河海大學(xué)數(shù)學(xué)建?；跉v史數(shù)據(jù)分析的金融投資風(fēng)險問題

基于歷史數(shù)據(jù)分析的金融投資風(fēng)險問題摘要本文針對金融投資的問題建立了兩種模型。首先，通過對歷史數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)日收益額的樣本大體呈正態(tài)分布，據(jù)此提出假設(shè)并建立了正態(tài)分布通用模型，并采用概率紙檢驗法對分布的正態(tài)性進(jìn)行檢驗，得出交易日的日投資效益分布近似服從正態(tài)分布，并利用其正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解，得出：一個周期內(nèi)損失數(shù)額超過10萬元的概率為3.80%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超8.72萬元，一個周期內(nèi)損失超過是10萬元的可能性不大于5%的初始投資額最多為1147萬元；兩個周期內(nèi)損失數(shù)額超過10萬元的概率為3.65%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超7.94萬元，兩個周期內(nèi)損失超過是10萬元的可能性不大于5%的初始投資額最多為1259萬元。模型結(jié)論可推廣到T個周期的情況。其次，針對解決預(yù)測收益的數(shù)值及以一定置信度為基礎(chǔ)的損失分析的問題，建立一個VaR（ValueatRisk）風(fēng)險分析模型，得出關(guān)于初始投資額M、限定損失額L、置信度（1-）和周期個數(shù)T的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，采用方差—協(xié)方差法對VaR模型進(jìn)行求解。利用已建立的VaR模型估計在下一個周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限值，并利用相同的方法估計下兩個周期的情況。通過比較正態(tài)分布模型與VaR風(fēng)險分析模型，發(fā)現(xiàn)兩者對下一周及下兩周的估計情況相近，故估計的結(jié)果具有可靠性，模型具有穩(wěn)定性。關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；VaR模型；置信度；收益額；金融投資一、問題重述某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個問題：1）準(zhǔn)備用數(shù)額為1000萬元的資金投資某種金融資產(chǎn)（如股票，外匯等）。它必須根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計在下一個周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少。2）如果要求在一個周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為多少。下面是該公司在過去一年255個交易日的日收益額（單位為萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù),假定每天結(jié)算一次，保持每天在市場上的投資額為1000萬元：收益額33323130292827262524232221201918天數(shù)1111121214026347收益額171615141312111098765432天數(shù)58571014819911111410668收益額10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天數(shù)9593741625532210收益額-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天數(shù)1000000100100000要求：參考以上數(shù)據(jù)，建立兩種模型來解決前述的兩個問題，并對這兩個模型加以比較；討論二周期情形（如今后兩天內(nèi)）上述兩個問題的答案。陳述上述兩個問題的一般形式（即初始投資額為M,限定損失額為L,置信度為1-,T個周期）及其解決方案。二、問題分析這是一個根據(jù)已知歷史收益額情況下，為將來獲得較豐厚的收益而制定投資計劃的問題。255個交易日的日收益額，可以看作數(shù)理統(tǒng)計中的樣本觀測值。首先，可以采用繪制樣本散點圖的方法，探究樣本觀測值的分布規(guī)律，據(jù)此選擇并建立兩個代表模型，確定抽樣分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的通用表達(dá)式及各個參數(shù)。其次，由建好的模型預(yù)測一個周期內(nèi)及兩個周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性，以及得出能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少。最后對建立的兩個模型的可靠度及穩(wěn)定性進(jìn)行分析比較，具體情況具體分析，揚長避短，選擇適宜的求解模型。圖一：問題分析流程圖三、模型假設(shè)（1）各個周期的收益額相互獨立，不存在相關(guān)性；（2）各個周期服從的概率分布均相等，不存在差異性；（3）金融投資市場基本穩(wěn)定，公司收益額的總體概率走勢不會因投資額的改變而發(fā)生劇烈變化，并且影響收益額的其他因素在本文研究的較長時期內(nèi)不發(fā)生變化；（4）題中給出的255個交易日的收益額為隨即抽樣樣本，基本上可以認(rèn)為能夠充分反映該公司一年的整體收益情況；（5）各種風(fēng)險資產(chǎn)之間沒有一定的關(guān)聯(lián)性。