備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習9.5三定問題及最值(精練)(原卷版+解析)

9.5三定問題及最值（精練）（提升版）題組一題組一定點1．（2022·成都模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，橢圓C的右頂點到拋物線的準線的距離為4．（1）求橢圓C和拋物線E的方程；（2）設與兩坐標軸都不垂直的直線l與拋物線E相交于A，B兩點，與橢圓C相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，則在x軸上是否存在點H，使得x軸平分？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由已知得，∴，．∴橢圓的方程為．∴橢圓的右頂點為．∴，解得．∴拋物線的方程為．（2）解：由題意知直線l的斜率存在且不為0．設直線的方程為，，．由消去y，得．∴，∴．∴，．∴．∴．∴，∴．∴，此時．∴直線l的方程為．假設在軸上存在點，使得軸平分，則直線的斜率與直線的斜率之和為，設，，由消去，得．∴，即恒成立．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．解得．∴在軸上存在點，使得軸平分．2．（2022·遼寧模擬）已知坐標原點為O，點P為圓上的動點，線段OP交圓于點Q，過點P作x軸的垂線l，垂足R，過點Q作l的垂線，垂足為S．（1）求點S的軌跡方程C；（2）已知點，過的直線l交曲線C于M，N，且直線AM，AN與直線交于E，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)的中點是定點，并求該定點坐標【答案】（1）（2）【解析】（1）解：設由題意可得所以，所以代入得點S的軌跡方程（2）證明：設直線l的方程為，直線AM方程為：，令直線AN方程為：，令所以E，F(xiàn)的中點為3．（2022·煙臺模擬）已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，與軸的交點分別為，，證明：以為直徑的圓過定點.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：因為橢圓的離心率為，所以.又當位于上頂點或者下頂點時，面積最大，即.又，所以，.所以橢圓的標準方程為（2）解：由題知，直線的斜率存在，所以設直線的方程為，設，，將直線代入橢圓的方程得：，由韋達定理得：，，直線的方程為，直線的方程為，所以，，所以以為直徑的圓為，整理得：.①因為，令①中的，可得，所以，以為直徑的圓過定點.題組二題組二定值1（2022·河東模擬）橢圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由橢圓的離心率，則，又，解得：，，則橢圓的標準方程為：（2）證明：因為，P不為橢圓頂點，則可設直線BP的方程為聯(lián)立整理得．則，故，則．所以又直線AD的方程為．聯(lián)立，解得由三點，共線，得，所以．的斜率為．則．為定值2．（2022·四川模擬）在直角坐標系xOy中，長為3的線段AB的兩端點A，B分別在x，y軸上滑動，動點M滿足（1）求動點M的軌跡E的方程；（2）設過點的動直線l與（1）中的軌跡E交于C，D兩點，是否存在定實數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在實數(shù)，使得為定值為5．【解析】（1）解：設由，得，即而，即．所以，即．（2）解：假設存在滿足題意的直線，設．當直線l的斜率存在時，設其方程為．由，消去y，得．則．所以，，則當且僅當，即時，當直線l的斜率不存在時，，若則．綜上，存在實數(shù)，使得為定值為5．3．（2022·西安模擬）已知拋物線C：的焦點為，準線與坐標軸的交點為，、是離心率為的橢圓S的焦點.（1）求橢圓S的標準方程；（2）設過原點O的兩條直線和，，與橢圓S交于A、B兩點，與橢圓S交于M、N兩點.求證：原點O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：化拋物線C：的方程為標準方程，即C：.得拋物線C的焦點，設橢圓S的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c.則由題意得，，得.∴，又橢圓S的焦點在y軸上.∴橢圓S的標準方程為.（2）證明：由題意知A、O、B共線，M、O、N共線，且，又由橢圓的對稱性，知，.∴四邊形AMBN為菱形，且原點O為其中心，AM、BN為一組對邊.∴原點O到直線AM和到直線BN的距離相等下面求原點O到直線AM的距離.根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設A在第一象限.當直線AM的斜率為零或不存在時，四邊形AMBN為正方形，直線AB和直線MN的方程分別為和，且軸或軸.設，則或.于是，有，得.原點O到直線AM的距離為.當直線AM的斜率存在且不等于零時，設AM：.由，消去并整理得，且.設，，則，，∴.