高中數(shù)學(xué)冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

《嘉函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

XX田家炳敬華君

一、教材分析

幕函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

之后研究的又一類根本初等函數(shù).昂函數(shù)模型在生活中是比擬常見的，學(xué)習(xí)時(shí)結(jié)合

生活中的具體實(shí)例來引出常見的五個(gè)毒函數(shù)丁=%，y=f,y=ay=%,y=x,

組織學(xué)生利用圖形計(jì)算器畫出它們的圖像，根據(jù)圖像觀察、總結(jié)這幾個(gè)常見暴函數(shù)

的性質(zhì).再利用圖形計(jì)算器研究幕函數(shù)的一般規(guī)律.

二、教學(xué)目標(biāo)

1、理解基函數(shù)的概念.

2、會(huì)畫事函數(shù)的圖像，并結(jié)合圖像總結(jié)幕函數(shù)的性質(zhì).

3、讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用圖像探究性質(zhì)的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：從五個(gè)具體暴函數(shù)中認(rèn)識(shí)并總結(jié)基函數(shù)的圖像和性質(zhì).

難點(diǎn)：畫出基函數(shù)的圖象并總結(jié)其性質(zhì).

四、教學(xué)根本流程

從實(shí)例觀察引入麗H構(gòu)建塞函數(shù)的概念I(lǐng)-麗代表性函數(shù)圖像H探索簡(jiǎn)單的案

|函數(shù)性質(zhì)H總結(jié)一般性研究方法H課堂練習(xí)H小結(jié)與作業(yè)I

五、教學(xué)過程

（一）實(shí)例觀察，引入新課

（1）如果張紅購置了每千克1元的蔬菜。千克，那么她需要支付元，這里〃是。

的函數(shù)；

⑵如果正方形的邊長(zhǎng)為那么正方形的面積s=〃，這里s是。的函數(shù)；

⑶如果立方體的邊長(zhǎng)為a,那么立方體的體積V=d,這里v是。的函數(shù)；

（4）如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S,那么正方形的邊長(zhǎng)a=S^,這里。是S的函數(shù)；

⑸如果某人fs內(nèi)騎車行進(jìn)1k〃，那么他騎車的平均速度v=尸，這里v是f的函數(shù).

問題一：以上問題中的函數(shù)具有什么共同特征？

學(xué)生活動(dòng)：上述問題中的函數(shù)都是底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù).

教師活動(dòng)：像這樣的函數(shù)我們稱為毒函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從具體的實(shí)例中進(jìn)行總結(jié)，從而自然引出幕函數(shù)的概念.

（二）類比聯(lián)想，探究新知

一般地，函數(shù)y=N叫做基函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

注意:暴函數(shù)的解析式必須是、=丁的形式，其特征可歸納為“系數(shù)為1,只有1項(xiàng)”.

問題二：y=2F,y=（x+l）2,y=f+i,y=2'是否為基函數(shù)？

學(xué)生活動(dòng)：都不是.

【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生對(duì)塞函數(shù)定義的理解.

2.基函數(shù)的圖像與簡(jiǎn)單性質(zhì)

教師活動(dòng)：類比前面學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，先畫出函數(shù)的圖像，再由圖像來

研究事函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，定點(diǎn)），下面

我們就借助圖形計(jì)算器來探究以下這五個(gè)基函數(shù)的圖像：y=x,y=V,

I

3-

-Xy-X2y=

學(xué)生活動(dòng)：利用圖形計(jì)算器，在同一坐標(biāo)系中畫出這五個(gè)基函數(shù)的圖像.

第一步：進(jìn)入‘'圖形"，設(shè)置圖形顯示窗口的數(shù)據(jù).

國

I初始窗I后甭窗I標(biāo)準(zhǔn)窗IV-MEM」雙基準(zhǔn)

第二步：編輯出上述5個(gè)基函數(shù)的解析式并繪出函數(shù)圖像.

|s|Math底gllNormlliReall

圖形函數(shù)：Y=

YlBx[—1

Y2B%2[—]

Y3Bx3[—1

Y4m反[一]

丫5眈1E—1

諉百奧■富鎏吧修改II繪豆1

111|Math||Deg||Norml|iReall

教師活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生得到的這5個(gè)函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生答復(fù)以下問題并完成表格.

