高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (60)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（60）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共13小題，共65.（）分）

1.正三棱柱ABC-aB1C1的所有頂點(diǎn)均在表面積為87r的球。的球面上，AB=5則當(dāng)?shù)狡矫?/p>

aBC的距離為（）

A.1C.竽D.V3

2.已知正三棱柱ABC-&aG的底面邊長(zhǎng)為3,外接球表面積為16兀，則正三棱柱ABC-&B1G的

體積為（）

A.苧B—7D?學(xué)

?2

3.a,/?為兩個(gè)不同的平面，m,n為兩條不同的直線，下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（）（1）若〃/0,mc

a中,則TH〃夕;

(2)若m〃a,nua中,則？n〃n；

(3)7n1a,ml。，n1a,則nl/?；

(4)若m〃a,a10,則ml/?.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.如圖，在三棱錐P-ABC中，BC1平面PAC,PA1.AB,PA=AB=4,

且E為PB的中點(diǎn)，4FLPC于F,當(dāng)AC變化時(shí)，則三棱錐P-4EF體

積的最大值是（）

A考

B.V2

C.竽

D-竽

5.在三棱錐力—BCD中，AB=BC=CD=DA=出，BD=25二面角/一8?！狢是鈍

角,若三棱錐A-BCD的體積為2.則三棱錐A-88的外接球的表面積是（）

B.%rC,左兀

A.\2nD.13萬

34

6.某幾何體的三視圖，如圖，則該幾何體的體積為（）

正住）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.3B.4C.5D.6

7.如圖，梯形ABC。中=AB=1,AD=A__________D

45。，將△ABD沿對(duì)角線BQ折起，設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為點(diǎn)4,/

且平面AB。_L平面BC。，則下列結(jié)論正確的是（）/

A.A'D1BCB.三棱錐A-BCD的Bc

體積為辿

2

C.CD〃平面48。D,平面力'8C，平面AOC

8.如圖，正方體4BCD-4B1GD1的棱長(zhǎng)為1,線段aD1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,且后尸=點(diǎn)則下列結(jié)

論中正確的個(gè)數(shù)為（）

①AC1BE;

②EF〃平面ABCD；

③三棱錐A-BEF的體積為定值；

④國(guó)力EF的面積與團(tuán)BEF的面積相等.

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，在矩形48CZ）中，AB=3,40=2,點(diǎn)E為CZ）的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CE（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)

點(diǎn)，現(xiàn)將ADAF沿AF折起，使得平面4BD，平面A8C,則當(dāng)直線FD與平面A8CF所成角取得

最大時(shí)，點(diǎn)。到平面A8C的距離為（）

A.I

10.3。打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來實(shí)現(xiàn)的.常在模具制

造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，后逐漸用于一些產(chǎn)品的

直接制造.該技術(shù)在珠寶、鞋類、工業(yè)設(shè)計(jì)、建筑、工程和施工、

汽車、航空航天、牙科和醫(yī)療產(chǎn)業(yè)、教育、地理信息系統(tǒng)、土

木工程，槍支以及其他領(lǐng)域都有所應(yīng)用.某校組織學(xué)生到工廠勞

動(dòng)實(shí)踐，利用30打印技術(shù)制作如圖所示的模型，該模型為在圓

錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分（正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐

母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上），圓錐的底面直徑和高都等于2（e+l）cm,打印所用原料密

度為lg/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（）（取幾”3.14,參考數(shù)據(jù):

(V2+1)3?14.07>(V2+1)2?5.83-精確到。1)

A.21.5gB.30.7gC.45.6gD.55.3g

11.如圖是某幾何體的三視圖，其中俯視圖為等邊三角形，正視圖為等腰

直角三角形，若該幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的

體積與該幾何體的體積的比為（）

A.?

「28元

C14歷r

?9

D.y

12.已知直線平面Q,0,y,給出下面四個(gè)命題:

a邛a//p

①aJLy}=￡//y②a//y}=B〃丫

llmm//a

（3）11n）=>m//n（4）m//n}nn//a

其中正確的命題是（）

A.①B.②C.③D.@

13.如圖，在圓錐SO中，A8,CD為底面圓的兩條直徑，ABCCD=0,

且AB1CD,SO=0B=3,SE=-SB.,異面直線SC與OE所成角

4

的正切值為（）

A.亨

BT

C13

c暮

D.半

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

14.如圖,則（）

A.直線BDi，平面

B.三棱錐P-4的0的體積為定值

C.異面直線AP與&D所成角的取值范圍是45。30490。

D.直線GP與平面&G。所成角的正弦值的最大值為亨

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

15.如圖，在正方體ABCD-&B1GD1中，點(diǎn)。為線段BD的中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P在線段CCi上，直線OP

與平面&BD所成的角為a,則sina的最小值____,最大值

16.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=2,E為邊A8的中點(diǎn).將△力DE沿。E翻折，得到四棱

錐A-OEBC.設(shè)線段4C的中點(diǎn)為M,在翻折過程中，有下列三個(gè)命題：

①總有BM〃平面占0E；

②三棱錐C-&DE體積的最大值為邛；

③存在某個(gè)位置，使OE與41c所成的角為90。.

