高中數(shù)學競賽試題及解答

高中數(shù)學競賽試題及解答

試題（一）

一、過圓的直徑AB上一定點C作任意弦DE,過B作圓的切線L,并設直線AD與直

線AE分別與L交于F、G。若南=4,*=3,求石尸?初。（12分）

二、證明x的三次方程式

X3-兀％2—-1=0

只有一個正實根。（12分）

三、試證明2009不能表示成三個正整數(shù)的立方和。（12分）

四、有各張分別標有1,2,...,〃的一疊幾張卡片。洗過卡片后，重復進行以下操作：

若最上面一張卡片的標號是左,則將前左張卡片的順序顛倒；例如，若〃=4且

卡片排列成3124,則操作一次后的卡片將排列成2134。證明：經過有限次操作

后，標號為1的卡片會在最上面。（13分）

試題(二)

一、求(1.1)2+(1.2)2+(1.3)2+...+(3.1)2。(3分)

二設％,y,z為實數(shù)且滿足彩+產+Z2=1,求孫+yz+ZX的最小值。(3分)

三、空間中一四面體的四個頂點分別為4。,。，1),3(2,4,0),C(0,0,0),

。(4,2,0),平面E通過A點與初中點且與對有交點。若平面E將此四面

1

體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的不，求E的方程式。(3分)

四、求片二h,其中［x］表示小于或等于X的最大整數(shù),例如(4分)

局油」

五、假設有5根電線桿，其中有2根會漏電，以致于停在它們上面的小鳥會立刻被

電昏而摔落地面。今有5只小鳥各自獨立的隨機選擇其中一根電線桿逗留休息,

試計算只有2根電線桿上有小鳥的機率。(4分)

試題（一）解答

一、【解】

過C作HI〃FG,與AF,AG分別交I和H,連結BE,BHO因NBE”=90,

ZBCH=90,所以四邊形CBEH是圓內接四邊形

NBEC=NBHC

而

ABED=NBAD

:.NBHI=NBAD

由此可知,B,H,A,I共圓

：.CI~CH=ACCB(1)

,:AAC/ocAABF

AC：~AB：^F

又\ACHoc\ABG

：.~AC：~AB=~CHCBG

.-.AC2,AB2^CICH：BFBG(2)

由(1),(2),AC2lAB2=ACCB：BFBG

ACCBAC2BFBG=(AB^KAC^CB)42-3--\_16

麗?冊—俞’_一"3'

二、【證】

令/(x)=%3-兀X2一1

則/(0)=-1,/(100)>0

由堪根定理，0與100之間有一個根r

令/W=(x-r)(x2+ax+b)

=心+(a-r)x2+(b-rd)x-rb

得a—r=—K

b-ra=-yf2(1)

rZ?=1(2)

由(2)b>0

由⑴a，*唬>0

r

皆為正數(shù):.x2+ax+b>0forx>0

.-./(x)沒有第二個正根。

三、【解】

7是2009的因子，我們觀察立方數(shù)被7除的余數(shù)為0,1,-1o而X3,y3,z3被7除

的余數(shù)橄腰等于0,必分別為0+0+0或0+1-1。也就是說x,y,z必有一數(shù)為7

之倍數(shù)。設z為7的倍數(shù)，因z>0且143>2009,我們有z=7。故

心+?=2009—73=1666。設因2x93<1666,x=10或11(123=1728)

而相應戶=666或335,二數(shù)皆非立方數(shù)。因此不存在正整數(shù)x,y,z滿足

X3+JX3+Z3=2009。

四、【證】

對n作數(shù)學歸納法。當〃=1時結論顯然成立。

設經過若干次操作后，n張卡片中的1號卡片在最上面。則當有〃+1張卡片時：

(1)標〃+1的卡片在最上面，或經過若干次操作后標〃+1的卡片在最上面。則

下一次操作時標〃+1的卡片會在最下面。因此對前〃張卡片由歸納假設，

可知經過若干次操作后1的卡片會在最上面。

(2)標〃+1的卡片永遠不會出現(xiàn)在最上面。因此最下面的卡片永遠不會動。將

標〃+1的卡片與這張卡片對調，不影響操作(因為兩張卡片都永遠不會出現(xiàn)

在最上面)。于是對調后對前n張卡片由歸納假設，可知經過若干次操作后

1的卡片會在最上面。

由(1)(2)及數(shù)學歸納法得證。

試題(二)解答

【解】

(1.1)2+(1.2)2+(1.3)2+..+(3.1)2

1

二［00X(112+122+.??+312)

1,31x32x6310x11x21.

=iodX(—6—)

121

=__x_x(31x32x3-110)

100

=100.31

二、【解】

由(x+y+z)2=尤2+產+z2+2(xy+yz+zx)

=1+2(xy+yz+zx)

知xy+yz+zx有最小值時，(x+y+z)2亦得最小值；反之亦然。

因為(x+y+z)2的最小值發(fā)生在x+y+z=0,此時肛+yz+zx=-2.,故

2

xy+yz+zx的最小值為-

2

三、【解】

設”(3,3,0)為初中點，此題即在豌上取一點“，使得廣(△BQC。

設Me而且麗■:行力=1：2,即由分點公式可知

222

810

M,0)

233

過M作一平行的直線，交BC于一點M,此M為所求

211

MeBC,設M(t,2t,0)

11

_________332

?/WWHMC=——=--------■=，=_?

12113

24

M(_,_,0)

133

rVz-1fX-y=o

..AM：-=y-=——，i.e.W：］

33-11x+3z-3=0

n過AM的平面E可設為

x-y+a(x+3z-3)=0

平面E包含直線R0且過M慮,土o),代入上式可得a=-2

1337

/.E:5x-7y-6z+6=0.

四、【解】

3579

令=—+—+-4=上⑴

2222324

⑵

3222

—+—+—

22223

=+二

2口2

2

5=5.

五、【解】

所求的事件的機率為

￡p（k只停在漏電的電線桿且5