專題09平行四邊形的判定及綜合(專題測試)(原卷版+解析)

專題09平行四邊形的判定及綜合專題測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題1．（2019?瀘州）四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，下列四組條件中，一定能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD2．（2019春?寧波期中）在平面直角坐標系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D為頂點構造平行四邊形，下列各點中，不能作為頂點D的坐標是（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）3．（2019春?西湖區(qū)校級月考）已知四邊形ABCD，給出下列條件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④∠A＝∠C；從中任取兩個條件，可以得出四邊形ABCD是平行四邊形這一結論的情況有（）A．5種 B．4種 C．3種 D．2種4．（2019秋?樂清市期末）已知四邊形的四條邊的長分別是m、n、p、q，且滿足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．則這個四邊形是（）A．平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形 C．平行四邊形或對角線互相垂直的四邊形 D．對角線相等的四邊形5．（2018春?江干區(qū)期末）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，則以下條件不能判斷四邊形AECF是平行四邊形的是（）A．AF＝FE B．∠BAE＝∠DCF C．AF⊥CF，CE⊥AE D．BE＝DF6．（2020春?鹿城區(qū)校級期中）用反證法證明命題“一個三角形中至多有一個角是直角”，應先假設這個三角形中（）A．至少有兩個角是直角 B．沒有直角 C．至少有一個角是直角 D．有一個角是鈍角，一個角是直角7．（2019春?閩侯縣期末）順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不對8．如圖，在△ABC中，BD、CE是角平分線，AM⊥BD于點M，AN⊥CE于點N．△ABC的周長為30，BC＝12．則MN的長是（）A．15 B．9 C．6 D．39．（2018春?江干區(qū)期末）如圖，△ABC中，D是BC邊的中點，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，則DE的長為（）A．4 B．5 C．6 D．710．（2018春?南山區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于點F，交AB于點G，連接EF，則①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正確的是（）A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③④二、填空題11．（2019春?嵊州市期末）用反證法證明“若＞2，則a2＞4”時，應假設．12．（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖所示，在平行四邊形ABCD中E，F分別在BC，AD上，若想使四邊形AFCE為平行四邊形，須添加一個條件，這個條件可以是，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．13．（2019春?嘉興期中）四邊形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一個條件，則使四邊形ABCD成為平行四邊形．14．（2019?余杭區(qū)二模）在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，0），B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，1），移動點A，使得順次連結這四個點的圖形是平行四邊形，則移動后點A的坐標為．15．（2019秋?海曙區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分別是AC、BD的中點，P是AB邊上的中點，則∠EPF＝°．16．（2019春?泉州期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度在射線AD上運動；同時，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度在射線CB上運動．運動時間為t，當t＝秒（s）時，點P、Q、C、D構成平行四邊形．三、解答題17．（2018春?拱墅區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，連結AF、CE．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四邊形AECF的面積．18．（2019春?溫州期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點F是CB的中點，過點F作FE∥AC交AB于點E點D是CA延長線上的一點，且AD＝AC，連接DE、AF（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）若四邊ADEF的周長是24cm，BC的長為6cm，求四邊形ADEF的面積．19．（2018春?德清縣期末）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，點O是AC的中點，AD∥BC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AC＝BD＝8，∠AOD＝60°，求AB的長．20．（2018春?項城市期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點，連接DH．（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度數．21．（2019?蒼南縣一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）若∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，求∠DEF的度數．22．（2019春?越城區(qū)校級期中）如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求平行四邊形ADEF的面積．23．（2019春?寧波期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在CB間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止運動，同時點Q也停止運動．設運動時間為ts，當t為何值時，以P，D，Q，B為頂點的四邊形是平行四邊形？專題09平行四邊形的判定及綜合專題測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題1．（2019?瀘州）四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，下列四組條件中，一定能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【點撥】由平行四邊形的判定定理即可得出答案．【解析】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理；熟記對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．2．（2019春?寧波期中）在平面直角坐標系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D為頂點構造平行四邊形，下列各點中，不能作為頂點D的坐標是（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）【點撥】根據平行四邊形的判定，可以解決問題．