問題三：所有圖像都過第幾象限，所有圖像都不過第幾象限，為什么？

學(xué)生活動(dòng)：函數(shù)圖像都過第一象限，而都不過第四象限，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)所有暴函數(shù)

都有意義，且函數(shù)值都為正.

問題四:第一象限內(nèi)函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)與指數(shù)有什么關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：當(dāng)指數(shù)為正時(shí)是增函數(shù)，指數(shù)為負(fù)時(shí)是減函數(shù).

教師活動(dòng)：y=x”在。+oo)的單調(diào)性由aa<0時(shí)，塞函數(shù)y=x"在(0,+<?)單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，基函數(shù)y=在(0,+oo)單調(diào)遞增.

問題五：這5個(gè)函數(shù)圖像都過哪些點(diǎn)，為什么？

學(xué)生活動(dòng)：都過點(diǎn)(1,1),因?yàn)?的任何指數(shù)幕都是1.

教師活動(dòng)：毒函數(shù),=無"過定點(diǎn)(1,1).

問題六:什么樣的塞函數(shù)過原點(diǎn)，什么樣的暴函數(shù)不過原點(diǎn)，為什么？

學(xué)生活動(dòng)：指數(shù)為正時(shí)，基函數(shù)過原點(diǎn)；指數(shù)為負(fù)時(shí)暴函數(shù)不過原點(diǎn)；因?yàn)樨?fù)指數(shù)

幕可以化成分?jǐn)?shù)形式，分母不能為零，此時(shí)函數(shù)在x=0處沒有意義.

教師活動(dòng)：分析得很到位，下面請(qǐng)同學(xué)們完成以下表格.

學(xué)生活動(dòng)：完成表格.

1

23-1

y=xy=xy=xy=x2y=x

定義域RRR［。,+8){x|尤wO}

值域R0+8)R0+8){X|XHO}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

［0,+8)增(0,+8)減

單調(diào)性增增增

(-8,0］減(-8,0)減

公共點(diǎn)(1,1)

教師活動(dòng)：哥函數(shù)y=V只含一個(gè)參數(shù)a,它的圖像由參數(shù)a唯一確定.那么a是怎

樣影響圖像的變化呢？下面讓我們使用圖形計(jì)算器的動(dòng)態(tài)圖功能來進(jìn)一

步探究基函數(shù)y=x“的圖像規(guī)律.從上述5個(gè)事函數(shù)的圖像，我們知道它

們都經(jīng)過第一象限.因此，我們就從第一象限入手，對(duì)基函數(shù)〉=產(chǎn)的圖

像規(guī)律進(jìn)行研究.

學(xué)生活動(dòng)：第一步：設(shè)置動(dòng)態(tài)圖窗口數(shù)據(jù).

圄

第二步：建立動(dòng)態(tài)函數(shù)，設(shè)置動(dòng)態(tài)變量.

0fMathllD^glE

動(dòng)態(tài)函數(shù)：Y=

Y2

Y3

4

AV

Y5

Y6

WTi

國iMathllDMlEl

Yl=x^(A)

動(dòng)態(tài)設(shè)定

A

第三步：通過動(dòng)態(tài)圖的演示，學(xué)生觀察圖像的變化規(guī)律.

⑴基函數(shù)丁=二「2在第一象限的圖像代表、=/9＜（））這一類累函數(shù)的

圖像.

國iMathllDMl（Real]

⑵幕函數(shù)y=x°的圖像.

國畫1國畫

丫1=廣（附）

A=0°

⑶基函數(shù)y=x06在第一象限的圖像代表y=N（0＜。＜1）這一類暴函數(shù)

的圖像.

國國）國］S

國國）畫畫］］

⑸幕函數(shù)y=/在第一象限的圖像代表y=xa（a＞1）這一類幕函數(shù)的圖

像.

教師活動(dòng)：參數(shù)a是怎樣影響基函數(shù)y=x"在第一象限的圖像呢？

學(xué)生活動(dòng)：當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)為y=l*HO)；(教師強(qiáng)調(diào)：這里圖像顯示出現(xiàn)了(0,1)點(diǎn),

是一個(gè)誤差，所以我們平時(shí)在使用圖形計(jì)算器時(shí)，應(yīng)結(jié)合函數(shù)特點(diǎn)使用.)

