高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (18)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（18）

一、單項選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.己知四棱錐P-4BC。的五個頂點都在球。的球面上,AB=AD=CD^BC,BC//AD,/.ABC=

60。，AP4B是等邊三角形，若四棱錐P-4BCO體積的最大值為9b，則球O的表面積為

A.567rB.547rC.527rD.50兀

2.在邊長為2的等邊三角形ABC中，點O,E分別是邊AC,AB上的點，滿足DE〃BC且,=犯€

（0,1））.將AADE沿直線OE折到AdDE的位置.在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（）

A.在邊AE上存在點F,使得在翻折過程中，滿足BF〃平面4CD

B.存在46（0，），使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面4'BC_L平面8CDE

C.若;1=；,當(dāng)二面角4-OE-B為直二面角時，|48|=回

D.在翻折過程中，四棱錐a'-BCOE體積的最大值記為f（Q,/（4）的最大值為手

3.己知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB=b，BC=V7.AC=2,則此三棱錐的

外接球的體積為（）

A8n8>/2"16n32

A-”B-—nc-丁D--n

4.在三棱錐4-BCD中，4ABD與4CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角4-BD-C的平面

角為120。，則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.7兀B,87rC.等D.等

33

5.邊長為1的正方體4BC0-4B1GD1的棱上有一點尸，滿足|PB|+|PDi|=6，則這樣的點共

有（）

A.6個B.9個C.12個D.18個

二、多項選擇題（本大題共9小題，共36.0分）

6.20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可

以人工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及

他們的過渡形態(tài).其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個頂點，14個面（6個正方形、八個

正三角形）,它是將立方體“切”去8個“角”后得到的幾何體.已知一個立方八面體的棱長為1,

則（）

A.它的所有頂點均在同一個球面上，且該球的直徑為2.

B.它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直.

C.它的體積為

3

D.它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等.

7.正方體48。。一41816。1中，E是棱的中點，F(xiàn)在側(cè)面

CCCiG上運動，且滿足〃平面&BE.以下命題正確的有（

A.側(cè)面CD/Ci上存在點F,使得名尸1CDr

B.直線當(dāng)尸與直線2C所成角可能為30°

C.平面&BE與平面CDDiG所成銳二面角的正切值為2魚

D.設(shè)正方體棱長為1,則過點E,F,A的平面截正方體所得的截面面積最大筆

8.已知一個三棱錐，有一個面是邊長為2的正三角形，兩個面為等腰直角三角形，則該三棱錐的

外接球的表面積可能是（）

腰直角三角形，AB1BC,且4c=441=2,E,尸分別是AC,4G的中點，D,M分別是

BBi上的兩個動點，則（）

A.FM與8。一定是異面直線

B.三棱錐O-ME產(chǎn)的體積為定值;

C.直線B1G與8。所成角為；

D.若。為A4的中點，則四棱錐。一B&FE的外接球表面積為5訂

10.如圖,在長方體力$1（：1萬一4282c2。2中，4遇2=24/1=

2B】Ci=2,如圖，A,B,C分別是所在棱的中點，則下列結(jié)論

中成立的是（）

A.異面直線。2c與所成的角為60°

B.平面&BCD2與平面ABGDi所成二面角的大小為120。

C.點&與點C到平面力BCiA的距離相等

D.平面&BC1截長方體所得的截面面積為當(dāng)

11.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PC_L底面ABC。，四邊形ABC。是

直角梯形，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2CD=2,F是AB

的中點，E是PB上的一點，則下列正確的是（）

A.若PB=2PE,則EF〃平面PAC

B.若PB=2PE,則四棱錐P-ABCD的體積是三棱錐E-4CB體積的6倍

C.三棱錐P-ADC中有且只有三個面是直角三角形

D.平面BCP_L平面4CE

12.（多選題）如圖所示，在正方體4BCD-41B1GD1中，M,N分別為棱

GO1，GC的中點，有以下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）.

A.直線AM與CCi是相交直線

B.直線AM與8N是平行直線

C.直線8N與MB1是異面直線

D.直線MN與AC所成的角為60。.

