高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)試題

高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)試題

重慶理1

若等差數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)和03=9且％=1,則出等于(A)

A.3B.4C.5D.6

安徽文3

等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S1若的=L%=3,則S4=(B)

A.12B.10C.8D.6

遼寧文5

等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S,若%=1，%=3,則S4=(B)

A.12B.10C.8D.6

福建文2

等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為若出=1,。3=3,則S4=(B)

A.12B.10C.8D.6

廣東理5

已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“=〃2—9〃，第后項(xiàng)滿足5<%<8,則左=(B)

A.9B.8C.7D.6

在等比數(shù)列｛〃“｝(〃wN*)中，若％=1,a=-,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為(B)

48

1111

22C2D2

一

一

A.-一B.--?

2422,0

湖北理8

已知兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝和｛〃｝的前〃項(xiàng)和分別為A”和耳，且&=乂土竺，則使得&為

瓦〃+3bn

整數(shù)的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是(D)

A.2B.3C.4D.5

已知a,b,c,d成等比數(shù)列，且曲線）?=/一2》+3的頂點(diǎn)是3,c）,則ad等于（B）

A.3B.2C.1D.-2

寧夏理4

已知｛a,,｝是等差數(shù)列，即）=10,其前10項(xiàng)和%=70,則其公差4=（D）

陜西文5

等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S“，若邑=2,S4=10,則$6等于（C）

A.12B.18C.24D.42

四川文7

等差數(shù)列｛斯｝中，?i=l,03+05=14,其前〃項(xiàng)和5"=100,則〃=（B）

A.9B.10C.11D.12

上海文14

1

—,1W/1W1000,

數(shù)列｛%｝中,%="2則數(shù)列｛凡｝的極限值（B）

—―,“21001,

n2-In

A.等于0B.等于1C.等于0或1D.不存在

陜西理5

各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S”，若S”=2,S3o=14,則S40等于（C）

A.80B.30C.26D.16

天津理8

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差d不為0,%=9d.若4是4與a”的等比中項(xiàng)，則4=（B）

A.2B.4C.6D.8

重慶理14

設(shè)｛凡｝為公比q>l的等比數(shù)列，若的oo4和"zoos是方程4/8x+3=0的兩根，則

02006+。2007=---------------」8

已知數(shù)歹IJ的通項(xiàng)6=一5〃+2,貝IJ其前〃項(xiàng)和S“=.一〃⑸;+1)

全國1理15

等比數(shù)列｛《｝的前幾項(xiàng)和為S"，已知S，2s2,3Ss成等差數(shù)列，則｛a,,｝的公比為

,3

寧夏文16

已知｛4｝是等差數(shù)列，&+4=6,其前5項(xiàng)和§5=10,則其公差1=.1

江西文14

已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S,,,若兀=21,則%+%+%+町=.7

廣東文13

已知數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和S,=〃2—9〃，則其通項(xiàng)a,=；若它的第左項(xiàng)滿足

5<%<8,則k=.2n-10;8

北京理10

若數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和5?=n2-10n(n=1,2,3,??■),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為

—;數(shù)列｛〃/｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng).2/7-113

浙江理21

已知數(shù)列｛叫中的相鄰兩項(xiàng)勾是關(guān)于％的方程--(3%+2，％+3憶2A'=0的兩個(gè)根,

且a2k-\Wa2k(k=1,2,3,…).

(I)求q,a2,%,%；

(ID求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和$2“；

k

(I)解：方程12—(3k+2")x+3k2"=0的兩個(gè)根為X=34，x2=2,

當(dāng)Z=1時(shí)，%]=3,々=2，

所以q=2；

當(dāng)攵=2時(shí)，玉=6,X)=4,

所以的=4;

當(dāng)左=3時(shí)，x｝=99x2=8,

所以%=8時(shí)；

當(dāng)女=4時(shí)，Xj=12,x9=16,

所以%=12.

