2024年中考復(fù)習(xí)查缺補(bǔ)漏04 二次函數(shù)與幾何的綜合壓軸（解析版）

查補(bǔ)培優(yōu)沖刺04.二次函數(shù)與幾何的綜合壓軸題型一：二次函數(shù)與角度問題題型二：二次函數(shù)與相似（全等）題型三：二次函數(shù)與特殊三角形題型四：二次函數(shù)與特殊四邊形題型五：二次函數(shù)與定值、定點題型六：二次函數(shù)與幾何最值（范圍）題型七：二次函數(shù)與新定義幾何圖形題型一：二次函數(shù)與角度問題1.二次函數(shù)與角度綜合問題，常見類型：

1）特殊角問題：（1）利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）

遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形。2）角的數(shù)量關(guān)系問題（1）等角問題：基于動點構(gòu)造某個角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)或構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來解決；（2）倍角問題：基于動點構(gòu)造某個角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對稱、輔助圓等知識來解答；（3）角的和差問題：角度和為90度、45度等。例1．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標(biāo)為．綜上所示，點的橫坐標(biāo)為2或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，與x軸分別交于點A，B．連接，點D是線段上方拋物線上的一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在點D運動過程中，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，在點D運動過程中，連接交于點E，點F在線段上，連接，若，求點F橫坐標(biāo)的最大值．

【答案】(1)(2)1(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合：（1）把拋物線設(shè)為頂點式即可得到答案；（2）先求出，進(jìn)而求出直線解析式為；如圖所示，過點D作軸，交于E，設(shè)，則，可得；進(jìn)而得到，據(jù)此可得答案；（3）利用勾股定理得到，，，則，可得，利用三角形外角的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，得到，設(shè)，則，可得，則當(dāng)時，有最大值，最大值為1，即點F的橫坐標(biāo)的最大值為．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線解析式為；（2）解：在中，當(dāng)時，解得或，∴；設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為；如圖所示，過點D作軸，交于E，設(shè)，則，∴；∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為1；（3）解：∵，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為1，∴點F的橫坐標(biāo)的最大值為．變式2．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3)【分析】（1）分別令等于0，即可求得的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求得；（2）方法一：如圖1，連接AE．由解析式分別求得，，．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如圖2，過點D作交BC于點H．由方法一，得，．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，解方程即可求解；（3）設(shè)PC與x軸交于點Q，當(dāng)P在第四象限時，點Q總在點B的左側(cè)，此時，即．【詳解】（1）當(dāng)時，．解方程，得，．∵點A在點B的左側(cè)，且，∴，．當(dāng)時，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如圖1，連接AE．∵，∴，．∴，，．∵點A，點B關(guān)于對稱軸對稱，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如圖2，過點D作交BC于點H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．設(shè)PC與x軸交于點Q，當(dāng)P在第四象限時，點Q總在點B的左側(cè)，此時，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，角度問題，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．題型二：二次函數(shù)與相似（全等）相似三角形存在性問題：（1）若兩個相似三角形對應(yīng)關(guān)系已知，則根據(jù)對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角關(guān)系；①設(shè)點坐標(biāo)；②表示線段長（或點坐標(biāo)）；③列比例關(guān)系式求解；④將點坐標(biāo)代入到滿足的函數(shù)關(guān)系中求解；（2）若兩個相似三角形對應(yīng)關(guān)系末知，則需根據(jù)已知三角形分類討論三角形的對應(yīng)邊關(guān)系，再由（1）中的步驟求解即可。全等三角形存在性問題：（1）若兩個全等三角形對應(yīng)關(guān)系已知，則根據(jù)對應(yīng)邊關(guān)系；①若三角形的邊長可以計算出來，則根據(jù)全等關(guān)系直接列式；②若已知三角形的頂點在拋物線上，并且可以表示出來，則將此頂點坐標(biāo)代入拋物線解析式中列式。（2）若兩個全等三角形對應(yīng)關(guān)系未知，則需根據(jù)已知分類討論兩個三角形的對應(yīng)全等關(guān)系，再由（1）中的方法求解即可。