四、符號系統(tǒng)：投資中的初始投資額；：第i種收益在樣本中的天數(shù)；：在樣本中第i種收益的值，分別取-30，-29，……32,33；：概率密度函數(shù)；：給定置信區(qū)間內(nèi)的一個特定持有期內(nèi)的最大可能損失。注：其它符號文章中給予說明。五、模型建立5.1模型一的分析與建立采用繪制樣本散點圖的方法，觀察點據(jù)分布情況，初步估計樣本大體符合正態(tài)分布規(guī)律，如圖二所示。下面采用數(shù)值正態(tài)分析的頻率紙檢驗法進(jìn)行證明。圖二：樣本散點圖5.1.1對取樣進(jìn)行數(shù)值正態(tài)分析—概率紙檢驗法數(shù)據(jù)輸入x=[333231302928282726262524242424222221212121212120202019191919181818181818181717171717161616161616161615151515151414141414141413131313131313131313121212121212121212121212121211111111111111111010101010101010101010101010101010101099999999988888888888777777777776666666666666655555555554444443333332222222211111111100000-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-5-6-6-6-6-6-6-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-11-11-12-12-13-15-22-25]；作頻數(shù)直方圖利用matlab中的直方圖命令hist(x)，作出255個交易日的日投資效益頻率分布直方圖三。從圖可知，該投資效益出現(xiàn)的可能性近似服從正態(tài)分布。圖三：255個交易日的日投資效益頻率分布直方圖分布的正態(tài)性檢驗在matlab中分別輸入以下命令：normplot(x)和weibplot(x)，分別得到圖四和圖五。從圖四可知，數(shù)據(jù)基本上分布在一條直線上，初步可以斷定該投資效益出現(xiàn)的概率服從正態(tài)分布。而圖五顯示的是數(shù)據(jù)矩陣x的weibull概率圖，如果數(shù)據(jù)來自于weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài)，否則顯示出曲線形態(tài)。比較圖四和圖五可以確定，255個交易日的日投資效益分布近似服從正態(tài)分布。圖四：255個交易日的日投資效益正態(tài)分布檢驗圖圖五：255個交易日的日投資效益威爾遜分布檢驗圖參數(shù)估計在基本確定所給數(shù)據(jù)x的分布后，就可以估計該數(shù)據(jù)的參數(shù)。輸入以下命令：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)；結(jié)果：muhat=7.4863；sigmahat=9.8520muci=6.2713，8.7013；sigmaci=9.0647，10.7902估計出該分布的均值為7.4863，標(biāo)準(zhǔn)差為9.8520，均值的0.95置信區(qū)間為[6.2713，8.7013]，標(biāo)準(zhǔn)差的0.95置信區(qū)間為[9.0647，10.7902]。小結(jié)通過matlab的正態(tài)擬合與參數(shù)的估計可知該收益的分布近似服從正態(tài)分布，其中正態(tài)分布的參數(shù)分別用樣本的均值與標(biāo)準(zhǔn)方差來進(jìn)行估計，因此該分布的密度函數(shù)為：其中：。5.在5.1中已分析并建立了模型一（近似的正態(tài)分布模型），得出了收益額服從的正態(tài)分布的密度函數(shù)，下面針對題中所給出的關(guān)于預(yù)測收益的可能性及以一定置信度為基礎(chǔ)進(jìn)行損失分析的問題，采用對該分布進(jìn)行分析求解概率的方法解答。首先，分析一個周期和兩個周期內(nèi)損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大問題，題中條件對于已建立的正態(tài)分布模型一相當(dāng)于提供了分布自變量的區(qū)間，可以直接利用分布函數(shù)求得。其次，關(guān)于能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少的問題，可采用將分布函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計算，也可查表得到相應(yīng)的損失值。利用上面得到的樣本數(shù)據(jù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，可以寫出該近似正態(tài)分布的密度函數(shù)，表達(dá)式為：其中：。第一小問中估計在下一個周期（如1天）內(nèi)損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大，可由概率表達(dá)式來表示：經(jīng)查正態(tài)分布表及用matlab計算可知；故下一個周期內(nèi)損失數(shù)額超過10萬元的概率為3.80%。第二小問中假設(shè)以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超X萬元，則有該分布服從正態(tài)分布可知：，由概率知識可知該等式可以化為：所以；將各個數(shù)據(jù)帶入得X=8.72（萬元）。第三小問中求為使損失額不大于10萬元的投資額：在第二問中已算出損失值達(dá)到95%的置信區(qū)間時的最大損失額為8.72萬元，按同樣的比例求得當(dāng)最多損失為10萬元的投資額應(yīng)為1147萬元。當(dāng)為兩周期情形（如今后兩天內(nèi)）時，對于上述兩個問題而言，設(shè)第一天的收益額是，第二天的收益為，根據(jù)上述模型假設(shè)（3），，均服從模型一的正態(tài)分布，其中，。