(II)解：S?”=%+電"I--*+。2“

=(3+6+???+3〃)+(2+22+?.?+2”)

=3/R+3/,+2,,+I-2.

2

19

已知數(shù)列｛%｝中的相鄰兩項(xiàng)%T、%是關(guān)于X的方程f-(3A+2?)x+3h2”=0的兩個(gè)

根，且(k=1,2,3,???).

(I)求功嗎,。5，。7及。2"(〃24)(不必證明)；

(II)求數(shù)列｛an｝的前2〃項(xiàng)和S2".

本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力.滿分14分.

(I)解：方程》2—(3攵+2出)*+3*2=0的兩個(gè)根為％=3攵，々=2匚

當(dāng)左=1時(shí)，玉=3,X,=2,所以q=2；

當(dāng)％=2時(shí)，xt-6,x2=4,所以%=4;

當(dāng)％=3時(shí)，%=9,々=8,所以%=8;

當(dāng)％=4時(shí)，玉=12,々=16,所以%=12；

因?yàn)閚24時(shí)，2"〉3"，所以"=2"(〃24)

3/7.2-4-377

2nn+l

(II)S2?=^+?2+---+?2?=(3+6+---+3n)+(2+2+---+2)=——+2-2.

在數(shù)列｛6,｝中，％=2,an+l=4an-3n+1,neN*.

(I)證明數(shù)列｛a,-〃｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S.；

(III)證明不等式S“MW4S“，對(duì)任意〃eN*皆成立.

本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及

前〃項(xiàng)和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分12分.

(I)證明：由題設(shè)％=4a,-3〃+1,得

%+i—(〃+1)=4(%-〃)，neN*.

又4-1=1,所以數(shù)列｛%-〃｝是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)列.

(II)解：由(I)可知a“-〃=4"，于是數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

an=4"T+n.

所以數(shù)列｛a,｝的前“項(xiàng)和S"=￡?+若1.

(Ill)證明：對(duì)任意的"wN*,

c4G4n+l-l(n+l)(n+2)(4"一1〃(〃+l)]

-43”=------+-------------4-----+-------

"+i,,32(32)

=--(3n2+n-4)^0.

所以不等式S“+1W4S,，對(duì)任意〃eN*皆成立.

上海理20

若有窮數(shù)列6嗎…%(〃是正整數(shù))，滿足4==%?…%=%即4=*+i(，是正整

數(shù),且K〃),就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”。

（1）已知數(shù)列出｝是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且仇也也也成等差數(shù)列，仇=2e=11，試

寫出色｝的每一項(xiàng)

（2）已知｛%｝是項(xiàng)數(shù)為2k-1僅21）的對(duì)稱數(shù)列，且或,構(gòu)成首項(xiàng)為50,公差為

-4的等差數(shù)列，數(shù)列｛c“｝的前2%-1項(xiàng)和為S21，則當(dāng)女為何值時(shí)，S21取到最大值？

最大值為多少？

（3）對(duì)于給定的正整數(shù)機(jī)>1,試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過的對(duì)稱數(shù)列,使得1,2,2，.2〃1

成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)〃z>1500時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前2008項(xiàng)和$2008

解：（1）設(shè)｛勿｝的公差為4,則/=仇+34=2+34=11,解得d=3,

：.數(shù)列｛2｝為2,5,8,11,8,5,2.

（2）5,2*_|+，2+…+%+

=。ck+ck+l+??-+c2k_]

2(c?+，+i+…+C21)-q,

S21=^(^-13)2+4X132-50,

當(dāng)上=13時(shí)，$21取得最大值.

S2k_x的最大值為626.

（3）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是:

①Ion2cm—2、c乙，"一[，</ym-2，???,/,Z/-),iI；

②1,2,2z,…，2"i,2"i,2"-',2m-2,---,22,2,l;

2m-',2修,…，2?,2,1,2,2?,…，2""2,2"-'

④2m-',2M-2，…，2、，2,1,1,2,2?,…，2"2,2"i

220072008

對(duì)于①，當(dāng)，心2008時(shí)，S2QO8=1+2+2+---+2=2-1.

