計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本數(shù)學(xué)工具省公共課一等獎(jiǎng)全國賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二章回顧：《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》基本數(shù)學(xué)工具代數(shù)知識(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)主要內(nèi)容概率論基礎(chǔ)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第1頁

求和運(yùn)算子（SummationOperator）是用以表示多個(gè)數(shù)求和運(yùn)算一個(gè)縮略符號(hào)。假如表示n個(gè)數(shù)一個(gè)序列，那么我們就把這n個(gè)數(shù)總和寫為：第一節(jié)代數(shù)知識(shí)一、求和運(yùn)算子與描述統(tǒng)計(jì)量1、求和運(yùn)算子計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第2頁性質(zhì)SUM.1:對(duì)任意常數(shù)c，

求和運(yùn)算子性質(zhì)性質(zhì)SUM.2:對(duì)任意常數(shù)c，

性質(zhì)SUM.3:若是n個(gè)數(shù)對(duì)組成一個(gè)集合，且a和b是常數(shù)，則

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第3頁2、平均數(shù)給定n個(gè)數(shù)，我們把它們加起來再除以n，便算出它們平均數(shù)（average）或均值：當(dāng)這些是某特定變量（如受教育年數(shù)）一個(gè)數(shù)據(jù)樣本時(shí)，我們常稱之為樣本均值，以強(qiáng)調(diào)它是從一個(gè)特定數(shù)據(jù)集計(jì)算出來。樣本均值是描述統(tǒng)計(jì)量（DescriptiveStatistic）一個(gè)例子；此時(shí)，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量描述了點(diǎn)集集中趨勢(shì)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第4頁均值性質(zhì)假設(shè)我們?nèi)每次觀察值并從中減去其均值：（這里“d”表示對(duì)均值離差）。那么，這些離差之和必為零：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第5頁均值離差主要性質(zhì)離差平方和等于平方和減去平方n倍:請(qǐng)加以證實(shí)。另請(qǐng)證實(shí)：給定兩個(gè)變量數(shù)據(jù)集

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第6頁集中趨勢(shì)另一個(gè)表示：中位數(shù)均值是我們所關(guān)注集中趨勢(shì)指標(biāo)，但有時(shí)用中位數(shù)（Median）或樣本中位數(shù)表示中心值也有價(jià)值。為了得到n個(gè)數(shù)中位數(shù)，我們先把值按從小到大次序排列。然后，若n是奇數(shù)，則樣本中位數(shù)就是按次序居中那個(gè)數(shù)，比如，給定一組數(shù)字，中位數(shù)就是2。普通說來，中位數(shù)和均值相比，對(duì)數(shù)列中級(jí)（大或?。┲蹈淖儧]那么敏感。若n是偶數(shù)，則居中數(shù)字便有兩個(gè)，此時(shí)定義中位數(shù)方法就不是唯一。通常把中位數(shù)定義為兩個(gè)居中數(shù)字均值（仍指從小到大排序數(shù)列）。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第7頁二、線性函數(shù)性質(zhì)

假如兩個(gè)變量x和y關(guān)系是：我們便說y是x線性函數(shù)（LinearFunction）：而和是描述這一關(guān)系兩個(gè)參數(shù)，為截距（Intercept），為斜率（Slope）。一個(gè)線性函數(shù)定義特征在于，y改變量總是x改變量倍：其中，表示“改變量”。換句話說，x對(duì)y邊際效應(yīng)（MarginalEffect）是一個(gè)等于常數(shù)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第8頁例2.1.1線性住房支出函數(shù)假定每個(gè)月住房支出和每個(gè)月收入關(guān)系式是Housing=164+0.27income那么，每增加1元收入，就有0.27元用于住房支出，假如家庭收入增加200元，那么住房支出就增加0.27×200=54元。機(jī)械解釋上述方程，即時(shí)一個(gè)沒有收入家庭也有164元住房支出，這當(dāng)然是不真實(shí)。對(duì)低收入水平家庭，這個(gè)線性函數(shù)不能很好描述housing和income之間關(guān)系，這就是為何我們最終還得用其它函數(shù)形式來描述這種關(guān)系。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第9頁圖2.1.1Housing=164+0.27income圖形例2.1.1線性住房支出函數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第10頁例2.1.1線性住房支出函數(shù)

在上述方程中，把收入用于住房邊際消費(fèi)傾向（MPC）是0.27。它不一樣于平均消費(fèi)傾向（APC）：APC并非常數(shù)，它總比MPC大，但伴隨收入增加越來越靠近MPC。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第11頁線性函數(shù)性質(zhì)多于兩個(gè)變量線性函數(shù)：假定y與兩個(gè)變量和有普通形式關(guān)系：因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)圖形是三維，所以相當(dāng)難以想象，不過依然是截距（即=0和=0時(shí)y取值），且和都是特定斜率度量。由方程（A.12）可知，給定和改變量，y改變量是若不改變，即，則有所以是關(guān)系式在坐標(biāo)上斜率：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第12頁因?yàn)樗攘苛吮３止潭〞r(shí)，y怎樣隨而變，所以常把叫做對(duì)y偏效應(yīng)（PartialEffect）。因?yàn)槠?yīng)包括保持其它原因不變，所以它與其它條件不變（CeterisParibus）概念有親密聯(lián)絡(luò)，參數(shù)可作類似解釋：即若，則所以，是對(duì)y偏效應(yīng)。線性函數(shù)性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第13頁假定大學(xué)生每個(gè)月對(duì)CD需求量與CD價(jià)格和每個(gè)月零花錢有以下關(guān)系：式中，price為每張碟價(jià)格，income以元計(jì)算。需求曲線表示在保持收入（和其它原因）不變情況下，quantity和price關(guān)系。例2.1.2對(duì)CD需求計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第14頁圖2.1.2quantity=120-9.8price+0.03income在income固定為900元時(shí)圖形例2.1.2對(duì)CD需求計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第15頁圖2.1.2描繪了在收入水平為900元時(shí)二維圖形。需求曲線斜率-9.8是價(jià)格對(duì)數(shù)量偏效應(yīng)：保持收入固定不變，假如CD碟價(jià)格增加1元，那么需求量就下跌9.8。（我們把CD碟只能離散購置事實(shí)抽象化。）收入增加只是使需求曲線向上移動(dòng)（改變了截距），但斜率依然不變。例2.1.2對(duì)CD需求計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第16頁線性函數(shù)基本性質(zhì)：不論x初始值是什么，x每改變一個(gè)單位都造成y一樣改變。x對(duì)y邊際效應(yīng)是常數(shù)，這對(duì)許多經(jīng)濟(jì)關(guān)系來說多少有點(diǎn)不真實(shí)。比如，邊際酬勞遞減這個(gè)主要經(jīng)濟(jì)概念就不符合線性關(guān)系。

為了建立各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象模型，我們需要研究一些非線性函數(shù)（nonlinearfunction）。

非線性函數(shù)特點(diǎn)是，給定x改變，y改變依賴于x初始值。三、若干特殊函數(shù)及其性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第17頁1.二次函數(shù)

刻畫酬勞遞減規(guī)律一個(gè)簡(jiǎn)單方法，就是在線性關(guān)系中添加一個(gè)二次項(xiàng)?？紤]方程式式中，，和為參數(shù)。當(dāng)時(shí)，y和x之間關(guān)系呈拋物線狀，而且能夠證實(shí)，函數(shù)最大值出現(xiàn)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第18頁1.二次函數(shù)比如，若y=6+8x-2x2。（從而=8且=-2），則y最大值出現(xiàn)在x*=8/4=2處，而且這個(gè)最大值是6+8×2-2×（2）2=14。圖2.1.3y=6+8x-2x2

圖形計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第19頁

對(duì)方程式意味著x對(duì)y邊際效應(yīng)遞減（diminishingmarginaleffect），這從圖中清楚可見，應(yīng)用微積分知識(shí)，也能夠經(jīng)過求這個(gè)二次函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)得出。斜率=方程右端是此二次函數(shù)對(duì)x導(dǎo)數(shù)（derivative）。一樣，則意味著x對(duì)y邊際效應(yīng)遞增（increasingmarginaleffect），二次函數(shù)圖形就呈U行，函數(shù)最小值出現(xiàn)在點(diǎn)處。1.二次函數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第20頁

