河海大學(xué)數(shù)學(xué)建?；跉v史數(shù)據(jù)分析的金融投資風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題

基于歷史數(shù)據(jù)分析的金融投資風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題摘要本文針對(duì)金融投資的問(wèn)題建立了兩種模型。首先，通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)日收益額的樣本大體呈正態(tài)分布，據(jù)此提出假設(shè)并建立了正態(tài)分布通用模型，并采用概率紙檢驗(yàn)法對(duì)分布的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)，得出交易日的日投資效益分布近似服從正態(tài)分布，并利用其正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解，得出：一個(gè)周期內(nèi)損失數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的概率為3.80%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超8.72萬(wàn)元，一個(gè)周期內(nèi)損失超過(guò)是10萬(wàn)元的可能性不大于5%的初始投資額最多為1147萬(wàn)元；兩個(gè)周期內(nèi)損失數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的概率為3.65%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超7.94萬(wàn)元，兩個(gè)周期內(nèi)損失超過(guò)是10萬(wàn)元的可能性不大于5%的初始投資額最多為1259萬(wàn)元。模型結(jié)論可推廣到T個(gè)周期的情況。其次，針對(duì)解決預(yù)測(cè)收益的數(shù)值及以一定置信度為基礎(chǔ)的損失分析的問(wèn)題，建立一個(gè)VaR（ValueatRisk）風(fēng)險(xiǎn)分析模型，得出關(guān)于初始投資額M、限定損失額L、置信度（1-）和周期個(gè)數(shù)T的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，采用方差—協(xié)方差法對(duì)VaR模型進(jìn)行求解。利用已建立的VaR模型估計(jì)在下一個(gè)周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限值，并利用相同的方法估計(jì)下兩個(gè)周期的情況。通過(guò)比較正態(tài)分布模型與VaR風(fēng)險(xiǎn)分析模型，發(fā)現(xiàn)兩者對(duì)下一周及下兩周的估計(jì)情況相近，故估計(jì)的結(jié)果具有可靠性，模型具有穩(wěn)定性。關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；VaR模型；置信度；收益額；金融投資一、問(wèn)題重述某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個(gè)問(wèn)題：1）準(zhǔn)備用數(shù)額為1000萬(wàn)元的資金投資某種金融資產(chǎn)（如股票，外匯等）。它必須根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)在下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過(guò)多少。2）如果要求在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過(guò)10萬(wàn)元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為多少。下面是該公司在過(guò)去一年255個(gè)交易日的日收益額（單位為萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),假定每天結(jié)算一次，保持每天在市場(chǎng)上的投資額為1000萬(wàn)元：收益額33323130292827262524232221201918天數(shù)1111121214026347收益額171615141312111098765432天數(shù)58571014819911111410668收益額10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天數(shù)9593741625532210收益額-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天數(shù)1000000100100000要求：參考以上數(shù)據(jù)，建立兩種模型來(lái)解決前述的兩個(gè)問(wèn)題，并對(duì)這兩個(gè)模型加以比較；討論二周期情形（如今后兩天內(nèi)）上述兩個(gè)問(wèn)題的答案。陳述上述兩個(gè)問(wèn)題的一般形式（即初始投資額為M,限定損失額為L(zhǎng),置信度為1-,T個(gè)周期）及其解決方案。