2023-2024學(xué)年天水市高一數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年天水市高一數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷（滿分：150分時間：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B．1 C． D．2．已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個命題正確的是（

）①若，，則；

②若，，則；③若，，則；

④若，，則．A．①② B．②③ C．①③ D．③④3．若圓錐的高為，底面半徑為，則此圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．4．如圖正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是（

）A．B． C． D．5．如圖所示，一個水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．86．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．如圖，在正三棱柱中，，則與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心二、多選題：本題3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B．長方體是正四棱柱C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．圓柱的所有母線長都相等10．在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，已知，且，則（

）A． B．角的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是11．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，分別是的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．當為中點時，C．三棱錐的體積為定值 D．直線到平面的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東，距離為海里，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東，則A與D間的距離為海里．13．如圖，長方體的棱和的中點分別為，，，，，則異面直線與所成角的正切值為.14．已知點是的外心，，設(shè)，且實數(shù)，滿足，則的值是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知平面向量，，，且，．(1)求和；(2)若，，求向量和向量的夾角的大小．16．已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.17．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，點E是棱PA的中點，平面ABCD．

(1)求證：平面BDE；(2)求證：平面平面BDE；18．已知長方體，，分別為和的中點，．(1)求三棱錐體積；(2)求證：平面平面．19．如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，為的中點，，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．1．B【分析】利用除法運算求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】因為，所以的虛部是1.故選：B2．D【分析】借助長方體模型考察直線是否可在平面內(nèi)，可判斷①②；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，根據(jù)線面垂直判定定理可判斷③；利用線面平行的性質(zhì)定理和異面直線夾角定義可判斷④.【詳解】長方體中，平面為平面，直線BC為直線b，如圖，當直線AD為直線a時，滿足，，而，①不正確；當直線為直線a時，滿足，，而，②不正確；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，如圖，因，則，而，則，又，m，n是相交直線，∴，③正確；因，過直線b作平面，如圖，則有，又，，于是得，從而得，④正確，∴給定命題正確的是③④.故選：D.3．B【分析】根據(jù)圓錐的高和底面半徑求出母線長，分別求出圓錐側(cè)面積和底面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由題意可得圓錐的母線長為：圓錐側(cè)面積為：；底面積為：圓錐表面積為：本題正確選項：【點睛】本題考查圓錐表面積的求解，關(guān)鍵是熟練掌握圓錐側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.4．D【分析】利用異面直線的判定方法可得正確的選項.【詳解】對于選項A，分別連接，因為分別為的中點，所以，又，所以，所以四點共面，A錯誤；對于選項B，如圖過可作一個正六邊形，故四點共面，B錯誤；對于選項C，分別連接，因為分別為的中點，所以，又因為分別為的中點，所以，，所以四點共面，C錯誤；對于選項D，因為平面，平面，，所以與為異面直線，所以四點不共面，D正確；故選：D．5．B【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.6．D【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積公式，求，再代入投影向量公式，即可求解.【詳解】，由，得，所以向量在上的投影向量為.故選：D7．A【分析】利用線面角的定義，結(jié)合線面垂直的判定定理求得為與平面所成角，再利用勾股定理即可得解.【詳解】取中點，連接，如圖，在正三棱柱中，是正三角形，，底面底面，，又平面，平面，為與平面所成角，平面平面，，由題意，，在中，.故選：A.8．A【分析】取線段的中點，則，依題可得，即可得答案.【詳解】取線段的中點，則.動點滿足：，，則，即，所以，又，所以三點共線，即點的軌跡是直線，一定通過的重心.故選：A.9．AD【分析】根據(jù)棱柱、正棱柱、正棱錐和圓柱的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】由棱柱定義可得棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，所以A正確；當長方體底面的長寬高互不相等時，該長方體不是正四棱柱，所以B錯誤；底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以C錯誤；根據(jù)圓柱的定義，可得圓柱的所有母線長都相等，所以D正確.故選：AD.10．AD【分析】由正弦定理統(tǒng)一為角可判斷A，由銳角三角形確定角的取值范圍，由正弦定理化為三角函數(shù)求取值范圍判斷BD，由確定A的取值范圍即可判斷C.【詳解】因為，所以，，，則，所以或．因為，所以，所以，則，故A正確；因為，所以．因為是銳角三角形，所以，即，解得，所以，則，故B錯誤，D正確；因為，所以，所以，則C錯誤．故選：AD11．ABC【分析】根據(jù)平行四邊形，即可求解A，根據(jù)等腰三角形以及中點即可求證，即可求解B，根據(jù)體積公式即可求解C，根據(jù)面面平行，即可結(jié)合等體積公式即可求解D.【詳解】連接，正方體中，且，四邊形為平行四邊形，則，因為分別是的中點，所以，故正確;連接，正方體中，．當為中點時，由于,所以，由于，所以，故正確;，在三棱錐中，底面積為定值，棱錐的高等于是定值，三棱錐的體積為定值，則三棱錐體積為定值，故正確;連接由于平面，平面,所以平面，同理可證平面，平面，故平面平面，平面,所以直線平面平行，故直線到平面的距離，即為點到平面的距離，設(shè)距離為，,故D錯誤．故選：ABC．12．24【分析】直接由正弦定理求解即可.【詳解】在中，，，所以，所以海里.故答案為：24.13．【分析】取的中點，連接，，則或其補角即為異面直線與所成角，在中計算即可求解.【詳解】如圖：取的中點，連接，，因為是的中點，所以，且，所以或其補角即為異面直線與所成角，，在中，，所以異面直線與所成角的正切值為，故答案為：.14．0【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合可得，.【詳解】將兩端分別與、作內(nèi)積，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義可得：，又，即有，解得.又，聯(lián)立可得，，所以.故答案為：0.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是：將已知條件兩端分別與、作內(nèi)積，轉(zhuǎn)化為.15．(1)，；(2)．【分析】（1）由列方程可求出，再由列方程可求出，從而可求出和；（2）先求出向量和向量的坐標，再利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，解得，因為，所以，解得，故，；（2），，設(shè)向量和向量的夾角為，則，因為，所以，即向量和向量的夾角的大小為．16．(1)(2)【分析】（1）由題意先求，然后寫出的展開式計算即可;（2）根據(jù)題意，先求的取值范圍和值，然后用求的值.【詳解】（1）由，，，可得，所以.（2）由，，可得，故.從而由，可得.17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)AC交BD于M，連接ME，則利用三角形的中位線定理得，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知得，，則由線面垂直的判定定理可得平面PAC，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）證明：設(shè)AC交BD于M，連接ME．因為ABCD為正方形，所以M為AC中點，又因為E為PA的中點，所以ME為△PAC的中位線，所以，又因為平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．（2）證明：因為ABCD為正方形，所以，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又，又PA，平面PAC，所以平面PAC．因為平面BDE，所以平面平面BDE．

18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由平面，可得結(jié)合題干條件，即得解；（2）先證明平面，平面，結(jié)合面面平行的判斷定理，即得證【詳解】（1）由題意可知：平面，，為的中點，，，，；（2）∵ABCD-A1B1C1D1是長方體∴AD//BC且AD=BC∵點E、F分別為CC1和BB1的中點∴EF//BC且EF=BC∴AD//EF且AD=EF∴四邊形ADEF是平行四邊形∴AF//DE∵平面，平面∴平面又，分別是線段，的中點平面，平面平面又平面平面．19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由面面垂直的性質(zhì)定理可得底面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可求證；（2）證明兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，由空間向