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中起著最主要作用非線性函數(shù)是自然對(duì)數(shù)（naturelogarithm），或簡(jiǎn)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)（logfunction），記為還有幾個(gè)不一樣符號(hào)能夠表示自然對(duì)數(shù)，最慣用是或。當(dāng)對(duì)數(shù)使用幾個(gè)不一樣底數(shù)時(shí)，這些不一樣符號(hào)是有作用。當(dāng)前，只有自然對(duì)數(shù)最主要，所以我們都用表示自然對(duì)數(shù)。2.自然對(duì)數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第21頁2.自然對(duì)數(shù)圖2.1.4y=log（x）圖形計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第22頁2.自然對(duì)數(shù)

從圖能看出以下性質(zhì)：1.當(dāng)y=log（x）時(shí)，y和x關(guān)系表現(xiàn)出邊際酬勞遞減。2.當(dāng)y=log（x）時(shí)，x對(duì)y永遠(yuǎn)沒有負(fù)效應(yīng)：函數(shù)斜率伴隨x增大越來越靠近零，然而這個(gè)斜率永遠(yuǎn)到不了零，所以更不會(huì)是負(fù)。3.log（x）可正可負(fù)：log（x）<0，0<x<1；log（1）=0；log（x）>0，x>14.一些有用性質(zhì)（切記）：

log（x1·x2）=log（x1）+log（x2），x1，x2>0log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x2>0

log（xc）=c·log（x），x>0，c為任意實(shí)數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第23頁2.自然對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)可用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用中各種近似計(jì)算。1.對(duì)于x≈0，有l(wèi)og（1+x）≈x。這個(gè)近似計(jì)算伴隨x變大而越來越不準(zhǔn)確。2.兩對(duì)數(shù)之差可用作百分比改變近似值。令x0和x1為兩個(gè)正數(shù)，能夠證實(shí)（利用微積分），對(duì)x微小改變，有假如我們用100乘以上述方程，并記那么，對(duì)x微小改變，便有“微小”含義取決于詳細(xì)情況。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第24頁2.自然對(duì)數(shù)近似計(jì)算作用：定義y對(duì)x彈性（elasticity）為換言之，y對(duì)x彈性就是當(dāng)x增加1%時(shí)y百分?jǐn)?shù)改變。若y是x線性函數(shù)：，則這個(gè)彈性是它顯著取決于x取值（彈性并非沿著需求曲線保持不變）。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第25頁2.自然對(duì)數(shù)不但在需求理論中，在許多應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，彈性都是非常主要。在許多情況下，使用一個(gè)常彈性模型都很方便，而對(duì)數(shù)函數(shù)能幫助我們?cè)O(shè)定這么模型。假如我們對(duì)x和y都使用對(duì)數(shù)近似計(jì)算，彈性就近似等于所以，一個(gè)常彈性模型（constantelasticitymodel）可近似描述為方程式中，為y對(duì)x彈性（假定x，y>0）。這類模型在經(jīng)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中飾演著主要角色。當(dāng)前，式中只是靠近于彈性這一事實(shí)并不主要，能夠忽略。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第26頁例2.1.3常彈性需求函數(shù)若q代表需求量而p代表價(jià)格，而且二者關(guān)系為則需求價(jià)格彈性是-1.25.初略地說，價(jià)格每增加1%，將造成需求量下降1.25%。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第27頁2.自然對(duì)數(shù)在經(jīng)驗(yàn)研究工作中還經(jīng)常出現(xiàn)使用對(duì)數(shù)函數(shù)其它可能性。假定y>0，且則，從而。由此可知，當(dāng)y和x有上述方程所表示關(guān)系時(shí)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第28頁例2.1.4對(duì)數(shù)工資方程假設(shè)小時(shí)工資與受教育年數(shù)有以下關(guān)系：依據(jù)前面所述方程，有由此可知，多受一年教育將使小時(shí)工資增加約9.4%。通常把%△y/△x稱為y對(duì)x半彈性（semi-elasticity），半彈性表示當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)y百分?jǐn)?shù)改變。在上述模型中，半彈性是個(gè)常數(shù)而且等于，在上述例子中，我們能夠方便把工資和教育關(guān)系概括為：多受一年教育——不論所受教育起點(diǎn)怎樣——都將使工資提升約9.4%。這說明了這類模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中主要作用。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第29頁2.自然對(duì)數(shù)另一個(gè)關(guān)系式在應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中也是有意義：其中，x>0。若取y改變，則有，這又能夠?qū)憺?。利用近似?jì)算，可得當(dāng)x增加1%時(shí)，y改變個(gè)單位。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第30頁例2.1.5勞動(dòng)供給函數(shù)假定一個(gè)工人勞動(dòng)供給可描述為式中，wage為小時(shí)工資而hours為每七天工作小時(shí)數(shù)，于是，由方程可得：換言之，工資每增加1%，將使每七天工作小時(shí)增加約0.45或略小于半個(gè)小時(shí)。若工資增加10%，則或約四個(gè)半小時(shí)。注意：不宜對(duì)更大工資百分?jǐn)?shù)改變應(yīng)用這個(gè)近似計(jì)算。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第31頁考慮方程此處log（y）是x線性函數(shù)，不過怎樣寫出y本身作為x一個(gè)函數(shù)呢？指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction）給出了答案。我們把指數(shù)函數(shù)寫為y=exp（x），有時(shí)也寫為，但在我們課程中這個(gè)符號(hào)不慣用。指數(shù)函數(shù)兩個(gè)主要數(shù)值是exp（0）=1和exp（1）=2.7183（取4位小數(shù)）。

3.指數(shù)函數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第32頁3.指數(shù)函數(shù)圖2.1.4y=exp（x）圖形計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第33頁從上圖能夠看出，exp（x）對(duì)任何x值都有定義，而且總大于零。指數(shù)函數(shù)在以下意義上是對(duì)數(shù)函數(shù)反函數(shù)：對(duì)全部x，都有l(wèi)og﹝exp（x）﹞=x，而對(duì)x>0，有exp﹝log（x）﹞=x。換言之，對(duì)數(shù)“解除了”指數(shù)，反之亦然。對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。指數(shù)函數(shù)兩個(gè)有用性質(zhì)是

exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2）和exp﹝c·log（x）﹞=xc3.指數(shù)函數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第34頁記憶：經(jīng)濟(jì)學(xué)中慣用一些函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有

4.微分學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第35頁當(dāng)y是多元函數(shù)時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)（partialderivative）概念便很主要。假定y=f（x1，x2），此時(shí)便有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，一個(gè)關(guān)于x1，另一個(gè)關(guān)于x2。y對(duì)x1偏導(dǎo)數(shù)記為，就是把x2看做常數(shù)時(shí)方程對(duì)x1普通導(dǎo)數(shù)。類似，就是固定x1時(shí)方程對(duì)x2導(dǎo)數(shù)。若則這些偏導(dǎo)數(shù)可被視為經(jīng)濟(jì)學(xué)所定義偏效應(yīng)。4.微分學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第36頁把工資與受教育年數(shù)和工作經(jīng)驗(yàn)（以年計(jì)）相聯(lián)絡(luò)一個(gè)函數(shù)是exper對(duì)wage偏效應(yīng)就是上式對(duì)exper偏導(dǎo)數(shù)：這是增加一年工作經(jīng)驗(yàn)所造成工資近似改變。注意這個(gè)偏效應(yīng)與exper和educ初始水平都相關(guān)系。比如，一個(gè)從educ=12和exper=5開始工人，再增加一年工作經(jīng)驗(yàn)，將使工資增加約0.19-0.08×5+0.007×12=0.234元。準(zhǔn)確改變經(jīng)過計(jì)算，結(jié)果是0.23，和近似計(jì)算結(jié)果非?？拷?。例2.1.6含交互項(xiàng)工資方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第37頁在最小化或最大化單或多變量函數(shù)時(shí)，微分計(jì)算起著主要作用。假如是一個(gè)k元可微函數(shù)，則