二、問(wèn)題分析這是一個(gè)根據(jù)已知?dú)v史收益額情況下，為將來(lái)獲得較豐厚的收益而制定投資計(jì)劃的問(wèn)題。255個(gè)交易日的日收益額，可以看作數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的樣本觀測(cè)值。首先，可以采用繪制樣本散點(diǎn)圖的方法，探究樣本觀測(cè)值的分布規(guī)律，據(jù)此選擇并建立兩個(gè)代表模型，確定抽樣分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的通用表達(dá)式及各個(gè)參數(shù)。其次，由建好的模型預(yù)測(cè)一個(gè)周期內(nèi)及兩個(gè)周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性，以及得出能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過(guò)多少。最后對(duì)建立的兩個(gè)模型的可靠度及穩(wěn)定性進(jìn)行分析比較，具體情況具體分析，揚(yáng)長(zhǎng)避短，選擇適宜的求解模型。圖一：?jiǎn)栴}分析流程圖三、模型假設(shè)（1）各個(gè)周期的收益額相互獨(dú)立，不存在相關(guān)性；（2）各個(gè)周期服從的概率分布均相等，不存在差異性；（3）金融投資市場(chǎng)基本穩(wěn)定，公司收益額的總體概率走勢(shì)不會(huì)因投資額的改變而發(fā)生劇烈變化，并且影響收益額的其他因素在本文研究的較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)不發(fā)生變化；（4）題中給出的255個(gè)交易日的收益額為隨即抽樣樣本，基本上可以認(rèn)為能夠充分反映該公司一年的整體收益情況；（5）各種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間沒(méi)有一定的關(guān)聯(lián)性。四、符號(hào)系統(tǒng)：投資中的初始投資額；：第i種收益在樣本中的天數(shù)；：在樣本中第i種收益的值，分別取-30，-29，……32,33；：概率密度函數(shù)；：給定置信區(qū)間內(nèi)的一個(gè)特定持有期內(nèi)的最大可能損失。注：其它符號(hào)文章中給予說(shuō)明。五、模型建立5.1模型一的分析與建立采用繪制樣本散點(diǎn)圖的方法，觀察點(diǎn)據(jù)分布情況，初步估計(jì)樣本大體符合正態(tài)分布規(guī)律，如圖二所示。下面采用數(shù)值正態(tài)分析的頻率紙檢驗(yàn)法進(jìn)行證明。圖二：樣本散點(diǎn)圖5.1.1對(duì)取樣進(jìn)行數(shù)值正態(tài)分析—概率紙檢驗(yàn)法數(shù)據(jù)輸入x=[333231302928282726262524242424222221212121212120202019191919181818181818181717171717161616161616161615151515151414141414141413131313131313131313121212121212121212121212121211111111111111111010101010101010101010101010101010101099999999988888888888777777777776666666666666655555555554444443333332222222211111111100000-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-5-6-6-6-6-6-6-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-11-11-12-12-13-15-22-25]；作頻數(shù)直方圖利用matlab中的直方圖命令hist(x)，作出255個(gè)交易日的日投資效益頻率分布直方圖三。從圖可知，該投資效益出現(xiàn)的可能性近似服從正態(tài)分布。圖三：255個(gè)交易日的日投資效益頻率分布直方圖分布的正態(tài)性檢驗(yàn)在matlab中分別輸入以下命令：normplot(x)和weibplot(x)，分別得到圖四和圖五。從圖四可知，數(shù)據(jù)基本上分布在一條直線上，初步可以斷定該投資效益出現(xiàn)的概率服從正態(tài)分布。而圖五顯示的是數(shù)據(jù)矩陣x的weibull概率圖，如果數(shù)據(jù)來(lái)自于weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài)，否則顯示出曲線形態(tài)。比較圖四和圖五可以確定，255個(gè)交易日的日投資效益分布近似服從正態(tài)分布。圖四：255個(gè)交易日的日投資效益正態(tài)分布檢驗(yàn)圖圖五：255個(gè)交易日的日投資效益威爾遜分布檢驗(yàn)圖參數(shù)估計(jì)在基本確定所給數(shù)據(jù)x的分布后，就可以估計(jì)該數(shù)據(jù)的參數(shù)。