其中正確的命題是.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

17.如圖，已知正方體4BCO-48也1。1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐&一

BB15。的體積為.

18.a,乩c,表示直線，M表示平面，給出下列四個(gè)命題:

①若可/M,b//M,貝Ua〃b；

②若buM,a//b,則”/M；

③若Q1c,b1c,則。〃b；

④若Q_LM,d1M,則Q〃力.

其中正確命題的序號(hào)是（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）.

四、解答題（本大題共12小題，共144.0分）

19.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,ZDAB=90°,AD=DC=：AB=1,四邊形ACFE為正方形,

平面ACFE1平面ABCD.

（1）求證：平面BCFJ■平面ACFE；

（2）點(diǎn)例在線段E尸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M使平面AMB與平面ACFE所成二面角的平面角的余

弦值為|,若存在，求線段FM的長(zhǎng)，若不存在，說明理由.

20.正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,將它沿平行于8C的線段PQ折起（其中P在邊AB上，Q在AC邊上

）,使平面APQJ■平面BPQC.D,E分別是P。，BC的中點(diǎn).

AA

(I)證明：PQ1平面AOE；

(n)若折疊后，A,8兩點(diǎn)間的距離為4,求d最小時(shí)，四棱錐A—PBCQ的體積.

21.如圖①，在平行四邊形ABCQ中，BD1CD,BE±AD,將△ABD沿對(duì)角線8。折起，使AB1BC,

連接AC,EC,得到如圖②所示的三棱錐4-BCD.

(1)求證：8￡_1平面43仁

(2)若ED=L二面角C-BE-D的平面角的正切值為遙，求直線BQ與平面AOC所成角的正

弦值.

22.如圖，在幾何體ABCOE中C0〃4E,Z.EAC=90°,平面E4C0J_平面ABC,CD=2,EA=1,AB=

AC=2,BC=2V3，尸為的中點(diǎn).

(1)證明：EF〃平面ABC；

(2)求直線AB與平面BOE所成角的正弦值.

23.如圖，在直三棱柱中，。是BC上的一點(diǎn)，AB=AC,且4。1BC.

(I)求證：QC//平面力Bi。；

(口)若ZB=BC=AAj=2,求點(diǎn)4到平面AB/的距離.

24.如圖，在四棱錐P—4BCD中，PAIJgffiABCD,底面ABC。為平

行四邊形，ABA.AC,且PA=4B=3,AC=2,E是棱PD的中

(I)求證：PB//nAEC-,

(II)求直線PC與平面4EC所成角的正弦值；

(HI)在線段PB上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)使得二面角M-AC-E的余弦值為嚕？若存在,

確定”的位置；若不存在，說明理由.

25.在如圖所示的五面體A8CDEF中，四邊形ABC。為菱形，且ZD4B=60。，EA=ED=AB=

2EF=2,EF//AB,M為BC的中點(diǎn).

⑴求證：FM〃平面BDE;

(2)若平面40E_L平面ABCD,求點(diǎn)F到平面BDE的距離.

26.如下圖，點(diǎn)C是以A8為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)(異于A,B),已知4B=2,AE=小，四邊形BEDC

為矩形，平面ABC，平面BCDE.設(shè)平面EAD與平面ABC的交線為I.

(1)證明：IACD；

(2)當(dāng)三棱錐力一BCE的體積最大時(shí)，求平面AOE與平面48c所成的銳二面角的余弦值.

27.如圖，四棱錐P-4BCD中，/.ABC=乙BAD=90",BC=2AD,4P4B和/P4O都是等邊三角形。

⑴求證：平面P4B平面PCD；

(2)設(shè)Q為PC中點(diǎn)，求QB與平面尸48所成角的正弦值。

28.如圖，在多面體ABCDE尸中，四邊形ABCO是正方形，BF1平面ABC。，DE1平面ABCD,BF=

DE,M為棱AE的中點(diǎn).

(1)求證：平面BDM〃平面EFC;

(2)若4B=1,BF=2,求二面角A-BD-M的正切值.

(3)若4B=1,BF=2,求三棱錐A-CEF的體積.

29.如圖，已知P是平行四邊形ABC。所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn);

Pk

(1)求證：MN〃平面PAD

(2)在PB上確定一點(diǎn)Q,使平面MNQ〃平面PAD.

30.從①打=2冠，②G是PB的中點(diǎn)，③G是APBC的內(nèi)心三個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下

面問題中，并完成解答:在四棱錐P-4BC。中，底面A8CO是矩形,PD_L底面ABC。且PC=1,

AB=遮，AD=2,E,尸分別為PC,8。的中點(diǎn).