【解析】解：若以AB為對角線，則BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，4）若以BC為對角線，則BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，﹣4）若以AC為對角線，B，D關于y軸對稱，∴D（1，0）故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，關鍵是熟練利用平行四邊形的判定解決問題．3．（2019春?西湖區(qū)校級月考）已知四邊形ABCD，給出下列條件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④∠A＝∠C；從中任取兩個條件，可以得出四邊形ABCD是平行四邊形這一結論的情況有（）A．5種 B．4種 C．3種 D．2種【點撥】①根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得結論；②根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結論；③根據平行線的性質得角相等，再等量代換后根據平行四邊形的判定即可得結論；④根據平行線的性質得角相等，再等量代換后根據平行四邊形的判定即可得結論．【解析】解：如圖①AB∥CD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；②∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊；③∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊；④∵BC∥AD，∴∠B+∠A＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊；故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．4．（2019秋?樂清市期末）已知四邊形的四條邊的長分別是m、n、p、q，且滿足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．則這個四邊形是（）A．平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形 C．平行四邊形或對角線互相垂直的四邊形 D．對角線相等的四邊形【點撥】對于所給等式m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq，先移項，故可配成兩個完全式，即（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0，進而可得m＝n，p＝q，四邊形中兩組鄰邊相等，故可判定是平行四邊形或對角線互相垂直的四邊形．【解析】解：m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq可化簡為（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0∴m＝n，p＝q，∵m，n，p，q分別為四邊形的四邊∴m，n為對邊，p＝q為對邊，∴可確定其為平行四邊形當m，n為鄰邊時，可以證明有兩個頂點在一條對角線的垂直平分線上，∴四邊形的對角線互相垂直的四邊形．故選：C．【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定問題，正確的對式子進行變形，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．5．（2018春?江干區(qū)期末）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，則以下條件不能判斷四邊形AECF是平行四邊形的是（）A．AF＝FE B．∠BAE＝∠DCF C．AF⊥CF，CE⊥AE D．BE＝DF【點撥】連接AC與BD相交于O，根據平行四邊形的對角線互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE＝OF即可，然后根據各選項的條件分析判斷即可得解．【解析】解：如圖，連接AC與BD相交于O，在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；A、AF＝EF無法證明得到OE＝OF，故本選項正確．B、∠BAE＝∠DCF能夠利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，從而得到DF＝BE，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項錯誤；C、若AF⊥CF，CE⊥AE，由直角三角形的性質可得OE＝AC＝OF，故本選項錯誤；D、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．6．（2020春?鹿城區(qū)校級期中）用反證法證明命題“一個三角形中至多有一個角是直角”，應先假設這個三角形中（）A．至少有兩個角是直角 B．沒有直角 C．至少有一個角是直角 D．有一個角是鈍角，一個角是直角【點撥】熟記反證法的步驟，然后進行判斷．【解析】解：用反證法證明“一個三角形中不能有兩個角是直角”，應先假設這個三角形中有兩個角是直角．故選：A．【點睛】此題考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．7．（2019春?閩侯縣期末）順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不對【點撥】利用三角形中位線定理可得新四邊形的對邊平行且等于原四邊形一條對角線的一半，那么根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定所得的四邊形一定是平行四邊形．【解析】解：如圖四邊形ABCD，E、N、M、F分別是DA，AB，BC，DC中點，連接AC，DE，根據三角形中位線定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根據平行四邊形的判定，可知四邊形為平行四邊形．故選：A．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理，三角形的中位線的性質定理，為題目提供了平行線，為利用平行線判定平行四邊形奠定了基礎．8．如圖，在△ABC中，BD、CE是角平分線，AM⊥BD于點M，AN⊥CE于點N．△ABC的周長為30，BC＝12．則MN的長是（）A．15 B．9 C．6 D．3【點撥】延長AM、AN分別交BC于點F、G，根據BN為∠ABC的角平分線，AN⊥BN得出∠BAN＝∠G，故△ABG為等腰三角形，所以BN也為等腰三角形的中線，即AN＝GN．同理AM＝MF，根據三角形中位線定理即可得出結論．【解析】證明：∵△ABC的周長為30，BC＝12．∴AB+AC＝30﹣BC＝18．延長AN、AM分別交BC于點F、G．如圖所示：∵BN為∠ABC的角平分線，∴∠CBN＝∠ABN，∵BN⊥AG，∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠G+∠CBN＝90°，∴∠BAN＝∠AGB，∴AB＝BG，∴AN＝GN，同理AC＝CF，AM＝MF，∴MN為△AFG的中位線，GF＝BG+CF﹣BC，∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關鍵．9．（2018春?江干區(qū)期末）如圖，△ABC中，D是BC邊的中點，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，則DE的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【點撥】延長BE交AC于F，證明△AEF≌△AEB，根據全等三角形的性質得到AF＝AB＝10，BE＝EF，根據三角形中位線定理計算即可．【解析】解：延長BE交AC于F，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB（ASA）∴AF＝AB＝10，BE＝EF，∴CF＝AC﹣AF＝8，∵BE＝EF，BD＝DC，∴DE＝CF＝4，故選：A．