高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（含詳細答案解析）

第10單元空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（基礎(chǔ)篇）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是，，那么這條斜線與平面所成的角是（）A．90° B．30° C．45° D．60°【答案】D【解析】∵，又由題意知，∴．答案D．2．平面經(jīng)過三點，，，則平面的法向量可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)平面的法向量為，對于A選項，，故A選項錯誤；對于B選項，，故B選項錯誤；對于C選項，，故C選項錯誤；對于D選項，由于，，故D選項符合題意．所以本題選D．3．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A． B． C． D．與相交【答案】C【解析】∵直線l的方向向量為，平面的法向量為，∴，∴，∴，故選C．4．如圖，在平行六面體中，為的中點，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的三角形法則得到．故選A．5．在長方體中，，，點為的中點，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，，，異面直線與所成角正切值為，故選A．6．正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以點為坐標原點，以，，方向分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設(shè)棱長2，則，，，，所以，，因為在正方體中，，平面，所以，又，所以平面，因此向量為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則．故選A．7．對于空間任意一點和不共線的三點，，，且有，則，，是四點共面的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】空間任意一點和不共線的三點，，，且，則四點共面等價于，若，，，則，所以四點共面，若四點共面，則，不能得到，，，所以，，是四點共面的充分不必要條件，故選B．8．已知二面角，其中平面的一個法向量，平面的一個法向量，則二面角的大小可能為（）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】∵，，設(shè)與之間的夾角為，，，，二面角的大小可能為和．9．已知在平行六面體中，，，，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在平行六面體中，，，，，，，，則，故選D．10．如圖，已知矩形與矩形全等，二面角為直二面角，為中點，與所成角為，且，則（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】以A為原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AB＝2a，BC＝2b，則F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），（﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b），∵FM與BD所成角為θ，且，∴，整理得，∴，解得，或（舍），∴，故選C．11．在空間直角坐標系中，四面體各頂點坐標分別為，，，則該四面體外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在空間坐標系里畫出四個點，可得面，因此可以把四面體補成一個長方體，其外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故選B項．12．如圖，四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取BD中點O，連結(jié)AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角的平面角，以O(shè)為原點，OC為x軸，OD為y軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），設(shè)二面角的平面角為θ，則，連AO、BO，則∠AOC＝θ，，∴，，設(shè)AB、CD的夾角為α，則，∵，∴，∴．∴cos的最大值為．故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知點關(guān)于坐標原點的對稱點為，關(guān)于平面的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，則線段的中點的坐標為_______．【答案】【解析】點關(guān)于坐標原點的對稱點A1的坐標為，點關(guān)于xOz平面的對稱點A2的坐標為，點關(guān)于z軸的對稱點A3的坐標為，∴線段AA3的中點M的坐標為．14．在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為__________．【答案】【解析】因為，所以角為直角，又直棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，所以兩兩垂直，以點為坐標原點，以方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則．故答案為．15．如圖，在正方體中，、分別為的中點，則平面和平面所成二面角的正弦值為__________．【答案】【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則E(1，0，0)，F(xiàn)(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，，，設(shè)平面EFC1B的法向量，則，取，得，平面BCC1的法向量，設(shè)平面EFC1B和平面BCC1所成二面角為，則，所以，故填．16．將直角三角形沿斜邊上的高折成的二面角，已知直角邊，那么下面說法正確的是_________．（1）平面平面；（2）四面體的體積是；（3）二面角的正切值是；（4）與平面所成角的正弦值是，【答案】（3）（4）【解析】畫出圖像如下圖所示，由圖可知（1）的判斷顯然錯誤；由于，故是二面角的平面角且平面，故．過作交的延長線于，由于，故是三棱錐的高．在原圖中，，，，，，所以，故（2）錯誤；以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系．，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即．平面的法向量是．設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，故，則其正切值為．故（3）判斷正確；平面的法向量為，，設(shè)直線和平面所成的角為，則，故（4）判斷正確．綜上所述，正確的有（3），（4）．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在正四棱柱中，分別為棱的中點，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：在正四棱柱中，，底面，，又，平面，則，，，，，則，，平面．又平面，∴平面平面．（2）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，．設(shè)是平面的法向量，，即，令，得，由（1）知，平面ABE的一個法向量為，，故平面與平面ABE所成銳二面角的余弦值為．18．