例1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點分別為，，其中（），且，與軸的交點為，直線軸，在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時，求面積的最大值；(3)當(dāng)時，是否存在點，使以為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時，面積有最大值，為(3)、或【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱性得到，再由得到，聯(lián)立方程組求解得到，，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可得到答案；（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直線：，根據(jù)在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線的交點為，分二種情況：①當(dāng)在軸之間時；②當(dāng)在軸右邊時；利用平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的表示方法，最后結(jié)合拋物線圖象與性質(zhì)求解即可得到答案；（3）分兩種情況：點在上方；點在下方；當(dāng)點在上方時，如圖所示，，當(dāng)以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，當(dāng)點在下方時，如圖所示，，當(dāng)以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線，對稱軸為，拋物線與軸的交點分別為，，其中（），且，，，則，解得，，，將代入得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：由得：，設(shè)直線：，將，代入得，解得，直線：，在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為，根據(jù)，，則分二種情況：①當(dāng)在軸之間時；②當(dāng)在軸右邊時；當(dāng)在軸之間時，如圖所示：，，，，，拋物線開口向下，當(dāng)時，有最大值，為；當(dāng)在軸右邊時，過作軸，如圖所示：，，，，對稱軸為，，拋物線開口向上，則當(dāng)時，隨著的增大而增大，即當(dāng)時，有最大值，為；，當(dāng)時，面積有最大值，為；（3）解：由（1）知，當(dāng)時，，解得或，，當(dāng)在上方，即時，如圖所示：，當(dāng)以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；由（1）（2）可知，，，且，，當(dāng)時，，，，即，解得（舍去）或；當(dāng)時，，，，即，解得（舍去）或（舍去）；當(dāng)在下方，即時，如圖所示：，當(dāng)以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；由（1）（2）可知，，，且，，當(dāng)時，，，，即，解得（舍去）或；當(dāng)時，，，，即，解得（舍去）或；綜上所述，存在點，使以為頂點的三角形與相似，此時，、或．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、拋物線與三角形面積問題、拋物線與三角形相似、解一元二次方程等知識，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)綜合題型的解法，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．變式1．（23-24九年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在第一象限內(nèi)作與軸的夾角為的射線，在射線上取一點，過點作軸于點．在拋物線上取一點，在軸上取一點，使得以為頂點的三角形與全等，則符合條件的點A的坐標(biāo)是．

【答案】或或或【分析】此題應(yīng)分四種情況考慮：（1）當(dāng)，時；（2）當(dāng)，時；（3）當(dāng)，時；（4）當(dāng)，時，利用特殊三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形全等即可求解．【詳解】（1）當(dāng)，時，

設(shè)，代入，解得：（舍去），，，，又，，，；（2）當(dāng)，時，過點作軸，垂足為，由（1）得，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，又，，；

（3）當(dāng)，時，設(shè)，代入，解得：（舍去），，，，，，，；（4）當(dāng)，時，過點作軸，垂足為點，由（3）得，，在中，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，又，，，，綜上所述，點A的坐標(biāo)是或或或．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，由于全等三角形的對應(yīng)頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．題型三：二次函數(shù)與特殊三角形1）等腰三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應(yīng)用，找準(zhǔn)頂確與底角分類討論的關(guān)鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質(zhì)來轉(zhuǎn)化已知條件是常用的處理手段。2）直角三角形存在性問題處理技巧：需注意分類討論思想的應(yīng)用，找準(zhǔn)直角頂點是分類討論的關(guān)鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補(bǔ)等性質(zhì)來轉(zhuǎn)化已知條件是常用的處理手段。例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標(biāo)．