(1)判斷E尸與平面PAD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若G是側(cè)面P8C上的一點(diǎn)，且________,求三棱錐

G—OCE的體積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題主要考查球的表面積、棱錐的體積及點(diǎn)到面的距離，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析

問題與解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用球表面積公式求得半徑，再利用等體積法結(jié)合正三棱柱結(jié)構(gòu)求得答案.

解：由已知可求得球。的半徑r=V2,側(cè)棱=2J(V2)2-1=2>

設(shè)當(dāng)?shù)狡矫?18c的距離為h,

V

由/1-&BC=C-AZBXB,得：x[x2x遮x|=[x]xV^xJ7-(曰)xh)

解得九=|.

故選B.

2.答案：D

解析：

本題考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，考查正三棱柱、球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

由題意畫出圖形，求出正三棱柱外接球的半徑，進(jìn)一步求得高，代入棱柱體積公式求解.

解：如圖，取△ABC的重心E,△4道1。1的重心E],取4C中點(diǎn)。，

則EE]的中點(diǎn)。是該正三棱柱外接球的球心，0A為球半徑,

???外接球表面積為16兀，

OA2=—=4,則。4=2.

又正三棱柱4BC-4B1G的底面邊長(zhǎng)為3,

AE=-

則正三棱柱ABC-AiBiQ的高為2.

?'?匕8C-A1JC1=\X3x3XyX2=竽.

故選D

3.答案：B

解析：

本題考查空間中線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)

算求解能力.對(duì)(1)利用面面平行的性質(zhì)；對(duì)(2)小，〃可能異面；對(duì)(3)利用線面垂直的性質(zhì)可得正確；

對(duì)(4)加可能平行仇

解：對(duì)(1),利用面面平行的性質(zhì)可得m〃0,故(1)正確；

對(duì)(2),若m〃a,nua中，則m〃n或機(jī)，”異面，故(2)錯(cuò)誤；

對(duì)(3),7m1a,n1a,m//n,又rm13，In1/7,故(3)正確；

對(duì)(4),若m〃a,a10,則機(jī)〃口也可能成立，故(4)錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的命題有2個(gè).

故選B.

4.答案：C

解析:

本題著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、空間幾何體的體積，屬于中檔題.

等腰RtZiPAB中，算出4E=PE=BE.由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB1面AEF,得PB，E凡在

Rt△力EF中，算出AF、EF,可得S-EF，利用三角函數(shù)知識(shí)，即可得出答案.

解：在Rt△PAB中，PA=AB=4,:.PB=4夜，

???E為P8的中點(diǎn)，所以451「8,；./^=[/?8=2近，；.「后=8后=2企.

因?yàn)锽C1平面P4C,AFu平面P4C可得4F1BC,

5LAF1PC,BCQPC=C,AFl￥ffiPBC,

PBu平面P8C,4FJ.PB,4E_LPB且AEnAF=4,

PB_L面AEF,結(jié)合EFu平面AEF,可得PB1EF.

???AF，平面PBC,EFu平面PBC.；.AF1EF.

Rt△AEF^,設(shè)NE.4Fn>AF=2\l2cosa>EF=2>/2sina

11r-L

S“EF=,4/?E尸=2x2v2xsinax2y/2cosa=2sin2a

??.當(dāng)s沅2a=1,即a=45。時(shí)，S—E尸有最大值為2,

此時(shí)4F=2,^APC=30°,AC=—,

3

此時(shí)，三棱錐P-4EF的體積的最大值為三x2x2或=延.

33

故選C.

5.答案：D

解析：

本題考查三棱錐外接球表面積的求解問題，涉及到三棱錐體積的應(yīng)用;解題關(guān)鍵是能夠通過將三棱錐

補(bǔ)為長(zhǎng)方體，通過求解長(zhǎng)方體的外接球來求得結(jié)果.

取8。的中點(diǎn)O,可得N710C為二面角4-BD-C的平面角且8。L平面40C;利用三棱錐.4-BCD體

積可構(gòu)造方程求得AC,將三棱錐4-BCD補(bǔ)為長(zhǎng)方體BMDG-HC凡4,則長(zhǎng)方體外接球即為三棱錐

的外接球，通過求解長(zhǎng)方體外接球表面積即可得到結(jié)果.

解：如圖(1),取的中點(diǎn)O,連接A。，CO,

vAB=BC=CD=DA,：.AO1BD,CO1BD,

.??乙40C為二面角A-BD-C的平面角，BD_L平面AOC.

取AC的中點(diǎn)E,連接0E,設(shè)4c=2a,

在△AOC中，AO=OC=\f7^3=2,.e*OE1AC

則。E=V22—a2=>/4—a2,

111

：■VA-BCD=yS/noc?BD=~x—xi4CxOExBD

=ix2V3x2axV4-a2=2,

6

化簡(jiǎn)得：a4-4a2+3=0,解得：。=遮或。=1,

當(dāng)a=l時(shí)，Z.AOC=60°,不合題意，舍去，［4C=26.