在全部可能xj值中最小化或最大化f必要條件是換言之，f全部偏導(dǎo)數(shù)在處都必須取值為零。這些條件被稱為函數(shù)最小化或最大化一階條件（firstordercondition）。4.微分學(xué)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第38頁參看附件習(xí)題冊(cè)。思索題計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第39頁一、隨機(jī)變量及其概率分布假設(shè)我們擲一枚錢幣10次，并計(jì)算出現(xiàn)正面次數(shù)，這就是一個(gè)試驗(yàn)（experiment）例子。普通地說，一個(gè)試驗(yàn)是指最少在理論上能夠無限重復(fù)下去任何一個(gè)程序，而且它有一個(gè)定義完好結(jié)果集。

一個(gè)隨機(jī)變量（randomvariable）是指一個(gè)含有數(shù)值特征并由一個(gè)試驗(yàn)來決定其結(jié)果變量。

第二節(jié)概率論基礎(chǔ)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第40頁按照概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)通例，我們一律用大寫字母如常見W，X，Y和Z表示隨機(jī)變量，而用對(duì)應(yīng)小寫字母w，x，y和z表示隨機(jī)變量特定結(jié)果。比如，在擲幣試驗(yàn)中，令X為一枚錢幣投擲10次出現(xiàn)正面次數(shù)。所以X并不是任何詳細(xì)數(shù)值，但我們知道X將在集合中取一個(gè)值。比喻說，一個(gè)特殊結(jié)果是x=6。我們用下標(biāo)表示一系列隨機(jī)變量。比如，我們統(tǒng)計(jì)隨機(jī)選擇20個(gè)家庭去年收入。能夠用X1，X2，··，X20表示這些隨機(jī)變量，并用x1，x2，···，x20表示其特殊結(jié)果。一、隨機(jī)變量及其概率分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第41頁如定義所言，即使隨機(jī)變量描述是一些定性事件，我們也總定義它結(jié)果是數(shù)值。比如，考慮只擲一枚錢幣，其兩個(gè)結(jié)果是正面和反面。我們能夠定義一個(gè)隨機(jī)變量以下：假如出現(xiàn)正面則X=1；假如出現(xiàn)反面則X=0。一個(gè)只能取0和1兩個(gè)值隨機(jī)變量叫做貝努利（或二值）隨機(jī)變量〔Bernoulli（orbinary）randomvariable〕。X～Bernoulli（θ）（讀作“X服從一個(gè)成功概率為θ貝努利分布）：P（X=1）=θ，P（X=0）=1-θ一、隨機(jī)變量及其概率分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第42頁1.離散隨機(jī)變量

離散隨機(jī)變量（discreterandomvariable）是指一個(gè)只取有限個(gè)或可數(shù)無限個(gè)數(shù)值隨機(jī)變量?！翱蓴?shù)無限個(gè)”：即使隨機(jī)變量可取無限個(gè)值，但這些值能夠和正整數(shù)一一對(duì)應(yīng)。貝努力隨機(jī)變量是離散隨機(jī)變量最簡(jiǎn)單例子。

一、隨機(jī)變量及其概率分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第43頁一個(gè)離散隨機(jī)變量要由它全部可能值和取每個(gè)值對(duì)應(yīng)概率來完整描述。假如X取k個(gè)可能值其概率p1，p2，···，pk被定義為

pj=P（X=xj），j=1，2，···，k（讀作：“X取值xj概率等于pj”。）其中，每個(gè)pj都在0-1之間，而且

p1+p2+···+pk=11.離散隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第44頁X概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction，pdf）概括了X可能結(jié)果及其對(duì)應(yīng)概率信息：

而且對(duì)某個(gè)j，凡是不等于xjx都有f（x）=0。換言之，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，f（x）都是隨機(jī)變量X取該特定值x概率。當(dāng)我們?cè)O(shè)計(jì)多于一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，有時(shí)需要給所考慮pdf加一個(gè)下標(biāo)：比如fx是Xpdf，fY是Ypdf等等。1.離散隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第45頁給定任一離散隨機(jī)變量pdf，就不難計(jì)算關(guān)于該隨機(jī)變量任何事件概率。比如，設(shè)X為一名籃球運(yùn)動(dòng)員在兩次罰球中命中次數(shù)。所以X三個(gè)可能值是｛0，1，2｝。假定Xpdf是f（0）=0.20，f（1）=0.44和f（2）=0.36這三個(gè)概率之和必定為1.利用這個(gè)pdf，我們能算出該運(yùn)動(dòng)員最少投中一球概率：P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=0.44+0.36=0.80。Xpdf以下列圖示：1.離散隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第46頁012xf（x）1.離散隨機(jī)變量圖2.2.1兩次罰球命中次數(shù)pdf計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第47頁2.連續(xù)隨機(jī)變量

連續(xù)隨機(jī)變量（continuousrandomvariable）是指一個(gè)取任何實(shí)數(shù)概率都為零變量。這個(gè)定義有點(diǎn)違反直覺，因?yàn)樵谌魏螒?yīng)用中，我們最終都會(huì)觀察到一個(gè)隨機(jī)變量取得某種結(jié)果。這里思想是，一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量X可能取值如此之多，以致我們無法用正整數(shù)去計(jì)算，因而，邏輯上一致性就要求X必須以零概率取每一個(gè)值。

一、隨機(jī)變量及其概率分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第48頁在計(jì)算連續(xù)隨機(jī)變量概率時(shí)，討論一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量取某特定值概率是沒有意義，最方便是使用累積分布函數(shù)（cumulativedistributionfunction，cdf）。設(shè)X為任意隨機(jī)變量，它對(duì)任何實(shí)數(shù)xcdf被定義為F（x）≡P（X≤x）對(duì)于一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）就是概率密度函數(shù)f之下、點(diǎn)x以左面積。因?yàn)镕（x）就是一個(gè)概率，所以它總是介于0-1之間。另外，若x1<x2，則P（X≤x1）≤P（X≤x2），即F（x1）≤F（x2）。這意味著cdf是x一個(gè)增（最少非減）函數(shù)。2.連續(xù)隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第49頁cdf有以下兩個(gè)對(duì)計(jì)算概率頗為有用主要性質(zhì)：

1.對(duì)任何數(shù)c，P（X>c）=1-F（c）

2.對(duì)任何兩個(gè)數(shù)a<b，P（a<X≤b）=F（b）-F（a）

在我們學(xué)習(xí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)課時(shí)，用cdf僅計(jì)算連續(xù)隨機(jī)變量概率，所以在概率命題中不等式是否嚴(yán)格不等便無所謂。也就是說，對(duì)于一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量X，有P（X≥c）=P（X>c）和P（a<X<b）=P（a≤X≤b）=P（a≤X<b）=P（a<X≤b）

對(duì)于概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)中全部主要連續(xù)分布，其累積分布函數(shù)已被制成表格，其中最為人們熟知是正態(tài)分布。2.連續(xù)隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第50頁1.聯(lián)合分布與獨(dú)立性令X和Y為離散隨機(jī)變量。那么（X，Y）聯(lián)合分布（jointdistribution）由它們聯(lián)合概率密度函數(shù)充分描述：上式右端是X=x和Y=y概率。若我們知道X和Ypdf，就輕易得到它們聯(lián)合pdf。詳細(xì)而言，我們說X和Y相互獨(dú)立充要條件是，對(duì)全部x和y，都有式中，fX為Xpdf而fY為Ypdf。二、聯(lián)合分布、條件分布與獨(dú)立性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第51頁在多個(gè)隨機(jī)變量背景中，fX和fY這兩個(gè)pdf常被稱為邊緣概率密度函數(shù)（marginalprobabilitydensityfunction），以區(qū)分于聯(lián)合pdf，即fX，Y。上述獨(dú)立性定義適合用于離散和連續(xù)隨機(jī)變量。假如X和Y都是離散，那么上式就等同于P（X=x，Y=y）=P（X=x）·P（Y=y）因?yàn)閮H需要知道P（X=x）與P（Y=y），所以計(jì)算聯(lián)合概率相當(dāng)輕易。

