高中數(shù)學《空間向量運算的坐標表示》導學案

3.1.5空間向量運算的坐標表示

卜課前自主預習

某!基礎導學

1.空間向量運算的坐標表示

運算坐標表示。=（0,。2，ay）,b=（b\,。2，。3）

加法a-\-b=回—i+比，.+歷，色+地）

減法a—b=區(qū)@—b1,—3，一〃3)

數(shù)乘2Q=1^2^!(%—?,Atz2,%，3)，々￡R

數(shù)量積a,b=因+42b2+。3一

2.空間向量的平行與垂直的坐標表示

平行或垂直條件的坐標表示

平行或垂直

白2，。3），b=（bi,b?,/73）

ci\—Xb\,

平行（4〃5）a//b^a=Xb^<。2=勸2，Q￡R且8WO)

、約=43

垂直（Q，。）aJ_b^a-b=0臺畫之也］+夜團+=。

3.空間向量的長度公式及夾角的坐標表示

（1）空間向量長度公式的坐標表示

2

①若a=3，a2,⑹，則H尸ViaP=V?

=_~\/^+孱+/，即⑷=，裙+詔+詔.

②空間兩點間的距離公式

已知A(x”%,Z1),3(X2，”，Z2),

2.葩=園食2—想，y?一也，z2—zD.

b.dAB=\A0\=?V(X?-X])2+(丫2-V])2+(z?-Z.

(2)向量的夾角坐標公式

設。=(0，。2，。3)，b=(b\,岳，仇)，

則C。，(加=舟與篇鬻幡銀

鼠]自診小測

1.判一判(正確的打"J"，錯誤的打"X")

(1)對于空間任意兩個向量。=(0，生，的)，b=(bi，bi,仇)，若。與。共線,

(2)空間向量。=(1/,1)為單位向量.()

(3)若向量能=(xi，力，Z|),則點8的坐標為(修，yi，zi).()

答案⑴*(2)X(3)X

2.做一做

(1)(教材改編P97TD已知向量。=(4,-2,-4),b=6-3,2),則下列結論

正確的是()

A.a+b=(10,—5,—6)B.a—b=(2,—1,—6)

C.ab=\0D.⑷=6

(2)在空間直角坐標系中，已知點A的坐標為(1,2,3),點8的坐標為(4,5,6),

則葩=.

(3)若a=(2x,l,3),)=(1,—2y9),如果。與方為共線向量，則x=,

y=---------

(4)已知。+。=(2,也，2小)，a~b=(.O,也，0),貝UCOS〈Q,b)=.

答案(1)D(2)(3,3,3)(3)1~|(4)坐

卜課堂互動探究

探究1空間向量的坐標運算

例1已知Q=(2,—1,12),8=(0,—1,4),求a+瓦a—byab,(2。)?(一

b),(a+Z>)-(a—b).

［解］a+6=(2,—1,—2)+(0,—1,4)=(2+0,—1—1,—2+4)=(2,—

2.2);

a—b=(2,—1,—2)—(0,—1,4)=(2—0,—1+1,—2—4)=(2,0,—6)；

ab=(2,—1,—2)-(0,—1,4)=2X0+(—1)X(—1)+(—2)X4=-7；

(2a)-(-6)=-2(a-6)=-2X(-7)=14；

(a+6)1(a—b)=Q,—2,2)-(2,0,-6)=2X2—2X0+2X(—6)=-8.

拓展提升

空間向量的加法、減法、數(shù)量積及數(shù)乘運算的方法

1.根據(jù)已知向量的坐標，代入空間向量的加、減、數(shù)量積和數(shù)乘運算的坐標

表示公式進行計算.

2.熟練應用有關的公式：

(l)(a+Z>)2=/+2a.

(2)(a—萬了=/-2a&+Z>2；

(3)(a+/>)-(?—Z>)=?2—b2.

3.空間向量的坐標運算法則和平面向量的坐標運算法則類似，可類比記憶.計

算(2a>(—3，既可以利用運算律把它化成一2(a0),也可先求出2m-b后，再

求數(shù)量積.

【跟蹤訓練1】已知。=(2,-1,3)，分=(0，-1,2),求：

(l)a+A；

(2)2。-3b；

(3"

(4)(?+^)?(o—Z>).

解(l)a+Z>=(2,—1,3)+(0,—1,2)=(2+0,—1—1,3+2)=(2,—2,5).

(2)2a-36=(4,-2,6)—(0,-3,6)=(4,1,0).

(3>6=(2,-1,3)-(0,-l,2)=2X0+(-1)X(-1)4-3X2=7.

(4)(<z+6)-(n—b)=a2—62=4+1+9—(0+1+4)=9.

