高中數(shù)學(xué)函數(shù)的圖象教案 （文科）

函數(shù)的圖象教案

一、知識(shí)梳理：

函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀表達(dá)，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，借助

函數(shù)的圖象，我們可以方便地研究函數(shù)的性質(zhì)，加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理

解和認(rèn)識(shí)，而且分析函數(shù)圖象是運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決一些綜合

問題的有力工具，它一方面能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路，另一方面能夠

簡化解題過程。

(一)、作圖象

作函數(shù)的圖象通常有以下兩種辦法：

(1)、描點(diǎn)法：其步驟

①、確定函數(shù)的定義域。②、化簡函數(shù)的表達(dá)式。③、列表。④、

描點(diǎn)。⑤、連線。

(2)、圖象的變換：主要有以下四種形式：

①、平移變化：(a)左右平移：(>0)的圖象可由的圖象向左或向右平

移a個(gè)單位得到；(b)上下平移：(>0)的圖象可由的圖象向上或向

下平移a個(gè)單位得到。(c)的圖象按向量

②、對(duì)稱變換：主要有：

的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；

的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；

的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱。

③、伸縮變換：主要有：

(a)、的圖象可將的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

而得到；

（b）、的圖象可將的圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

而得到；

④、翻折變換：主要有：

（a）、圖象可將的圖象位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸翻折，x

軸及其上方的圖象保持不變；

（b）、圖象是先畫出在y軸及右側(cè)的圖象再將y軸右側(cè)的圖象以y軸

為對(duì)稱軸翻折到左側(cè)而得到左邊的圖象（右側(cè)部分保持不動(dòng)）；

（二"識(shí)圖象

對(duì)于給定的函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右上下分布范圍、變化趨勢,

來研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等性

質(zhì)；

（三）、用圖象

函數(shù)的圖象形象對(duì)顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”

的直觀性，它是探求解題圖徑、獲得問題結(jié)果的重要工具。

（四”圖象對(duì)稱性的證明

證明函數(shù)的圖象的地稱性，即證明圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（或

對(duì)稱軸）對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上；有關(guān)對(duì)稱問題有以下三個(gè)重要結(jié)論：

⑴若=對(duì)于定義域內(nèi)任意x都成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線乂=成軸

對(duì)稱圖形；

⑵若的圖象關(guān)于直線x初及x=n對(duì)稱，則周期函數(shù)，2|m-n|是它的

一個(gè)周期；

⑶若的圖象關(guān)于點(diǎn)(m,0)(n,0)對(duì)稱，則周期函數(shù)，2|m-n|是它

的一個(gè)周期。

第一個(gè)結(jié)論應(yīng)用很重要。

二、題型探究

探究一：應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)作函數(shù)的圖象

例1：作出下列函數(shù)的圖象

(1)>f(x)=|x+2|(x-1)

(2)、f(x)=|

(3)>f(x)=

(4)、f(x)=

⑸、f(x)=sin|x|

(6)f(x)=|lnx|

(7)、f(x)=ln|x+11

⑻、f(x)=||-3

(9)f(x)=

(10)、f(x)=f(x)=

(11)、f(x)=|x+l|+|xT|f(x)=|x+1|-|x-1

(12)、f(x)=[x]([x]表示不超過x的最大整數(shù))

探究二：利用數(shù)形結(jié)合的思想解題

例2：【2014天津高考理第14題】已知函數(shù)若方程

a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】（0,1）U（9,4⑹.

【解析】方法一：在同一坐標(biāo)系中畫/國=產(chǎn)+3區(qū)和g（x）=a,-I|的圖象（如圖），問題轉(zhuǎn)化為/（x）

與g（x）圖象恰有四個(gè)交點(diǎn).當(dāng)y=a（x-l）與＞=/+3%（或y=一a（又一1）與y=-/-3%）相切時(shí),

/（九）與屋x）圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)’把y=o（x-l）代入y=/+3x,得，+3尤=。（尤一I）,即

，+（3—〃）尤+0=0,由△=（）,得（3—媼=0,解得。=1或。=9.又當(dāng)a=0時(shí)，/㈤與g㈤

僅兩個(gè)交點(diǎn)，一.0＜。＜1或。＞9.

方法二：顯然axL所以。=史卓.令f=x-L則

X—1

44.,

a=/+y+5.因?yàn)閒+—W（—oo?-4；U[4?+DO）,所以

4

fd1-5E（—ooj]Up＞4~oo）?結(jié)合圖象可得0〈I或

a＞9.

【考點(diǎn)】方程的根與函數(shù)的林零點(diǎn).