若兩隨機(jī)變量不獨(dú)立，則稱它們是相依。1.聯(lián)合分布與獨(dú)立性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第52頁考慮籃球運(yùn)動(dòng)員兩次罰球。令X為貝努利隨機(jī)變量：假如第一次命中它等于1，不然等于0。再令Y為貝努利隨機(jī)變量：假如第二次命中它等于1，不然等于0。假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員每次罰球命中率都是80%，即P（X=1）=P（Y=1）=0.8，問兩罰兩中概率是多少？例2.2.1罰球命中率若X和Y獨(dú)立，則很輕易回答這個(gè)問題：P（X=1，Y=1）=P（X=1）·P（Y=1）=0.8×0.8=0.64。所以，有64%機(jī)會(huì)兩罰兩中。若第二次命中機(jī)會(huì)依賴于第一次是否命中，即X和Y不獨(dú)立，這種簡(jiǎn)單計(jì)算便不再正確。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第53頁隨機(jī)變量獨(dú)立性是一個(gè)十分主要概念。若X和Y獨(dú)立，則知道X結(jié)果并不改變Y出現(xiàn)各種可能結(jié)果概率，反之亦然。

關(guān)于獨(dú)立性一個(gè)有用結(jié)論是，若X和Y獨(dú)立，而我們對(duì)任意函數(shù)g和h定義兩個(gè)新隨機(jī)變量g（X）和h（Y），則這些新隨機(jī)變量也是獨(dú)立。1.聯(lián)合分布與獨(dú)立性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第54頁在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們通常也對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量（稱之為Y）與另外一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量聯(lián)絡(luò)感興趣。暫且假設(shè)我們只對(duì)一個(gè)變量影響感興趣，并稱之為X。關(guān)于X怎樣影響Y，我們所能知道，都包含在給定X時(shí)Y條件分布（conditionaldistribution）中，由條件概率密度函數(shù)概括這一信息被定義為：對(duì)全部滿足x值，都有2.條件分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第55頁當(dāng)X和Y都是離散變量時(shí)，上式可解釋為其中，上式右端讀作“給定X=x時(shí)Y=y概率”。當(dāng)Y是連續(xù)變量時(shí)，因?yàn)榍笆隼碛?，不能直接解釋為概率，但能夠?jīng)過計(jì)算條件概率密度函數(shù)之下面積來求出條件概率。條件分布一個(gè)主要性質(zhì)是，若X和Y是獨(dú)立隨機(jī)變量，知道X取什么值無助于確定Y取各值概率（反之亦然）。這就是說，且。2.條件分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第56頁再次考慮籃球員兩次投籃例子。假定條件密度是這意味著球員第二次罰球命中概率依賴于第一次罰球是否命中：假如第一次命中，則第二次命中概率是0.85；假如第一次失誤，則第二次命中概率是0.70。這就是說，X和Y不是獨(dú)立，而是相關(guān)。我們?nèi)糁繮（X=1），便能夠計(jì)算P（X=1，Y=1）。假定第一次命中概率是0.8，即P（X=1）=0.8，那么我們得到兩罰兩中概率為P（X=1，Y=1）=P（Y=1|X=1）·P（X=1）=0.85×0.8=0.68例2.2.2罰球命中率計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第57頁多數(shù)情況下我們只對(duì)隨機(jī)變量分布少數(shù)幾個(gè)性質(zhì)感興趣。這些特征可分成三類：集中趨勢(shì)度量、變異或分散程度度量以及兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)聯(lián)性度量。1.集中趨勢(shì)一個(gè)度量：期望值期望值是我們?cè)谟?jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)習(xí)中碰到最主要概率性概念之一。設(shè)X為一隨機(jī)變量。它期望值（expectedvalueorexpectation），記做E（X），就是對(duì)X全部可能值一個(gè)加權(quán)平均。權(quán)數(shù)由概率密度函數(shù)決定。有時(shí)期望值又被稱為總體均值，尤其是在我們強(qiáng)調(diào)X代表了總體中某個(gè)變量時(shí)。三、概率分布特征計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第58頁當(dāng)X是取有限個(gè)值[比喻說]離散隨機(jī)變量時(shí)，期望值準(zhǔn)確定義最為簡(jiǎn)單。令f（x）表示X概率密度函數(shù)，則X期望值為加權(quán)平均：給定pdf在X每個(gè)可能結(jié)果處取值，這很輕易計(jì)算。1.集中趨勢(shì)一個(gè)度量：期望值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第59頁假定X分別以概率1/8、1/2和3/8取值-1、0和2，則

E（X）=（-1）×1/8+0×（1/2）+2×（3/8）=5/8例2.2.3計(jì)算一個(gè)期望值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第60頁假如X是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，則E（X）被定義為一個(gè)積分：這依然能夠解釋為一個(gè)加權(quán)平均。和離散情形不一樣，E（X）總是X可能結(jié)果之一。本課程中，即使我們需要用到概率論中一些特殊隨機(jī)變量期望值相關(guān)熟悉結(jié)論，但我們并不需要用積分去計(jì)算期望值。1.集中趨勢(shì)一個(gè)度量：期望值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第61頁給定隨機(jī)變量X和函數(shù)g（·），能夠產(chǎn)生一個(gè)新隨機(jī)變量g（X）。比如，若X是一隨機(jī)變量，則X

2和log（X）（X>0）也是隨機(jī)變量。g（X）期望值依然是一個(gè)加權(quán)平均：

或者，對(duì)一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量來說，1.集中趨勢(shì)一個(gè)度量：期望值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第62頁例2.2.3：假定X分別以概率1/8、1/2和3/8取值-1、0和2，則：

E（X）=（-1）×1/8+0×（1/2）+2×（3/8）=5/8

對(duì)于例2.2.3中隨機(jī)變量，令g（X）=X2，便有E（X2）=（-1）2×1/8+（0）2×（1/2）+（2）2×（3/8）=13/8例2.2.4X2期望值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第63頁性質(zhì)1.對(duì)任意常數(shù)c，E（c）=c。性質(zhì)2.對(duì)任意常數(shù)a和b，E（aX+b）=aE（X）+b。性質(zhì)3.假如是常數(shù)而是隨機(jī)變量，則或者，利用求和符號(hào)，作為一個(gè)特例，取每個(gè)aj=1，我們有所以，和期望值就是期望值之和。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)推導(dǎo)中經(jīng)常用到這個(gè)性質(zhì)。2.期望值性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第64頁令X1，X2和X3分別為比薩店在某日出售小、中、大比薩個(gè)數(shù)。這些隨機(jī)變量期望值是E（X1）=25，E（X2）=57和E（X3）=40。小、中、大比薩價(jià)格分別是5.50、7.60和9.15美元。所以，該日出售比薩期望收入是E（5.5X1+7.60X2+9.15X3）=5.50E（X1）+7.60E（X2）+9.15E（X3）=5.5×25+7.60×57+9.15×40=936.70即936.70美元。這不過是期望收入，詳細(xì)某一天實(shí)際收入普通都會(huì)有所差異。例2.2.5求期望收入計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第65頁度量集中趨勢(shì)另一個(gè)方法是用中位數(shù)（median）。若X是連續(xù)，則X中位數(shù)（比喻說m）就是這么一個(gè)數(shù)：pdf之下二分之一面積在m之左，另二分之一面積在m之右。當(dāng)X是離散且取有奇數(shù)個(gè)值時(shí)，中位數(shù)就是按大小排序后居中一個(gè)數(shù)。若X可能取偶數(shù)個(gè)值，則實(shí)際上有兩個(gè)中位數(shù)；有時(shí)取這兩個(gè)數(shù)平均，便得到唯一一個(gè)中位數(shù)。普通而言，中位數(shù)，有時(shí)記為Med（X），和期望值E（X）是不相同。作為集中趨勢(shì)度量，不能說哪一個(gè)比另一個(gè)更加好，二者都是度量X分布中心有效方法。2.集中趨勢(shì)另一個(gè)度量：中位數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第66頁盡管一個(gè)隨機(jī)變量集中趨勢(shì)頗有價(jià)值，但它還不能通知我們關(guān)于這個(gè)隨機(jī)變量分布一切。下列圖給出了兩個(gè)含有相同均值隨機(jī)變量pdf。顯然X分布比Y分布更緊密地集中在其中心周圍。3.變異性度量：方差與標(biāo)準(zhǔn)差圖2.2.2有相同均值但不相同分布隨機(jī)變量fXfY計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第67頁對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量X，令μ=E（X）。為了度量X離其期望值多遠(yuǎn)，有許各種方法，而最簡(jiǎn)單一個(gè)代數(shù)方法就是用差異平方（X-μ）2。（平方是為了消除距離度量符號(hào)，由此得到正值符合我們對(duì)距離直觀認(rèn)識(shí)。）因這一距離隨X每一結(jié)果而變，故本身就是一個(gè)隨機(jī)變量。正如我們需要用一個(gè)數(shù)來總結(jié)X集中趨勢(shì)那樣，我們也需要用一個(gè)數(shù)來告訴我們X平均而言離μ有多遠(yuǎn)。一個(gè)這么數(shù)就是方差（variance），它告訴我們X對(duì)其均值期望距離：方差有時(shí)記為，由方程知方差必定非負(fù)。4.方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第68頁