由，得，即，得，滿足.∴原點O到直線AM的距離為.∴原點O到直線BN的距離也為.綜上所述，原點O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.4．（2022·浙江模擬）已知拋物線：經(jīng)過點，焦點為F，PF=2，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，，且直線交軸于，直線交軸于．（1）求拋物線C的方程（2）求直線的斜率的取值范圍；（3）設為原點，，，求證：為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：拋物線：經(jīng)過點，PF=1+2解得，故拋物線方程為：（2）解：由題意，直線的斜率存在且不為，設過點的直線的方程為，設，聯(lián)立方程組可得，消可得，，且，解得，且，則，，又、要與軸相交，直線不能經(jīng)過點，即，故直線的斜率的取值范圍是；（3）證明：設點，，則，，因為，所以，故，同理，直線的方程為，令，得，同理可得，因為，，為定值．題組三題組三最值1．（2022·浙江模擬）如圖，已知點，分別是橢圓的左頂點和右焦點，是軸上一點，且在點左側，過和的直線與橢圓交于A，B兩點，點B關于x軸的對稱點為D.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）記，MD分別與直線FG交于Q，R兩點，求面積的最小值.【答案】（1）（2）24【解析】（1）解：由題意，橢圓，可得，可得，因為是軸上一點，且在點左側，設，其中，則直線的斜率，即直線斜率的取值范圍為（2）解：設直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設，，可得，由，則，，，所以，，則，又由，則，由，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以面積的最小值是24.2．（2022·南充模擬）已知點F是拋物線的焦點，直線l與拋物線C相切于點，連接PF交拋物線于另一點A，過點P作l的垂線交拋物線于另一點B．（1）若，求直線l的方程；（2）求三角形PAB面積S的最小值．【答案】（1）（2）16【解析】（1）解：由得，．所以，y=x24?所以在點P處的切線l方程為：，即．（2）解：設，，，由，則，．因為A、F、P三點共線，所以．所以，由于，故，即．所以．由于，所以得．直線PB方程：，即．設A到直線PB的距離為d，則又所以．當且僅當時，等號成立．所以面積的最小值為16．題組四定直線題組四定直線1．（2022·宜賓模擬）設拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準線截得的弦長為8．（1）求拋物線的方程；（2）過點的兩條直線分別與曲線交于點A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點在直線上．【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）解：：的準線：設到的距離為，由已知得，∴，∴，∴∴的方程為（2）證明：設，∵，∴∴，∴代入得∴∴∵點N在拋物線內(nèi)部，∴，，∴同理∴，是關于的方程的兩根，∴，∴∴的中點在直線上．2．（2022·和平模擬）已知點M是橢圓C：上一點，，分別為橢圓C的上、下焦點，，當，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設過點的直線和橢圓C交于兩點A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標原點）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【答案】見解析【解析】（1）解：由，由，，故，∴，∴，∴，即橢圓的標準方程為.（2）解：假設滿足條件的直線存在，當直線的斜率不存在時，不合題意，不妨設直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因為，，得，即（3），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與的面積比值為5：7.3．（2022·齊齊哈爾模擬）已知點F為拋物線的焦點，點在拋物線C上，且，直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線交拋物線C于M，N兩點，直線AM與BN交于點T，求證：點T在定直線上．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由可知，拋物線C的準線為：，點到準線的距離為，根據(jù)拋物線定義：，，拋物線C的方程為；（2）解：設，，，，，．，，由，，得，即，同理，由得…①，由得…②，①②兩式相加得，即，，，點T在定直線上．綜上，拋物線C的方程為.4．（2022·聊城模擬）已知橢圓C：的離心率為，左頂點為，左焦點為，上頂點為，下頂點為，M為C上一動點，面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線l交橢圓C于D，E兩點（異于點，），直線，相交于點Q，證明：點Q在一條平行于x軸的直線上.