2025版新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率2.1.2兩條直線平行和垂直的判定素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊

A組·基礎(chǔ)自測一、選擇題1．若直線l1的斜率為a，l1⊥l2，則直線l2的斜率為(D)A.eq\f(1,a) B．a(chǎn)C．－eq\f(1,a) D．－eq\f(1,a)或不存在[解析]由l1⊥l2，當(dāng)a≠0時，l2的斜率k＝－eq\f(1,a)，當(dāng)a＝0時，l2的斜率不存在，故應(yīng)選D.2．已知A(－2eq\r(3)，9)，B(6eq\r(3)，－15)，直線l∥AB，則直線l的傾斜角α為(B)A．60° B．120°C．45° D．135°[解析]因為kAB＝eq\f(－15－9,6\r(3)－－2\r(3))＝－eq\r(3)，所以α＝120°.3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點的三角形是(C)A．銳角三角形B．鈍角三角形C．以A點為直角頂點的直角三角形D．以B點為直角頂點的直角三角形[解析]易知kAB＝eq\f(－1－1,2＋1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A為直角．故選C.4．已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根，則l1與l2的位置關(guān)系是(B)A．平行 B．垂直C．可能重合 D．無法確定[解析]由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立，故方程有兩個相異實根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在，且不相等．設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，則k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.5．將一張畫了直角坐標(biāo)系(兩坐標(biāo)軸單位長度相同)的紙折疊一次，使點(2,0)與點(－2,4)重合，點(2022，2023)與點(m，n)重合，則m＋n＝(C)A．2024 B．2024C．4045 D．4046[解析]設(shè)A(2,0)，B(－2,4)，則點A，B所在直線的斜率為kAB＝eq\f(4－0,－2－2)＝－1.由題意，知過點(2022,2023)，(m，n)的直線與直線AB平行，所以eq\f(n－2023,m－2022)＝－1，整理得m＋n＝2022＋2023＝4045.故選C.二、填空題6．直線l1過點A(0,3)，B(－4，－1)，直線l2的傾斜角為45°，則直線l1與l2的位置關(guān)系是平行或重合.[解析]因為直線l1過A(0,3)，B(－4，－1)，所以l1的斜率k1＝eq\f(3－－1,0－－4)＝1，直線l2的斜率k2＝tan45°＝1，因為k1＝k2，故l1∥l2或重合．7．直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程2k2－3k－b＝0的兩根，若l1⊥l2，則b＝2；若l1∥l2，則b＝－eq\f(9,8).[解析]當(dāng)l1⊥l2時，k1k2＝－1，所以－eq\f(b,2)＝－1，所以b＝2；當(dāng)l1∥l2時，k1＝k2，所以Δ＝(－3)2＋4×2b＝0，所以b＝－eq\f(9,8).8．已知△ABC的頂點B(2,1)，C(－6,3)，其垂心為H(－3,2)，則其頂點A的坐標(biāo)為_(－19，－62)__.[解析]設(shè)A(x，y)，因為AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－eq\f(1,5)，kCH＝－eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x＋6)＝5，,\f(y－1,x－2)＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－19，,y＝－62.))所以A(－19，－62)．三、解答題9．已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求點D的坐標(biāo)；(2)試判定?ABCD是否為菱形？[解析](1)設(shè)點D坐標(biāo)為(a，b)，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，))所以D(－1,6)．(2)因為kAC＝eq\f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq\f(6－0,－1－5)＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以?ABCD為菱形．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．滿足下列條件的直線l1與l2，其中l(wèi)1∥l2的是(A)①l1的斜率為2，l2過點A(1,2)，B(4,8)，且l1不經(jīng)過A點；②l1經(jīng)過點P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x軸，但不經(jīng)過P點；③l1經(jīng)過點M(－1,0)，N(－5，－2)，l2經(jīng)過點R(3,2)，S(5,3)．A．①② B．②③C．①③ D．①②③[解析]由斜率公式，①中，直線l2的斜率也為2，故l1∥l2；②中，直線l1的斜率也為0，故l1∥l2；③兩條直線的斜率均為eq\f(1,2)且M、N、R、S四點共線，故l1與l2重合．故選A.2．已知兩點A(2,0)，B(3,4)，直線l過點B，且交y軸于點C(0，y)，O是坐標(biāo)原點，且O，A，B，C四點共圓，則y的值是(B)A．19 B．eq\f(19,4)C．5 D．4[解析]由O，A，B，C四點共圓可以得出四邊形OABC的對角互補(bǔ)，又由題意得∠COA＝90°，所以∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即eq\f(4－0,3－2)·eq\f(4－y,3－0)＝－1，解得y＝eq\f(19,4).故選B.3．已知點O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(C)A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0[解析]明顯角O不能為直角(否則得a＝0，不能組成三角形)．若角A為直角，則依據(jù)點A，B的縱坐標(biāo)相等，得b－a3＝0.若角B為直角，則利用kOB·kAB＝－1，得b－a3－eq\f(1,a)＝0.綜上可得(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0.二、填空題4．若點P(a，b)與Q(b－1，a＋1)關(guān)于直線l對稱，則l的傾斜角＝45°.[解析]∵kPQ＝eq\f(a＋1－b,b－1－a)＝－1，kPQ·kl＝－1，∴l(xiāng)的斜率為1，傾斜角為45°.5．已知l1，l2不重合，過點A(－2，m)和點B(m,4)的直線l1與直線l2平行，直線l2的斜率為－2，直線l3的斜率為－eq\f(1,n)，若l2⊥l3，則實數(shù)m＝－8，n＝－2.[解析]由題意可得，直線l1的斜率為eq\f(4－m,m＋2)，直線l2的斜率為－2，且l1∥l2，所以eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.由于直線l3的斜率為－eq\f(1,n)，且l2⊥l3，所以(－2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)))＝－1，解得n＝－2.三、解答題6．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點坐標(biāo)按逆時針依次依次為O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t>0.試推斷四邊形OPQR的形態(tài)．[解析]由斜率公式得kOP＝eq\f(t－0,1－0)＝t，kRQ＝eq\f(2－2＋t,－2t－1－2t)＝eq\f(－t,－1)＝t，kOR＝eq\f(2－0,－2t－0)＝－eq\f(1,t)，kPQ＝eq\f(2＋t－t,1－2t－1)＝eq\f(2,－2t)＝－eq\f(1,t).所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，從而OP∥RQ，OR∥PQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形．又kOP·kOR＝－1，所以O(shè)P⊥OR，故四邊形OPQR為矩形．C組·實力拓展直線l的傾斜角為30°，點P(2,1)在直線l上，直線l繞點P(2,1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后到達(dá)直線l1的位置，此時直線l1與l2平行，且l2是線段AB的垂直平分線，其中A(1，m－1)，B(m,2)，則m的值為4＋eq\r(3).[解析]如圖，直線l1的傾斜角為30°＋30°＝60°，所以直線l1的斜率k1＝tan60°＝e