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．10．（2018春?南山區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于點F，交AB于點G，連接EF，則①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正確的是（）A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③④【點撥】求出F為CG中點，根據三角形的中位線性質即可判斷①，求出∠ACG＝∠AGC＝∠B+∠BCG，即可判斷②；根據三角形中位線性質即可判斷③，求出2AE＜AB+BC和AE＞EF，即可判斷④．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE為△ABC的中線，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正確；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACG，∠AGF＝∠ACF，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG＝（∠ACB﹣∠B），故②正確；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分別是CG、BC的中點，∴EF＝BG，∴EF＝（AB﹣AC），故③正確；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF＝（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延長AE到M，使AE＝EM，連接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝MB，在△ABM中，AM＜AB+MB＝AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE＜（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC），故④正確；故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定、三角形內角和定理、三角形三邊關系定理、三角形的中位線定理，等腰三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．二、填空題11．（2019春?嵊州市期末）用反證法證明“若＞2，則a2＞4”時，應假設a2≤4．【點撥】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據此進行判斷；需注意的是【解析】解：用反證法證明“若＞2，則a2＞4”時，應假設a2≤4．故答案為：a2≤4．【點睛】考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．12．（2019春?西湖區(qū)校級月考）如圖所示，在平行四邊形ABCD中E，F分別在BC，AD上，若想使四邊形AFCE為平行四邊形，須添加一個條件，這個條件可以是③④，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．【點撥】由平行四邊形的判定依次判斷，即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AD＝BC，如果AF＝CF，則無法證明四邊形AFCE是平行四邊形，故①不合題意；如圖，作AM⊥BC交BC于點M，FN⊥BC交BC于點N，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AM＝FN，∵AE＝CF，∴△AME≌△FNC（HL）∴∠AEM＝∠FCN，∴AE∥FC，∴四邊形AFCE為平行四邊形，若點E在BM上，四邊形AFCE為梯形，故②不符合題意；如果∠BAE＝∠FCD，則△ABE≌△DFC（ASA）∴BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∵AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形；故③符合題意；如果∠BEA＝∠FCE，則AE∥CF，∵AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形；故④符合題意；故答案為：③④【點睛】此題考查了平行四邊形的性質與判定．解題的關鍵是選擇適宜的證明方法：此題③采用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；④采用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．13．（2019春?嘉興期中）四邊形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一個條件AD＝BC或AB∥CD，則使四邊形ABCD成為平行四邊形．【點撥】根據平行四邊形的判定方法即可解決問題．【解析】解：∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴只要添加AD＝BC或AB∥CD，四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：AD＝BC或AB∥CD．【點睛】本題考查平行四邊形的判定以及平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．14．（2019?余杭區(qū)二模）在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，0），B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，1），移動點A，使得順次連結這四個點的圖形是平行四邊形，則移動后點A的坐標為（1，1）．【點撥】由題意得出BC＝3，由平行四邊形的性質得出AD＝BC＝3，再由題意即可得出結果．【解析】解：∵B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），∴BC＝3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝3，∵D（﹣2，1），移動點A，使得順次連結這四個點的圖形是平行四邊形，如圖所示：∴A（1，1）；故答案為：（1，1）．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形性質；熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．15．（2019秋?海曙區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分別是AC、BD的中點，P是AB邊上的中點，則∠EPF＝40°．【點撥】依據四邊形內角和即可得到∠BAD+∠ABC＝140°，再根據三角形中位線定理即可得到∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，進而得出∠APE+∠BPF＝140°，即可得到∠EPF的度數．【解析】解：∵四邊形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，∵E、F分別是AC、BD的中點，P是AB邊上的中點，∴PE是△ABC的中位線，PF是△ABD的中位線，∴PE∥BC，PF∥AD，∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，故答案為：40．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．16．（2019春?泉州期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度在射線AD上運動；同時，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度在射線CB上運動．