【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點D作DM⊥OA于點M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設(shè)出平移后頂點為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線為，則頂點為，∵頂點為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴，∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當(dāng)p=3時，，當(dāng)p=時，，∴點P坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當(dāng)∠CAQ=∠CBA45°時，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作軸的垂線交BC于點H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；（2）求得點C的坐標(biāo)后先利用勾股定理的逆定理判斷∠ACB=90°，繼而可得∠ACO=∠CBA，在x軸上取點E（2，0），連接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，進(jìn)一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系數(shù)法分別求出直線CE與PQ的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求解即可；（3）設(shè)直線AP交y軸于點G，如圖，由題意可得若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，設(shè)G（0，m），求出直線AF和直線BC的解析式后，再解方程組求出點F的坐標(biāo)，然后分三種情況求出m的值，再求出直線AP的解析式，進(jìn)而可求出點P的坐標(biāo)，于是問題可求解．【詳解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，∴拋物線的解析式是；（2）令x=0，則y=2，即C（0，2），∵，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°，∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA，在x軸上取點E（2，0），連接CE，如圖，則CE=OE=2，∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ，∵C（0，2），E（2，0），∴直線CE的解析式為y=-x+2，設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+n，把點A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直線PQ的解析式為y=-x-1，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（6，-7）；（3）設(shè)直線AP交y軸于點G，如圖，∵PH∥y軸，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，∴若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，∵C（0，2），B（4，0），∴直線BC的解析式為，設(shè)G（0，m），∵A（-1，0），∴直線AF的解析式為y=mx+m，解方程組，得，∴點F的坐標(biāo)是，∴，當(dāng)CG=CF時，，解得：（舍去負(fù)值），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（，），此時點H的坐標(biāo)是（，），∴PH=；當(dāng)FG=FC時，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（3，2），此時點H的坐標(biāo)是（3，），∴PH=2-=1.5；當(dāng)GF=GC時，，解得或m=2（舍去），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（，），此時點H的坐標(biāo)是（，），∴PH=；綜上，PH=或1.5或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、直線與拋物線的交點以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），它的對稱軸l與圖象交于點P，直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為(1)請直接寫出點P的坐標(biāo)．(2)若為直角三角形，設(shè)直線與這個二次函數(shù)的圖象的另一個交點為Q．①求a、c的值與點Q的坐標(biāo)；②若M為直線l上的點，且以M、B、Q為頂點的三角形是銳角三角形，請直接寫出點M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

【答案】(1)(2)①，；②或【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式可得到點P的橫坐標(biāo)，代入可得出點P的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)題意可知，是等腰直角三角形，所以，由此可得出點A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，可得出點Q的坐標(biāo)；②由題意可知，，由兩點間的距離可得，分三種情況，當(dāng)為直角時；當(dāng)為直角時；當(dāng)為直角時，根據(jù)勾股定理建立方程，求出t的值，進(jìn)而可得出t的取值范圍．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，∴點P的橫坐標(biāo)為，∵直線的表達(dá)式為，當(dāng)時，，；（2）①由拋物線的對稱性可知，，∴是等腰直角三角形，

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點E，則軸，，,,把代入得，，解得，∴拋物線的解析式為，令，解得或，當(dāng)時，，；②由題意可知，，當(dāng)為直角三角形時，分三種情況：當(dāng)為直角時，，即，解得；當(dāng)為直角時，，即解得；當(dāng)為直角時，，即，解得或，∴當(dāng)為銳角三角形時，t的取值范圍為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型四：二次函數(shù)與特殊四邊形1）平行四邊形存在性問題處理技巧：（平移或中點思想）關(guān)鍵：對角線互相平分，即對角線中點重合→中點公式。①當(dāng)AB為對角線：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD；②當(dāng)AC為對角線：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD；③當(dāng)AD為對角線：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。