性質(zhì)1.當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c使得P（X=c）=1時(shí)[此時(shí)E（X）=c]，Var（X）=0。也就是說，任何常數(shù)方差都是零，而且，若一個(gè)隨機(jī)變量有零方差，則它本質(zhì)上就是常量。

性質(zhì)2.對(duì)任意常數(shù)a和b，都有Var（aX+b）=a2Var（X）。這意味著，把一個(gè)常數(shù)加到一個(gè)隨機(jī)變量上不會(huì)改變其方差，但用一個(gè)常數(shù)去乘一個(gè)隨機(jī)變量使其方差增大該常數(shù)平方倍。比如，若X指攝氏溫度，而Y=32+（9/5）X為華氏溫度，則Var（Y）=（9/5）2Var（X）=（81/25）Var（X）方差兩個(gè)主要性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第69頁一個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差，記為sd（X），就是它方差正平方根：sd（X）≡+。標(biāo)準(zhǔn)差有時(shí)又記做。標(biāo)準(zhǔn)差有兩個(gè)主要性質(zhì)可從方差兩個(gè)性質(zhì)中直接推出。

性質(zhì)1.對(duì)任意常數(shù)c，sd（c）=0性質(zhì)2.對(duì)任意常數(shù)a和b，sd（aX+b）=|a|sd（X）尤其是，若a>0，則sd（aX）=a·sd（X）。5.標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第70頁作為方差和標(biāo)準(zhǔn)差性質(zhì)一個(gè)應(yīng)用——而且本身也是有實(shí)際意義一個(gè)問題——假如給定隨機(jī)變量X，我們將它減去其均值μ并除以其標(biāo)準(zhǔn)差б，便定義了一個(gè)新隨機(jī)變量

Z≡這又可寫為Z=aX+b，其中a=（1/б）而b=-（μ/б）?？傻茫篍（Z）=aE（X）+b=（μ/б）-（μ/б）=0Var（Z）=a2Var（X）=б2/б2=1所以，隨機(jī)變量Z均值為零，方差（或者標(biāo)準(zhǔn)差）為1。這一過程有時(shí)被稱為將隨機(jī)變量X標(biāo)準(zhǔn)化，而Z則叫做標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量（standardizedrandomvariable）。5.標(biāo)準(zhǔn)化一個(gè)隨機(jī)變量計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第71頁1.關(guān)聯(lián)度：協(xié)方差與相關(guān)即使兩個(gè)隨機(jī)變量聯(lián)合pdf完整地描述了它們之間關(guān)系，但對(duì)于它們大致怎樣相互變動(dòng)，仍需要一個(gè)扼要度量伎倆。正準(zhǔn)期望值和方差一樣，這類似于用一個(gè)數(shù)字來概括整個(gè)分布某首先，現(xiàn)在要概括便是兩個(gè)隨機(jī)變量聯(lián)合pdf。四、聯(lián)合與條件分布特征計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第72頁兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y之間協(xié)方差（covariance）（有時(shí)也叫做總體協(xié)方差，以強(qiáng)調(diào)它考慮是描述一個(gè)總體兩個(gè)隨機(jī)變量之間關(guān)系），被定義為乘積（X-μX）（Y-μY）期望值：有時(shí)又記為。若，則平均而言，當(dāng)X超出其均值時(shí)，Y也超出其均值；若，則平均而言，當(dāng)X超出其均值時(shí)，Y低于其均值。2.協(xié)方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第73頁計(jì)算幾個(gè)有用表示式以下：協(xié)方差度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間線性相依性（lineardependence）。一個(gè)正協(xié)方差表示兩隨機(jī)變量同向移動(dòng)，而一個(gè)負(fù)協(xié)方差則表示兩隨機(jī)變量反向移動(dòng)。2.協(xié)方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第74頁

性質(zhì)Cov.1：若X和Y相互獨(dú)立，則注意：此性質(zhì)反命題并不成立：X和Y之間協(xié)方差為零并不意味著X和Y相互獨(dú)立。

性質(zhì)Cov.2：對(duì)任意常數(shù)a1，b1，a2和b2，都有此性質(zhì)主要含義在于，兩個(gè)隨機(jī)變量之間協(xié)方差會(huì)因?yàn)閷⒍呋蛘叨咧怀艘砸粋€(gè)常數(shù)倍而改變。這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中之所以主要，是因?yàn)橹T如貨幣變量和通貨膨脹率等，都可使用不一樣度量單位進(jìn)行定義而不改變其實(shí)質(zhì)。協(xié)方差性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第75頁最終，知道任何兩隨機(jī)變量之協(xié)方差絕對(duì)值必定不會(huì)超出它們標(biāo)準(zhǔn)差之積也有用處，此即著名柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwartzinequality）。

性質(zhì)COV.3協(xié)方差性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第76頁假定我們想知道勞動(dòng)總體中受教育程度和年薪之間關(guān)系，我們就可令X代表教育，Y代表薪水，然后計(jì)算它們協(xié)方差。然而我們得到答案卻取決于教育和薪水度量單位。協(xié)方差性質(zhì)Cov.2意味著，教育和薪水之間協(xié)方差，視薪水是以美元還是以千美元度量或者教育是以月還是以年計(jì)算而定。很顯著，變量度量單位選擇對(duì)它們有多強(qiáng)關(guān)系并沒有影響。不過它們之間協(xié)方差卻與度量單位相關(guān)。3.相關(guān)系數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第77頁取決于度量單位是協(xié)方差一個(gè)缺點(diǎn)。為克服這一缺點(diǎn)，現(xiàn)引進(jìn)X和Y相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）：X和Y相關(guān)系數(shù)有時(shí)記做（而且有時(shí)稱總體相關(guān)）。3.相關(guān)系數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第78頁性質(zhì)Corr.1

-1≤Corr（X，Y）≤1若Corr（X，Y）=0，或等價(jià)地Cov（X，Y）=0，則X和Y之間就不存在線性關(guān)系，并稱X和Y為不相關(guān)隨機(jī)變量（uncorrelatedrandomvariables）；不然X和Y就是相關(guān)。Corr（X，Y）=1意味著一個(gè)完全正線性關(guān)系，意思是說，我們對(duì)某常數(shù)a和某常數(shù)b＞0能夠?qū)慪=a+bX。Corr（X，Y）=-1則意味著一個(gè)完全負(fù)線性關(guān)系，使得對(duì)某個(gè)b<0有Y=a+bX。+1和-1兩個(gè)極端情形極少出現(xiàn)?？拷?或-1值便意味著較強(qiáng)線性關(guān)系。3.相關(guān)系數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第79頁性質(zhì)Corr.2

對(duì)于常數(shù)a1，b1，a2和b2，若a1a2>0，則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=Corr（X，Y）若a1a2<0，則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=-Corr（X，Y）作為一個(gè)例子，假定薪水和教育總體相關(guān)系數(shù)是0.15.這一度量將與用美元、千美元或任何其它單位計(jì)算薪水都無關(guān)；與用年、季、月或其它單位來衡量受教育時(shí)間也無關(guān)。3.相關(guān)系數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第80頁一旦定義了協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，就能夠把方差主要性質(zhì)完整地列出來。