探究2利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直問題

例2如圖，在棱長為。的正方體ABCD-A&Ga中，以。為坐標原點，

DA,DC,。功所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，過點B

作于點求點M的坐標.

［解］由題意，知A(a,O,O),B(a,(7,0),Ci(0,a,a),設M(x,y,z),

則蕉=(—〃，a9a),劉/=(九-a,y,z),BM=(x—a,y—a,z).

因為嬴L元，所以麗蕉=0.

所以一〃(x—a)+〃(y—q)+az=0,

即x—y—z=0.?

因為元〃疝4所以x—q=—Aa,y=Xa,z=za(2^R),

即x=ci-九z,y=2a,z=2a.②).

由①②，得產(chǎn)學,y=|,z=y

所以點M的坐標為伶，

拓展提升

(1)利用向量的坐標運算解決立體幾何中的垂直問題，關鍵是建立正確、恰當

的空間直角坐標系，進而通過空間向量的分解方法準確地寫出所求各點的坐標.

(2)用向量的坐標運算證明垂直問題，把幾何問題轉化為代數(shù)計算，這是數(shù)學

中化歸思想的具體體現(xiàn)，如證明直線A8_LCO,可轉化為證明宓近=0,由向量

的坐標運算即可完成.

【跟蹤訓練2】(1)已知空間三點A(—2,0,2),8(—1,1,2),C(~3,0,4),設

a=AB,b=AC.

(i)若hr+8與總一2b互相垂直，求左的值；

(ii)設|c|=3,c//BC,求c.

解(i)；。=宓=(1,1,0),。="(一1,0,2),

...切+6=網(wǎng)1,1,0)+(—1,0,2)=(女一1,匕2),

ka—25=2(1,1,0)—2(—1,0,2)=(左+2,k,—4).

,：(ka+b)J_(ka—2b),

；.(左一1)(4+2)+4一8=0,

即2爐+4—10=0,解得Z=2或左=—|.

{\iy：c//BC,又比=(一2,-1,2),

.,.設c=(—22,—A,22),又|c|=3,

(-2A)2+(-A)2+(2A)2=9,得/l=±l.

c=(—2,—1,2)或c=(2,l,12).

(2)在正方體ABCD-CiBiCQi中,已知E,F,G,H分別是CG，BC,CD,

A\C\的中點.

求證：(i)AB\//GE,ABJEH；

(ii)A|G,平面EFD.

證明如圖，

以A為坐標原點，分別以血,AD,筋?為單位正交基底建立空間直角坐標系.設

正方體的棱長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),4(0,0,1),e(1,0,1),

G(l,l』).由中點坐標公式，得Hj，1，另，?1，r0)，G(；，1，0)，雄，；，1)

(i)次=(1,0,1),速=(；，0,；),礪=(一當—3).

因為葩=2旗葩.兩=1x(一￡|+1X；=O,

所以瓶〃函AB.X.EH,即AB/GE,AB」EH.

(ii)族;=(；,1,-1),/=(1,-3，0),雄=[1,0,1.因為才工赤=3—義+

0=0,Z^^=1+0-1=0,所以A1GLO凡AtGlDE.

因為OFCOE=。，所以A|G_L平面EFD

探究3利用空間向量的坐標運算解決夾角、距離問題

例3(1)已知向量。=(5,3,1),>=(-2,f,一|),若a與力的夾角為鈍角，

求實數(shù)，的取值范圍；

(2)棱長為1的正方體ABCO—AIBCQI中，點E,F,G分別是BD,

BBi的中點.

(i)求證：EFLCF-,

(ii)求旗與在所成角的余弦值；

(iii)求CE的長.

［解］(1)由已知，得a山=5X(—2)+3/+lX(—|)=3，一弓，因為a與萬的

夾角為鈍角，所以a山＜0,

即3L*0,所以蜷.

若a與方的夾角為180。，則存在力＜0,使。=笈(2＜0),

即(5,3,1)=4一2,I)，

’5=2(—2),

所以r3=%所以片T

故實數(shù)f的取值范圍是(一8,ff)

(2)如圖所示，建立空間直角坐標系Dryz,

貝0(0,0,0),《0,0,，，C(O,1,O),帽,Oj,G(l,1,9

，尻&T次=&-2'。)，

Z&=(i,o,3),宓=(o,—1,￡).

(i)證明：X0=0,：.~EFLCF,gpEFLCF.

(ii)V|^|=

l2+02+1\_近

1函=2廠2，

Acos〈旗CQ=E.CG=區(qū)隼

\EF\\CG\坐x乎15

(叫|南=^02+(-l)2+(1)2=^.