如圖(2),把三棱錐4一8。。補(bǔ)形成長(zhǎng)方體3時(shí)。6-“。尸4使三棱錐A-BCD的各棱分別是長(zhǎng)方體的

面對(duì)角線，

則三棱錐4-BCD的外接球即為長(zhǎng)方體BMDG-HCF4的外接球.

(x2+y2=(2V3)2(x=V6

設(shè)BM=x,BG=y,BH=z,則《產(chǎn)+22=(夕)2,解得：)=

(y2+z2=(77)2lz=1

???外接球的直徑為AM=yjx2+y2+z2=V13.

四面體ABCD外接球的表面積為S=4兀x芋=137r.

故選。.

6.答案：C

解析：

本題主要考查空間幾何體的三視圖，屬于一般題.解題關(guān)鍵是還原幾何體。

解析：

解：本題的幾何體由一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱柱構(gòu)成

V=lx2x2+lxlx"2=5,

故選c.

7洛案：D

解析：

本題考查線段垂直的判定和性質(zhì)，面面垂直的判定和性質(zhì)，棱錐的體積公式.

設(shè)B3的中點(diǎn)為E,連接AE,對(duì)于4:由4'D_LBC可得出BC1BC,與"BD=45。矛盾;對(duì)于B:可得

三棱錐4-BCD的體積為五;對(duì)于C:可得CD，平面4BD;對(duì)于D:由面面垂直的判定可得出平面4BC±

6

平面40C.

解：設(shè)8。的中點(diǎn)為E,連接AE,如圖所示，

對(duì)于A,因?yàn)锳B=A'D,所以AE1BD,又平面ABD1平面BCD,

則4E1平面BCD,A'E1BC,

若A'DJLBC,A'DCtA'E=A',則BC_L平面ABO,

所以BC1BD,與4CBD=45。矛盾，故A錯(cuò)誤；

,

對(duì)于&VA.-BCD=\S^BCD-?lE=|xixV2xV2x^=^,故B錯(cuò)誤;

55ZLO

對(duì)于C,因?yàn)閆'El平面BCD,則力'ElCD,

又CDLBD,A'EOBD=E,所以CD1平面4'BC,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由C知CO_L平面A'8。，4'8<3平面48。，貝UCOlA'B,

又A'B1A'。，A'DnCD=D,

所以4'B，平面4DC,又4Bu平面ABC,

所以平面ABC_L平面4DC,故。正確.

故選￡>.

8.答案：C

解析:

本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，涉及到空間位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

連結(jié)B。，則AC1平面BD〃B、D\,點(diǎn)A、B到直線當(dāng)久的距離不相等，由此能求出結(jié)果.

解：連結(jié)8D,則AC_L平面BD“B[Di，

.■.AC1BE,EF/mABCD,三棱錐力-BEF的體積為定值,

從而A,B,C正確.

???點(diǎn)A、B到直線81。1的距離不相等，

4EF的面積與48EF的面積不相等，

故。錯(cuò)誤，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選C.

解析：

【試題解析】

本題考查線面角取最大值的點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題.

在矩形48C。中，過點(diǎn)。作AF的垂線交AF于點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)M,連接設(shè)CF=x(0<x<1.5),

AM=y,由△DAMs/iFZM,推導(dǎo)出y=/，由0<x<1.5得g<y<會(huì)在翻折后的幾何體中，推

導(dǎo)出DMJL平面ABC,貝叱MFD是直線尸。與平面ABC尸所成角，設(shè)NMFD=。，由此能求出。最大值

時(shí)D到平面ABC的距離.

解：如圖，在矩形A8CD中，過點(diǎn)。作AF的垂線，交AF于點(diǎn)0,交AB于點(diǎn)M,連接FM,

設(shè)CF=x(0<x<1.5),AM=y,

DF//AM,四邊形ABC。是矩形，AFLDM,

DAM^^FDA,—=—,y=AM=

ADDF/DF3-X

48

0<x<1.5,：.-<y<-,

3，3

在翻折后的幾何體中，

■■■AF1OD,AF1OM,ODdOM=0,OD、OMu平面ODM,

AF1平面ODM,

又AFu平面ABC,.?.平面ODM_L平面ABC,

又平面ADB_L平面ABC,平面408n平面。DM=DM,

DM_L平面ABC,

則NMFD是直線尸。與平面ABCF所成角，設(shè)zMFD=6,

________4

DM=y/AD2-AM2=J4-y2,DF=3—x=-,

???sin。=黑=:y,4_y2=^4y2-y4=^4-(y2-2)2,

???費(fèi)”2＜弟...當(dāng)/=2時(shí)，sin。取到最大值，最大值為也

???當(dāng)直線與平面ABCF所成角取得最大時(shí)，點(diǎn)。到平面A8C的距離為近.

