河海大學數(shù)學建?；跉v史數(shù)據(jù)分析的金融投資風險問題

基于歷史數(shù)據(jù)分析的金融投資風險問題摘要本文針對金融投資的問題建立了兩種模型。首先，通過對歷史數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)日收益額的樣本大體呈正態(tài)分布，據(jù)此提出假設并建立了正態(tài)分布通用模型，并采用概率紙檢驗法對分布的正態(tài)性進行檢驗，得出交易日的日投資效益分布近似服從正態(tài)分布，并利用其正態(tài)分布的性質進行求解，得出：一個周期內損失數(shù)額超過10萬元的概率為3.80%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超8.72萬元，一個周期內損失超過是10萬元的可能性不大于5%的初始投資額最多為1147萬元；兩個周期內損失數(shù)額超過10萬元的概率為3.65%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超7.94萬元，兩個周期內損失超過是10萬元的可能性不大于5%的初始投資額最多為1259萬元。模型結論可推廣到T個周期的情況。其次，針對解決預測收益的數(shù)值及以一定置信度為基礎的損失分析的問題，建立一個VaR（ValueatRisk）風險分析模型，得出關于初始投資額M、限定損失額L、置信度（1-）和周期個數(shù)T的一般數(shù)學表達式，采用方差—協(xié)方差法對VaR模型進行求解。利用已建立的VaR模型估計在下一個周期內的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限值，并利用相同的方法估計下兩個周期的情況。通過比較正態(tài)分布模型與VaR風險分析模型，發(fā)現(xiàn)兩者對下一周及下兩周的估計情況相近，故估計的結果具有可靠性，模型具有穩(wěn)定性。關鍵詞：正態(tài)分布；VaR模型；置信度；收益額；金融投資一、問題重述某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個問題：1）準備用數(shù)額為1000萬元的資金投資某種金融資產（如股票，外匯等）。它必須根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計在下一個周期（如1天）內的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少。2）如果要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為多少。下面是該公司在過去一年255個交易日的日收益額（單位為萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù),假定每天結算一次，保持每天在市場上的投資額為1000萬元：收益額33323130292827262524232221201918天數(shù)1111121214026347收益額171615141312111098765432天數(shù)58571014819911111410668收益額10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天數(shù)9593741625532210收益額-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天數(shù)1000000100100000要求：參考以上數(shù)據(jù)，建立兩種模型來解決前述的兩個問題，并對這兩個模型加以比較；討論二周期情形（如今后兩天內）上述兩個問題的答案。陳述上述兩個問題的一般形式（即初始投資額為M,限定損失額為L,置信度為1-,T個周期）及其解決方案。二、問題分析這是一個根據(jù)已知歷史收益額情況下，為將來獲得較豐厚的收益而制定投資計劃的問題。255個交易日的日收益額，可以看作數(shù)理統(tǒng)計中的樣本觀測值。首先，可以采用繪制樣本散點圖的方法，探究樣本觀測值的分布規(guī)律，據(jù)此選擇并建立兩個代表模型，確定抽樣分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的通用表達式及各個參數(shù)。其次，由建好的模型預測一個周期內及兩個周期內的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性，以及得出能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少。最后對建立的兩個模型的可靠度及穩(wěn)定性進行分析比較，具體情況具體分析，揚長避短，選擇適宜的求解模型。圖一：問題分析流程圖三、模型假設（1）各個周期的收益額相互獨立，不存在相關性；（2）各個周期服從的概率分布均相等，不存在差異性；（3）金融投資市場基本穩(wěn)定，公司收益額的總體概率走勢不會因投資額的改變而發(fā)生劇烈變化，并且影響收益額的其他因素在本文研究的較長時期內不發(fā)生變化；（4）題中給出的255個交易日的收益額為隨即抽樣樣本，基本上可以認為能夠充分反映該公司一年的整體收益情況；（5）各種風險資產之間沒有一定的關聯(lián)性。