輸入以下命令：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)；結(jié)果：muhat=7.4863；sigmahat=9.8520muci=6.2713，8.7013；sigmaci=9.0647，10.7902估計(jì)出該分布的均值為7.4863，標(biāo)準(zhǔn)差為9.8520，均值的0.95置信區(qū)間為[6.2713，8.7013]，標(biāo)準(zhǔn)差的0.95置信區(qū)間為[9.0647，10.7902]。小結(jié)通過(guò)matlab的正態(tài)擬合與參數(shù)的估計(jì)可知該收益的分布近似服從正態(tài)分布，其中正態(tài)分布的參數(shù)分別用樣本的均值與標(biāo)準(zhǔn)方差來(lái)進(jìn)行估計(jì)，因此該分布的密度函數(shù)為：其中：。5.在5.1中已分析并建立了模型一（近似的正態(tài)分布模型），得出了收益額服從的正態(tài)分布的密度函數(shù)，下面針對(duì)題中所給出的關(guān)于預(yù)測(cè)收益的可能性及以一定置信度為基礎(chǔ)進(jìn)行損失分析的問(wèn)題，采用對(duì)該分布進(jìn)行分析求解概率的方法解答。首先，分析一個(gè)周期和兩個(gè)周期內(nèi)損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性有多大問(wèn)題，題中條件對(duì)于已建立的正態(tài)分布模型一相當(dāng)于提供了分布自變量的區(qū)間，可以直接利用分布函數(shù)求得。其次，關(guān)于能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過(guò)多少的問(wèn)題，可采用將分布函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算，也可查表得到相應(yīng)的損失值。利用上面得到的樣本數(shù)據(jù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，可以寫(xiě)出該近似正態(tài)分布的密度函數(shù)，表達(dá)式為：其中：。第一小問(wèn)中估計(jì)在下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性有多大，可由概率表達(dá)式來(lái)表示：經(jīng)查正態(tài)分布表及用matlab計(jì)算可知；故下一個(gè)周期內(nèi)損失數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的概率為3.80%。第二小問(wèn)中假設(shè)以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超X萬(wàn)元，則有該分布服從正態(tài)分布可知：，由概率知識(shí)可知該等式可以化為：所以；將各個(gè)數(shù)據(jù)帶入得X=8.72（萬(wàn)元）。第三小問(wèn)中求為使損失額不大于10萬(wàn)元的投資額：在第二問(wèn)中已算出損失值達(dá)到95%的置信區(qū)間時(shí)的最大損失額為8.72萬(wàn)元，按同樣的比例求得當(dāng)最多損失為10萬(wàn)元的投資額應(yīng)為1147萬(wàn)元。當(dāng)為兩周期情形（如今后兩天內(nèi)）時(shí)，對(duì)于上述兩個(gè)問(wèn)題而言，設(shè)第一天的收益額是，第二天的收益為，根據(jù)上述模型假設(shè)（3），，均服從模型一的正態(tài)分布，其中，。同理得出兩個(gè)周期的情形，關(guān)系式為：由于關(guān)系式中X，未知，需求出X，的值。引理：若X，Y相互獨(dú)立且X～，Y～，則～的正態(tài)分布。[2]故～的正態(tài)分布，計(jì)算方法同一個(gè)周期的情形。問(wèn)題計(jì)算結(jié)果為：兩個(gè)周期內(nèi)的損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性為3.65%；以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過(guò)7.94萬(wàn)元；初始投資額最多應(yīng)為1259萬(wàn)元。對(duì)于T個(gè)周期情況而言，由引理可知該T個(gè)周期之和也服從模型一的正態(tài)分布，為，計(jì)算的方法同理于以上的步驟，將該正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，進(jìn)而求解，計(jì)算過(guò)程的表達(dá)式可以簡(jiǎn)要表示如下：5.2模型二（VaR模型）的分析與建立模型：按字面的解釋就是“處于風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的價(jià)值”，即在一定置信水平和一定持有期內(nèi)，某一金融工具或其組合在未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)下所面臨的最大損失額。Jorion則把定義為：“給定置信區(qū)間的一個(gè)持有期內(nèi)的最大的可能損失”?？梢岳斫鉃樵谝欢ㄖ眯潘较?