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由橢圓C的離心率為得①，由橢圓的幾何性質知，當M為橢圓上（或下）頂點時，的面積最大，②，又，結合①②可解得，，所以橢圓C的方程為.（2）證明：由過的直線l不過，，可設其直線方程為，把代入，得，，即，設，，則，，直線的方程為，直線的方程為，設直線和的交點為，則，把及代入上式，得，整理得，故點Q在一條平行于x軸的直線上，得證.5．（2022·河南模擬）已知橢圓的左、右頂點分別為，且過點．（1）求C的方程；（2）若直線與C交于M，N兩點，直線與相交于點G，證明：點G在定直線上，并求出此定直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：因為，所以，解得．因為C過點，所以，解得．所以C的方程為．（2）證明：由題意，設，則，．由，整理得，則，解得且，，．由得：，所以點G在定直線上．9.5三定問題及最值（精練）（提升版）題組一題組一定點1．（2022·成都模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，橢圓C的右頂點到拋物線的準線的距離為4．（1）求橢圓C和拋物線E的方程；（2）設與兩坐標軸都不垂直的直線l與拋物線E相交于A，B兩點，與橢圓C相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，則在x軸上是否存在點H，使得x軸平分？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2022·遼寧模擬）已知坐標原點為O，點P為圓上的動點，線段OP交圓于點Q，過點P作x軸的垂線l，垂足R，過點Q作l的垂線，垂足為S．（1）求點S的軌跡方程C；（2）已知點，過的直線l交曲線C于M，N，且直線AM，AN與直線交于E，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)的中點是定點，并求該定點坐標3．（2022·煙臺模擬）已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，與軸的交點分別為，，證明：以為直徑的圓過定點.題組二題組二定值1（2022·河東模擬）橢圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．2．（2022·四川模擬）在直角坐標系xOy中，長為3的線段AB的兩端點A，B分別在x，y軸上滑動，動點M滿足（1）求動點M的軌跡E的方程；（2）設過點的動直線l與（1）中的軌跡E交于C，D兩點，是否存在定實數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．3．（2022·西安模擬）已知拋物線C：的焦點為，準線與坐標軸的交點為，、是離心率為的橢圓S的焦點.（1）求橢圓S的標準方程；（2）設過原點O的兩條直線和，，與橢圓S交于A、B兩點，與橢圓S交于M、N兩點.求證：原點O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值.4．（2022·浙江模擬）已知拋物線：經(jīng)過點，焦點為F，PF=2，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，，且直線交軸于，直線交軸于．（1）求拋物線C的方程（2）求直線的斜率的取值范圍；（3）設為原點，，，求證：為定值．題組三題組三最值1．（2022·浙江模擬）如圖，已知點，分別是橢圓的左頂點和右焦點，是軸上一點，且在點左側，過和的直線與橢圓交于A，B兩點，點B關于x軸的對稱點為D.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）記，MD分別與直線FG交于Q，R兩點，求面積的最小值.2．（2022·南充模擬）已知點F是拋物線的焦點，直線l與拋物線C相切于點，連接PF交拋物線于另一點A，過點P作l的垂線交拋物線于另一點B．（1）若，求直線l的方程；（2）求三角形PAB面積S的最小值．題組四定直線題組四定直線1．（2022·宜賓模擬）設拋物線：，以為圓心，5為半徑的圓被拋物線的準線截得的弦長為8．（1）求拋物線的方程；（2）過點的兩條直線分別與曲線交于點A，B和C，D，且滿足，，求證：線段的中點在直線上．2．（2022·和平模擬）已知點M是橢圓C：上一點，，分別為橢圓C的上、下焦點，，當，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設過點的直線和橢圓C交于兩點A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標原點）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.3．（2022·齊齊哈爾模擬）已知點F為拋物線的焦點，點在拋物