四、符號系統(tǒng)：投資中的初始投資額；：第i種收益在樣本中的天數(shù)；：在樣本中第i種收益的值，分別取-30，-29，……32,33；：概率密度函數(shù)；：給定置信區(qū)間內的一個特定持有期內的最大可能損失。注：其它符號文章中給予說明。五、模型建立5.1模型一的分析與建立采用繪制樣本散點圖的方法，觀察點據(jù)分布情況，初步估計樣本大體符合正態(tài)分布規(guī)律，如圖二所示。下面采用數(shù)值正態(tài)分析的頻率紙檢驗法進行證明。圖二：樣本散點圖5.1.1對取樣進行數(shù)值正態(tài)分析—概率紙檢驗法數(shù)據(jù)輸入x=[333231302928282726262524242424222221212121212120202019191919181818181818181717171717161616161616161615151515151414141414141413131313131313131313121212121212121212121212121211111111111111111010101010101010101010101010101010101099999999988888888888777777777776666666666666655555555554444443333332222222211111111100000-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-5-6-6-6-6-6-6-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-11-11-12-12-13-15-22-25]；作頻數(shù)直方圖利用matlab中的直方圖命令hist(x)，作出255個交易日的日投資效益頻率分布直方圖三。從圖可知，該投資效益出現(xiàn)的可能性近似服從正態(tài)分布。圖三：255個交易日的日投資效益頻率分布直方圖分布的正態(tài)性檢驗在matlab中分別輸入以下命令：normplot(x)和weibplot(x)，分別得到圖四和圖五。從圖四可知，數(shù)據(jù)基本上分布在一條直線上，初步可以斷定該投資效益出現(xiàn)的概率服從正態(tài)分布。而圖五顯示的是數(shù)據(jù)矩陣x的weibull概率圖，如果數(shù)據(jù)來自于weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài)，否則顯示出曲線形態(tài)。比較圖四和圖五可以確定，255個交易日的日投資效益分布近似服從正態(tài)分布。圖四：255個交易日的日投資效益正態(tài)分布檢驗圖圖五：255個交易日的日投資效益威爾遜分布檢驗圖參數(shù)估計在基本確定所給數(shù)據(jù)x的分布后，就可以估計該數(shù)據(jù)的參數(shù)。輸入以下命令：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)；結果：muhat=7.4863；sigmahat=9.8520muci=6.2713，8.7013；sigmaci=9.0647，10.7902估計出該分布的均值為7.4863，標準差為9.8520，均值的0.95置信區(qū)間為[6.2713，8.7013]，標準差的0.95置信區(qū)間為[9.0647，10.7902]。小結通過matlab的正態(tài)擬合與參數(shù)的估計可知該收益的分布近似服從正態(tài)分布，其中正態(tài)分布的參數(shù)分別用樣本的均值與標準方差來進行估計，因此該分布的密度函數(shù)為：其中：。5.在5.1中已分析并建立了模型一（近似的正態(tài)分布模型），得出了收益額服從的正態(tài)分布的密度函數(shù)，下面針對題中所給出的關于預測收益的可能性及以一定置信度為基礎進行損失分析的問題，采用對該分布進行分析求解概率的方法解答。首先，分析一個周期和兩個周期內損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大問題，題中條件對于已建立的正態(tài)分布模型一相當于提供了分布自變量的區(qū)間，可以直接利用分布函數(shù)求得。其次，關于能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過多少的問題，可采用將分布函數(shù)化為標準正態(tài)分布進行計算，也可查表得到相應的損失值。利用上面得到的樣本數(shù)據(jù)的均值與標準差，可以寫出該近似正態(tài)分布的密度函數(shù)，表達式為：其中：。第一小問中估計在下一個周期（如1天）內損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大，可由概率表達式來表示：經查正態(tài)分布表及用matlab計算可知；故下一個周期內損失數(shù)額超過10萬元的概率為3.80%。第二小問中假設以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超X萬元，則有該分布服從正態(tài)分布可知：，由概率知識可知該等式可以化為：所以；將各個數(shù)據(jù)帶入得X=8.72（萬元）。