[條件探究]若把例3(1)的條件改為“已知”=(5,3,-1),b=(2,t,一I),

。與。的夾角為銳角”，應如何解答？

252

解由已知05=5X2+3f+5=3r+5，

因為a與方的夾角為銳角，所以a山>0,

即3-*0,所以/>—意

若a與方的夾角為0。，則存在2>0,使。=肪(%>0),

即(5,3,-1)=^2,t,一|),

’5=2人

所以<3=%，進而得,二"

[-1=-02,3

故實數(shù),的取值范圍是(一f|,凱(1,+8)

拓展提升

求角與距離問題的方法及解題步驟

(1)求空間中兩向量夾角的方法

①基向量法：結合圖形，選取一組合適的基底，將兩向量用基向量表示出來,

然后代入夾角公式求解；②坐標法：在圖形中建立空間直角坐標系，然后求出兩

向量的坐標，代入向量的夾角坐標公式求解.利用坐標法要注意兩點，一是坐標

系的選取，二是夾角的范圍〈a,b>G[0,7i],要特別注意向量共線的情況.

(2)求空間中線段的長

①建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；

②求出線段端點的坐標，并求出對應向量的坐標；

③利用向量的模的坐標公式求向量的模，即線段的長.

【跟蹤訓練3]⑴已知a=(l—r,f),6=(2,t,t),則步一a|的最小值

是()

答案C

解析：b—a=(l+02/-1,0),\b—Q/=(1+。?+(2,-1)2+()2=5*—2，+2

=5H)4

?.(|萬一?！?|"皿=亍??|方一a|min=?

(2)在長方體ABCD—AiBiGA中，AB=2,BC=2,DDi=3,則AC與BQ

所成角的余弦值為()

A.0B.需

「_3^70恒

。70u-70

答案A

解析建立如圖所示的空間直角坐標系，貝(。|(0,0,3),5(2,2,0),A(2,0,0),

C(0,2,0).

R

所以的=(一2,-2,3),AC=(-2,2,0).

所以cos(的，Ab=BD'AC=0.

IBDillAQ

即所求余弦值為0.

f------------------------1娜渤?-----------------------

1.空間向量的坐標與其起點、終點坐標的關系

向量的坐標即終點坐標減去起點坐標.求點的坐標時，一定要注意向量的起

點是否在原點，在原點時，向量的坐標與終點坐標相同；不在原點時，向量的坐

標加上起點坐標才是終點坐標.

2.向量平行與垂直問題的三種題型

題型1：空間向量平行與垂直的判斷，利用空間向量平行與垂直的條件進行

判斷.

題型2：利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題，即平行與垂直的應用，解題時

要注意：①適當引入?yún)?shù)（比如向量。，）平行，可設勸），建立關于參數(shù)的方

程；②最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的.

題型3：利用向量的坐標處理空間中的平行與垂直：①向量化：即將空間中

的垂直與平行轉化為向量的垂直與平行；②向量關系代數(shù)化：即寫出向量的坐標;

③求解：利用向量的坐標運算列出關系式求解.

3.用空間向量的數(shù)量積解決夾角問題

空間向量的數(shù)量積和夾角有關，經(jīng)常以空間向量的數(shù)量積為工具，解決立體

幾何中與夾角相關的問題，把空間兩條直線所成的角的問題轉化為兩條直線對應

向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應向量的夾角的取值范圍.

卜隨堂達標自測

1.與。=(1,2,3),。=(3,1,2)都垂直的向量為()

A.(1,7,5)B.(1,-7,5)

C.(-1,-7,5)D.(1,-7,-5)

答案C

解析因為(-1,-7,5)-(l,2,3)=-1-14+15=0,

(-1,-7,5).(3,1,2)=-3-7+10=0,所以與向量。=(1,2,3),6=(3,1,2)都垂

直的向量為(-1,-7,5).故選C.

2.已知。=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是()

A.(1,1,1)B.(-2,-3,5)

C.(2,-3,5)D.(-4,6,-2)

答案D

解析若方=(—4,6,-2),則5=—2(2,—3,1)=—2@,所以a〃"故選D.

3.設43,3,1),8(1,0,5),C(0,l,0),則AB的中點M到C的距離|CM］的值為()

返R53強逅

A.4o,222

答案C

解析45的中點“2,1,3),又C(0,l,0),所以西勺(2,3),故M到C

的距離|CM=|晶=弋22+&2+32=華

4.若a=(2,-3,1),8=(2,0,3),c=(0,2,2),則a@+c)的值為______

答案3

解析因為6=(2,0,3),c=(0,2,2),

所以A+c=(2,2,5).