2）菱形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構(gòu)造等腰三角形，即鄰邊相等的點。3）矩形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構(gòu)造證直角三角形，即鄰邊垂直的點。4）正方形存在性問題處理技巧：先用中點公式證平行四邊形，再構(gòu)造證等腰直角三角形的點。注意：“四邊形ABCD是....”和“以點A、B、C、D為頂點的四邊形是....”的區(qū)別，前者順序已定，后者可以隨機(jī)順序，需進(jìn)一步討論。例1．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題．材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)．請閱讀上述材料，完成題目：如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），點的坐標(biāo)為，與軸交于點，直線與軸交于點．動點在拋物線上運動，過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點在線段上時，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是軸上一動點，點在運動過程中，若以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)存在．的最大值為；(3)點坐標(biāo)為或或，．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，則，根據(jù)三角形面積公式得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）先求出拋物線的對稱軸為直線得到，討論：當(dāng)時，則，利用平行四邊形的性質(zhì)得，從而得到此時點坐標(biāo)；當(dāng)時，由于點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，所以點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，設(shè)，則，然后把代入得，則解方程求出得到此時點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，點，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在．當(dāng)，，解得，則，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，有最大值為；（3）解：拋物線的對稱軸為直線，，當(dāng)時，則，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點坐標(biāo)為或；當(dāng)時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，設(shè)，則，把代入得，解得，，此時點坐標(biāo)為，，綜上所述，點坐標(biāo)為或或，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點，交y軸于點C，點P在線段上，過點P作軸，交拋物線于點D，交直線于點E．(1)，；(2)在點P運動過程中，若是直角三角形，求點P的坐標(biāo)；(3)在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或【分析】（1）把代入，運用待定系數(shù)法解二次函數(shù)的解析式，即可作答．（2）因為，先排除一種情況，再進(jìn)行分類討論，即和，分別列式計算，即可作答．（3）根據(jù)菱形性質(zhì)，結(jié)合圖象性質(zhì)，進(jìn)行分類討論，即四邊形為菱形或四邊形為菱形，運用中點法列式，以及勾股定理，代入數(shù)值，進(jìn)行計算，即可作答．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點，∴把代入得解得∴故答案為：；（2）解：∵軸∴∴∵是直角三角形∴當(dāng)時，∴∴∵對稱軸∴此時點P的坐標(biāo)為∴當(dāng)時，設(shè)的解析式為∴把代入∴得解得∴設(shè)點則∵∴∴∵∴則即解得（此時點E和點C重合，故舍去）∴點綜上或（3）解：存在，或如圖：依題意，當(dāng)四邊形為菱形時，由（2）知的解析式為設(shè)點，∵四邊形為菱形∴即則由（2）知，此時∴∴即如下圖所示：如圖：依題意，當(dāng)四邊形為菱形時∵點，∴即∵∴∴解得，（舍去）∴∴綜上或【點睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，菱形性質(zhì)，待定系數(shù)法解函數(shù)解析式，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，熟練運用分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點坐標(biāo)為交軸于、兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)已知拋物線上點，以點為直角頂點構(gòu)造，使點在軸上，點在軸上，為的中點，求的最小值；(3)為平面直角坐標(biāo)系中一點，在拋物線上是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的橫坐標(biāo)為或或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)列出關(guān)于、的方程組，求解即可；（2）證明，得到，設(shè)，求出點，，得到點，則，即可求解；（3）分三種情況：①若是斜邊，則；②若是斜邊，則；③若是斜邊，則，分別列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴，解得：∴拋物線的解析式為；（2）如圖，連接，∵拋物線的解析式為，，當(dāng)時，得，∴，∴軸，即軸，過點作于點，過點作軸于點，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴，設(shè)，則，∴，，∴，，∵是的中點，∴，∵，軸，∴，在中，，，∴，∴當(dāng)時，的最小值為；（3）∵拋物線交軸于、兩點，當(dāng)時，得，解得：或，∴，，設(shè)，則，，∵、、、構(gòu)成的四邊形是矩形，∴是直角三角形，①若是斜邊，則，∴，解得：，，（舍去），（舍去），此時點的橫坐標(biāo)為或；②若是斜邊，則，∴，解得：或（舍去），此時點的橫坐標(biāo)是；③若是斜邊，則，∴，解得：或（舍去），此時點的橫坐標(biāo)為；綜上所述，點的橫坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合運用，考查了待定系數(shù)法確定解析式，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，二次函數(shù)的最值，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用等知識點，正確理解題意并分類求解是解題的關(guān)鍵．