2m22H2009

當(dāng)1500<m<2007時(shí)，S2008=1+2+…+2",-+2'"-'+2-+?■■+2-

_]+2'”一]_22川一20092'"+2'"T_22m_2009_]

對(duì)于②，當(dāng)機(jī)22008時(shí),S2008=220°8-1

m+l2m-208

當(dāng)1500<mW2007時(shí)，S2008=2-20-1.

m,n-2008

對(duì)于③，當(dāng)機(jī))2008時(shí)，S2m=2-2

陜西文20

已知實(shí)數(shù)列但〃｝是等比數(shù)列淇中由=L且。44+1,牝成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式;

(II)數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和記為Sn，證明：S?,<128(?=1,2,3,…).

解：(I)設(shè)等比數(shù)列｛”“｝的公比為q(qeR),

33]

由%=ad=1,得a1=c16,從而a4=axq=q~，a5==q~，a6=axcf=q~.

因?yàn)椤?,a5+L%成等差數(shù)列，所以%+4=2(%+1),

32

即q-+q-'=2(q<+1),q-'(1+1)=2(^-+1).

所以q=g.故=qq"?=q'/?=64(；).

64

()

(II)(=%"=—=128噌“<128.

1—q

山東理17

設(shè)數(shù)列｛a“｝滿足％+3a2+3&+…+3"T%=三，aeN*.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)；

(II)設(shè)打=2,求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和S..

a?

(1)〃]+3出+3~。3+…3"

671++3~%+…3"-?！币籡="~(〃-2),

3”“=會(huì)—4(〃22).

a,,=!(”22).

驗(yàn)證”=1時(shí)也滿足上式，a“="(neN*).

(II)bn=n-3",

5?=l-3+2-32+3-33+...n-3"

3S?=l-32+2-33+3-34+...n-3n+l

-2S?=3+32+33+3n-n-3n+,

Q2"+l

-2S,-n-3,,+1,

"1-3

山東文18

設(shè)｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和.已知§3=7,且

%+3,3/，4+4構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的等差數(shù)列.

(2)令么=山％用，〃=1，2--,求數(shù)列｛2｝的前”項(xiàng)和7.

%++。3=7,

解：⑴由已知得:《(G+3)+(4+4)

3a、?

2-

解得a2=2.

?

設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公比為心由4=2,可得q=_,a3=2q,

q

2

又$3=7,可知一+2+2q=7,

q

即2/-5q+2=0,

解得d=2,%=；,

由題意得q〉1,?二q=2.

二.％=1.

故數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為%=2”L

(2)由于a=ln%“+i，〃=1，2,…,

由⑴得%=23"

.?.勿=In23"=3〃In2

又%也=31n2.

.??｛〃｝是等差數(shù)列.

■-Tn=4+H+,??+2

；〃(一+”)

-2

_/i(31n2+31n2)

2

=3?(n+l)ln2

2

故7；=鄴羅In2.

全國2文17

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比q<l,前〃項(xiàng)和為S”.已知％=2,S4=5S2,求｛4｝的通項(xiàng)公式.

解：由題設(shè)知。尸0,S"，!(l二?,

i-q

請(qǐng)=2,

則<生(1-彳4)=5x"］「.②

.i-q"

由②得1—/=5(1—/),(q2—4)(/—1)=0,(q—2)(q+2)(q—l)(q+l)=0,

因?yàn)閝<1,解得q=-1或q=-2.

當(dāng)“=-1時(shí)，代入①得q=2,通項(xiàng)公式=2x(-l)i；

當(dāng)q=-2時(shí)，代入①得％=L通項(xiàng)公式a"=」x(-2)"T.