13.20世紀(jì)50年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可

以人工合成金剛石.人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及

它們的過渡形態(tài).其中立方八面體（如圖所示）有24條棱、12個頂點、14個面（6個正方形、8個

正三角形），它是將立方體“切”去8個“角”后得到的幾何

體.已知一個立方八面體的棱長為1,則（）

A.它的所有頂點均在同一個球面上，且該球的直徑為2匕）

B.它的任意兩條不共面的棱所在直線都相互垂直/

c.它的體積為苧/、

D.它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等

14.已知M是正方體4BCD-4B1GD1的棱0%的中點，則下列是真命題的是（）

A.過點M有且只有一條直線與直線AB,BiG都相交

B.過點M有且只有一條直線與直線AB,BiG都垂直

C.過點M有且只有一個平面與直線AB,8也1都相交

D.過點M有且只有一個平面與直線AB,當(dāng)Ci都平行

三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）

15.在正四棱錐P-ABCD中，頂點尸在底面的投影O恰為正方形ABC。的中心且48=2泥，設(shè)點

M,N分別為線段P￡>,P。上的動點，已知當(dāng)4V+MN取得最小值時，動點M恰為PD的中點，

則該四棱錐的外接球的表面積為.

16.如圖，矩形A8CZ）中，AB=4,BC=2,E為邊AB的中點，沿。E將△ADE折起，點A折至A1處

（AiC平面ABCD）,若M為線段AR的中點，則在AADE折起過程中，下列說法正確的是

⑴始終有MB〃平面AiDE

（2）不存在某個位置，使得AR，平面AiDE

（3）三棱錐A「ADE體積的最大值是竽

（4）一定存在某個位置，使得異面直線與AiE所成角為30。

17.如圖，在正方體4BCD-4BiGDi中，ACC\BD=0,E是B】C(不含端點)上一動點，則下列正

確結(jié)論的序號是__________.

①D101平面4G。；

②0E〃平面&GD；

③三棱錐4-BDE體積為定值；

④二面角/一4C一B的平面角的正弦值為它.

6

四、解答題(本大題共13小題，共156.0分)

18.如圖，在四棱錐E—4BCD中，BC//AD,AD1DC,AD==DC=2BC,AB=AE=ED=BE.F是

AE的中點.

AB

(1)證明：BF〃平面EDC；

(2)求8F與平面E8C所成角的正弦.

19.如圖所示的多面體中，四邊形48C。是正方形，平面4ED1平面ABC￡>,EF//DC,ED=EF=

-2CD=1,AEAD=30°.

(I)求證：AE1FC；

(II)求點。到平面BCF的距離.

20.如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABC￡>為等腰梯形，BC//AD,AD=1,BC=3,AB=

CD=遍，點？在底面的投影。恰好為AC與BC的交點，

D

H

(1)證明：AC1PB-,

(2)若E為PB的中點，求二面角B-EC-。的余弦值.

21.如圖所示，四棱錐P-4BCD的底面A8CO是邊長為1的菱形，/BCD=60。，后是CD的中點,

PA_L底面ABCD,PA=V3.

P

(1)證明：平面PBEJ■平面PA8；

(2)求二面角4-BE-P的大小.

22.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD1底面，平面PAO與平面P8C的交線為/.

(1)證明：(，平面?。。；

(2)已知PD=AD=1,。為/上的點，求尸8與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

23.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1,AD=2,乙4BC=g,四邊形ACEF為矩形，平面4CEF_L

平面ABCD,AF=1,點"在線段EF上運動，且麗f=4品.

(1)當(dāng);1=：時，求異面直線DE與BM所成角的大小;

(2)設(shè)平面MBC與平面ECD所成二面角的大小為火0＜。＜與，求cos。的取值范圍.

24.在如圖的空間幾何體中，ZL4BC是等腰直角三角形，4A=90*BC=2a,四邊形BC￡￡＞為直

角梯形，/.DBC=90°,BD=1,DE=V2,尸為AB中點.

(I)證明：DF〃平面ACE；

(11)若4。=百，求CE與平面AD8所成角的正弦值.

25.如圖，四棱錐P-4BC0中，側(cè)面PAQ是邊長為2的等邊三角形且垂直于底ABC￡>,4B=8C=

^AD,^BAD=乙ABC=90。,E是PO的中點.

(1)證明：直線CE〃平面PAB；

(2)點M在棱PC上，且直線與底面ABC。所成角為45。，求二面角M-4B-0的余弦值.

26.如圖，直角梯形A8CO中，AB//CD,Z.BAD=90°,AB=AD=1,CD=2,若將△BCD沿著

BD折起至△BCD，使得AD1BC.

(1)求證：平面C'BD1平面ABD；

(2)求C7)與平面ABC所成角的正弦值；

(3)M為8。中點，求二面角M-AC-B的余弦值.

27.如圖，已知AB_L平面AC￡>,AB〃DE,AD=AC=DE=2AB=2,且尸是C￡)的中點，4F=V3.

⑴求證：4/7/平面BCE；

(2)求證：平面BCE_L平面CZ)E；

(3)求CB與平面COE所成角的正弦值.