當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)為y=x,這是我們研究過的正比例函數(shù)；

當(dāng)a＜0時(shí)，幕函數(shù),=K單調(diào)遞減，兩端無限靠近x軸和y軸；

當(dāng)0＜夕＜1時(shí)，幕函數(shù)y=單調(diào)遞增，且隨x的增大，圖像越來越平緩;

當(dāng)。＞1時(shí)，幕函數(shù)y=x°單調(diào)遞增，且隨x的增大，圖像越來越陡峭.

教師活動(dòng)：其它象限內(nèi)，塞函數(shù)y=/的圖像的規(guī)律又是怎樣的呢？

33

學(xué)生活動(dòng)：探究一：用圖形計(jì)算器作出＞=/和的圖像

V-MEM」雙基準(zhǔn)

Isl|Math||Deg||Norml|iReall

圖形函數(shù)

3

YlBx4[—]

3

Y2=x^

Y3：[—J

結(jié)論：這里我們注意到幕函數(shù)y=/只在第一象限內(nèi)及x=0處存在圖像，主要是由函

數(shù)本身的定義域決定的.所以幕函數(shù)的作圖中，我們切記優(yōu)先考慮定義域.

教師活動(dòng)：探究二：利用圖形計(jì)算器分別作出以下各組的函數(shù)圖像.

34

第一組：y=/和>=尤5的圖像

第二組：y=d和y=/的圖像

第三組：>=尸和y=x"的圖像

34

學(xué)生活動(dòng)：第一組：y=J和y=V的圖像

目|Math||Deg||Norml|[Reall

圖形函數(shù)

3

YIB%5[―J

4|

Y2=x5

Y3：E—]

第二組：＞=%3和),=/的圖像

[s|iMathllDegllNormll(Reall

第三組:

111MathllDegllNormlliReall

結(jié)論：由此可見，基函數(shù)y=x&可能分布在第二象限或第三象限.這里我們可以通過

函數(shù)的奇偶性來解釋.

教師活動(dòng)：通過以上分析，我們應(yīng)如何作出幕函數(shù)^=/在整個(gè)定義域上的函數(shù)圖像

呢？

學(xué)生活動(dòng)：（1）分析函數(shù)的定義域：假設(shè)定義為或。心），則幕函數(shù)的圖像只

分布在第一象限（或包括坐標(biāo)原點(diǎn)）；假設(shè)定義域?yàn)?/p>

R或（-8,O）U（O,4W）,則疑函數(shù)圖像在第二象限或第三象限有圖像

（2）分析函數(shù)的奇偶性：假設(shè)嘉函數(shù)為奇函數(shù)，則圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作

出第三象限的函數(shù)圖像；假設(shè)基函數(shù)為偶函數(shù)，則圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,

則作出第二象限的函數(shù)圖像.

【設(shè)計(jì)意圖】通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過圖形計(jì)算器作出函數(shù)

圖像，學(xué)生能夠更加直觀的認(rèn)識(shí)募函數(shù)的圖像，并通過對(duì)函數(shù)圖像的分析歸納出嘉

函數(shù)的性質(zhì).另一方面，學(xué)生在新知探究的過程中體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，逐

步提高分析問題、解決問題的能力和歸納總結(jié)的能力.

（三）新知應(yīng)用

練習(xí)：比擬以下各組數(shù)兩個(gè)值的大小

⑴4.2°7和4.6°7；

⑵3.7-2」和3.2一2」.

解析：（1）利用圖形計(jì)算器作基函數(shù)y=的圖像

[=1]Math||Deg||Norml|iReall

圖形函數(shù)

Y1=”7I

1=1MathllDegllNormlliReall

由圖知，函數(shù)y=x°，在［0,+8）單調(diào)遞增，因?yàn)?.2<4.6,所以4.2°7<4.6°7.

（2）利用圖形計(jì)算器作事函數(shù)y=的圖像

0MathllDegllNormllIReall

數(shù)

圖

濟(jì)

鄉(xiāng)函