階段,重要的是理解導(dǎo)數(shù)概念及其實(shí)際意義,并利用它們?nèi)ニ伎?、分析和解決一些問題.

為了解決可能遇到的導(dǎo)數(shù)計(jì)算問題,下面給出了一個(gè)簡單的導(dǎo)數(shù)公式表(表2?5)列出了學(xué)過的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).以后,遇到求這些函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題時(shí),可以直接查表.例3

求y=f(x)=3x2?x

的導(dǎo)數(shù)f'(x),并利用f'(x)求f'(1),f'(?2),f'(0).

可得f'(1)=6×1?1=5,f'(?2)=6×(?2)?1=?13,f'(0)=6×0?1=?11.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo),是求導(dǎo)數(shù)的基本方法,但運(yùn)算較繁瑣,而利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù),可以簡化求導(dǎo)過程,降低運(yùn)算難度,是常用的求導(dǎo)方法.2.利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),應(yīng)根據(jù)所給問題的特征,恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式.有時(shí)還要先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡整理,這樣能夠簡化運(yùn)算過程.課堂小結(jié)2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)若f(x)=c,則f'(x)=0.(2)若f(x)=xα(α∈Q﹡),則f'(x)=αxα?1.(3)若f(x)=sinx,則f'(x)=cosx.(4)若f(x)=cosx,則f'(x)=?sinx.(5)若f(x)=ax,則f'(x)=axlna(a>0).(6)若f(x)=ex,則f'(x)=ex1.會(huì)求常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(7)若f(x)=logax,則f'(x)=(8)若f