故選C.

10.答案：A

解析：

本題主要考查了圓錐的體積公式，正方體的體積公式，屬于較難題.畫出圖形，由三角形相似可得各

長(zhǎng)度，利用體積公式可得體積，進(jìn)而得出所需材料質(zhì)量.

解：如圖，

設(shè)被挖去的正方體的棱長(zhǎng)為xcm,由（半）軸截面中的直角三角形相似，即回PBF相似于回HBC,

由“C=&+1，HB=2(V2+1),HG=PF=晉，HP=x,

唬嚕得熹=噂等

解得x=2.

則該模型的體積V3.14x(V2+I)2x2(V2+1)-23k21.45cm3,

所以制作該模型所需材料質(zhì)量約為m=Vp^21.45x1?21.5g.

故選A.

11.答案：C

解析：

本題考查球的表面積的求法，三視圖的認(rèn)識(shí)，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的

培養(yǎng).

根據(jù)三視圖求解外接球的半徑，可得球的體積，求解三視圖體積，即可得結(jié)論.

解：由題意，俯視圖為等邊三角形，正視圖為等腰直角三角形，

設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,可得幾何體的體積為U=3x±x立axa=@a3.

32212

根據(jù)三視圖，等邊三角形的外接圓半徑r=/.設(shè)三視圖的外接球的半徑為R,

圓心與球心和等邊三角形的頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，

可得：G）2+，=R2,=

球的體積U=±兀R3=斗.

318V3

球的體積與該幾何體的體積的比為：咚一^a3="兀.

18遍129

故選C.

12.答案：B

解析：解：①;：/}=/?〃了不正確，可能口■1?/，比如墻角存在相互垂直的三個(gè)平面；

@a//Y}=0〃y正確，由面面平行的公理可得；

③/設(shè)}=也〃兀不正確，可能“，〃相交或異面；

④m〃n}=n〃a不正確，可能nca-

故正確的為②.

故選：B.

由墻角存在相互垂直的三個(gè)平面，可判斷①；運(yùn)用面面平行的傳遞性，可判斷②；

由線線的位置關(guān)系，可判斷③；由線面平行的性質(zhì)和線面位置關(guān)系，可判斷④.

本題考查空間線面的位置關(guān)系的判斷，注意運(yùn)用面面平行和垂直的性質(zhì)、線面平行和線線平行、垂

直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：D

解析：解：如圖，過點(diǎn)S作S/7/0E,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則NCS尸即為異面直線SC與0E所成

的角,

■.■SE=^SB,.：SE=\BE,

又OB=3,???OF=：0B=1,

SO1OC,SO=OC=3,???SC=3^2;SO1OF,SO=3,OF=1,，SF=

V10;OC1OF,OC=3,OF=1,CF=V10,

J（同A（乎TVu

???等腰△SC尸中，tan4CSF=T，一“，—-------

3V2-3

故選：D.

可過點(diǎn)S作S/7/0E,交AB于點(diǎn)八并連接CF,從而可得出NCSF為異面直線SC與OE所成的角,

根據(jù)條件即可求出SC=3V2,SF=CF=V10,這樣即可得出tan/CSF的值.

本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角的關(guān)系，正切函數(shù)的定義，平行線分

線段成比例的定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：ABD

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，異面直線成角，線面角等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

在4中，由B51&C1，同理是由判定定理得結(jié)論；在8中，B1C〃平面為口。，三棱

錐P的體積為定值；在C中，當(dāng)P與Bi重合時(shí)，直線A尸與成角柒當(dāng)尸為&C的中點(diǎn)時(shí)，

直線AP與4。成角為今直線AP與所成角的取值范圍是［60。,90。］,故C不正確；在。中，由

點(diǎn)點(diǎn)P到平面4GD的距離求線面角.

解：在A中，連接反。1，則BDi在平面力1B1C15的投影為B15,41cl_13也,

BD11&G，

同理是BDi1Dj

乂4iGnDC】=G，

.??直線BD1_L平面&G。，A正確；

vBrC//ArD,8修。平面416。,4。0：平面416。,

???BiC〃平面4GD,

Ap到平面4G。的距離是定值，

三棱錐P-46。的體積為定值，故B正確；

在C中，當(dāng)戶與當(dāng)重合時(shí)，直線AP與4D成角g,當(dāng)P為&C的中點(diǎn)時(shí)，直線AP與4。成角為今.?.直

線4P與4O所成角的取值范圍是［60。,90。］,故C錯(cuò)誤；

在。中，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為力，

力1-4CM=^D-AC1B1=,X5XlXlXl=w=,xfx(V2)Xfl，

.?.九=爭(zhēng)當(dāng)點(diǎn)P為8傳的中點(diǎn)時(shí)，直線GP與平面所成角的正弦值的最大值為圣故。正確.

故選：ABD.

