高中數(shù)學(xué)：圓錐曲線復(fù)習(xí)題解析版

圓錐曲線復(fù)習(xí)題

1.已知/（XI，yi）,B（X2,”）為拋物線c：V=4x上不同的兩點(diǎn).

（1）若川+”=4,求直線48的傾斜角；

（2）若必用=3,且N8的中點(diǎn)為。求。到y(tǒng)軸距離的最小值.

【分析】（1）利用兩點(diǎn)間斜率公式求出斜率，由斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可;

（2）設(shè)直線48的方程，與拋物線方程聯(lián)立，由|/8|=3,得到機(jī)與f的關(guān)系，表示出點(diǎn)

。到y(tǒng)軸的距離，然后求解最值即可.

解：（I）由兩點(diǎn)間斜率公式可得上=2學(xué)為一、2二4

xl~x2江—文丫1+丫2

~~4~

所以直線N8的傾斜角為45°；

（2）設(shè)直線的方程為x=/如

聯(lián)立方程組為=廣，

（y￡—4x

可得/-4ty-4加=0,

所以△=16a+16〃?>0,即尸+用>0,

且月小=今，口”=-4加，

所以（九一”）2=16t2+16m,

則（1+?）（16?+16加）=9,

故m=--------t2,

16（產(chǎn)+1）

因?yàn)镻+121,

又點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離d==1（yi+y2）+m

a

=2t2+m=--------------Ft2

16（產(chǎn)+1）

=雇筋+（r+1）—1單調(diào)遞增’

9

所以當(dāng)r=0時(shí)取的最小值一，

16

9

所以Q到y(tǒng)軸距離的最小值為

【點(diǎn)評】本題考查了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，兩點(diǎn)間斜

率公式的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時(shí)，一般會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線

的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，屬于中檔題.

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2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中：

①已知點(diǎn)/(V3,0),直線I：%=竽，動(dòng)點(diǎn)尸滿足到點(diǎn)/的距離與到直線/的距離之

V3

比——;

2

②已知點(diǎn)S,T分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且即=3,動(dòng)點(diǎn)尸滿OP=2OS+力or；

③已知圓C的方程為7+丁2=4,直線/為圓C的切線，記點(diǎn)4(國，0),B(-再，0)到直

線/的距離分別為由，dz，動(dòng)點(diǎn)P滿足|以|=力，|P8|=d2.

(I)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(H)記(I)中動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為E,經(jīng)過點(diǎn)。(1,0)的直線/'交E于M,N兩點(diǎn)、,

若線段MN的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)?？v坐標(biāo)的取值范圍.

【分析】(1)分別由①②③條件列出x,y關(guān)系式，化簡即可得軌跡方程；

(2)設(shè)。(0,泗)，當(dāng)/'斜率不存在時(shí)，y0=0,當(dāng)廠斜率存在時(shí)，設(shè)直線/'的方程

為y=A(x-1)(A六0),Af(xi，yi),N(X2,”)，聯(lián)立直線/'與橢圓方程，由根與系

8%2

數(shù)的關(guān)系得，jq+x2=—J，進(jìn)而得到線段MN中點(diǎn)(X3,”)，則知，/，線段的

14-4^

垂直平分線的方程，令x=0,得泗=—%=<一,再求出范圍.

?i+4r^+4/c

2*42

J(x-V3)+yx2

解：(1)若選①，設(shè)尸(x,y),根據(jù)題意，------證---，整理得/十/=1,

\x~~\

K2

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為一=1：

4

若選②，設(shè)P(x,y),S(xf,0),T(0,yr)則J(x')2+(y')2=3(*).

z2

—3

X=-X:

3x--X

整

所以

T2T1T理2

因?yàn)镺P=[OS+[OT,11,-

1y-yy3y

=3

22

代入(*)得二+y2=\,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為上+/=1；

44

若選③，設(shè)尸(x,y),設(shè)直線/與圓相切于點(diǎn)”,則以|+p8|=di+d2=2|O〃]=4>2B=\AB\,

由橢圓定義知點(diǎn)尸的軌跡是以/，8為焦點(diǎn)的橢圓，所以2a=4,2c=M8|=2V1

%2

故。=2,。=代，6=1,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為:~+『=1；

4

(2)設(shè)。(0,yo),當(dāng)廠斜率不存在時(shí)，澗=0,

當(dāng)「斜率存在時(shí)，設(shè)直線廠的方程為(x-1)(左WO),M(XI，vi),N(X2,”)，

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y=k(x—1)

x2，消去y整理得(1+4修)f-80c+4-1)=0

1彳+y2=i

△>0恒成立，Xl+%2=----7，

l+4k‘

設(shè)線段MN中點(diǎn)、（X3，N3），則%3=產(chǎn)=4ky=k（X3-1）=-----幺”

2i+加3i+4r

設(shè)線段MN的垂直平分線的方程為y+—^=—*（x一~史J）,

1+4々’卜1+4/

3/c3

令x=0得#==

1+4必-%+4k'

11Q

當(dāng)左V0時(shí)，-+4k^-4,當(dāng)且僅當(dāng)斤=一皮取等號，所以一?Syo<O,

11Q

當(dāng)k>0時(shí)，%+4后4,當(dāng)且僅當(dāng)上挪等號，所以0V泗線,

o3

綜上，0的縱坐標(biāo)的取值范圍是[-本-].

【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程及直線與橢圓的綜合，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

3.已知拋物線C：y2=4x.

（1）若C與圓G：（x-4）2+/=13在第一象限內(nèi)交于“，N兩點(diǎn)，求直線MN的方程；

（2）直線/過點(diǎn)。（-1,0）交C于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E,直線ZE

交x軸于點(diǎn)P,求證：P為定點(diǎn).

【分析】（1）聯(lián)立直線與圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線方程.

（2）設(shè)直線/方程為》=叩-1,A（xi，yi）,B（%2，y2），E（X2，-J2）,直線/方程與

拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得，川竺=4,設(shè)直線ZE方程為x=gb,直線/￡方程與

拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得，以"=-46=-4,解得％=1,即ZE方程為工=町》1,

直線ZE必過點(diǎn)（1,0）,即得證.

y2—4x

（X一4）2+y2=13,解得仁=；或『=

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