又”=(2,-3,1),

所以0(b+c)=(2,—3,1>(2,2,5)=4—6+5=3.

5.在長方體ABC。一AIBGDI中，已知OA=0C=4,DD}=3,求異面直線

48與8c所成角的余弦值.

解以。為坐標原點，分別以OA,DC,所在直線為x軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(4,0,3),8(4,4,0),81(4,4,3),C(0,4,0),得協(xié)=(0,4,—3),g(—4,0,

-?-?

-3).設硒題的夾角為。，則cose=-4B,&C=卷,

I/GBIIBTCI

一9

所以異面直線A.B與BC所成角的余弦值為不.

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一、選擇題

1.已知A(3,3,3),8(6,6,6),。為原點，則灑與面的夾角是()

7127r

A.0B.7iC，2D.亍

答案B

解析?游商=3X6+3X6+3X6=54,且欣1=3小"應1=6小，:.cos(血

54

OB')=1.7〈灑，OB)G[0,71],，SA,OB)=0,...〈灑，BO)

3小義附

=兀.

2.已知向量@=(0,-1,1),-=(4,1,0),回+加=揚,且4>0,則4=()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由題意，得說+8=(4/一九A).因為|癡+勿=/，所以4?+(1—2)2

+乃=29,整理得乃一%—6=0.又2>0,所以2=3.

3.已知點A(l,-2,11),8(4,2,3),C(6,-1,4),則AABC的形狀是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析..?能=(3,4,-8),范=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),

.,.|^1=^32+42+82=^89,|JC]=^52+12+72=VT5,|5C]=^/22+32+1=

V14,

：|而2+1反|2=75+]4=89=?葩2....為直角三角形.

4.已知a=(2,—1,3),6=(-1,4,-2),c=(7,5,A),若a,b,c三向量共

面，則實數(shù)力等于()

62卜63「60「65

AA.-B.-C.-D.-

答案D

解析'-a,b,c三向量共面，則存在不全為零的實數(shù)x,y,使c=xa+)源,

即(7,5,A)=x(2,—l,3)+y(—1,4,—2)=(2x-y,—x+4y,3x-2y),

^2x~y=l,

所以v—x+4y=5,解得

^3x—2y—X,

5.如圖所示的幾何體ABCOE中，D4_L平面EAB,CB//DA,EA=AB=DA

=2CB,EALAB,M是EC的中點.則下述結論正確的一項是（）

A.DMLEBB.DM工EC

C.DMYEMD.DM±BA

答案A

解析以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

并設EA=DA=AB=2CB=2,則E(2,0,0),8(0,2,0),C(0,2,l),0(0,0,2),

,1,JDM=\\,1,一I),磅=(-2,2,0),朋=(一2,2,1),EM=\^\,1,

肪=(0,2,0),僅有痂崩=0,從而得。MLE8.故選A.

6.已知O為坐標原點，應=(1,2,3),^=(2,1,2),斤(1,1,2),點。在直線

OP上，那么當府?必取得最小值時，點Q的坐標是()

23131

2--B--

A.33

cJ2

44

z-8X7

--J--

笞D

—3

33JC373

案

解析設OQ=/OP,則/=的一優(yōu)=如一2。三(1一/1,2-2,3-2A),QB=OB~

OQ=OB—10P=Q—A,1—A,2—2A),所以力?08=(1一%,2—九3—2Z)-(2一九1

T,2—2?=2(3/一82+5)=231一歌一；.所以當2學時，確.施最小,此時施

448X

J

選

3--L做C

337

二、填空題

7.已知向量4=(—1,0,1),>=(1,2,3),MR,若久一萬與萬垂直，則仁

答案7

解析因為(久一/>)_!_〃，所以(3一〃)?5=0,

所以切包一|肝=0.

所以A:(-IX1+0X2+lX3)-(^/l2+22+32)2=0,

解得％=7.

8.若@=(%2,2)1=(2,—3,5)的夾角為鈍角，則實數(shù)》的取值范圍是

答案(一8,—2)

解析a-Z>=2x—2X3+2X5=2x+4,設a,b的夾角為仇因為。為鈍角，

h

所以cos6=廠加<0,又|a|>0,網(wǎng)>0,所以a?力<0,即2x+4<0,所以x<—2,又a,

b不會反向,所以實數(shù)元的取值范圍是(-8,-2).

9.已知邊長為4的正方形ABCD所在平面外一點P與正方形的中心O的連

線PO垂直于平面ABCD,且PO=6,則PO的中點M到△PBC的重心N的距離

為?

答案3

解析建立如圖所示的空間直角坐標系，則3(2,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,6),

由題意，得M(0,0,3),從0,2),則痂=(0,