2024年福建省中考數(shù)學試卷附答案

2024年福建省中考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．﹣3 B．0 C． D．2．（4分）據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件（）A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×104 D．0.6961×1053．（4分）如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A． B． C． D．4．（4分）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，則∠1的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（4分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a3＝a9 B．a(chǎn)4÷a2＝a2 C．（a3）2＝a5 D．2a2﹣a2＝26．（4分）哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，其和是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．7．（4分）如圖，已知點A，B在⊙O上，直線MN與⊙O相切，切點為C的中點，則∠ACM等于（）A．18° B．30° C．36° D．72°8．（4分）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為x億元（）A．（1+4.7%）x＝120327 B．（1﹣4.7%）x＝120327 C． D．9．（4分）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖．其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點（）A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°10．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過，B（3a，y2）兩點，則下列判斷正確的是（）A．可以找到一個實數(shù)a，使得y1＞a B．無論實數(shù)a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一個實數(shù)a，使得y2＜0 D．無論實數(shù)a取什么值，都有y2＜0二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）因式分解：x2+x＝．12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是．13．（4分）學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關(guān)知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖．（單位：分）14．（4分）如圖，正方形ABCD的面積為4，點E，F(xiàn)，G，BC，CD，則四邊形EFGH的面積為．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)，B兩點，且點A（1，2），則點B的坐標為．16．（4分）無動力帆船是借助風力前行的．如圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，則f2＝CD＝．（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點E，且∠AEB＝∠AFD．求證：BE＝DF．19．（8分）解方程：．20．（8分）已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校．在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有考生3000人，數(shù)學平均分為90分，數(shù)學平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學平均分；（2）若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，請給予證明；若不能21．（8分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（﹣2，0），C（0，﹣2）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若P是二次函數(shù)圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D，求點P的坐標．22．（10分）如圖，已知直線l1∥l2．（1）在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積．23．（10分）已知實數(shù)a，b，c，m，n滿足，．（1）求證：b2﹣12ac為非負數(shù)；（2）若a，b，c均為奇數(shù)，m，n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．24．（12分）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中AE＝FB），并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是．（3）今有三種不同型號的矩形卡紙，其規(guī)格、單價如表所示：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調(diào)整AE，制作棱長為10cm的正方體禮品盒．如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)）（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25．（14分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，BE的延長線交于點F．（1）求的值；（2）求證：△AEB∽△BEC；（3）求證：AD與EF互相平分．

1．D．2．C．3．C．4．B．6．B．7．A．8．A．9．B．10．C．11．x2+x＝x（x+1）．12．x＜1．13．90．14．6．15．（2，5）．16．128．17．解：原式＝1+5﹣6＝6﹣2＝4．18．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF．19．解：原方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），去分母得：7（x﹣2）+（x+2）（x﹣6）＝x（x+2），整理得：3x﹣10＝3x，解得：x＝10，檢驗：當x＝10時，（x+2）（x﹣2）≠3，故原方程的解為x＝10．20．解：（1）由題意，得A地考生的數(shù)學平均分為．（2）不能．舉例如下：如B地甲類學校有考生1000人，乙類學校有考生3000人（分），因為85＜86，所以不能判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高（答案不唯一，并且所舉的例子能說明其判斷即可）．21．解：（1）由題意，將A（﹣2，C（03+bx+c得∴∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2+x﹣2．（2）由題意，設(shè)P（m，n＞7），又△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，∴，．∴．又CO＝7，∴n＝2CO＝4．由m4+m﹣2＝4，∴m6＝﹣3，m2＝5（舍去）．∴點P坐標為（﹣3，4）．22．解：（1）如圖1，直線l即為所求作的直線；（2）①當∠BAC＝90°，AB＝AC時，∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：BC＝8，∴，∴，②當∠ABC＝90°，BA＝BC時，如圖3，分別過點A2的垂線，垂足為M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∵l∥l1∥l2，直線l3與l2間的距離為2，且l與l5間的距離等于l與l2間的距離，∴CN＝2，AM＝8，∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠NBC+∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC（AAS），∴BM＝CN＝2，在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM6+BM2＝15+22＝5，∴，∴，③當∠ACB＝90°，CA＝CB時，，綜上所述，△ABC的面積為1或．23．解：（1）證明：∵，∴b＝a（3m+n），c＝amn，則b7﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a6mn＝a2（9m5+6mn+n2）﹣12a8mn＝a2（9m3﹣6mn+n2）＝a3（3m﹣n）2，∵a，m，n是實數(shù)，∴a8（3m﹣n）2≥4，∴b2﹣12ac為非負數(shù)．（2）m，n不可能都為整數(shù)．理由如下：若m，n都為整數(shù)，n都為奇數(shù)，n為整數(shù)，①當m，n都為奇數(shù)時，又∵，∴b＝a（6m+n），∵a為奇數(shù)，∴a（3m+n）必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾；②當m，n為整數(shù)，則mn必為偶數(shù)，又∵，∴c＝amn，∵a為奇數(shù)，∴amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾；綜上所述，m，n不可能都為整數(shù)．24．解：（1）如圖2：上述圖形折疊后變成如圖3：由折疊和題意可知，GH＝AE+FB，∵四邊形EFNM是正方形，∴EM＝EF，即AG＝EF，∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB，∵AH＝DH，∴，∴的值為2；（2）根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應(yīng)面上，而對應(yīng)面上的字中間相隔一個幾何圖形，∴C選項符合題意，故答案為：C；（3）需要卡紙如表所示；理由如下：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ需卡紙的數(shù)量（單位：張）182所用卡紙總費用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5cm，如圖3∴型號Ⅲ卡紙，每張卡紙可制作10個正方體型號Ⅱ卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體型號Ⅰ卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體∴可選擇型號Ⅲ卡紙3張，型號Ⅱ卡紙3張，則10×2+2×3+1×6＝27（個），∴所用卡紙總費用為：20×2+5×2+3×1＝58（元）．25．解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直徑，∴AC＝2AO，∵∠BAC＝90°，在Rt△AOC中，，∵AE⊥OC，在Rt△AOE中，，∴，∴；（2）證明：過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M，∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°．∵AO＝BO，∴△AOE≌△BOM（AAS），∴AE＝BM，OE＝OM，∵，∴BM＝2OE＝EM，∴∠MEB＝∠MBE＝45°，∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°，∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°，∴∠AEB＝∠BEC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABM＝∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，∴△AEB∽△BEC；（3）連接DE，DF，∵A