性質(zhì)VAR.3對(duì)于常數(shù)a和b，有由此可知，若X和Y不相關(guān)（從而Cov（X，Y）=0）則和在后一情形中，要注意為何差方差是（兩個(gè)）方差之和，而不是方差之差。4.隨機(jī)變量之和方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第81頁例：令X為星期五夜晚某酒店賺到利潤(rùn)，而Y為接下來星期六夜晚賺到利潤(rùn)。所以，Z=X+Y就是這兩個(gè)夜晚賺利潤(rùn)。假定X和Y都有一個(gè)300美元期望值和一個(gè)15美元標(biāo)準(zhǔn)差（因而方差為225）。兩夜晚期望利潤(rùn)將是E（Z）=E（X）+E（Y）=2×300=600美元。若X和Y獨(dú)立，從而它們也不相關(guān)，則總利潤(rùn)方差便是兩個(gè)方差之和：Var（Z）=Var（X）+Var（Y）=2×225=450。于是總利潤(rùn)標(biāo)準(zhǔn)差是，約為21.21美元。4.隨機(jī)變量之和方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第82頁從兩個(gè)變量推廣到多于兩個(gè)變量情形。若隨機(jī)變量中每一個(gè)變量與集合中其它任何一個(gè)變量都不相關(guān)，我們便稱其為兩兩不相關(guān)隨機(jī)變量（pairwiseuncorrelatedrandomvariables）。也就是說，對(duì)全部，都有4.隨機(jī)變量之和方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第83頁

性質(zhì)VAR.4若是兩兩不相關(guān)隨機(jī)變量且是常數(shù)，則用求和符號(hào)便可寫為此性質(zhì)一個(gè)特殊情形就是，對(duì)全部i都取ai=1.這時(shí)，對(duì)兩兩不相關(guān)隨機(jī)變量來說，和方差就是方差之和：4.隨機(jī)變量之和方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第84頁協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)都是對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系度量，而且對(duì)稱地處理二者。在社會(huì)科學(xué)中更多情況是，我們想用一個(gè)變量X去解釋另一個(gè)變量Y。而且，若Y和X有非線性形式關(guān)系，則我們還希望知道這個(gè)形式。把Y叫做被解釋變量，而X叫做解釋變量。比如Y代表小時(shí)工資，而X代表受過正式教育年數(shù)。能夠經(jīng)過給定X下Y條件期望（conditionalexpectation）（有時(shí)又稱條件均值）來概括Y和X之間關(guān)系。即，一旦我們知道X取了某個(gè)特定值x，就能依據(jù)X這個(gè)結(jié)果算出Y期望值。記作E（Y|X=x）或簡(jiǎn)記E（Y|x）。普通情形是，伴隨x改變，E（Y|x）也會(huì)改變。5.條件期望計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第85頁當(dāng)Y是取值為離散隨機(jī)變量時(shí)，則有當(dāng)Y連續(xù)時(shí)，E（Y|x）便由對(duì)y全部可能值求積分來定義。好比無條件期望那樣，條件期望也是對(duì)Y全部可能值一個(gè)加權(quán)平均，只不過這時(shí)權(quán)數(shù)反應(yīng)了X已取了某個(gè)特殊值情形。所以，E（Y|x）是x某個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)告訴我們Y期望值怎樣隨x而改變。5.條件期望計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第86頁例令（X，Y）代表一個(gè)工人總體，其中X為受教育年數(shù)，Y為小時(shí)工資。那么，E（Y|x=12）便是總體中全部受了教育（相當(dāng)于讀完高中）工人平均小時(shí)工資。E（Y|x=16）則是全部受過教育工人平均小時(shí)工資。跟蹤各種教育水平期望值，便為工資和教育之間關(guān)系提供了主要信息。5.條件期望計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第87頁5.條件期望4812EDUCE（WAGE|EDUC）1620圖2.2.3小時(shí)工資在給定各種教育水平下期望值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第88頁標(biāo)準(zhǔn)上，能夠在每個(gè)教育水平上求出小時(shí)工資期望值，然后將這些期望值列表。因?yàn)榻逃淖兎秶艽蟆铱啥攘繛橐荒昴硞€(gè)分?jǐn)?shù)——所以用這種方法顯示平均工資和受教育程度之間關(guān)系很煩瑣。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)典方法是，設(shè)定一些足以刻畫這種關(guān)系簡(jiǎn)單函數(shù)。作為一個(gè)例子，假設(shè)WAGE在給定EDUC時(shí)期望值是以下線性函數(shù)：E（WAGE|EDUC）=1.05+0.45EDUC假定這一關(guān)系對(duì)工人總體成立，則受8年和教育者平均工資分別是多少？EDUC系數(shù)怎樣解釋？5.條件期望計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第89頁條件期望也可能是個(gè)非線性函數(shù)。比如，令E（Y|x）=10/x，其中X是一個(gè)恒大于零隨機(jī)變量。這個(gè)函數(shù)圖形以下列圖。它能夠代表一個(gè)需求函數(shù)，其中Y為需求量，而X為價(jià)格。若Y和X關(guān)系確實(shí)如此，則諸如相關(guān)分析一類線性關(guān)聯(lián)分析便不適當(dāng)。5.條件期望E（Y|x）x計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第90頁條件期望一些基本性質(zhì)對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中推導(dǎo)頗為有用。

性質(zhì)CE.1對(duì)任意函數(shù)c（X），都有E[c（X）|X]=c（X）。這意味著，當(dāng)我們計(jì)算以X為條件期望值時(shí)，X函數(shù)可視為常數(shù)。比如E（X2|X）=X2。直觀上，這無非就是說，若知道了X，也就知道了X2。

6.條件期望性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第91頁性質(zhì)CE.2對(duì)任意函數(shù)a（X）和b（X），有

比如，我們能很輕易地計(jì)算像XY+2X2這種函數(shù)條件期望：6.條件期望性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第92頁性質(zhì)CE.3若X和Y相互獨(dú)立，則E（Y|X）=E（Y）。這個(gè)性質(zhì)意味著，若X和Y相互獨(dú)立，則Y在給定X時(shí)期望值與X無關(guān)，這是E（Y|X）必定等于Y（無條件）期望。在工資與教育一例中，假設(shè)工資獨(dú)立于教育，則高中畢業(yè)生和大學(xué)畢業(yè)生平均工資便相同。這幾乎無疑是錯(cuò)誤，所以我們不能假定工資與教育是獨(dú)立。6.條件期望性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第93頁性質(zhì)CE.4E[E（Y|X）]=E（Y）。這個(gè)性質(zhì)意味著，假如我們先把E（Y|X）看做X函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)期望值，那么結(jié)果就是E（Y）。

例：令Y=WAGE和X=EDUC，其中WAGE為小時(shí)工資，而EDUC為受教育年數(shù)。假定給定EDUC下WAGE期望值是E（WAGE|EDUC）=4+0.6EDUC，且E（EDUC）=11.5。則有E（WAGE）=E（4+0.6EDUC）=4+0.6E（EDUC）=10.90美元/小時(shí)。6.條件期望性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第94頁性質(zhì)CE.5若E（Y|X）=E（Y），則Cov（X，Y）=0（因而Corr（X，Y）=0。實(shí)際上X每個(gè)函數(shù)都與Y不相關(guān)。該性質(zhì)含義是，若對(duì)X了解不能改變Y期望值，則X和Y必定不相關(guān)。注意：此性質(zhì)逆命題不成立。若X和Y不相關(guān)，E（Y|X）依然可能取決于X。6.條件期望性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第95頁

