2024成都中考數學第一輪專題復習之專題五 類型二 面積問題 教學課件

第一輪專題復習之專題五類型二面積問題類型二面積問題(8年4考：2020.25，2020.28，2018.28，2016.28)二階

綜合訓練1.(2023東營)如圖，拋物線過點O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點B在點A的左側)，點C，D在拋物線上．設B(t，0)，當t＝2時，BC＝4.(1)求拋物線的函數表達式；第1題圖解：(1)設拋物線的函數表達式為y＝ax(x－10)(a≠0).∵當t＝2時，BC＝4，∴點C的坐標為(2，－4).將點C坐標代入表達式，得2a(2－10)＝－4，解得a＝

，∴拋物線的函數表達式為y＝

x2－

x；第1題圖(2)當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？第1題圖(2)由拋物線的對稱性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t.當x＝t時，點C的縱坐標為

t2－

t，∴BC＝－

t2＋

t，∴矩形ABCD的周長為2(AB＋BC)＝2[(10－2t)＋(－

t2＋

t)]＝－

t2＋t＋20＝－

(t－1)2＋

.∵－

<0，0<t<10，∴當t＝1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為

；(3)保持t＝2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時，求拋物線平移的距離．第1題圖(3)如解圖，連接AC，BD相交于點P，連接OC，取OC的中點Q，連接PQ.第1題解圖∵直線GH平分矩形ABCD的面積，∴直線GH過點P.由平移的性質可知，四邊形OCHG是平行四邊形，∴PQ＝CH.∵四邊形ABCD是矩形，∴P是AC的中點，∴PQ＝

OA.當t＝2時，點A的坐標為(8，0)，∴CH＝PQ＝

OA＝4，∴拋物線平移的距離是4.第1題解圖2.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋5(a≠0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，且BO＝CO＝5AO，D是拋物線上的一點．(1)求拋物線的函數表達式；第2題圖(1)解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋5與y軸交于點C，∴OC＝5，∵BO＝CO＝5AO，∴AO＝1，BO＝5，∵點A在點B的左側，∴點A的坐標為(－1，0)，點B的坐標為(5，0)，將A(－1，0)，B(5，0)代入y＝ax2＋bx＋5中，得解得

∴拋物線的函數表達式為y＝－x2＋4x＋5；第2題圖(2)如圖①，點D在點B右側，過點D作DP⊥x軸于點P，過點C作CG⊥DP交拋物線于點H，交DP的延長線于點G，求證：PG·DG＝5CG·GH；第2題圖(2)證明：由(1)知，OB＝5，設P(m，0)，則OP＝m，∵點P在B點右側，∴m＞5.∵DP⊥x軸，∴D(m，－m2＋4m＋5)，∴PD＝m2－4m－5.∵∠COB＝90°，GC⊥OC，GP⊥OP，∴四邊形COPG為矩形，由(1)知OC＝5，∴PG＝OC＝5，CG＝OP＝m，令y＝5，則5＝－x2＋4x＋5，解得x＝0(舍去)或x＝4，∴H(4，5)，∴CH＝4，∴GH＝CG－CH＝m－4.∵DG＝5＋m2－4m－5＝m2－4m.∴PG·DG＝5(m2－4m)＝5m2－20m，5CG·GH＝5m·(m－4)＝5m2－20m，∴PG·DG＝5CG·GH；第2題圖(3)如圖②，當點D在直線BC上方時，拋物線的對稱軸與x軸交于點N，連接CN，DN，CD，求△CDN面積的最大值．第2題圖(3)解：如圖，過點D作y軸的平行線，交BC于點M，連接DB，由(1)知，點C(0，5)，點B(5，0)，M根據點C，B坐標易得直線BC的函數表達式為y＝－x＋5，設D(x，－x2＋4x＋5)，則M(x，－x＋5)，∴DM＝－x2＋4x＋5－(－x＋5)＝－x2＋5x，∴S△BCD＝