題型五：二次函數(shù)與定值、定點1.直線過定點：設(shè)點的坐標(biāo)，用字母表示出直線的解析式，再分離變量，得到定點坐標(biāo)或直線的橫（縱）坐標(biāo)為定值。2.線段比值為定值、線段乘積為定值、線段和差為定值：設(shè)點的坐標(biāo)，用字母表示出線段的長，尋找等量關(guān)系，在恒等變換中消去字母，得到定值。3.線段倒數(shù)和為定值：一種是與角平分線有關(guān)的純幾何問題，此時可通過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，利用面積法用兩種方式表示出三角形的面積，再通過恒等變換得到倒數(shù)和為定值，另一種是與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的代數(shù)問題（直線過交點），先設(shè)點的坐標(biāo)，用字母表示出線段的長，利用根與系數(shù)的關(guān)系及恒等變換消去字母，得到定值。例1．（2024·湖北武漢·三模）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，頂點為．其中，．(1)直接寫出該拋物線的解析式；(2)如圖，在第三象限內(nèi)拋物線上找點，使，求點的坐標(biāo)；(3)如圖，過拋物線對稱軸上點的直線交拋物線于兩點，線段的中點是，過點作軸的平行線交拋物線于點．若是一個定值，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）過點作軸于，過點作軸于，設(shè)點，由，得，列出關(guān)于m的方程即可求解；（3）設(shè)，直線的解析式為：，表示出，，結(jié)合是一個定值，求出t的值，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點為，且經(jīng)過點，∴解得，∴該拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點作軸于，過點作軸于，則，∵，，∴，，把代入得，，∴，∴，設(shè)點，則，，∴，∵，∴，∴，即，整理得，，解得或（不合，舍去），∴；（3）解：設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，∴，即，∴直線的解析式為：，設(shè)，由，得，即：，∴，∴=∵線段的中點是，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，即時，是定值，∴．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法，用參數(shù)表示一次函數(shù)的解析式和線段長時解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇無錫·一模）如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點，作垂直x軸于點C．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點是拋物線上一點，滿足，求點的坐標(biāo)；(3)若點P為拋物線上一點，且在第四象限內(nèi)．已知直線，與x軸分別交于E、F兩點．當(dāng)點P運動時，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)是定值，該定值為，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分①當(dāng)點D在直線的上方時與②當(dāng)點D在直線的上方時兩種情況討論，對于前一種情況，可得軸，點A與點D重合，即可得解，對于后一種情況先求出與x軸的交點M，繼而利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求出點D的坐標(biāo)即可；（3）求出拋物線與x軸的交點為和，設(shè)點P的坐標(biāo)是，則，再用待定系數(shù)法分別求出直線和的解析式，從而求出點E與點F的坐標(biāo)，繼而求出與，從而代入中化簡即可得解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為：；（2）①當(dāng)點D在直線的上方時，如下圖所示：∵，∴軸，∵點A與點B對應(yīng)函數(shù)值都是3，即軸，∴此時點A與點D重合，即；②當(dāng)點D在直線的下方時，設(shè)與x軸交于點M，如下圖所示：∵，∴，∵垂直x軸于點C，，∴，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，設(shè)直線的解析式是：，將點B、M代入得：，解得：，∴直線的解析式是：將直線的解析式與拋物線解析式聯(lián)立得：，解得：，或(舍去)，∴；綜上所述：點D的坐標(biāo)是：，；（3）是定值，該定值為，理由如下．令，解得，即拋物線與x軸的交點是：和，設(shè)點P的坐標(biāo)是，則，設(shè)直線的解析式是：，將點A、P代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，令，解得：，即，∴，設(shè)直線的解析式是：，將點B、P代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，令，解得：，即，∴，，∴．∴是定值，該定值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理等知識，運算量較大，掌握待定系數(shù)法、聯(lián)立方程組求函數(shù)交點的方法和數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側(cè)），點關(guān)于軸的對稱點為．(1)當(dāng)時，求，兩點的坐標(biāo)；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為(2)或(3)是，【分析】(1)解方程組，整理得到，解方程即可得到答案．(2)分k＜0和k＞0，兩種情形求解．