28.如圖，在四棱錐P-4BCD中，AD//BC,AB1AD,AB1PA,BC=2AB=2AD=4BE,平

面PABJL平面ABCD.

p

(1)求證：平面PED_L平面PAC；

(2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為?，求平面PCA和平面尸CC夾角的余弦值.

29.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,ABJ.AP,AB=3,AD=4,BC=5,CD=6.過直

線AB的平面分別交棱P。，PC于E,尸兩點.

(1)求證：PD1EF；

(2)若直線PC與平面PAD所成角為W，且PA=PD,EF^AB,求二面角A—BD—尸的余弦值.

30.如圖所示為一個半圓柱，E為半圓弧CO上一點，CD=縣.

(1)若4。=2遍，求四棱錐E-ABCO的體積的最大值;

(2)有三個條件：(T)4DE-DC=EC-DCi②直線4。與BE所成角的正弦值為|；

z^xsin/.EAB_\/6

DsxnLEBA-2

請你從中選擇兩個作為條件，求直線4。與平面E4B所成角的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

【試題解析】

本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球表面積的求法，涉及棱錐體積的求法，考查了空間想象能力，

屬于較難題，先根據(jù)題意得到平面P4B，平面A8CQ時，四棱錐P-4BCD體積最大，設(shè)△P4B的邊

長為根據(jù)幾何關(guān)系表示四棱錐P-4BC。體積最大值，進(jìn)而求出。值，然后取BC的中點。1，得

到梯形A8CZ)的外接圓圓心是邊BC的中點Oi，根據(jù)APAB是等邊三角形，得到接圓圓心”是等邊

△P4B的中心，再分別過0rG作梯形ABC。、APAB所在平面的垂線，則兩垂線的交點。即是四

棱錐P-ABC。的外接球球心，再運用勾股定理求出球半徑即可求解.

解：由題意知，當(dāng)四棱錐P-48C0體積最大時，平面PAB平面ABCD,設(shè)△PAB的邊長為°,在

等腰梯形ABCD中，

易知4B=AD=CD=a,又NABC=60°,可得BC=2a,

所以等腰梯形ABCD的面積S=工x(a+2a)x更a=越。2,

當(dāng)平面PAB_L平面ABCO時，棱錐的高即為APAB的高為立a，

2

所以四棱錐P-4BCD體積最大值為U=工x地a?x&=?a3=9通，解得a=26，

3428

取BC的中點。1，

因為ABAC與ABOC是直角三角形，所以梯形ABC。的外接圓圓心是邊8C的中點。[,

又4PAB是等邊三角形，其外接圓圓心。2是等邊△PAB的中心，

分別過?！竿庾魈菪蜛BC。、AP/IB所在平面的垂線，則兩垂線的交點。即是四棱錐P-ABCD的外

接球球心，

則四棱錐P-4BCD外接球的半徑為R=\OB\=，舊。1/+|0。1/=J(26)2+]=713-

所以球。的表面積S=4兀/?2=527r.

故選C

2.答案：D

解析：解：如圖所示，

4在邊4E上點凡在4'。上取一點M使得

FN"ED,在EC上取一點H,使得NH〃EF,

作HG〃BE交BC于點G,

則可得FN〃BG，即四邊形8GNF為平行四邊

形，NG〃BE,而GN始終與平面4co相交,

在邊4E上不存在點凡使得在翻折過程中，

B

正確.在翻折過程

中，點4'在底面8CCE的射影不可能在交線BC上,因此不滿足平面ABC，平面BCEE因此不正確.

C.A=當(dāng)二面角4-DE-B為直二面角時，取的中點M,可得：4Ml平面BCDE.

則|AB|=>JAM2+BM2=J(y)2+1+(i)2-2x1x|cosl20°=唱#:耳，因此不正確?

D在翻折過程中，取平面ZED_L平面BCDE,四棱錐4'一BCDE體積/⑷=|-S四邊形BCDE.色入=

|xV3(l-22)-V32=A-A3,AG(0,l).f'W=1-3A2,可得；I時，函數(shù)/⑷取得最大值=

更(1_工)=也，因此正確.

3、3，9

故選：D.

4在邊AE上點凡在A'D上取一點N,使得FN〃ED,在E￡>上取一點H,使得NH〃EF,作HG〃BE

交BC于點G,可得四邊形BGN尸為平行四邊形，可得GN始終與平面ACD相交，即可判斷出結(jié)論.

8.26(0]),在翻折過程中，點A在底面BCOE的射影不可能在交線BC上，即可判斷出結(jié)論.

C.A=當(dāng)二面角A'-DE-B為直二面角時，取ED的中點M,可得：AM1平面BCDE.可得|4'B|=

NAM?+BM2,結(jié)合余弦定理即可得出.