DM(xB－xC)＝－

x2＋

x.∵拋物線的對稱軸為直線x＝－

＝2，∴N(2，0)，∴S△BCN＝

yC(xB－xN)＝

×5×3＝

，S△BND＝

yD(xB－xN)＝－

x2＋6x＋

，∴S△CDN＝S△BCD＋S△BCN－S△BND＝－

x2＋

x＋

－(－

x2＋6x＋

)＝－x2＋

x＝－(x－

)2＋

.∵－1＜0，且0＜x＜5，∴當x＝

時，S△CDN取最大值，最大值為

.第2題圖M

解題關鍵點設出點D的坐標，分別表示出△BCD，△BCN，△BND的面積，通過面積和差關系表示出△CDN的面積，最后根據二次函數的性質求最值．面積問題3.(2022成都B卷25題10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx－3(k≠0)與拋物線y＝－x2相交于A，B兩點(點A在點B的左側)，點B關于y軸的對稱點為B′.(1)當k＝2時，求A，B兩點的坐標；解：(1)當k＝2時，直線的表達式為y＝2x－3，聯立

解得或

∵點A在點B的左側，∴點A的坐標為(－3，－9)，點B的坐標為(1，－1)；(2)連接OA，OB，AB′，BB′，若△B′AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；(2)設直線與y軸交于點C(0，－3)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則B′(－xB，yB)，如解圖①，當k>0時，第3題解圖∵S△AOB＝

OC·(xB－xA)，S△B′AB＝

BB′·(yB－yA)，且S△AOB＝S△B′AB，∴

OC·(xB－xA)＝

BB′·(yB－yA)，∵BB′＝2xB，∴

(xB－xA)＝xB·(yB－yA)，則

＝

＝k.∴直線AB的表達式為y＝

x－3，將B(xB，yB)代入，得yB＝

－3＝－

，∵A，B是直線與拋物線的交點，∴－

＝－

，解得xB＝

或xB＝－

(舍去).將B(

，－

)代入y＝kx－3中得，－

＝k·

－3，解得k＝

；第3題解圖如解圖②，當k<0時，同理可得yB＝－

，把yB＝－

代入拋物線表達式可得－

＝－

，解得xB＝或xB＝－

(舍去)，將B(

，－

)代入y＝kx－3得，－

＝k·

－3，解得k＝－

，綜上所述，當S△OAB＝S△B′AB時，k＝

或－

；第3題解圖

解題關鍵點需分k＞0和k＜0兩種情況求解．(3)試探究直線AB′是否經過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．(3)直線AB′經過定點(0，3)，設直線AB′的表達式為y＝k1x＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，B′(－xB，yB)，則k1＝

＝＝＝|xA－xB|＝xB－xA，將A(xA，－

)代入y＝k1x＋b，得－

＝(xB－xA)xA＋b，整理得，b＝－xAxB.∵y＝－x2與y＝kx－3交于A，B兩點，聯立

整理得，x2＋kx－3＝0.則xA＋xB＝－k，xA·xB＝－3，∴b＝－xAxB＝3，∴直線AB′的表達式為y＝k1x＋3，∴不論k1值如何變化，直線AB′恒經過點(0，3).4.(2023遂寧)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝

x2＋bx＋c經過點O(0，0)，對稱軸過點B(2，0)，直線l過點C(2，－2)且垂直于y軸．過點B的直線l1交拋物線于點M，N，交直線l于點Q，其中點M，Q在拋物線對稱軸的左側．(1)求拋物線的解析式；第4題圖解：(1)由題意得

解得

∴拋物線的解析式為y＝

x2－x；(2)如圖①，當BM∶MQ＝3∶5時，求點N的坐標；第4題圖(2)如圖，過點M，Q分別作MD⊥x軸于點D，QH⊥x軸于點H，∟DH∴DM∥HQ，∴△BDM∽△BHQ，∴

＝

，即

＝

，∴DM＝

，∴點M的縱坐標為－

，代入y＝

x2－x中，得－

＝

x2－x，解得x＝1或x＝3，∵點M在拋物線對稱軸的左側，∴x＝1，∴M(1，－

)，設直線BM的解析式為y＝kx＋b1，將點M(1，－

)和點B(2，0)代入，得

解得

∴直線BM的解析式為y＝

x－

，聯立

解得

或

∵點N在對稱軸的右側，∴點N的坐標為(6，3)；第4題圖∟DH(3)如圖②，當點Q恰好在y