福建省福州市倉山區(qū)2023-2024學年八年級下學期期中數學試題【含答案解析】

2023-2024學年第二學期校內期中質量檢查八年級數學試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，完卷時間120分鐘．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是利用（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，滿足以上條件為最簡二次根式進行判斷．【詳解】解：A、中被開方數含有分母，故該項不是最簡二次根式，不符合題意；B、中被開方數含有分母，故該項不是最簡二次根式，不符合題意；C、是最簡二次根式，故符合題意；D、中被開方數含有因數4，故該項不是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．2.每年兩會，民生話題都牽動人心．就業(yè)是最大的民生，2024年政府工作報告提出，城鎮(zhèn)新增就業(yè)12400000人左右．將數據12400000用科學記數法可表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值時，n是負整數．【詳解】解：，故選：B．3.下列各組長度的線段中，首尾順次相接不能構成直角三角形的是（）A.2，5，6 B.3，4，5 C.6，8，10 D.5，12，13【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握已知的三邊滿足，則是直角三角形是解題關鍵．根據勾股定理逆定理驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可判斷是否能組成直角三角形．【詳解】解：A、∵，∴2，5，6不能組成直角三角形，故本選項符合題意；B、∵，，∴，∴3，4，5能構成直角三角形，故本選項不符合題意；C、∵，∴6，8，10能組成直角三角形，故本選項不符合題意．D、∵，，∴，∴5，12，13能構成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：A．4.如圖，在菱形中，，交于點，若，，則菱形的周長是（）A.12 B.16 C.20 D.24【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，以及30度所對直角邊等于斜邊一半，根據菱形的性質，得到，，利用30度所對直角邊等于斜邊一半，得到即可解題．【詳解】解：四邊形為菱形，，，，，，菱形的周長是；故選：B．5.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據二次根式相關的運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A.和不能合并，此選項計算錯誤，不符合題意；B.，此選項計算錯誤，不符合題意；C.，此選項計算正確，符合題意；D.，此選項計算錯誤，不符合題意；故選C．6.下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A.， B.C. D.，【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質．根據平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、由，，不能判定四邊形平行四邊形，故選項A符合題意；B、，，四邊形平行四邊形，故選項B不符合題意；C、，，四邊形是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、由，，四邊形是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：A．7.已知，滿足方程組，則無論取何值，，恒有的關系式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組的代入消元法，把②代入①即可得出x、y的關系．【詳解】解：把②代入①，得，∴，故選：A．8.如圖，兩平行線和的距離是4，點，分別在和上，且和的夾角，則的長為（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理以及平行線的性質，添加合適的輔助線是解題的關鍵．過點B作，垂足為D，根據垂直定義可得，根據題意可得：，再根據平角的定義可得，然后根據直角三角形的兩個銳角互余可得：，根據等角對等邊得出，最后根據勾股定理進行計算即可解答．【詳解】解：過點B作，垂足為D，∴，由題意得：，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．9.如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點的坐標為，則點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的判定及性質、正方形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．如圖，過點A作軸，交于點N，過點C作軸，交y軸于點M，根據垂線的定義得出，再根據余角的定義得出，然后根據正方形的性質及等量代換得出，利用證明，根據全等三角形的性質得出，，最后根據點A的坐標即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點A作軸，交于點N，過點C作軸，交y軸于點M四邊形正方形，在和中，點A的坐標為，，點的坐標為故選C．10.如圖，在矩形中，，，點，分別在，上，，，若是的中點，是的中點，連接，則的長為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】連接，并延長交于點N，連接，根據平行四邊形的性質得出，利用【詳解】解：如圖，連接，并延長交于點N，連接四邊形是矩形G是的中點在和中，，，，H是的中點，故選D．【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定及性質，三角形中位線定理以及勾股定理，添加合適的輔助線是解題的關鍵．第Ⅱ卷注意事項：1.用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應位置書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．2.作圖可先用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.11.若有意義，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數．根據二次根式的性質意義，被開方數大于等于0，即可求得．【詳解】解：由題意得，解得：，故答案為：12.在平面直角坐標系中，點的坐標為，則的長是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了已知兩點坐標求兩點的距離，直接根據勾股定理即可得出答案．【詳解】解：點的坐標為，點O的坐標為．故答案為：．13.若菱形的兩條對角線長分別為6和8，則該菱形的面積為________．【答案】24【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質，根據菱形的面積等于其對角線乘積的一半進行求解即可．【詳解】解：∵菱形的兩條對角線長分別為6和8，∴該菱形的面積為，故答案為：．14.如圖，在中，平分，，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質、角平分線的性質及等腰三角形的判定，根據平行四邊形的性質角平分線的性質得，進而可得，再根據即可求解，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，，，故答案為：．