給定隨機(jī)變量X和Y，Y以X=x為條件方差，無非就是在給定X=x下與Y條件分布相聯(lián)絡(luò)方差：公式慣用于計(jì)算。

性質(zhì)CV.1若X和Y相互獨(dú)立，則Var（Y|X）=Var（Y）。因?yàn)樵诮o定X下Y分布與X無關(guān)，而Var（Y|X）無非就是這個(gè)分布特征之一，所以這個(gè)性質(zhì)相當(dāng)顯著。7.條件方差計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第96頁1.正態(tài)分布正態(tài)分布和由它衍生出來分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中最廣泛使用分布。假定在總體上定義隨機(jī)變量是正態(tài)分布，將使概率計(jì)算得以簡(jiǎn)化。五、正態(tài)及其相關(guān)分布μx一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量fx圖2.2.4正態(tài)概率密度函數(shù)普通形狀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第97頁在數(shù)學(xué)上，Xpdf可寫為：其中，和。我們說X有一個(gè)均值為μ和方差為б2正態(tài)分布（normaldistribution），記作X~Normal（μ，б2）。因正態(tài)分布對(duì)稱于μ，故μ也是X中位數(shù)。有時(shí)又把正態(tài)分布叫做高斯分布，以紀(jì)念注明統(tǒng)計(jì)學(xué)家高斯（C.F.Gauss）。1.正態(tài)分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第98頁一些隨機(jī)變量粗略地看似乎遵照正態(tài)分布。人類身高和體重、考試得分以及某縣失業(yè)率，大致上都有類似于正態(tài)分布圖形pdf。另一些分布如收入分布，則不像正態(tài)密度函數(shù)那樣分布。在大多數(shù)國家里，收入都不對(duì)稱于任何數(shù)值而分布；分布是朝上端偏斜。有時(shí)一個(gè)變量可經(jīng)過變換而取得正態(tài)性。一個(gè)常見變換是取自然對(duì)數(shù)，這對(duì)取正值隨機(jī)變量來說是有意義。若X是正隨機(jī)變量（比如收入），而Y=log（X）含有正態(tài)分布，我們便說X服從一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)（lognormal）分布。人們發(fā)覺，對(duì)數(shù)正態(tài)分布頗適合許多國家收入分布。諸如商品價(jià)格等另一些變量，看來也適合描述為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。1.正態(tài)分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第99頁正態(tài)分布一個(gè)特殊情形是它均值為0和方差（因而標(biāo)準(zhǔn)差）為1。若隨機(jī)變量Z服從Normal（0，1）分布，我們便說它服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standardnormaldistribution），一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量pdf被記為φ（z）；依據(jù)μ=0和б2=1式，它由下式給出：2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第100頁-303z010.5圖2.2.5標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)被記為φ（z），即位于φ之下、z以左面積；φ（z）=P（Z≤z）；因Z是連續(xù)，故也能夠?qū)懗搔眨▃）=P（Z<z）。2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第101頁沒有可用來求φ（z）值簡(jiǎn)單公式[因?yàn)棣眨▃）是函數(shù)積分，而這個(gè)積分沒有一個(gè)封閉形式]。然而φ（z）值很輕易制成表格。對(duì)于z≤-3.1，

φ（z）小于0.001，而對(duì)于z≥-3.1，φ（z）大于0.999.大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件包都含有計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)cdf值簡(jiǎn)單命令，所以我們完全能防止使用印刷表格而取得對(duì)應(yīng)于任意z值概率。2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第102頁借助于概率論中基本結(jié)論——尤其是相關(guān)cdf性質(zhì)——我們能夠利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)cdf計(jì)算包括一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量任何事件概率。最主要公式是P（Z>z）=1-φ（z）P（Z<-z）=P（Z>z）和P（a≤Z≤b）=φ（b）-φ（a）因?yàn)閆是連續(xù)隨機(jī)變量，所以不論不等式是否嚴(yán)格，這三個(gè)公式全都成立。2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第103頁在大多數(shù)應(yīng)用中，我們首先碰到是一個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)變量X~Normal（μ，б2），其中μ不等于0且б2≠1。利用以下性質(zhì)，可將任何一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

性質(zhì)NORMAL.1：若X~Normal（μ，б2），則（X-μ）/б~Normal（0，1）。這說明了怎樣把任意一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)。比如，X~Normal（3，4），而我們要計(jì)算P（X≤1）。我們總是把X規(guī)范化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量：

P（X≤1）=P（X-3≤1-3）=P[（X-3）/2≤-1]=P（Z≤-1）=φ（-1）=0.1592.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第104頁首先我們計(jì)算當(dāng)X~Normal（4，9）時(shí)P（2<X≤6）（因?yàn)閄是連續(xù)隨機(jī)變量，所以用或都無關(guān)緊要）?，F(xiàn)在下面我們來計(jì)算P（|X|>2）：例2.2.6正態(tài)隨機(jī)變量概率計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第105頁性質(zhì)NORMAL.2：若X~Normal（μ，б2），則aX+b~Normal（aμ+b，a2б2）。性質(zhì)NORMAL.3：若X和Y聯(lián)合正態(tài)分布，則它們獨(dú)立充要條件是Cov（X，Y）=0性質(zhì)NORMAL.4：獨(dú)立同分布正態(tài)隨機(jī)變量任意線性組合都是正態(tài)分布。這說明了，獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量平均是一個(gè)正態(tài)分布變量。若Y1，Y2，···，Yn為獨(dú)立隨機(jī)變量，且每一遍了都服從Y~Normal（μ，б2）分布，則這個(gè)結(jié)論在對(duì)正態(tài)總體均值統(tǒng)計(jì)推斷中起關(guān)鍵作用。3.正態(tài)分布其它性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第106頁卡方分布（分布）是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布。這個(gè)分布是由別奈梅(Benayme)、赫爾默特(Helmert)、皮爾遜分別于1858年、1876年、19所發(fā)覺，它是由正態(tài)分布派生出來，主要用于列聯(lián)表檢驗(yàn)。1.卡方分布數(shù)學(xué)形式設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…Xk，相互獨(dú)立，且都服從同一正態(tài)分布N(μ，σ2)。那么，我們能夠先把它們變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z1，Z2，…Zk，k個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量平方和被定義為卡方分布（分布）隨機(jī)變量（讀作卡方）六、卡方分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第107頁X即所謂含有n個(gè)自由度（degreesoffreedom，df）

分布。自由度概念在我們計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中飾演著主要角色。1.卡方分布數(shù)學(xué)形式計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第108頁下列圖為含有不一樣自由度pdf圖形。2.卡方分布性質(zhì)圖2.2.6有各種自由度分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第109頁

t分布在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)和多元回歸分析中廣為應(yīng)用：它能夠從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)和一個(gè)分布得到。設(shè)Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而X服從自由度為n分布。于是，隨機(jī)變量便服從自由度為nt分布（tdistribution），記為T~tn。t分布自由度得子分母中隨機(jī)變量。

t分布pdf有一個(gè)類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形狀，只是它更散開一些，因而尾端有較大面積。伴隨自由度不停變大，t分布越來越靠近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。七、t分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第110頁圖2.2.7有各種自由度t分布七、t分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第111頁統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中另一主要分布是F分布。尤其是在多元回歸分析中，要用F分布去檢驗(yàn)假設(shè)。為了定義F隨機(jī)變量，令

和，并假定X1和X2獨(dú)立，則隨機(jī)變量服從一個(gè)自由度為（k1，k2）F分布（Fdistribution）。記為。八、F分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第112頁圖2.2.8各種自由度k1和k2分布八、F分布計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第113頁參看附件習(xí)題冊(cè)。思索題計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第114頁一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)推斷指利用來自總體一個(gè)樣本而獲知該總體一些情況。所謂總體（population），指任何定義完好一組對(duì)象，這些對(duì)象能夠是個(gè)人、企業(yè)、城市或其它很多可能性。所謂“獲知”，能夠有很多含義，但大致歸類為預(yù)計(jì)（estimation）和假設(shè)檢驗(yàn)（hypothesistesting）兩個(gè)范圍。