運動時間為t，當t＝3或6秒（s）時，點P、Q、C、D構成平行四邊形．【點撥】由平行四邊形的對邊相等，即：PD＝CQ，建立方程即可得出結論；【解析】解：由運動知，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t，∵四邊形PDCQ是平行四邊形，∴PD＝CQ，∴12﹣3t＝t，∴t＝3秒；當P運動到AD線段以外時，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝3t﹣12，∵四邊形PDCQ是平行四邊形，∴PD＝CQ，∴3t﹣12＝t，∴t＝6秒，故答案為：3或6【點睛】主要考查了平行四邊形的判定和性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．三、解答題17．（2018春?拱墅區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，連結AF、CE．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四邊形AECF的面積．【點撥】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS證得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形AECF是平行四邊形．（2）想辦法求出AE、EF的長，根據S平行四邊形AECF＝2?S△AEF計算即可；【解析】（1）證明：連接AF、EC．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，在Rt△ADE中，DE＝＝5，∵△AEB≌△CFD，∴BE＝DF＝3，∴EF＝2，∴S平行四邊形AECF＝2?S△AEF＝2××＝6．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，解直角三角形等知識，此題難度適中，證得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此題的關鍵．18．（2019春?溫州期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點F是CB的中點，過點F作FE∥AC交AB于點E點D是CA延長線上的一點，且AD＝AC，連接DE、AF（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）若四邊ADEF的周長是24cm，BC的長為6cm，求四邊形ADEF的面積．【點撥】（1）根據平行線分線段成比例定理得到BE＝AE，根據三角形的中位線的性質得到EF＝AC，于是得到結論；（2）根據已知條件得到AD+AF＝12，求得AF＝12﹣AD，根據勾股定理即可得到結論．【解析】（1）證明：∵點F是CB的中點，過點F作FE∥AC，∴BE＝AE，∴EF＝AC，∵AD＝AC，∴EF＝AD，∵EF∥AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ADEF的周長是24cm，∴AD+AF＝12，∴AF＝12﹣AD，∵AC＝2AD，CF＝BC＝3，∴AC2+CF2＝AF2，即（2AD）2+9＝（12﹣AD）2，∴AD＝﹣4，∴四邊形ADEF的面積＝AD?CF＝3﹣12．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，三角形中位線的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．19．（2018春?德清縣期末）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，點O是AC的中點，AD∥BC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AC＝BD＝8，∠AOD＝60°，求AB的長．【點撥】（1）由已知條件易證△AOD≌△COB，由此可得OD＝OB，進而可證明四邊形ABCD是平行四邊形；（2）只要證明四邊形ABCD是矩形，△AOD是等邊三角形即可解決問題；【解析】（1）證明：∵O是AC的中點，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AC＝BD＝8，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴OA＝OD，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴AD＝OD＝4，∴AB＝＝4．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．20．（2018春?項城市期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點，連接DH．（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度數．【點撥】（1）證明BC為△FEG的中位線，得出BC∥FG，BC＝FG，證出BC＝FH，由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD＝BC，得出AD∥FH，AD＝FH，即可得出結論；（2）由平行四邊形的性質得出∠DAB＝∠DCB，由等腰三角形的性質得出∠BEC＝∠EBC＝75°，由三角形內角和定理求出∠BCE，得出∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝40°，即可得出結果．【解析】（1）證明：∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC為△FEG的中位線，∴BC∥FG，BC＝FG，又∵H是FG的中點，∴FH＝FG，∴BC＝FH．又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四邊形AFHD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB＝∠DCB，∵CE＝CB，∴∠BEC＝∠EBC＝75°，∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°，∴∠DAB＝40°．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．21．（2019?蒼南縣一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）若∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，求∠DEF的度數．【點撥】（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據平行四邊形的定義證明即可；（2）根據平行四邊形的對角相等可得∠DEF＝∠BAC，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH＝AD，FH＝AF，再根據等邊對等角可得∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，然后求出∠DHF＝∠BAC，等量代換即可得到∠DHF＝∠DEF．【解析】證明：（1）∵點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，∴DE、EF都是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形；（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF＝∠BAC，∵D，F分別是AB，CA的中點，AH是邊BC上的高，∴DH＝AD，FH＝AF，∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，∵∠DAH+∠FAH＝∠BAC，∠DHA+∠FHA＝∠DHF，∴∠DHF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．∵∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，∴∠DEF＝∠DHF＝∠AHF+∠AHD＝20°+50°＝