15.答案：且；1

3

解析：

【試題解析】

此題考查正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系，線面角的求法，考查推理能力，屬于中檔題.

由題意，直線。尸與平面aBD所成的角a的最小值為和中的最小者，然后利用正方體

的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系，求出sina的取值范圍，再確定其最值

因?yàn)?DLAC.BDlAA^ACoAA1=A,

AC、AATu平面ACCI人,

所以801平面4CCi4,

又BDu平面&BD,

所以平面力//)_L平面ACG4,

所以直線0P與平面&BD所成的角a的最小值為乙40%和中的較小者,

不妨設(shè)4B=2,

AA_2_V6

在RtEMOAi中，sin乙4。&t

A10x/2z+23

sinz.C1OA1=sin(7r-2Z71041)=sin2z7104i

=2sin4A0Ai?cosZ-AOA1

=2*匹乂巫=咨＞量,

3333

所以sina的取值范圍為[等,1],

所以sina的最小值為華，最大值為1,

3

故答案為華；1.

3

16.答案：①②

解析：

本題考查命題的真假的判斷，直線與平面平行，直線與平面垂直以及幾何體的體積的最值的求法，

屬于難題.

利用直線與平面平行的判定定理判斷①的正誤；求出棱錐的體積的最大值，判斷②的正誤；利用直

線與平面垂直判斷③的正誤；

解析：

解：取。C的中點(diǎn)為F,連結(jié)FM,FB,

可得M/〃右。,

又MFC面4DE,ArDu面4CE,

所以MF〃面&DE,

同理BF〃面&DE,

又BFCiMF=F,BF,MFu平面M8F,

可得平面MBF〃平面&DE,

又BMu平面MBF,

所以BM〃平面&DE,所以①正確；

當(dāng)平面40E與底面ABC。垂直時(shí)，三棱錐C-n/E體積取得最大值，

易知AD=AE=2,44=90°,

所以DE=2近，

同理CE=2近，

所以UE?+OE2=CD?=16,即DEJ.CE,

因?yàn)槠矫?DE1底面A8CD,且交線為DE,CEu平面A8CD,

所以CE1面AiDE,

所以三棱錐C一體積最大值=ixi/ljDx&ExEC=gx[x2x2x2&=等,

所以②正確.

假設(shè)存在某個(gè)位置，使DE與4c所成的角為90。.

因?yàn)镃E_LEC,CE14C,ECn&C=C,EC,4傳u平面&EC,

所以DE1平面&EC,

又&Eu平面&EC,

可得OEJ.&E,即AEJ.OE,矛盾，

所以③不正確.

故答案為：①②.

17.答案：1

解析：

本題考查幾何體體積的求法，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.求出四棱錐的底面面積與高，然后

求解四棱錐的體積.

解：由題意可知四棱錐&-BBiDiD的底面是矩形，邊長(zhǎng)分別為1和近，

則四棱錐為一BB也。的體積為：|xlxV2x^=|

故答案為：

18.答案：④

解析：解：由a,h,c表示直線，M表示平面，知：

①若a〃M,b//M,則〃與6平行、相交或異面，故①錯(cuò)誤;

②若buM,a//b,則a〃M或auM,故②錯(cuò)誤；

③若a_Lc,blc,則〃與匕相交、平行或異面，故③錯(cuò)誤；

④若a_LM,blM,則由直線與平面垂直的性質(zhì)得a〃上故④正確.

故答案為：④.

利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).

19.答案：(1)證明：在梯形A8CC中，

因?yàn)锳B〃CD,AD=DC=1,/.ADC=p所以AC=企，

又因?yàn)?8=2,取A8中點(diǎn)尸，連接PC,則。。=1,PB=1,易知BC=a，

所以力”=AC2+BC2,

所以BC14C.

因?yàn)槠矫鍭CFE1,平面ABCD,平面4CFECI平面4BC0=AC,BCu平面ABCD,

所以BC平面ACFE,又BCu平面BCF.

所以平面BCF，平面ACFE；

(2)由(1)可建立分別以直線CA,CB,CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

令FM=/l(0W44V2).則C(0,0,0),V2,0,0),F(0,V2,0).M(1,O,V2).

所以n=(-A/2,V2,0)>AM=V2,0,V2)>

設(shè)汨=(%y,z)為平面MAB的一個(gè)法向量,

由(元.9=0得](入-V2)X+V2z=o

〔近?=0I-y/2x+y[2y=0

取x=V2>則n1=(V2,V2,V2-4)，

因?yàn)镋=(0,1,0)是平面ACFE的--個(gè)法向量,

設(shè)平面MAB與平面ACFE的夾角為。，

虧對(duì)V22

所以coseI

l?hll^|12+2+(戊"/XIJ(A->/2)2+43,

可得；t=士，即FM=」

22

解析：本題給出特殊多面體，求證線面垂直并探索二面角的大小問題.著重考查了線面垂直、面面

垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題.

