2023年上?？亟袑W(xué)高二下期中數(shù)學(xué)試卷及答案

高中高中控江中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中2023.4一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫(xiě)結(jié)果.1.向量模__________.2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.3.根據(jù)二項(xiàng)式定理，的二項(xiàng)展開(kāi)式共有__________項(xiàng).4.設(shè)，若向量與向量平行，則__________.5.已知函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)__________.6.設(shè)，若1是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，則__________.7.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.8.圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則此圓的半徑為_(kāi)__________.9.在極坐標(biāo)系中，圓圓心到直線的距離為_(kāi)_________.10.設(shè)，若關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為_(kāi)_________.11.定義域和值域都是的連續(xù)函數(shù)恰有17個(gè)駐點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的定義域被這些駐點(diǎn)分割成18個(gè)小區(qū)間，其中恰有9個(gè)區(qū)間能使恒成立，若記的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則的最大值為_(kāi)_________.12.在空間中，是一個(gè)定點(diǎn)，給定的三個(gè)不共面的向量，且它們兩兩之間的夾角都是銳角.若向量滿足，，，則滿足題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第3項(xiàng)為（）A. B. C. D.14.下列以為參數(shù)的參數(shù)方程中，能夠表示方程的是（）A. B.C. D.15.計(jì)算：（）A.0 B. C. D.16.設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)值均存在，其導(dǎo)函數(shù)為，關(guān)于這兩個(gè)函數(shù)的圖象，有如下兩個(gè)命題：命題：若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱；命題：若是減函數(shù)，且其圖象向右方無(wú)限延伸時(shí)會(huì)與軸無(wú)限趨近，則函數(shù)是增函數(shù)，且其圖象向右方無(wú)限延伸時(shí)也會(huì)存在一條平行或重合于軸的直線，使得的圖象與無(wú)限趨近.下列判斷正確的是（）A.和都是真命題 B.和都是假命題C.真命題，是假命題 D.是假命題，是真命題三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.已知函數(shù)，.（1）求的值，并寫(xiě)出該函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，?分別為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角大小；（2）求平面與平面所成二面角的大小.19.設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)常數(shù).當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在恒成立，求的取值范圍.20.設(shè)實(shí)數(shù).對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，都有.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若是整數(shù)，且滿足成立，求值；（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)的取值，討論的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).標(biāo)系.21.設(shè)常數(shù).在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），且滿足，記.以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系（1）用和表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，若，求常數(shù)的值；（3）記到平面的距離為.求證：若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不同的解，則這兩個(gè)解中至少有一個(gè)大于.高中高中控江中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中2023.4一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫(xiě)結(jié)果.1.向量的模__________.【答案】【解析】【分析】直接計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.【詳解】，則.故答案為：2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)定義域得到答案.【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?，，?dǎo)函數(shù)需滿足，綜上所述：導(dǎo)函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.3.根據(jù)二項(xiàng)式定理，的二項(xiàng)展開(kāi)式共有__________項(xiàng).【答案】11【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理，可知的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，共有11項(xiàng).故答案為：11.4.設(shè)，若向量與向量平行，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋杂?，且，所以，，所?故答案為：.5.已知函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.故答案為：.6.設(shè)，若1是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】由已知求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)已知得出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，的定義域?yàn)?，且，由已知可得，可?故答案為：.7.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.【答案】112【解析】【分析】直接利用二項(xiàng)式定理公式計(jì)算得到答案.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，取得到，則常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.8.圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則此圓的半徑為_(kāi)__________.【答案】5【解析】【分析】把兩式兩邊平方作和，消去參數(shù)θ，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．【詳解】解：由，①2+②2得，x2+y2＝9sin2θ+16cos2θ+24sinθcosθ+16sin2θ+9cos2θ﹣24sinθcosθ＝16（sin2θ+cos2θ）+9（sin2θ+cos2θ）＝25．∴圓的半徑為5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程化為普通方程，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．9.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由已知得出圓和直線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出答案.【詳解】由已知可得.因?yàn)椋?，所以圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心為.直線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為，即.又點(diǎn)到直線的距離，即圓的圓心到直線的距離為.故答案為：.10.設(shè)，若關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，極大值為，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖象可知，要使函數(shù)的圖象與直線由三個(gè)不同的交點(diǎn)，則滿足，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11.定義域和值域都是的連續(xù)函數(shù)恰有17個(gè)駐點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的定義域被這些駐點(diǎn)分割成18個(gè)小區(qū)間，其中恰有9個(gè)區(qū)間能使恒成立，若記的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)駐點(diǎn)定義結(jié)合單調(diào)性判斷，再因?yàn)橹涤驗(yàn)镽確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.