3：函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（C）

(A)、1(B)、2(C)、3(D)、4

例4：函數(shù)f(x)=lo()(a>O,a)的圖象如圖所

示，則a,b滿足的關(guān)系是(D)

(A)、(B)、(C)、(D)、

例5：設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=0及

直線x=l對(duì)稱，且x時(shí)，f(x)=,則=(B)

A、B、C、D、

例6：已知函數(shù)f(x)=，將y=f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位，再將圖

象所有的點(diǎn)橫標(biāo)坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到函數(shù)y=g(x)

的圖象.

⑴、求y=g(x)的定義域;

(2)、令F(x)=f(x-1)-g(x),求F(x)值域。

解：y=g(x)=，所以定義域?yàn)閧x|x};F(x)=-=,以u(píng)=,uO,],所以

值域?yàn)?-,-3]

三、方法提升：

函數(shù)的圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，要做到會(huì)用描點(diǎn)法做

圖，會(huì)通過函數(shù)的圖象變換得到函數(shù)的圖象，會(huì)觀察圖象得到函數(shù)的

性質(zhì)，比如單調(diào)性，對(duì)稱性，通過個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值推導(dǎo)系數(shù)的范圍，

通過導(dǎo)數(shù)圖象估計(jì)原函數(shù)圖象等等，能夠利用函數(shù)圖象解決一些數(shù)形

結(jié)合的問題。

四、思想感悟：

五、課時(shí)作業(yè)

函數(shù)的圖象

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確

答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).)

1.12014山東高考理第8題】已知函數(shù)/(%)=k-2|+1,心)=立若方

程/(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】由已知,函數(shù)/(x)=|x-2|+l,g(x)=Ax的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),

畫圖可知當(dāng)直線介于4：y=；x，4：y=x之間時(shí)，符合題意，故選反

考點(diǎn)：函數(shù)與方程，函數(shù)的圖象.

2.為了得到函數(shù)尸3義鼻■'的圖象，可以把函數(shù)夕=鼻'的圖象

(D)

A.向左平移3個(gè)單位長度B.向右平移3個(gè)單位長度

C.向左平移1個(gè)單位長度D.向右平移1個(gè)單位長度

解析:尸3義伊=仁卜?1}=印1,故它的圖象是把函數(shù)尸

的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到的.答案：D

3.給出四個(gè)函數(shù)，分別滿足①f(x+y)=f(x)+f(y),②g(x+

y)=g(x)?g(y),(3)h(x?y)=h(x)+h(y),④m(x?y)=

m(x)-m(y).又給出四個(gè)函數(shù)的圖象，那么正確的匹配方案可以是⑻

C.①丙，②甲，③乙，④丁D.①丁，②甲，③乙，④

丙

解析：圖象甲是一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象，它應(yīng)滿足②；圖象乙是一

個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，它應(yīng)滿足③；圖象丁是y=x的圖象，滿足①.

答案：D

4.函數(shù)y=f(x)的曲線如圖⑴所示，那么函數(shù)y=f(2—x)的曲

線是圖⑵中的(C)

(2)

解析：把y=f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+2)的

圖象，再作關(guān)于y軸對(duì)稱的變換得到y(tǒng)=/'(—x+2)=F(2—x)的圖象,

故選C.答案：C

5.函數(shù)/'(x)=,一x的圖象關(guān)于(C)

X

A.y軸對(duì)稱B.直線y=-xC.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直

線尸x

11〃1

解析：Vf(X)=--X,.*.f(―X)=---+x=----X=—f(x).

XXkx7

.??Mx)是一個(gè)奇函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.答案：

C

6.已知lga+lg6=0,函數(shù)f(x)=a"與函數(shù)g(x)=-log〃x的圖

象可能是()

解析：lga+lg6=0,...lga6=0,ab=1,b=~,「.g(x)=

a

—log屏=logaX,.,.函數(shù)/'(x)與g(x)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=

x對(duì)稱，故正確答案是B.

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確

答案填在題后的橫線上.)

7.已知下列曲線：

以下編號(hào)為①②③④的四個(gè)方程：

②笈-I引=0；③X—3=0；④|x|—y=o.

請(qǐng)按曲線A、B、C、D的順序，依次寫出與之對(duì)應(yīng)的方程的編號(hào)

解析：按圖象逐個(gè)分析，注意x、y的取值范圍.

答案：④②①③

8.［2014?西安五校聯(lián)考］已知最小正周期為2的函數(shù)y=f(x),

當(dāng)—1,1］時(shí)，f{x)=x,則函數(shù)y=F(x)(x￡R)的圖象與y=

Ilog5X」的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

解析：由下圖象可知有5個(gè)交點(diǎn).