⑴由題意證出BC14C,由平面ACFE1平面ABC。，證出BC1平面AC尸E,結(jié)合面面垂直的判定定

理即可證出平面BCFJ_平面ACFE；

(2)建立分別以直線CA,C3,CF為x軸,y軸,z軸的如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令FM=4(0W4WV2).

求出面MA8的一個(gè)法向量：扇=(V2,V2,V2-A).因?yàn)镽=(0,1,0)是平面ACFE的一個(gè)法向量，

n|n7-nj|V22L

由cos"百曠Ni",可得FM=乎

20.答案：證明：(/)連接A。，DE,AE,

在A4PQ中，AP=AQ,。是PQ的中點(diǎn)，所以4DJ.PQ.

又因?yàn)镼E是等腰梯形BPQC的對(duì)稱軸，所以DE1PQ.

而4。ROE=。，所以PQ1平面AOE.

解：(〃)因?yàn)槠矫鍭PQ1平面8PQC,AD1PQ,所以4。1平面尸BCQ,Q

連結(jié)BD,則d2=AD2+BD2.--------7C

設(shè)OE=9a-x(E為BC的中點(diǎn))，歡，

=DE2+BE2=(ya-x)2+^a2.

d2=x2+BD2=x2+DE2+BE2=/+(當(dāng)a—x)2+^a2=2(x-^a)2+|a2>

當(dāng)久=fa時(shí);dmin=半a?

此時(shí)四棱錐A-PBCQ的體積為:xS梯形PBCQx4。=：x超+a)x苧axfa=條3.

解析：(/)連接A。，DE,AE,可證4C1PQ,DELPQ,從而可證PQ_L平面AOE.

(〃)設(shè)AD=x,。七=亨。一雙后為死的中點(diǎn))，則計(jì)算可得d2=2(%-產(chǎn)。/+次，從而可得d何

時(shí)最小并能求得此時(shí)四棱錐4-PBCQ的體積.

線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內(nèi)且線

垂直于兩個(gè)平面的交線.立體幾何中的最值問題應(yīng)選擇合適的變量，再根據(jù)條件得到目標(biāo)函數(shù)，最

后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到最值.

21.答案：證明：(1),??在平行四邊形4BCO中，BD1CD,：.BD1.AB,

在三棱錐A-BCD中，因?yàn)閆B1BC,BCCBD=B,BC、BDu平面BCD,

AABJ_平面BDC,

vCDu平面BDC,AB1CD,

■：CDLBD,ABCtBD=B,AB.BOu平面ABO,

???CDJ_平面ABD,

vBEu平面ABD,:.BE±CD,

???BE1AD,ADCtCD=D,AD,CDu平面AC。，

BE，平面ADC.

解:(2)由(1)知BE_L平面4OC,

因?yàn)镋Cu平面ADC,所以BE_LEC,

乂BE1ED,所以zDEC即為二面角C—BE-D的平面角，即tan/OEC=遍.

因?yàn)镃O，平面ABD,ADu平面AB。，

所以CD_LAD,

故tanz_DEC=*=V6,

又ED=1,所以4B=CD=瓜

在平行四邊形ABC。中，乙ADB=LDBC,乙BED=LBDC=90°,

所以△DEB*BDC,則重=黑，

設(shè)BD=m(m>0),貝ijBC=Vm24-6,

故5=7^，解得加=6，

所以BO=V3,BC=3.

過點(diǎn)D作。?〃48,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以而，覺，前的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則。(0,0,0),yl(V3,0,V6).C(0,V6,0),B(V3,0,0),

所以方=(百,0,通)，DC=(0,V6,0),~DB=(V3,0,0)，

設(shè)平面4OC的法向量為元=(x,y,z),

ll!，fn-DA-V3x+V6z=0

1n?DC-V6y=0

令z=-顯,得元=(2V3,0,-V6),

設(shè)直線BZ>與平面ADC所成角為仇

^sin3=\COs<DB,五>|=蠲^而隔=爭(zhēng)

即直線8。與平面AOC所成角的正弦值為軍.

3

解析：本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)推導(dǎo)出4B1BD,AB1BC,從而4B_L平面BDC,進(jìn)而481CD,CDJ_平面ABD,BE1CD,

再由BELAD,能證明BE1平面AOC.

(2)由BE1CE,BE1DE,可得“EC即為二面角C-BE-D的平面角，由其正切值為后，且ED=1,

可得CO=通，利用△DEBsaBDC,可解得BO=百，BC=3.過點(diǎn)。作DF〃4B,以。為原點(diǎn)，以

而，尻，麗的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線

與平面ADC所成角的正弦值.