D在翻折過程中，取平面4E01平面BCDE,四棱錐4'一BCOE體積/⑷=：-S四邊形BCDE-g=

A-A3,AG(0,1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了利用運動的觀點理解空間線面面面位置關(guān)系、四棱錐的體積計算公式、余弦定理、利用

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力空間想象能力與計算能力，屬于難題.

3.答案：B

解析：

本題給出三棱錐的空間特征及外接球問題，屬于中檔題.

依題三棱錐可以補成長方體，則長方體的外接球同時也是三棱錐P-4BC外接球.求出PA1,PC

V3,PB=2,算出長方體的對角線，即球直徑，進(jìn)而利用球的體積公式求解.

解：???AB=V5.BC=V7,AC=2,

則PA2+PB2=5,PB2+PC2=7,PA2+PC2=4

.,?解得P4=1,PC=V3，PB=2,

以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，

則長方體的外接球同時也是三棱錐P-力BC外接球.

r長方體的對角線長為VI+3+4=2企,

.?.球直徑為2a，半徑R=V2.

因此三棱錐P-4BC外接球的體積是。R3=。*(V2)3=

故選

4.答案：D

解析：

【試題解析】

本題考查了球的表面積公式的應(yīng)用，重點考查球的球心位置的判定.屬于中檔題.

首先確定球心的位置，進(jìn)一步確定球的半徑，最后確定球的表面積.

解：如圖所示：

因為△ABD^^BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角4-BD-C為120。,

取△力BD和△BCD的中心凡E,取BO的中點記為G,連接EG,FG,

所以“GF=120°,

則球心。為過△ABD^a^BCD的中心的垂線的交點，

在四邊形OEG中可計算得：OE=OF=1,又因為ED=2,

3

利用勾股定理得：球的半徑r=J#+（爭2=與，

則外接球的表面積S=4兀?￡=等.

故選D.

5.答案：C

解析：

本題考查橢圓的定義的運用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，點P到8和。1的距離之和等于定值通，可得滿足條件的

點的全體構(gòu)成一個橢球面，由此能求出結(jié)果.

解：在邊長為1的正方體4BC0-&當(dāng)（71。1中，

點P到8和劣的距離之和等于定值遙的點的全體構(gòu)成一個橢球面，

該橢球面的焦點即為B和Di，

橢球的長半軸為更，

2

焦距為正方體的對角線的一半，即爭

所以短半軸為J??_(3=當(dāng)，

所以該橢球面和正方體的棱有12個交點.

所以P的個數(shù)為12.

故選C.

6.答案：ACD

解析：

本題考查棱錐和棱柱的體積公式，異面直線的夾角，二面角，屬于較難題.

可將該立方八面體理解為1個直四棱柱和4個四棱錐組成，逐項分析即可.

解：由題意，可將該立方八面體理解為1個直四棱柱和4個四棱錐組成，如圖所示:

對于4選項，取AE,DH,MN的中點R,S,0,連接MR,SN,

???立方八面體的棱長為1,△力EM為等邊三角形，

MR=叵,AB=內(nèi)根據(jù)對稱性可知梯形MRSN的高為但=烏

222

則NM=1+2xjg)2_囹=2,

在棱柱EADH-FBCG中，=J12+12+(V2)2=2，

根據(jù)對稱性可知，。為MN和8”的交點，OM=0N=0B=0H=1,

故該立方八面體的12個頂點在同一個球面上，其直徑為2,故A正確;

對于8選項，可知4M〃PB,直線4W和直線8c不在同一平面內(nèi),

NPBC為直線AM和直線BC的夾角，其大小為60。，故B錯誤；

對于C選項，分別計算直四棱柱和四棱錐的體積，

所以該立方八面體的體積為V=lxlxV2+4xixlxV2x—=—,故C正確；

323

對于。選項，該立方八面體的每一條棱所相交而來的兩個面均是一個正方形和一個三角形,

根據(jù)對稱性可知，它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等，故。正確；

故選ACD.

7.答案：AC

解析：

【試題解析】

本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系、異面直線所成角及二面角的正切值，屬于較難題.

根據(jù)條件，結(jié)合直線與直線垂直證明及線線所成角、二面角知識逐項驗證即可.

解：取中點M,CG中點N,連接B1M,B]N,MN,

則易證得BiN〃&E,MN“A、B,

從而平面々MN〃平面

所以點尸的運動軌跡為線段MN.