9.設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,則下列命題中①尸/tr)是偶函數(shù)，

則y=Mx+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②若尸F(xiàn)(x+2)是偶函數(shù)，則

y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱;③若f1x—*=f{2—x),y—f{x)

的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；④y=f(x—2)和y=f(2—x)的圖象關(guān)于

直線x=2對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是-_(填上所有正確命題

的序號(hào)).

解析：對(duì)于①，y=f(x+2)關(guān)于x=-2對(duì)稱；對(duì)于③，當(dāng)/(2

+x)=f(2—x)時(shí)，f(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，而當(dāng)f(2—x)=f(x

一2)時(shí)，則應(yīng)關(guān)于x=0對(duì)稱.

答案：②④

10.(2013?青島模擬題)已知函數(shù)f(x)=2—x、g(x)=x.若

f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},那么f(x)*g(x)的最大值是

.(注：min表示最小值)

解析：畫出示意圖(如圖).

2—x2(xW—2),

f(x)*g(x)=<x(―2<x<l),

l2-x2(xel),

其最大值為1.答案：1

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分,

寫出證明過程或推演步驟.)

11.已知函數(shù)f(x)定義在［—2,2］上的圖象如圖所示，請(qǐng)分別畫

出下列函數(shù)的圖象；

(l)y=F(x+l)；(2)y=f{x)+1；(3)y=F(—x)；(4)y=-F(x)；

(5)y=If{x}I；(6)y=F(|x|)；(7)y=2f(x)；(8)y=f(20.

解：利用圖象變換技巧進(jìn)行平移、伸縮、對(duì)稱、翻折即可.

(1)將函數(shù)y=f(x),王￡［一2,2］的圖象向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)

=F(x+l),王￡［-3,1］的圖象，如圖①.

(2)將函數(shù)y=M,2,2］的圖象向上平移1個(gè)單位即得

到尸f(x)+l,王￡［-2,2］的圖象，如圖②.

(3)函數(shù)y=/'(—x)與y—f{x),［—2,2］的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

如圖③.

(4)函數(shù)y=-f(x)與y=f(x)［—2,2］的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,

如圖④.

(5)將函數(shù)y=f(x),“￡［—2,2］的圖象在x軸下方的部分翻折

到x軸上方，x軸上方的部分不變，得到y(tǒng)=|/'(x)|的圖象，如圖⑤.

(6)考慮到函數(shù)y=F(|x|)為［-2,2］上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=

f(x),王￡［-2,2］在9軸右側(cè)的部分不變，左側(cè)部分換為右側(cè)關(guān)于y

軸對(duì)稱的圖象即可得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象，如圖⑥.

(7)將函數(shù)y=f(x),[—2,2]的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,

縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=2/tv)的圖象，如圖⑦.

(8)將函數(shù)y=f(x),[-2,2]的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,

橫坐標(biāo)縮小為原來的;，得到y(tǒng)=f(2x)的圖象，如圖⑧.

乙

誤區(qū)指津：注意區(qū)別尸"(x)|與y=f(|x|)這兩個(gè)函數(shù)圖象的

作法.后者一定是偶函數(shù)，但前者卻不一定.因此在作后者圖象時(shí)，

我們先作出y=Ax)的圖象，并去掉y軸左側(cè)的圖象，再將y軸右側(cè)

的圖象“拷貝”一份，并關(guān)于y軸對(duì)稱“粘貼”到y(tǒng)軸的左側(cè)，即得

y=f{\x\}的圖象.

評(píng)析：許多有關(guān)函數(shù)圖象變換的題目都是建立在以上8種基本作

圖的基礎(chǔ)之上，應(yīng)充分運(yùn)用這些變換技巧作圖.請(qǐng)注意，我們?cè)谧饕?/p>

知解析式的函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)先在定義域范圍內(nèi)對(duì)已知解析式進(jìn)行化

簡，轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)作圖.

12.如圖函數(shù)9=系+￡的圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位，得曲

線G設(shè)曲線。的方程9=廣(才)對(duì)任意2￡R都有/、(1+Z)=-F(1—

力，試求/'(1)+〃-1)的值.

1

解：由題意得F(x)=(x—a)：'+(x—a)~.Vf(l+t)=—f(l—t),

.,.點(diǎn)P(l+K力與點(diǎn)0(1—3―力在曲線。上，

對(duì)于任意％￡R,線段N中點(diǎn)欣1,0)為定點(diǎn)，即曲線。上任意一

點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)〃的對(duì)稱點(diǎn)。都在曲線。上.故曲線C關(guān)于點(diǎn)以1,0)對(duì)

稱.

1

又因?yàn)閥=(x—4+