(3)設(shè)直線A的解析式為y=px+q，根據(jù)題意求得p，q的值，結(jié)合方程組的意義，確定與y軸的交點即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，整理得到，解方程，得，當(dāng)x=-3時，y=-9；當(dāng)x=1時，y=-1；∵點在點的左側(cè)，∴點的坐標(biāo)為（-3，-9），點的坐標(biāo)為（1，-1）．（2）∵A，B是拋物線圖像上的點，設(shè)A（m，），B（n，），則（-n，），當(dāng)k＞0時，根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個根，∴，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點為D，則點D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；當(dāng)k＜0時，根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個根，∴，設(shè)直線y=kx-3與y軸的交點為D，則點D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；綜上所述，k的值為或．（3）直線A一定過定點（0，3）．理由如下：∵A，B是拋物線圖像上的點，∴設(shè)A（m，），B（n，），則（-n，），根據(jù)題意，得，整理得到，∴m，n是的兩個根，∴，設(shè)直線A的解析式為y=px+q，根據(jù)題意，得，解得，∴直線A的解析式為y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直線A的解析式為y=（n-m）x+3，故直線A一定過定點（0，3）．【點睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，對稱性，熟練掌握拋物線與一次函數(shù)的交點，及其根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵題型六：二次函數(shù)與幾何最值（范圍）二次函數(shù)的幾何最值1（代數(shù)法）：引入新的變量，將所求的長度、面積、坐標(biāo)等用新的變量表示出來，再運用二次函數(shù)的最值解決即可。二次函數(shù)的幾何最值2（幾何法）：將我們要求的線段、多線段和差的最值問題轉(zhuǎn)化為基本的幾何模型（將軍飲馬、胡不歸、費馬點、阿氏圓、瓜豆原理等）進(jìn)行解決即可。例1．（2024·江蘇淮安·二模）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點，的坐標(biāo)；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)①的大小不變，理由見解析；②線段的長度存在最大值為【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標(biāo)，把化為頂點式即可求得點的坐標(biāo)；（2）①在上取點，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結(jié)論；②證，利用相似三角形的性質(zhì)得即，解得進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴頂點為，令，，解得或，∴；（2）解：①的大小不變，理由如下：在上取點，使得，連接，

∵，∴拋物線對稱軸為，即，∵將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，

∴是等邊三角形，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，即的大小不變；②設(shè)，則，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，∴當(dāng)時，有最大值為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)，題目綜合性較強(qiáng)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，已知拋物線，點，在此函數(shù)圖象上，動點P位于點O、B之間的拋物線上（不與點O，B重合），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．(1)如圖1，求該二次函數(shù)的解析式；(2)尺規(guī)作圖：當(dāng)最大時，在圖2中作出此時的點P；(3)如圖3，連接OB，交直線AP于點M，直接寫出的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）作以線段為直徑的圓，作線段的垂直平分線角拋物線于點P，角圓于點Q，點P即為所求作的點；（3）作于點H，先證明點O在上，得，可知最大時，的值最大．作于點，則，要使最大，只要最大即可，在點Q在過圓心且與的垂線上．作交于點，交于點，則．然后求出，即可求出的最大值．【詳解】（1）把代入，得，∴，∴；（2）∵，∴，∴點Q在為直徑的上．設(shè)點Q到的距離為h，∵，∴，∴當(dāng)最大時，最大，點Q在線段的垂直平分線上．如圖，作以線段為直徑的圓，作線段的垂直平分線交圓于點Q，連接交拋物線于點P，點P即為所求作的點；（3）作于點H，∵在上，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴點O在上，，∴，∵是定值，∴最大時，的值最大．作于點，則四邊形是矩形，∴，∴要使最大，只要最大即可，在點Q在過圓心且與的垂線上．作交于點，交于點，則．∴，，∴，∴．∵，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴的最大值為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的面積公式，勾股定理及其逆定理，矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．題型七：二次函數(shù)與新定義幾何圖形所謂的“新定義”型問題是指給出一個學(xué)生未學(xué)過的新規(guī)定，要求學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，將非常規(guī)的問題轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題，從而解決問題。很好的鍛煉了學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)歸納、類比遷移、轉(zhuǎn)化等綜合創(chuàng)新能力，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。例1．