組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期

《組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)舊知回顧計(jì)算證明（過(guò)度）：在組合數(shù)的運(yùn)算、化簡(jiǎn)和證明過(guò)程中，除了直接使用組合數(shù)公式外，還有與組合數(shù)有關(guān)的一些性質(zhì)，這節(jié)課我們就來(lái)研究組合數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)。組合數(shù)的性質(zhì)一問(wèn)題1：某班有8名籃球運(yùn)動(dòng)員，從中選取5人參加比賽，有多少種不同的選法？從中選3人不參加比賽，有多少種不同的選法？思考：這兩個(gè)組合數(shù)有什么聯(lián)系？（教師用組合數(shù)的意義推出性質(zhì)一）：這是一種巧合嗎？還是所有的情況都是如此？再舉一個(gè)例子，從這8人中選6人參加比賽，選法數(shù)是C86，從8人中選2人不比賽，選法數(shù)是C62，計(jì)算一下，這兩個(gè)組合數(shù)也相等。實(shí)際上，從8人中選5人參加比賽，就等于選3人不參加比賽，這兩個(gè)問(wèn)題計(jì)算的是同一件事，那么他們的組合數(shù)就相等。選6人參加比賽，就等于選2人不參加比賽，兩個(gè)問(wèn)題計(jì)算的是同一件事。同樣的道理，從8個(gè)元素中選m個(gè)符合條件的，就等于選8等式的特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)。這個(gè)性質(zhì)也叫作對(duì)稱性。性質(zhì)的作用：這條性質(zhì)的作用就是當(dāng)上標(biāo)超過(guò)下標(biāo)的一半時(shí)，可以化簡(jiǎn)計(jì)算。比如計(jì)算C119比較繁瑣，但是計(jì)算C112就很簡(jiǎn)單了。大家來(lái)計(jì)算組合數(shù)公式證明：下面我們用組合數(shù)公式來(lái)證明這個(gè)性質(zhì)。組合數(shù)的性質(zhì)一例題例1（1）計(jì)算C20222011（多選）C20A.4B.5C.6D.7跟蹤訓(xùn)練1（1）若CnA.1B.11C.50D.55若C183n+6=組合數(shù)的性質(zhì)二問(wèn)題2：某班有8名籃球運(yùn)動(dòng)員，若這8名運(yùn)動(dòng)員中還有1名體育委員，依然選取5人參加比賽，有多少種不同的選法？觀察反思：觀察這個(gè)等式，右邊兩個(gè)組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，他們的和等于一個(gè)新的組合數(shù)，下標(biāo)加1，上標(biāo)取大數(shù)。這個(gè)等式也是一個(gè)巧合嗎？我們?cè)倥e一個(gè)例子，袋子里有n個(gè)不同的白球，1個(gè)黑球，從這些球中取m個(gè)球，有多少取法？第一種方法，由于取的m個(gè)球沒(méi)有限制顏色，所以我可以隨便取，組合數(shù)就是Cn+1m。第二個(gè)方法，考慮球的顏色，如果黑球被取到了，取法數(shù)是Cnm?1，如果黑球沒(méi)被取到，取法數(shù)是Cnm得出結(jié)論：這是組合數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)，與性質(zhì)一一樣，等式兩邊是對(duì)同一問(wèn)題的不同計(jì)算方法，所以左右相等。等式的特點(diǎn)：相加的兩個(gè)組合數(shù)下標(biāo)相等，上標(biāo)是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，和等于一個(gè)組合數(shù)，下標(biāo)加1，上標(biāo)取大數(shù)。性質(zhì)的作用：這條性質(zhì)用于化簡(jiǎn)計(jì)算，以及等式的證明。例如C組合數(shù)公式證明：下面我們用組合數(shù)公式來(lái)證明這個(gè)性質(zhì)。組合數(shù)的性質(zhì)二例題例2（1）已知m≥A.1B.mC.m+1D.0C40+A.C20202B.C20213C.延伸探究：若將式子換成C4跟蹤訓(xùn)練2：（1）若Cn+17C實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例3在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產(chǎn)品中任意抽3件有多少種不同的抽法？