22

全國1文21

設(shè)｛q｝是等差數(shù)列，｛〃,｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且％=4=1,%+/=21，

a5+b3=13

(I)求｛4,｝,依｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)歹的前〃項(xiàng)和s..

1+24+/=21,

解：(I)設(shè)｛q｝的公差為d,但｝的公比為q,則依題意有q〉0且

l+4d+/=13,

解得d=2,q=2.

所以4=1+（〃-l）d=2〃-1,

b〃=qZ=2^.

352/1-32n-l公

s,,=1+牙+級(jí)+…，①

“2n-32n-l小

25?=2+3+-+-+—+^,②

②一①得S“=2+2+2+，...+3-"1,

“2222"-22"''

cc八111、2?-1

（22?2'-2J2"-'

,2〃+3

=6--

福建文21

數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,am=2S“(”eN*).

(I)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)a.；

（ID求數(shù)列｛〃4｝的前〃項(xiàng)和7；.

本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查分類

討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.

解：（I）va?+1=25?,

S“+i—=2Sn9

?S〃+i

..---------J.

Sn

又：S]=4=1,

???數(shù)列｛S“｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，S“=3"T(”GN*).

當(dāng)〃22時(shí)，a,=2S,I=23”-2(〃22),

Ln=lf

[23"-2,n22.

(II)Tn=ay+2a2+3a3+???+nan,

當(dāng)〃=1時(shí)，7；=1；

當(dāng)〃22時(shí)，7；=1+43°+63*-+2〃3"-2,........①

37；,=3+43'+632+---+2n3,,_|,...................②

①—②得:-27；,=—2+4+20+3?+…+3”2)一2〃3"、

cc3(1-3n-2)c

=2+2----------2〃

1-3

=—1+(1—2〃)3-

.口=；+（〃-；卜'（〃22）.

又7]=q=1也滿足上式，

???[=；+]〃—￡)3'i(〃eN*).

北京理15,文科16

數(shù)列｛a“｝中，4=2,a?+,=an+cn(c是常數(shù)，〃=1,2,3,…)，且q,a2,%成公比不為1的

等比數(shù)列.

（I）求c的值;

(II)求{?！皚的通項(xiàng)公式.

解：(I)%=2,a2=2+c,4=2+3c,

因?yàn)椋?出，的成等比數(shù)列，

所以(2+cy=2(2+3c),

解得c=0或c=2.

當(dāng)c=0時(shí)，a]—a2—a3,不符合題意舍去，故c=2.

(II)當(dāng)〃22時(shí)，由于

a2-a{=c,

a3-a2=2c,

a

n-an_{=(n-Y)c,

所以一q=[1+2+…+(〃-l)]c=.

又q=2,c-2,故4=2+〃(〃-1)=〃2—n+2(〃=2,3,?一).

當(dāng)”=1時(shí)，上式也成立，

所以a“-n2—n+2(〃=1,2,…).

安徽理21

某國采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為田，以后每年

交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0),因此，歷年所交納的儲(chǔ)務(wù)金數(shù)目田，做，…是一個(gè)

公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)

算復(fù)利.這就是說，如果固定年利率為廠(r>0),那么，在第〃年末，第一年所交納的儲(chǔ)備

金就變?yōu)樘?1+r)第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)椤?(l+r)n-2,……，以T"表示

到第〃年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.

(I)寫出T”與7”一1("22)的遞推關(guān)系式；

(II)求證：T,,=An+Bn,其中｛An)是一個(gè)等比數(shù)列，｛B,,｝是一個(gè)等差數(shù)列.

本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、提取

信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力、考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.本小題滿

分14分.

解：(I)我們有7；=&|(1+r)+與("22).