（12分）如圖，是以為直徑的半圓上異于的點，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且，．（1）求證：平面平面；（2）若的長度為，求二面角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：平面平面，兩平面交線為，平面，，平面，平面，，是直角，，平面，平面，平面平面．（2）如圖，連結(jié)，以點為坐標原點，在平面中，過作的垂線為軸，所在的直線為軸，在平面中，過作的垂線為軸，建立空間直角坐標系．的長度為，，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得，，，平面的一個法向量，，，二面角的正弦值為．19．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的菱形，，與交于點，平面平面，，，．（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，點為的中點，求二面角的余弦值．【答案】（1）見證明；（2）．【解析】（1）證明：取的中點，連結(jié)、、，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為、分別為、的中點，所以且．又，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．（2）因為菱形，所以．所以，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，可得，平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．20．（12分）已知四棱錐的底面是菱形，，底面，是上的任意一點．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，是否存在點使平面與平面所成的銳二面角的大小為？如果存在，求出點的位置，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）證明：∵平面，平面，∴．∵四邊形是菱形，∴．∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）設(shè)與的交點為，以、所在直線分別為、軸，以過垂直平面的直線為軸建立空間直角坐標系（如圖），則，，，，．設(shè)，則，設(shè)，∴，∴，∴，，設(shè)平面的法向量，∵，∴．求得為平面的一個法向量．同理可得平面的一個法向量為，∵平面與平面所成的銳二面角的大小為，∴，解得．∴為的中點．21．（12分）如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E為CD中點，AE與BD交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE為等邊三角形，所以O(shè)D⊥AE，OB⊥AE，即在△PAE中，OP⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE?平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE．（2）在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．∴直線PB與平面ABCE夾角為，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q兩點重合，即OP⊥平面ABCE，以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，由題意得，各點坐標為，，，∴，，設(shè)平面PCE的一個法向量為，則，即，設(shè)，則，，∴，由題意得平面PAE的一個法向量，設(shè)二面角為α，．即二面角為α的余弦值為．22．（12分）如圖，已知四棱錐的底面為邊長為的菱形，為中點，連接．（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】（1）見證明；（2）2．【解析】（1）連接，∵菱形中，，∴為等邊三角形，又為中點，∴．又，則，又，∴平面，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）∵平面平面，且交線為，，平面，∴，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，可取，又平面的法向量可取，由題意得，解得，即，又菱形的面積，∴四棱錐的體積為．第10單元空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（提高篇）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于120°，則直線與平面所成的角等于（）A．120° B．30° C．60° D．60°或30°【答案】B【解析】設(shè)直線與平面所成的角為，則，故選B．2．若兩個向量，，則平面的一個法向量為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)平面ABC的法向量為，則，即，令，則，即平面ABC的一個法向量為，故選A．3．已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量不重合那么下列說法中：；；；．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】∵平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等價于平面，平行垂直，正確；直線l的方向向量平行垂直于平面的法向量等價于直線l垂直平行于平面，都錯誤．故選B．4．如圖，平行六面體中，與交于點，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，∴，故選D．5．在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，平面，設(shè)，則，又，，所以．故，即，即與所成角的大小為．故選D．6．已知在長方體中，，，，是側(cè)棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在長方體中，，，，是側(cè)棱的中點，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，0，，，，，0，，，0，，1，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則．直線與平面所成角的正弦值為，故選B．7．已知，，，則“”是“，，構(gòu)成空間的一個基底”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當“”時，，易得，，不共面，即，，能構(gòu)成空間的一個基底，即“”是“，，構(gòu)成空間的一個基底”的充分條件；當，，能構(gòu)成空間的一個基底，則，，不共面，設(shè)，，共面，即，解得，即，即，，能構(gòu)成空間的一個基底時，m的取值范圍為，即當，，能構(gòu)成空間的一個基底，不能推出，即“”是“，，構(gòu)成空間的一個基底”的不必要條件，綜合得：“”是，，構(gòu)成空間的一個基底”的充分不必要條件，故選A．8．已知正四棱柱的體積為，底面ABCD的邊長為1，則二面角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】過D作于，連接AO，則就是二面角的平面角．正四棱柱的體積為，底面ABCD的邊長為1，．在中，，，可得，．在中，，．故選C．9．在正方體中，點E是棱的中點，點F是線段上的一個動點．