取尸為的中點，

因為ABiMN是等腰三角形，所以J.MN,

又因為所以故A正確；

設(shè)正方體的棱長為“，當(dāng)點尸與點M或點N重合時，直線&F與直線8c所成角最大,

此時tan/QBi尸=|<^=t即30°,所以B錯誤；

平面&MN〃平面&BE,取尸為MN的中點，則MN1GF,MN18/,

二/BJG即為平面BiMN與平面CDDiG所成的銳二面角，

tan/B/G=弊=2近，所以C正確；

當(dāng)點尸在點M時，截面為等腰梯形，易得其面積為2>更，故。錯誤.

82

故選AC.

8.答案:ABC

解析：

本題考查三棱錐外接球的表面積，考查分類討論思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等核

心素養(yǎng)，屬于較難題.

分三種情況討論，分別利用正弦定理、補體法和外接球直徑的相關(guān)知識求出球半徑，即可得其表面

積.

解：情況一：如圖⑴，△BCD是邊長為2的正三角形，△4BC和△力BC是等腰直角三角形，AB1BD,

AB1BC.

則AB=BC=CD=BD=2,AC=AD=2y/2-

設(shè)△ABC和ABC。的外接圓半徑分別為①r2,該三棱錐的外接球半徑為R.

由題意易得％企.

92

在ABC。中，由正弦定理，得一^^=2「2，則上=不.

smouV3

2

由題意可得R2=療—管）+片=2—1+；1，

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4兀/?2=等.

A

圖(1)

情況二：如圖(2),△BCD是邊長為2的正三角形，△ABC和△48。是等腰直角三角形，AB1AC,

AB1AD.

則AB=AC=AD=yf2,BC=CD=BD=2,

則A/WC,△4BD,A/ICD均是等腰直角三角形，因此可以利用補體法來解決.

將三棱錐4-BCD放在棱長為立的正方體中，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R,

則有(2R)2=(V2)2+(V2)2+(偽2,解得辟=

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4兀R2=6兀.

圖(2)

情況三：如圖(3),△BCD是邊長為2的正三角形，△4CD和A4BC是等腰直角三角形，AB1BC,

AD1CD.

則4B=AD=BC=CD=BD=2,AC=2近，

則△48。也是等邊三角形，易知AC的中點即為三棱錐4-BCD的外接球的球心.

設(shè)該三棱錐的外接球半徑為R,則R=y=V2,

因此該三棱錐的外接球的表面積S=4nR287r.

2

圖（3）

故選ABC.

9.答案：BCD

解析：

本題考查異面直線成角，棱錐的體積以及棱錐的外接球的表面積，難度較大.

由異面直線成角，棱錐的體積以及棱錐的外接球的表面積等公式，逐個進(jìn)行計算判斷.

解：A項，當(dāng)M,8重合時，F(xiàn)M（即BF）與8。是相交直線，故該說法錯誤；

8項，由已知可得名尸1aG，

又平面4BC_L平面C44iC「所以BiF_L平面C441G，

在矩形AEF4中，4DE尸的面積S=gxEFxAiF=：x2x1=1,

又B]F=141cl=1,所以三棱錐。-MEF的體積UM-DEF=gsxB/=1x1x1=%

所以該說法正確；

C項，由，平面4祖6，得1BG，

又BiGlA/i，所以BiG1平面為B1B4所以BiG_LB。，所以該說法正確；

。項，由題意可得四邊形BBiFE為矩形，連接BF,

則矩形BBiFE外接圓的圓心為8尸的中點0「且0/=0/=爭

過。1作OiNJLE/與點N,連接DV,01D,

則04=5DN=1,0rN1DN,故0山=苧，

所以?！烤褪撬睦忮FD-BB】FE的外接球的球心，所以外接球半徑R=與

故外接球的表面積S-ITTR25TT，故該說法正確.

故選BCD.

10.答案：AC

解析：

本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，空間角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、

轉(zhuǎn)化能力.

以長方體為背景，分別求得異面直線所成的角、平面與平面所成的二面角、點到直線的距離以及截

面面積逐一進(jìn)行判斷作出選擇.