(II)7,=?,,對(duì)〃22反復(fù)使用上述關(guān)系式，得

T.=3(1+r)+a?=5_2(1+「A+??-i(1+D+/=…

=q(1+r)"T+與(1++…+4T(1+r)+an,①

在①式兩端同乘1+廣，得

(1+r)T?=?,(l+r)n+4(1+r)-'+…+a?_,(l+r)2+a?(l+r)②

2

②一①，得rT；=%(1+r)"+J[(l++(1+r)"-+---+(l+r)]-an

nH

=—[(1+r)-1-r]+a,(1+r)-an.

r

即1=華4(]

rrr

如果記A,=^#(l+r)",

rrr

則,=4+紇.

其中｛A｝是以與《（l+「）為首項(xiàng)，以l+?r>0）為公比的等比數(shù)列；｛耳,｝是以

一”@一色為首項(xiàng)，一4為公差的等差數(shù)列.

廣rr

x-1

.不等式：―—4>0的解集為（O

(A)(-2,1)(B)(2,+00)

(C)(-2,1)U(2,+co)(D)(-oo,-2)U(1,+co)

x-y20,

2x+yW2,

2.（北京理科6）若不等式組，、表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是（D）

y^o,

x+yWa

444

A.B.0＜。＜1C.＜—D.0＜。＜1或a2—

333

4.(北京理科12)已知集合4={加5一4忘1},8={%,2-5x+420}.若408=0,則實(shí)數(shù)

a的取侑范圍是(2,3).

x-y2-1,

8(天津理科2)設(shè)變量x,y滿足約束條件+則目標(biāo)函數(shù)z=4x+y的最大值為(B)

3%一y＜3.

A.4B.11C.12D.14

9(天津理科9)設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且2"=log?a,(gJ=log*,(g)=log2c.則(A)

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

17.(福建理科3)已知集合A={xlx<。},B={xl1<x<2},且AU(43)=R,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是(C)

A.a<2B.a<lC.a>2D.a>2

18.(福建理科7)已知/(x)為R上的減函數(shù)，則滿足〈/⑴的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(C)

x

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(—1,0)U(0,1)D.(—8,—1)U(1>+oo)

'x+y>2

19.(福建理科13)已知實(shí)數(shù)x、y滿足<x—y?2,則Z=2x-y的取值范圍是

0<y<3

29(全國1文科1)設(shè)5={#2》+1>0},T={xl3x-5<0},則5口7=

A.0B.{xIx<——}C.{xIx>—}{xI—-<x<—)

36.福建文科7.已知/(x)是R上的減函數(shù)，則滿足了(3〉/⑴的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(D)

x

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,0)U(0,l)D.(-oo,0)U(l,+℃)

37.(重慶文科5)“-IVxVl”是“￡<1”的(A)

(A)充分必要條件(B)充分但不必要條件

(C)必要但不充分條件(D)既不充分也不必要條件

x+y22,

2、(2007福建)已知實(shí)數(shù)笛y滿足則z=2x-y的取值范圍是.

OWyW3,

卜5,7]

x-y2T

3、(2007年天津文)設(shè)變量x,y滿足約束條件,x+yW4,則目

y22

標(biāo)函數(shù)Z=2x+4y的最大值為()

(A)10(B)12(C)13(D)14

C

X4-V-1<0>

4、(2007全國I)下面給出四個(gè)點(diǎn)中，位于《,表示的平

x-y+l>0

圖

面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()1

A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)

C

x-2y+4>0,

5、(2007陜西)已知實(shí)數(shù)x、y滿足條件-3W0,則z=x+2y的最大值為.

x>0,y>0,

8

2x+3yWO

6、（2007重慶）已知—?jiǎng)tz=3x—y的最小值為.

y20.

9

7,（2007四川）某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)

2

項(xiàng)目乙投資的一倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對(duì)項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的

3

利潤，對(duì)項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確提財(cái)投資后，在兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲

得的最大利潤為

A.36萬元B.31.2萬元C.30.4萬元D.24萬元

B

x-2y+5=0,

8、（2007浙江）z=2x+y中的x,y滿足約束條件（3-x20,則z的最小值是.

x+y20,

5

3

9,(2007山東)本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)

用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)

電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何

分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得

yA

x+yW300,