同理得出兩個周期的情形，關(guān)系式為：由于關(guān)系式中X，未知，需求出X，的值。引理：若X，Y相互獨立且X～，Y～，則～的正態(tài)分布。[2]故～的正態(tài)分布，計算方法同一個周期的情形。問題計算結(jié)果為：兩個周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為3.65%；以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過7.94萬元；初始投資額最多應(yīng)為1259萬元。對于T個周期情況而言，由引理可知該T個周期之和也服從模型一的正態(tài)分布，為，計算的方法同理于以上的步驟，將該正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，進(jìn)而求解，計算過程的表達(dá)式可以簡要表示如下：5.2模型二（VaR模型）的分析與建立模型：按字面的解釋就是“處于風(fēng)險狀態(tài)的價值”，即在一定置信水平和一定持有期內(nèi)，某一金融工具或其組合在未來資產(chǎn)價格波動下所面臨的最大損失額。Jorion則把定義為：“給定置信區(qū)間的一個持有期內(nèi)的最大的可能損失”?？梢岳斫鉃樵谝欢ㄖ眯潘较?，某一金融資產(chǎn)或證劵組合在未來特定時間內(nèi)的最大可能損失，可表示為，其中為金融資產(chǎn)或證劵組合在持有期內(nèi)的損失，為置信水平下處于風(fēng)險中的價值。5.2.1基本模型的建立 根據(jù)Jorion（1996），可定義為： ① 其中為資產(chǎn)組合下的預(yù)期價值；為資產(chǎn)組合下的期末價值；為置信水平下下投資組合的最低期末價值。 ；；其中為持有初期資產(chǎn)組合價值；為設(shè)定持有期內(nèi)資產(chǎn)組合的效益率；為資產(chǎn)組合在置信水平下的最低收益率。 將二者帶入①式得② 公式②即為資產(chǎn)組合的值，根據(jù)公式②，如果能求出置信水平下的，即可求出該資產(chǎn)組合下的值。5.2.2模型計算方法—方差-協(xié)方差法 方差-協(xié)方差法是運用歷史資料，計算資產(chǎn)組合的值。其基本思路為：首先，利用歷史數(shù)據(jù)計算資產(chǎn)組合的收益的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差；其次，假定資產(chǎn)組合收益是正態(tài)分布，可求出在一定置信水平下，反映了分布偏離均值程度的臨界值；第三，建立與風(fēng)險損失的聯(lián)系，推導(dǎo)值。設(shè)某一資產(chǎn)組合在單位時間內(nèi)的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，，又設(shè)a為置信水平下的臨界值，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，在概率水平下，可能發(fā)生的偏離均值的最大距離為，即∵根據(jù)有假設(shè)持有期為，則均值和數(shù)準(zhǔn)差分別為和，這時上式則變?yōu)椋?.2.3利用模型求解一個周期的情況估計下一個周期(如一天)內(nèi)的損失數(shù)額超過10萬的可能性：另=10,=1化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表得=0.0380，因此下一個周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為3.80%；求以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限：令，，則=8.72，因此以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過8.72萬元。要求在一個周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額最多上限：由第二問已經(jīng)求出以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過8.72萬元，根據(jù)假設(shè)（5）可求得最多損失10萬元的投資額應(yīng)為1147萬元。兩個周期的情況對于兩個周期而言，令，則：估計下二個周期（如2天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為3.65%；求以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限為7.94萬元；要求在二個周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額最多上限為1259萬元。T個周期的情況對于T個周期而言，令，則：。即初始投資額為M，限定損失額為L，置信度為，T個周期，有如下通用模型二的表達(dá)式（r為參數(shù)）：六、模型比較模型一和模型二考慮問題的方向不同。模型一方法較為普遍，將255個收益額看成數(shù)理統(tǒng)計中樣本觀測值，將其繪制成散點圖，估計收益額樣本服從的分布，建立模型，進(jìn)而用基礎(chǔ)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識加以解決，思路清晰，求解也較為簡便；模型二結(jié)合金融風(fēng)險評價VaR模型對問題進(jìn)行詳細(xì)的闡釋，VaR模型實用性更強，對投資的指導(dǎo)意義在于：人們可以利用計算機對大量風(fēng)險投資的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，通過對歷史數(shù)據(jù)的分析研究，預(yù)測出資產(chǎn)的平均收益率和風(fēng)險置信度，根據(jù)模型可以計算出