解：連接B2C,B2D2,

易知/IDJ/BCJ/B2C,則4B2CD2為異面直線D2c與所成的角，

連接入為，易知4B2,42B，AB21BC,A2BQBC=B,

??AB2_L平面AZBC。2，

連接BIC,同理可證BiC1平面4BG5，

二平面&BCD2與平面ABGDI所成二面角即異面直線4殳與SC所成的角或其補角，

連接4。2，易知/（7/4￡）2，

.??異面直線工殳與BiC所成的角NB24D2或其補角，

又=24]Bi=2B1C1=2,

二AB2。2c和△為外人均為等邊三角形，

貝此殳C"=60°,LB2AD2=60°,

故異面直線D2c與ADi所成的角為60°，平面與平面ABG5所成二面角為60?；?20。,

故A正確，B錯誤;

平面且8傳與BC1垂直平分，

???點當(dāng)與點C到平面48cmi的距離相等，

乂4$1〃平面486。1,

???點4與點名到平面ABG%的距離相等，

即點&與點C到平面4BC1D1的距離相等,

故C正確；

取。m2的中點E，連接&凡EG，

易知皴〃8的，ECr//A2B,

故平面4BGE為平面Z2BG截長方體所得的截面,

在A4BCI中，A2B=BCr=V2,A2Ci=V6,

c_炳

3AA28cl—

則平面4口的截長方體所得的截面面積為V5.

故。錯誤.

故選AC.

11.答案：AD

解析：

本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及棱錐的體積公式，屬于較難題目.

根據(jù)線面平行的判定定理可以判斷4利用棱錐的體積公式通過計算可以判斷B；根據(jù)線面垂直的

性質(zhì)結(jié)合空間直線與直線的位置關(guān)系可以判斷G利用面面垂直的判定定理可以判斷D.

解：對于選項A,因為PB=2PE,所以E是P8的中點，

因為尸是AB的中點，所以EF〃PA,

因為24u平面PAC,EFU平面PAC,所以E。/平面PAC,故A正確;

對于選項B,因為PB=2PE,所以Vp-ABCD=^E-ABCD>

因為AB〃CD,AB1AD,AB=2AD=2CD=2,

所以梯形ABCD的面積為:(CD+4B)?力D=：x(1+2)x1=|,

AB

SAABC=\?4D=；x2xl=l,

-2

所以%-4BCD=5%-4BC，所以％-48co=3%_4BC，故B錯誤；

對于選項C,因為PC1底面ABC。，AC,CDcJixSiABCD,

所以PCIAC,PC1CD,

所以4P4C,4PCD為直角三角形，

又AB"CD,AB1AD,所以4。IC。，貝必力CO為直角三角形，

所以P42=pC2+AC2=pC2+AD2+CD2tpD2=+

^\PA2=PD2+AD2,所以回PAD是直角三角形，

故三棱錐P-4DC的四個面都是直角三角形，故C錯誤；

對于選項。，因為PC1底面A8C￡>,ACu底面ABC。，所以PC_L4C,

在RtAAC'D中，AC=y/AD2+CD2=V2,

在直角梯形ABCD中，BC=yjAD2+(AB-CD)2=夜，

^VXAC2+BC2=AB2,則ACIBC,

因為BCnPC=C,BC,PCu平面BCP,

所以4C_L平面BCP,且4Cu平面ACE,

所以平面BCPJ■平面ACE,故。正確.

故選AC.

12.答案:CD

解析：

【試題解析】

本題考查異面直線的判定方法，考查兩條直線的位置關(guān)系，兩條直線有三種位置關(guān)系，異面，相交

或平行.

利用兩條直線是異面直線的判斷方法來驗證的正誤，利用平移法，判斷。，得到結(jié)論.

解：???直線CG在平面CGI。內(nèi)，

而Me平面CC/i。，4c平面CC1D1。，

???直線AM與直線CG異面，故A不正確，

???直線AM與直線BN異面，故B不正確，

利用A的方法驗證直線BN與直線MB1異面，故C正確，

利用平移法，可得直線與AC所成的角為60。，故。正確，

故選CD.

13.答案：ACD

解析：

本題考查棱錐和棱柱的體積公式，異面直線的夾角，二面角，屬于較難題.

可將該立方八面體理解為1個直四棱柱和4個四棱錐組成，逐項分析即可.

解：由題意，可將該立方八面體理解為1個直四棱柱和4個四棱錐組成，如圖所示：

0

F

BC

對于A選項，取AE,DH,MN的中點上S,0,連接MR,SN,

???立方八面體的棱長為1,ZkAEM為等邊三角形，

MR=—,AB=y/2,根據(jù)對稱性可知梯形MRSN的高為”=立，

222

則/M=1+2XJ(y)2-(y)2=2'

在棱柱E40H-FBCG中，BH=卜+/+(可=

根據(jù)對稱性可知，。為MN和的交點，0M=ON=OB=OH=1,

故該立方八面體的12個頂點在同一個球面上，其直徑為2,故A正確；

對于B選項，可知4M〃PB,直線AM和直線8C不在同一平面內(nèi)，

NPBC為直線AM和直線BC的夾角，其大小為60。，故8錯誤；

對于C選項，分別計算直四棱柱和四棱錐的體積，

所以該立方八面體的體積為U=lxlxV2+4xixlxV2x—,故C正確；

323

對于D選項，該立方八面體的每一條棱所相交而來的兩個面均是一個正方形和一個三角形，

根據(jù)對稱性可知，它的任意兩個共棱的面所成的二面角都相等，故。正確；

故選ACD.