（2024.成都市校考期中）【閱讀理解】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點為拋物線的頂點，直線與拋物線分別相交于，兩點（其中點在點的右側(cè)），與拋物線的對稱軸相交于點，若記，則稱是直線與拋物線的“截積”．【遷移應(yīng)用】根據(jù)以上定義，解答下列問題：如圖，若直線的函數(shù)表達(dá)式為．（1）若拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，分別求出點，的坐標(biāo)及的值；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，過點作直線的平行線，現(xiàn)將拋物線進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線的頂點落在直線上，試探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，若，，且點在點的下方，求的值．【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線的解析式求解，即可求出，的坐標(biāo)，再求出點的坐標(biāo)，利用新定義求出答案；（2）設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)為，求出，聯(lián)立①②整理得，，求出，，，進(jìn)而求出，即可求出答案；（3）由拋物線的函數(shù)表達(dá)式為①的頂點坐標(biāo)為，得出，再求出，得出，聯(lián)立①②整理得，，設(shè)，，，，得出，，進(jìn)而得出，即可求出答案．【解答】解：（1）直線的函數(shù)表達(dá)式為①，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為②，聯(lián)立①②解得，或，，，，針對于直線，令，則，，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，頂點，，；（2）是定值，其值為；由（1）知，，，直線的解析式為①，設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)為，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，平移后的拋物線的解析式為②，，，聯(lián)立①②整理得，，或，，，，，，即是定值，其值為．（3）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為①的頂點坐標(biāo)為，，，，，，直線的函數(shù)表達(dá)式為②，聯(lián)立①②整理得，，設(shè)，，，，，，，，，，或，拋物線的頂點在直線與拋物線的對稱軸交點的下方，且與直線相交于，兩點，拋物線的開口向上，，即．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，待定系數(shù)法，解方程組，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，用表示出的平方是解（3）的關(guān)鍵．變式1．（2024重慶中考模擬預(yù)測）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側(cè)），已知點的橫坐標(biāo)是2，拋物線的頂點為．（1）求的值及頂點的坐標(biāo)；（2）點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，記拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為，（點在點的右側(cè)）．當(dāng)點與點重合時（如圖，求拋物線的表達(dá)式；（3）如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點，，，中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時，求點的坐標(biāo)．【分析】（1）將點代入，即可求出，把拋物線的解析式化為頂點式即可得出頂點坐標(biāo)；（2）如圖1，連接，作軸于，作軸于，由，可得，，故拋物線的頂點的坐標(biāo)為，即可得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）設(shè)點，如圖2，作軸于，軸于，于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，進(jìn)而可得：點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，再分類討論即可得出答案．【解答】解：（1）由得，頂點的坐標(biāo)為，點在拋物線上，，解得：；（2）如圖1，連接，作軸于，作軸于，根據(jù)題意，點，關(guān)于點成中心對稱，過點，且，在和中，，，，，拋物線的頂點的坐標(biāo)為，拋物線由繞點旋轉(zhuǎn)后得到，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）拋物線由繞軸上的點旋轉(zhuǎn)后得到，頂點，關(guān)于點成中心對稱，由（2）知：點的縱坐標(biāo)為8，設(shè)點，如圖2，作軸于，軸于，于，旋轉(zhuǎn)中心在軸上，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理得，，顯然，和不可能是直角三角形，①當(dāng)是直角三角形時，顯然只能有，根據(jù)勾股定理得：，，，解得：，，點的坐標(biāo)為，；②當(dāng)是直角三角形時，顯然只能有，根據(jù)勾股定理得：，，，解得：，，點的坐標(biāo)為，，③當(dāng)是直角三角形時，，，當(dāng)時，，即，解得：，，點的坐標(biāo)為，；當(dāng)時，，即，解得：，，點的坐標(biāo)為，；，，綜上所述，當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時，點的坐標(biāo)為，或，或，．【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，圖形的翻折和平移，新定義“勾股伴隨同類函數(shù)”的理解與應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項系數(shù)確定函數(shù)的形狀，形狀相同．開口方向相同則二次項系數(shù)相等，若形狀相同，開口方向相反，則二次項系數(shù)互為相反數(shù)，根據(jù)二次項系數(shù)和頂點坐標(biāo)直接寫出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1.