，某一金融資產(chǎn)或證劵組合在未來(lái)特定時(shí)間內(nèi)的最大可能損失，可表示為，其中為金融資產(chǎn)或證劵組合在持有期內(nèi)的損失，為置信水平下處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值。5.2.1基本模型的建立 根據(jù)Jorion（1996），可定義為： ① 其中為資產(chǎn)組合下的預(yù)期價(jià)值；為資產(chǎn)組合下的期末價(jià)值；為置信水平下下投資組合的最低期末價(jià)值。 ；；其中為持有初期資產(chǎn)組合價(jià)值；為設(shè)定持有期內(nèi)資產(chǎn)組合的效益率；為資產(chǎn)組合在置信水平下的最低收益率。 將二者帶入①式得② 公式②即為資產(chǎn)組合的值，根據(jù)公式②，如果能求出置信水平下的，即可求出該資產(chǎn)組合下的值。5.2.2模型計(jì)算方法—方差-協(xié)方差法 方差-協(xié)方差法是運(yùn)用歷史資料，計(jì)算資產(chǎn)組合的值。其基本思路為：首先，利用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算資產(chǎn)組合的收益的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差；其次，假定資產(chǎn)組合收益是正態(tài)分布，可求出在一定置信水平下，反映了分布偏離均值程度的臨界值；第三，建立與風(fēng)險(xiǎn)損失的聯(lián)系，推導(dǎo)值。設(shè)某一資產(chǎn)組合在單位時(shí)間內(nèi)的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，，又設(shè)a為置信水平下的臨界值，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，在概率水平下，可能發(fā)生的偏離均值的最大距離為，即∵根據(jù)有假設(shè)持有期為，則均值和數(shù)準(zhǔn)差分別為和，這時(shí)上式則變?yōu)椋?.2.3利用模型求解一個(gè)周期的情況估計(jì)下一個(gè)周期(如一天)內(nèi)的損失數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)的可能性：另=10,=1化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表得=0.0380，因此下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性為3.80%；求以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限：令，，則=8.72，因此以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過(guò)8.72萬(wàn)元。要求在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過(guò)10萬(wàn)元的可能性不大于5%，初始投資額最多上限：由第二問(wèn)已經(jīng)求出以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過(guò)8.72萬(wàn)元，根據(jù)假設(shè)（5）可求得最多損失10萬(wàn)元的投資額應(yīng)為1147萬(wàn)元。兩個(gè)周期的情況對(duì)于兩個(gè)周期而言，令，則：估計(jì)下二個(gè)周期（如2天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過(guò)10萬(wàn)元的可能性為3.65%；求以95%的置信度保證損失的數(shù)額的上限為7.94萬(wàn)元；要求在二個(gè)周期內(nèi)的損失超過(guò)10萬(wàn)元的可能性不大于5%，初始投資額最多上限為1259萬(wàn)元。T個(gè)周期的情況對(duì)于T個(gè)周期而言，令，則：。即初始投資額為M，限定損失額為L(zhǎng)，置信度為，T個(gè)周期，有如下通用模型二的表達(dá)式（r為參數(shù)）：六、模型比較模型一和模型二考慮問(wèn)題的方向不同。模型一方法較為普遍，將255個(gè)收益額看成數(shù)理統(tǒng)計(jì)中樣本觀測(cè)值，將其繪制成散點(diǎn)圖，估計(jì)收益額樣本服從的分布，建立模型，進(jìn)而用基礎(chǔ)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)加以解決，思路清晰，求解也較為簡(jiǎn)便；模型二結(jié)合金融風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)VaR模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的闡釋，VaR模型實(shí)用性更強(qiáng)，對(duì)投資的指導(dǎo)意義在于：人們可以利用計(jì)算機(jī)對(duì)大量風(fēng)險(xiǎn)投資的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的分析研究，預(yù)測(cè)出資產(chǎn)的平均收益率和風(fēng)險(xiǎn)置信度，根據(jù)模型可以計(jì)算出