14.答案：ABD

解析：

本題主要考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線，屬于中檔題.

根據(jù)題目畫出圖形，結(jié)合異面直線和空間中直線與直線的位置關(guān)系的相關(guān)知識進(jìn)行判斷即可.

解：直線AB與&G是兩條互相垂直的異面直線，點M不在這兩異面直線中的任何一條上，

如圖所示：取GC的中點N,則MN〃AB,且MN=2B,

設(shè)BN與B1cl交于H,則點A、B、M、N、”共面，直線必與AB直線相交于某點。.

所以過M點有且只有一條直線”。與直線AB、81G都相交，故A正確;

過例點有且只有一條直線與直線AS、BiC1都垂直，此垂線就是棱故B正確;

過/點有無數(shù)個平面與直線A8、&Ci都相交，故C不正確;

過M點有且只有一個平面與直線48、BiCi都平行，此平面就是過M點與正方體的上下底都平行的

平面，故。正確.

故選：ABD.

64TT

15.答案:

解析：

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的位置關(guān)系，球的表面積計算，屬于中檔題.

在PC上取對應(yīng)的點M',進(jìn)一步可得當(dāng)M'為PC的中點時，AM'LPC,計算棱錐的高，利用勾股定

理計算球的半徑，從而得出球的表面積.

解：依題意知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，在尸C上取點M',使得PW=PM,

則MN=M'N,

當(dāng)AW1PC時，AM'取得最小值,

即4N+NM'的最小值為力M',

為尸。的中點，

故而M'為PC的中點，

???PA=AC=4,PO=7PA2一力。2=2乃,

設(shè)外接球的半徑為廣，

則72=（2百—r）2+4）

解得：r=越，

3

???外接球的表面積為4兀"=等.

故答案為.

16.答案:(1)(2)(3)

解析：解：對于(1)，延長CB,DE交于H,連接由E為AB的中點，可得8為CH的中點,

又M為&C的中點，可得〃4",BMC平面&DE,aHu平面4DE,貝ijBM〃平面&DE,故⑴

正確；

不論必在何位置,&C在平面ABCZ)中的射影為AC,AC與OE不垂直，則OE與&C不垂直，可得4C

與平面&0E不垂直，故(2)正確；

對于(3),設(shè)。為OE的中點，連接。4,由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得041=魚，

當(dāng)平面4DE1平面4OE時，三棱錐4-ADE的體積最大，

最大體積為V=[S—DE?公。=[x3X2?x0=牛，故(3)正確；

對于(4),AB=2AD=4,過E作EG〃BM,G€平面&DC,則乙41EG是異面直線與&E所成的

角或所成角的補角，

且ZJliEG=Z.EArHy在4中，EAr=2,EH=DE=2V2,ArH=

A/22+2x22-2x2x2V2xcosl350=2A/5>

則NE&H為定值，即乙LEG為定值，.?.不存在某個位置，使得異面直線與&E所成角為30°,故(4)

錯誤.

故答案為(1)(2)(3).

對于(1),延長CB,DE交于H,連接運用中位線定理和線面平行的判定定理，可得〃平

面&DE,即可判斷(1)；

對于(2),不論公在何位置，&C在平面ABCQ中的射影為AC,由AC與。E不垂直，得。E與&C不

垂直，從而可得&C與平面&DE不垂直，由此判斷(2)；

對于(3),由題意知平面&DE_1_平面4。2時，三棱錐&-4DE的體積最大，求出即可；

對于(4),運用平行線的性質(zhì)和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，求出異面直線所

成的角，說明(4)錯誤.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判

定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

17.答案：②③

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，空間中的距離，二面

角，棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積和體積，面面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生的

空間想象能力，屬于較難題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得平面4GD,從而對①進(jìn)行判斷，利用面面平行的判定得平面

4G。〃平面4CB],再利用面面平行的性質(zhì)對②進(jìn)行判斷，利用線面平行的判定得BiC〃平面

再利用空間中的距離得點E到平面40B的距離是定值，再利用三棱錐的體積等量對③進(jìn)行判斷，

利用求二面角當(dāng)-AC-B的正弦值對④進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對于①、因為在正方體4BCD-4B1GD1中，DiBl平面&GD,

而過一點2只能作平面46。的一條垂線，因此①不正確；

對于②、因為在正方體4BCD中，AC〃AG，A^D/fB^C,

而AiGu平面&C1。，Ai。u平面AiG。，

2CC平面41GD,B1CC平面41GD,

所以AC〃平面&GD,B1C〃平面&GD.