第三小問中求為使損失額不大于10萬元的投資額：在第二問中已算出損失值達到95%的置信區(qū)間時的最大損失額為8.72萬元，按同樣的比例求得當最多損失為10萬元的投資額應為1147萬元。當為兩周期情形（如今后兩天內）時，對于上述兩個問題而言，設第一天的收益額是，第二天的收益為，根據(jù)上述模型假設（3），，均服從模型一的正態(tài)分布，其中，。同理得出兩個周期的情形，關系式為：由于關系式中X，未知，需求出X，的值。引理：若X，Y相互獨立且X～，Y～，則～的正態(tài)分布。[2]故～的正態(tài)分布，計算方法同一個周期的情形。問題計算結果為：兩個周期內的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為3.65%；以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過7.94萬元；初始投資額最多應為1259萬元。對于T個周期情況而言，由引理可知該T個周期之和也服從模型一的正態(tài)分布，為，計算的方法同理于以上的步驟，將該正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布后，進而求解，計算過程的表達式可以簡要表示如下：5.2模型二（VaR模型）的分析與建立模型：按字面的解釋就是“處于風險狀態(tài)的價值”，即在一定置信水平和一定持有期內，某一金融工具或其組合在未來資產價格波動下所面臨的最大損失額。Jorion則把定義為：“給定置信區(qū)間的一個持有期內的最大的可能損失”。可以理解為在一定置信水平下，某一金融資產或證劵組合在未來特定時間內的最大可能損失，可表示為，其中為金融資產或證劵組合在持有期內的損失，為置信水平下處于風險中的價值。5.2.1基本模型的建立 根據(jù)Jorion（1996），可定義為： ① 其中為資產組合下的預期價值；為資產組合下的期末價值；為置信水平下下投資組合的最低期末價值。 ；；其中為持有初期資產組合價值；為設定持有期內資產組合的效益率；為資產組合在置信水平下的最低收益率。 將二者帶入①式得② 公式②即為資產組合的值，根據(jù)公式②，如果能求出置信水平下的，即可求出該資產組合下的值。5.2.2模型計算方法—方差-協(xié)方差法 方差-協(xié)方差法是運用歷史資料，計算資產組合的值。其基本思路為：首先，利用歷史數(shù)據(jù)計算資產組合的收益的方差、標準差、協(xié)方差；其次，假定資產組合收益是正態(tài)分布，可求出在一定置信水平下，反映了分布偏離均值程度的臨界值；第三，建立與風險損失的聯(lián)系，推導值。設某一資產組合在單位時間內的均值為，標準差為，，又設a為置信水平下的臨界值，根據(jù)正態(tài)分布的性質，在概率水平下，可能發(fā)生的偏離均值的最大距離為，即∵根據(jù)有假設持有期為，則均值和數(shù)準差分別為和，這時上式則變?yōu)椋?.2.3利用模型求解一個周期的情況估計下一個周期(如一天)內的損失數(shù)額超過10萬的可能性：另=10,=1化為標準正態(tài)分布查表得=0.0380，因此下一個周期（如1天）內的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為3.80%；求以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限：令，，則=8.72，因此以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過8.72萬元。要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額最多上限：由第二問已經求出以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會超過8.72萬元，根據(jù)假設（5）可求得最多損失10萬元的投資額應為1147萬元。兩個周期的情況對于兩個周期而言，令，則：估計下二個周期（如2天）內的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為3.65%；求以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限為7.94萬元；要求在二個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，初始投資額最多上限為1259萬元。T個周期的情況對于T個周期而言，令，則：。即初始投資額為M，限定損失額為L，置信度為，T個周期，有如下通用模型二的表達式（r為參數(shù)）：六、模型比較模型一和模型二考慮問題的方向不同。模型一方法較為普遍，將255個收益額看成數(shù)理統(tǒng)計中樣本觀測值，將其繪制成散點圖，估計收益額樣本服從的分布，建立模型，進而用基礎的概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識加以解決，思路清晰，求解也較為簡便；模型二結合金融風險評價VaR模型對問題進行詳細的闡釋，VaR模型實用性更強，對投資的指導意義在于：人們可以利用計算機對大量風險投資的歷史數(shù)據(jù)進行處理，通過對歷史數(shù)據(jù)的分析研究，預測出資產的平均收益率和風險置信度，根據(jù)模型可以計算出