15.若，則的值為______．【答案】1【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值和完全平方公式將原式根據完全平方公式變形，再將值代入計算即可得出答案．【詳解】故答案為：．16.如圖，是等腰直角三角形，，點D在線段上，過D作于E，于F，點G，H分別是的中點，若，則下列結論正確的是____．（寫出所有正確結論的序號）①；②的最小值是；③的面積始終保持不變；④是等腰三角形．【答案】①④##④①【解析】【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等．證明四邊形是矩形，可得，可判斷①；連接，根據矩形的性質可得當時，最小，此時點D與點H重合，即的最小值的長，可判斷②；設，則，可得到的面積隨x的變化而變化，可判斷③；再由直角三角形的性質可判斷④．【詳解】解：∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，即，故①正確；如圖，連接，∵點G，H分別是的中點，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，∴點G，D，A三點共線，，且，∴，∴當時，最小，此時點D與點H重合，即的最小值的長，∵，∴，∴，∴的最小值是，故②錯誤；∵四邊形是矩形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設，則，∴的面積為，∴的面積隨x的變化而變化，故③錯誤；∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，故④正確．故答案為：①④三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．【答案】5【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，涉及到算術平方根、零次冪、完全平方公式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．依次計算算術平方根、零次冪、完全平方公式，再計算有理數的加減即可得出答案算術平方根、零次冪、完全平方公式．【詳解】解：18.解不等式組：【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解一元一次不等式的方法．先求出每個不等式的解集，再根據口訣“同大取大”即可確定不等式組的解集．【詳解】解不等式組：解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為．19.如圖，在中，，于點，，求的長．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂線的定義以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據垂線的定義得出，在中，根據勾股定理求出，再根據線段的和差求出，然后在中，利用勾股定理即可求出的值．【詳解】解：，中，，在中，．20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．先將括號里面的通分，再根據分式的除法法則把除法轉化為乘法，然后約分，最后將值代入計算即可得出答案．【詳解】解：當時，原式21.如圖，平行四邊形的對角線交于點，過點作直線，分別交于點．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質、三角形全等的判定與性質，由平行四邊形的性質可得，，由平行線的性質可得，證明，即可得證．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，．22.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：在邊上找出點D，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接，若，求的長．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質、垂直平分線的尺規(guī)作圖、勾股定理等知識點，理解垂直平分線的性質成為解題的關鍵．（1）作線段的垂直平分線，其于的交點即為所求；（2）設，由（1）知，進而得到、，再根據勾股定理列方程求解即可．【小問1詳解】解：如圖所示，點即為所求；【小問2詳解】解：設，由（1）知，，，，，，，，解得，．23.【閱讀材料】我們把多項式及叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項．使式子中出現完全平方式，再減去這個項．使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，可以求代數式的最大值或最小值．例如，求代數式的最小值．可知，當時，有最小值，最小值是．再例如，求代數式的最大值．．可知，當時，有最大值，最大值是15．【類比應用】（1）求當取何值時，代數式有最大或最小值？這個最大或最小值是多少？【遷移應用】（2）如圖，在四邊形中，對角線，交于點，且，，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）當時，有最小值，最小值是7；（2）當時，有最大值，最大值是8【解析】【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，解題時要熟練掌握并靈活運用完全平方公式進行解題是關鍵．（1）依據題意，由，再結合題干中的信息即可得出答案；（2）設，四邊形的面積為，得出，依據題意，由，根據完全平方公式變形為，進而即可得出答案．【詳解】（1）解：當時，有最小值，最小值是7；（2）解：設，四邊形的面積為，，當時，有最大值，最大值是8．24.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點，分別在軸，軸上．點在上，過作分別交軸，軸于，，過作交軸于，連接，且．（1）求證：四邊形是矩形；（2）點坐標為，且，滿足．連接交軸于．①求的長；②求點的坐標．【答案】（1）見解析（2）①；②點的坐標為【解析】【分析】（1）根據垂線的定義及平行線的判定得出，再根據一組對邊平行且相等即可證明四邊形為平行四邊形，然后根據有一個角為直角的平行四邊形為矩形即可得證；（2）①法一：過點作于點，根據垂線的定義得出，根據非負性得出，，從而得出，再根據矩形的性質利用證明，然后根據全等三角形的性質即可得出答案；法二：根據非負性得出，，從而得出，再根據平行線的性質及矩形的性質得出，利用證明，最后根據全等三角形的性質即可得出答案；②設，則，根據得出，再根據矩形的性質及勾股定理即可求出的值，進一步可得出的值，即可得出答案．【小問1詳解】證明：，，，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為矩形；【小問2詳解】①解：法一：過點作于點則，，，，，四邊形是矩形，四邊形是矩形，，，；法二：如圖：，，，，，四邊形為矩形，，，，，，，；②解：如圖設，則，，，，，四邊形為矩形，，四邊形為矩形，，，解得，，點的坐標為．【點睛】本題考查了平行線的性質、矩形的判定及性質、勾股定理、非負性、全等三角形的判定及性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．25.如圖，是正方形外一點，連接交于點．連接，，且．（1）試判斷與之間的數量關系，并說明理由；（2）求證：平分；（3）如備用圖，過點作于點，分別交，于點，，連接，若．求的值．【答案】（1）．理由見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據正方形的性質及直