又因為ACC81c=C,ACu平面4cBi，BiCu平面4cB口

所以平面46?！ㄆ矫鍭C/,

而OEu平面AC8i，因此OE〃平面4G。，所以②正確；

對于③、因為&C//B1C,&Du平面408,BiCC平面4DB,

所以BiC〃平面

又因為E是&C（不含端點）上一動點，

所以點E到平面4DB的距離等于BiC到平面&DB的距離，是定值，

而Z&OB也是一個定值，

因此乙-41DB為定值，所以匕「BOE=為定值,因此③正確；

對于④、若正方體4BCD-的棱長為a,

連接當(dāng)0,

因為AC_L平面D/B1B,B]O,OBu平面DDiBiB,

所以AC1Bi。，AC1OB,

因此NBiOB是二面角位-AC-B的平面角，

所以sin/Bi°B=既=套=今因此④不正確.

2U

故答案為②③.

18.答案：⑴證明：取EO中點G,連接FG,CG,為4E的中點，二%〃?1。,

FG=^AD,又BC〃AD且鳴/ID,FG//BCH.FG=BC,

則四邊形BCG尸為平行四邊形，可得BF〃CG.：CGu平面

CDE,BFC平面CDE,:.BF〃平面EDC；

(2)解:取AZ)中點O,連接8O,EO,「BC//OD,￡LBC=OD,

可得BC￡>0為平行四邊形，又4C1DC,可得AD10B,

V.AE=DE,OE1AD,可得AD1平面BOE,在平面BOE

中，過。作。z,底面ABCQ,以。為原點，分別以0A,

02所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BC=1,貝J1B(O,2,0),

C(-l,2,0),Ee(o,冷)，端,等),

BC=(-1,0,0),FF=(0,-*),前=GT，等)，

設(shè)平面BCE的一個法向量為司=(x,y,z),

n?BC=-x=0

｛一一5回，

n?BE=——yH——z=0

44

取z=1,可得元=(0,半，1),

―F13V55x/55—

???BF與平面E8C所成角的正弦值為|cos<n,BF>\=|言映=|三寧1=

|n|-|orIZjLXx^-i-6

解析：本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解

線面角，是中檔題.

(1)取ED中點G,連接FG,CG,由已知可得則四邊形8CGF為平行四邊形，可得BF〃CG.再由線

面平行的判定可得BF〃平面EDC-,

(2)取AD中點O,連接BO,E。，證明4。1平面BOE,在平面BOE中，過。作Oz1底面ABC。，

以。為原點，分別以。4。8所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)8C=1,求出喬及平面

BCE的一個法向量匯由前與五所成角的余弦值可得BF與平面E8C所成角的正弦.

19.答案：解：（【）???四邊形ABCO是正方形，?.?CD1.AD,

又?.?平面4ED1平面ABC。，平面4E0D平面4BC0=AD,CDu面

ABCD,

：.CD1平面ADE,（2分）j-----

又4Eu平面ADE,CD1AE,（3分）.

?.,在△40E中，AD=2,DE=1,Z.EAD=30°,

由余弦定理得，AE=V5,二452+。￡2=4。2,...4￡_1,￡￡）.（4分）

又CDnED=D,AAE_L平面EFCD.（5分）

又FCu平面EFCD：.AE1FC.（6分）

（口）過點6做后“_14。交4￡＞于點//,連結(jié)ED.

???平面4DE，平面ABCD,平面ADEn平面ABC。=AD,EHu平面ADE,

???EH，平面ABCD,在Rt△AED中，EH（7分）

5LEF//DC,?：DCu面ABCD,vEFC面ABCD

EF//^ABCD：.E到面ABCD的距離等于尸至lj面ABCD的距離（8分），

/_BCD=[SABCD,EH=gx2x^=￥.（9分）

在直角梯形EF8A中，EF=1,AE=6，DC=2,AB=2,可得BF=2,

?■1S&BFC=xV2X?=y（10分）

設(shè)D點到平面BFC的距離為d,VD.BCF=VF-BCD，

即豹ABCF?d=J,.??點D到平面BCF的距離竽.（12分）

解析：（I）首先證明CD1平面AQE,CD1AE,又在△ADE中，由余弦定理得可得4E1ED.即可得

AEJL平面EFCD.4E1FC.

（H）過點E做EH1.40交AD于點H,連結(jié)FD,求得=/，易知E到面A8CQ的距離等于F到

面ABCO的距離，設(shè)。點到平面8