D

證明：（1）取BC中點(diǎn)G,連接FG,

AG,

又???F為BO的中點(diǎn)，CD=2EA,CD//AE,

???FG=1CD=EA,S.FG//AE,

???四邊形AGFE是平行四邊形，

EF//AG,

而且EFC平面ABC,AGu平面ABC,

：.￡77/平面ABC；

解：(2)???^EAC=90°,平面EACD_L平面ABC,平面EACDn平面ABC=AC,EAu平面EACD,

EA_L平面ABC,

由(1)知IFG〃/IE,FG1平面ABC,

又?.?2B=AC,G為BC中點(diǎn)，

二AG1BC,

如圖，以GA,GB,GF所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),B(0,V3,0).D(0,-V3,2)，E(l,0,1),

AB=(-1,73,0).BD=(0,-2V3,2)，BE=(1,-V3,1)-

設(shè)平面BDE的法向量為元=(x,y,z),

則巧?曳=。,即9=。，

(五?BE=0(x—v3y+z=0

令y=l,得元=(0,1,6)，

???直線AB與平面班加所成角的正弦值為繇=乎

解析：本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)取8c中點(diǎn)G,連接尸G,4G推導(dǎo)出四邊形AGFE是平行四邊形，從而EF//AG,由此能證明EF〃

平面ABC；

(2)推導(dǎo)出瓦4上面ABC,FG_L平面ABC,AG1BC,以GA,GB,GF所在直線為x,y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A8與平面2CE所成角的正弦值.

23.答案：解：(/)如圖，

連接8必，交于點(diǎn)E,再連接。E,

據(jù)直棱柱性質(zhì)知I,四邊形4BB14為平行四邊形，E為4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn),

?.?當(dāng)ZB=4C時(shí)，1BC,二。是BC的中點(diǎn)，DE〃&C,

又DEu平面也0,ArCC平面ABD:.41c〃平面48也

(〃)如圖，

在平面BCG當(dāng)中，過點(diǎn)B作BF_LBiD,垂足為尸，

???。是BC中點(diǎn)，.?.點(diǎn)C到平面AB］。與點(diǎn)B到平面AB］。距離相等，

???&C〃平面4B1D,.?.點(diǎn)&到平面4勺。的距離等于點(diǎn)C到平面ABm的距離，

BF長(zhǎng)為所求，在RtgB。中，BD=1,BBr=2,B1D=相,二BF=親=學(xué),

???點(diǎn)A到平面4/。的距離為卓.

解析：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空

間思維能力的培養(yǎng).

(/)利用幾何關(guān)系可證得CE〃&C,然后利用線面平行的判斷定理即可證得&C〃平面4BQ

(〃)由題意首先確定點(diǎn)4到平面的距離為點(diǎn)C到平面/&D的距離，結(jié)合幾何關(guān)系可得其距離

為2遍

24.答案：解：(I)證明：連接BO交4c于點(diǎn)0,并連

接E0,

???四邊形ABC。為平行四邊形，二。為8。的中點(diǎn),

又?:E為P。的中點(diǎn),

.?.在△PDB中E0為中位線，E0//PB

vPB<4面AEC,E。u面AEC,

PB〃面4EC.

(II)證明：?.?在四棱錐P-4BCD中，P41底面ABCQ,

底面ABC。為平行四邊形，AB1AC,且P4=AB=3,

AC=2,E是棱PO的中點(diǎn).

.,?以A為原點(diǎn)，AC為無軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

P(0,0,3),C(2,0,0),4(0,0,0),D(2,-3,0),E(l,一；,‘

4E=(1,-1,|),~AC=(2,0,0),PC=(2,0,—3),

設(shè)平面AEC的法向量沆=(xj,z),

-m=x--y+-z=0?,//口一，、

22，取y=l,得m=(0,l,1),

S?m=2x=0

設(shè)直線PC與平面AEC所成角為巴

則直線PC與平面AEC所成角的正弦值為:

c一國(guó)麗-3_W26

SinU-|PC|.|m|-V13.V2——,

(皿)假設(shè)在線段PB上(不含端點(diǎn))存在一點(diǎn)使得二面角M-AC-E的余弦值為嚕,

設(shè)M(a,b,c),PM=APB，8(0,3,0),則(a,b,c-3)=1(0,3,-3),

解得a=0,b=32,c=3-3A,M(0,3A,3-34),

AC=(2,0,0),祠=(0,34,3-34)，

設(shè)平面4cM的法向量有=(p,q,t),

則￡￡=2p=0,取，得六(°』,￡),

???二面角M-AC-E的余弦值為包.

10

.'.|co<m,n>|=g!Vio

Sio

解得2=q或；I=|.

???在線段PB上（不含端點(diǎn)）存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-E的余弦值為黑,

且由=［而或可7=|麗.

解析：（1）連接8。交人（？于點(diǎn)。，并連接EO,推導(dǎo)出EO〃PB,由此能證明PB〃面AEC.

（U）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面AEC的法向量

沆=（x,y,z）,由向量垂直的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得法向量，再由向量的夾角公式可得所求值；