第三節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第115頁例1：勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家想了解中國全體就業(yè)成人教育回報(bào)，問再多受一年教育，工作平均增加百分?jǐn)?shù)是多少？要取得中國全體就業(yè)人口工資和教育信息既不現(xiàn)實(shí)又不經(jīng)濟(jì)，但我們能夠取得總體中一個(gè)子集數(shù)據(jù)。利用搜集到這些數(shù)據(jù)，一位勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家可能能匯報(bào)他對(duì)再受一年教育回報(bào)最好預(yù)計(jì)為7.5%。這就是點(diǎn)預(yù)計(jì)（pointestimate）一個(gè)例子?；蛘撸?yún)R報(bào)一個(gè)范圍，比喻說“教育回報(bào)在5.6%~9.4%之間”。這是區(qū)間預(yù)計(jì)（intervalestimate）一個(gè)例子。一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第116頁例2：城市經(jīng)濟(jì)學(xué)家想知道鄰里犯罪計(jì)劃是否與低犯罪率相關(guān)。經(jīng)過在取自總體一個(gè)樣本中比較了安排和不安排監(jiān)控計(jì)劃鄰里犯罪率，他能夠得到兩結(jié)論之一：鄰里犯罪監(jiān)控計(jì)劃對(duì)犯罪率確實(shí)有影響，或者沒有影響。這個(gè)例子就屬于假設(shè)檢驗(yàn)范圍。一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第117頁統(tǒng)計(jì)推斷第一步就是要明確所關(guān)注總體，而且一定要使之非常詳細(xì)。一旦明確了總體是什么，就可對(duì)所關(guān)注總體關(guān)系建立或設(shè)定一個(gè)模型。這個(gè)模型將包括一些概率分布或概率分布特征，而這又取決于一些未知參數(shù)。所謂參數(shù)，就是決定變量關(guān)系之方向和強(qiáng)度一些常數(shù)。如勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)例子中，所關(guān)注參數(shù)是總體中教育回報(bào)（率）。一、總體、參數(shù)與隨機(jī)抽樣計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第118頁令Y為一個(gè)隨機(jī)變量，代表著概率密度函數(shù)為f（y;θ）一個(gè)總體，其中f（y;θ）依賴于單個(gè)參數(shù)θ

。假定除了θ值未知外，Y概率密度函數(shù)pdf是已知。不一樣θ值將意味著不一樣概率分布，所以我們對(duì)θ值感興趣。假如我們能得到該總體某種樣本，就能了解θ一些情況。最輕易處理抽樣方案是隨機(jī)抽樣。抽樣計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第119頁若Y1，Y2，···Yn是含有同一概率密度函數(shù)f（y;θ）獨(dú)立隨機(jī)變量，我們稱為來自f（y;θ）隨機(jī)樣本（randomsample）[或者說來自由所代表總體一個(gè)隨機(jī)樣本]。

當(dāng)是來自密度f（y;θ）一個(gè)隨機(jī)樣本時(shí)，我們又稱Yi是取自f（y;θ）獨(dú)立同分布（independent，identicallydistributed，i.i.d）樣本。抽樣計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第120頁在隨機(jī)抽樣定義中，Y1，Y2，···Yn隨機(jī)性質(zhì)反應(yīng)了這么事實(shí)：在抽樣實(shí)際完成之前，許多不一樣結(jié)果都有可能。比如，我們獲取了n=100個(gè)中國家庭家庭收入，那么對(duì)于由100個(gè)家庭組成每個(gè)不一樣本，我們觀察到收入都將有所不一樣。一旦得到了一個(gè)樣本，我們就得到一個(gè)數(shù)集，比喻說，這就是我們要加以研究數(shù)據(jù)。假定這個(gè)樣原來自一個(gè)隨機(jī)抽樣模式是否適當(dāng)，還要求我們對(duì)實(shí)際抽樣過程有所了解。抽樣計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第121頁“有限樣本”一詞來自以下事實(shí)：不論樣本容量怎樣，所討論性質(zhì)對(duì)任何樣本容量都成立。有時(shí)把這些性質(zhì)叫做小樣本性質(zhì)。1.預(yù)計(jì)量與預(yù)計(jì)值給定一個(gè)隨機(jī)樣本，它來自一個(gè)取決于某未知參數(shù)θ總體分布，θ一個(gè)預(yù)計(jì)量（estimator）就是賦予樣本每個(gè)可能結(jié)果一個(gè)θ值法則。這個(gè)法則在進(jìn)行抽樣之前就已經(jīng)確立，詳細(xì)而言，不論實(shí)際得到什么樣數(shù)據(jù)，這個(gè)法則都不會(huì)改變。二、預(yù)計(jì)量有限樣本性質(zhì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第122頁作為預(yù)計(jì)量一個(gè)例子，令為取自均值為μ總體一個(gè)隨機(jī)樣本。μ一個(gè)預(yù)計(jì)量，就是這個(gè)隨機(jī)樣本均值我們把叫做樣本均值（sampleaverage），不過它不一樣于我們?cè)诖鷶?shù)知識(shí)中作為一個(gè)描述統(tǒng)計(jì)量而定義一個(gè)數(shù)集樣本均值。這里是一個(gè)預(yù)計(jì)量。給定隨機(jī)變量Y1，Y2，···Yn任何一個(gè)結(jié)果，我們都用一樣法則去預(yù)計(jì)μ：取其平均。對(duì)于實(shí)際結(jié)果，預(yù)計(jì)值（estimate）就是該樣本均值：1.預(yù)計(jì)量與預(yù)計(jì)值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第123頁假設(shè)我們得到美國10個(gè)城市以下失業(yè)率樣本：例2.3.1：城市失業(yè)率城市失業(yè)率123456789105.16.49.24.17.58.32.63.55.87.5我們對(duì)美國平均城市失業(yè)率預(yù)計(jì)值是。普通地說，每個(gè)樣本都有一個(gè)不一樣預(yù)計(jì)值，不過求預(yù)計(jì)值法則是一樣，不論在樣本中出現(xiàn)是哪些城市，也不論樣本中有多少個(gè)城市。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第124頁更普通地說，參數(shù)θ一個(gè)預(yù)計(jì)量W可表示為一個(gè)抽象數(shù)學(xué)公式：其中，h代表隨機(jī)變量Y1，Y2，···Yn某個(gè)已知函數(shù)。如一樣本均值特殊情形那樣，W也因取決于隨機(jī)樣本而成為一個(gè)隨機(jī)變量：W伴隨我們從總體中抽到不一樣隨機(jī)樣本而可能改變。當(dāng)我們把一個(gè)特定數(shù)集[比如]帶入函數(shù)h中時(shí)，我們便得到θ一個(gè)預(yù)計(jì)值，記為：。有時(shí)把W叫做點(diǎn)預(yù)計(jì)量，而把w叫做點(diǎn)預(yù)計(jì)值，以區(qū)分區(qū)間預(yù)計(jì)量和區(qū)間預(yù)計(jì)值。1.預(yù)計(jì)量與預(yù)計(jì)值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第125頁為了評(píng)價(jià)不一樣預(yù)計(jì)方法，我們研究隨機(jī)變量W之概率分布各種性質(zhì)。一個(gè)預(yù)計(jì)量分布常被稱為抽樣分布（samplingdistribution），因?yàn)檫@個(gè)分布描述了W在不一樣隨機(jī)樣本上取各種結(jié)果可能性。因?yàn)橛袥]有限種組合數(shù)據(jù)以預(yù)計(jì)參數(shù)法則，我們需要一些有意義準(zhǔn)則來挑選預(yù)計(jì)量，或者最少淘汰一些預(yù)計(jì)量。所以，我們必須告別描述統(tǒng)計(jì)量范圍，不再僅為總結(jié)一組數(shù)據(jù)而計(jì)算諸如樣本均值之類東西。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們研究是預(yù)計(jì)量抽樣分布。1.預(yù)計(jì)量與預(yù)計(jì)值計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第126頁標(biāo)準(zhǔn)上，給定Yi概率分布和函數(shù)h，我們就能求出W整個(gè)抽樣分布。通常在評(píng)價(jià)W作為θ一個(gè)預(yù)計(jì)量時(shí)，集中考慮W分布少數(shù)幾個(gè)特征比較簡(jiǎn)單。一個(gè)預(yù)計(jì)量第一個(gè)主要性質(zhì)就是關(guān)于它期望值。

無偏預(yù)計(jì)量：若θ預(yù)計(jì)量W對(duì)一切可能θ值，都有E（W）=θ則W