有以下三個命題：①異面直線與所成的角是定值；②三棱錐的體積是定值；③直線與平面所成的角是定值，其中真命題的個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】以A點為坐標原點，AB，AD，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，可得B(1，0，0)，C(1，1，O)，D(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，設(shè)F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得，故異面直線與所得角是定值，故①正確；三棱錐的底面面積為定值，且∥，點F是線段上的一個動點，可得F點到底面的距離為定值，故三棱錐的體積是定值，故②正確；可得=(t，1，-t)，=(0，1，-1)，=(-1，1，0)，可得平面的一個法向量為，可得不為定值，故③錯誤；故選B．10．當動點在正方體的體對角線上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為原點，，，分別為，，軸正向，建立空間直角坐標系，則，，設(shè)，則，，，故，對于函數(shù)，有：，，故，又，故．故選．11．三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點，點P在上，且滿足，當直線PN與平面ABC所成的角取最大值時，的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以AB，AC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則0，，，平面ABC的一個法向量為，設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為，，當時，，此時角最大．故選A．12．如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，點P是線段AB上的動點，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ與AC成30°的角，則線段PA長的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以C為原點，CD為軸，CB為軸，過C作平面BCD的垂線為軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，，則，因為異面直線PQ與AC所成的角為，所以，即，所以，所以，解得，所以，即線段PA的長的取值范圍是，故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．若向量，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【解析】因為與的夾角為鈍角，所以且不同向．，整理得．當反向時，，所以．14．已知在長方體中，，，，E是側(cè)棱的中點，則直線AE與平面所成角的正弦值為______．【答案】【解析】在長方體中，，是側(cè)棱的中點，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則．∴直線與平面所成角的正弦值為．15．已知圓錐的頂點為，為底面中心，，，為底面圓周上不重合的三點，為底面的直徑，，為的中點．設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為__________．【答案】【解析】以AB的中點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，則：，如圖所示，由對稱性不妨設(shè)且，則，易知平面SAB的一個法向量為，據(jù)此有，當且僅當時等號成立，綜上可得：的最大值為．16．，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：（1）當直線與成角時，與成角；（2）當直線與成角時，與成角；（3）直線與所成角的最小值為；（4）直線與所成角的最小值為，其中正確的是______（填寫所有正確結(jié)論的編號）．【答案】（1）（3）【解析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故|AC|＝1，|AB|，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量，，直線b的方向單位向量，，設(shè)B點在運動過程中的坐標中的坐標B′（cosθ，sinθ，0），其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），∴AB′在運動過程中的向量為，，設(shè)與所成夾角為，則，∴，∴（3）正確，（4）錯誤．設(shè)與所成夾角為，，當與夾角為60°時，即，，∵，∴，∵，∴，此時與的夾角為60°，∴（1）正確，（2）錯誤．故答案為（1）（3）．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖四棱錐中，底面是正方形，，，且，為中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：∵底面為正方形，∴，又，∴平面，∴,同理，∴平面．（2）建立如圖的空間直角坐標系，不妨設(shè)正方形的邊長為2，則，設(shè)為平面的一個法向量，又，，令，得．同理是平面的一個法向量，則．∴二面角的正弦值為．18．（12分）如圖，已知多面體的底面是邊長為2的菱形，底面，，且．（1）證明：直線平面；（2）證明：平面平面；（3）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）證明：連接BD，交AC于點O，設(shè)PC中點為F，連接OF，EF．因為O，F(xiàn)分別為AC，PC的中點，所以，且，因為，且，所以，且，所以四邊形OFED為平行四邊形，所以，即，又平面，面，所以面．（2）因為平面，平面，所以．因為是菱形，所以．因為，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面．（3）解法1：因為直線與平面所成角為，所以，所以，所以，故為等邊三角形．設(shè)BC的中點為M，連接AM，則．以A為原點，AM，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖）．則，，，，設(shè)平面PCE的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面CDE的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)二面角的大小為，由于為鈍角，所以．所以二面角的余弦值為．解法2：因為直線與平面所成角為，且平面，所以，所以．因為，所以為等邊三角形．因為平面，由（1）知，所以平面．因為平面，平面，所以且．在菱形中，．以點為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系（如圖）．則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，則法向量．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，則法向量．設(shè)二面角的大小為，由于為鈍角，則．所以二面角的余弦值為．19．（12分）如圖，正方形邊長為，平面平面，．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：平面平面，平面平面，，面，∴平面，又平面，∴，又∵，，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，在直角中，，，易得，，由（1）知為平面的一個法向量，，，設(shè)是平面BDE的一個法向量，則，即，令，則，，∴，，∴