【詳解】定義域和值域都是的連續(xù)函數(shù)恰有17個(gè)駐點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的定義域被這些駐點(diǎn)分割成18個(gè)小區(qū)間，因?yàn)槠渲星∮?個(gè)區(qū)間能使恒成立，所以恰有9個(gè)區(qū)間能使恒成立，為使零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，需使每個(gè)單調(diào)區(qū)間都存在零點(diǎn)，因此零點(diǎn)最多有18個(gè)，但因?yàn)楹瘮?shù)是值域是連續(xù)函數(shù)，所以的最右側(cè)區(qū)間與最左側(cè)區(qū)間單調(diào)性相同，從而必存在兩個(gè)相鄰的小區(qū)間的單調(diào)性相同，即此時(shí)對(duì)應(yīng)的駐點(diǎn)非極值點(diǎn)，因此這兩個(gè)相鄰小區(qū)上最多存在一個(gè)零點(diǎn)，即整個(gè)定義域上最多存在17個(gè)零點(diǎn)所以若記的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則的最大值為.故答案為:.12.在空間中，是一個(gè)定點(diǎn)，給定的三個(gè)不共面的向量，且它們兩兩之間的夾角都是銳角.若向量滿足，，，則滿足題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】確定點(diǎn)在與垂直，且到的距離為的平面上，在與垂直，且到的距離為的平面上，在與垂直，且到的距離為的平面上，計(jì)算得到答案.【詳解】，故，，，故點(diǎn)在與垂直，且到的距離為的平面上，共兩個(gè)平面；同理得到：故點(diǎn)在與垂直，且到的距離為的平面上，共兩個(gè)平面；故點(diǎn)在與垂直，且到的距離為的平面上，共兩個(gè)平面.個(gè)兩兩平行的平面共有個(gè)交點(diǎn)，故滿足條件的共有個(gè).故答案為：二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第3項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，的二?xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，所以，第3項(xiàng)為.故選：A.14.下列以為參數(shù)的參數(shù)方程中，能夠表示方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出方程中，的范圍，然后消參驗(yàn)證各項(xiàng)，并根據(jù)指數(shù)函數(shù)、正弦、余弦以及正切函數(shù)的值域，即可得出答案.【詳解】由可知，，且.對(duì)于A項(xiàng)，消去可得，但是，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，消去可得，又，且，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，消去可得，又，且，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，消去可得，又因?yàn)椋?，且，故D項(xiàng)正確.故選：D.15.計(jì)算：（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】變換得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)則.故選：D.16.設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)值均存在，其導(dǎo)函數(shù)為，關(guān)于這兩個(gè)函數(shù)的圖象，有如下兩個(gè)命題：命題：若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱；命題：若是減函數(shù)，且其圖象向右方無(wú)限延伸時(shí)會(huì)與軸無(wú)限趨近，則函數(shù)是增函數(shù)，且其圖象向右方無(wú)限延伸時(shí)也會(huì)存在一條平行或重合于軸的直線，使得的圖象與無(wú)限趨近.下列判斷正確的是（）A.和都是真命題 B.和都是假命題C.真命題，是假命題 D.是假命題，是真命題【答案】B【解析】【分析】舉例即可說(shuō)明命題、為假命題.【詳解】對(duì)于命題：若，則，顯然的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，但是不是軸對(duì)稱圖形，故命題為假命題；對(duì)于命題：若，則，顯然的圖象向右方無(wú)限延伸時(shí)會(huì)與軸無(wú)限趨近，函數(shù)為增函數(shù)，但是不存在直線，使得的圖象與無(wú)限趨近，故命題是假命題.故選：B.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.已知函數(shù)，.（1）求的值，并寫(xiě)出該函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值是，最小值是1.【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，求出，即可得出答案；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值，即可得出函數(shù)的最值.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，所以，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為.又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.又，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是1.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，?分別為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的大?。唬?）求平面與平面所成二面角的大小.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，確定是平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.（2）平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，故，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，故直線與平面所成角的大小為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)是平面的法向量，,，即，不妨取，得到平面的一個(gè)法向量，，故平面與平面所成二面角是和.19.設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)常數(shù).當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，再確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到答案.（2）設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考慮，兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值得到答案.【小問(wèn)1詳解】，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，，設(shè)，，令得.當(dāng).時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上的最小值，由，解得，故.當(dāng)時(shí)，在上的最小值，由，有，解得，故.綜上所述：的取值范圍為.20.設(shè)實(shí)數(shù).對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，都有.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若是整數(shù)，且滿足成立，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)的取值，討論的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算，代入計(jì)算得到，取計(jì)算得到答案.（3）確定，分三種情況討論，計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，故，故.【小問(wèn)2詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，由得，又知，取，可知.小問(wèn)3詳解】展開(kāi)式的第項(xiàng)的系數(shù)，由，知，下分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，即；當(dāng)時(shí)，成立，即；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，即；當(dāng)時(shí)，成立，即；當(dāng)時(shí)，成立，即；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，即；當(dāng)時(shí)，成立，即；綜上所述：當(dāng)時(shí)，第81項(xiàng)的系數(shù)最大；當(dāng)時(shí)，第81項(xiàng)?第82項(xiàng)的系數(shù)相等且最大；當(dāng)時(shí)，第82項(xiàng)的系數(shù)最大.標(biāo)系.21.設(shè)常數(shù).在棱長(zhǎng)為1的