（2022·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)1(3)，，【分析】（1）二次函數(shù)與y軸交于點，判斷，根據(jù)，即二次函數(shù)對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）證明，得到，即，設(shè)，點D在第一象限，根據(jù)點的坐標(biāo)寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進(jìn)一步得出tan∠CDA的值；（3）根據(jù)題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對應(yīng)點C的坐標(biāo)即可?！驹斀狻浚?）解：∵二次函數(shù)與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數(shù)對稱軸為，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設(shè)：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當(dāng)時，，∴，，∴，∵在中，∴（3）解：存在，如圖，（2）圖中關(guān)于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標(biāo)為，∴此時，點C的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點C、D關(guān)于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當(dāng)點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標(biāo)為，當(dāng)點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標(biāo)為，綜上：點C的坐標(biāo)為，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．1．（23-24九年級上·浙江·階段練習(xí)）中，，，的對邊分別為，，，拋物線交軸于兩點，，交軸于點，其中的坐標(biāo)是．(1)求證：是直角三角形；(2)若，求的值；判斷的三邊長能否取一組適當(dāng)?shù)闹?，使三角形為拋物線的頂點是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②能，當(dāng)，，時，為等腰直角三角形【分析】（1）已知拋物線經(jīng)過點，根據(jù)勾股定理可得為直角三角形．（2）由得出又可推出點的坐標(biāo)，可求出與的等量關(guān)系式．令，可得，與的關(guān)系．【詳解】（1）證明：拋物線經(jīng)過點，，，由勾股定理的逆定理得：為直角三角形；（2）解：如圖所示；即又，是方程的兩根，由知：在中，由勾股定理得，能．由知頂點過作軸于點則，，要使為等腰直角三角形，只需，，，又，，，當(dāng)，，時，為等腰直角三角形．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用以及等腰直角三角形的判定和三角函數(shù)的運用，難度較大．3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C與點B關(guān)于原點對稱，直線分別與y軸交于點E，F(xiàn)，點F在點E的上方，．

(1)分別求點E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)（用含m，n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍．(2)求點B的橫坐標(biāo)m，縱坐標(biāo)n之間的數(shù)量關(guān)系．（用含m的代數(shù)式表示n）(3)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，E，F(xiàn)的對應(yīng)點分別是，．當(dāng)線段與點B所在的某個函數(shù)圖象有公共點時，求m的取值范圍．【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)直線與y軸交于E，得到，根據(jù)點C與點B關(guān)于原點對稱，求得，得到，設(shè)直線的解析式為，將，代入得解方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)n與m的關(guān)系式為，得到在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當(dāng)在點B所在的函數(shù)圖象上時，解方程得到，根據(jù)線段與點B所在的函數(shù)圖象有公共點，列不等式組即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由直線與y軸交于E，得，∵點C與點B關(guān)于原點對稱，，∴，由直線與y軸交于點F，得，即，綜上所述，，設(shè)直線對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為，將，代入，得：，解得，∴，同理；由點F在點E上邊知:，且，∴，即；

（2）由題意得，，整理得，；（3）∵n與m的關(guān)系式為，∴在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當(dāng)在點B所在的函數(shù)圖象上時，，解得，∵線段與點B所在的函數(shù)圖象有公共點，∴或，由旋轉(zhuǎn)得，且；∵或．∵，∴或．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地求得n與m的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當(dāng)時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過，直線解析式為，當(dāng)時，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖1，二次函數(shù)與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為D，交直線于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，過點作，垂足為，當(dāng)為何值時，最大？最大值是多少？(3)如圖3，連接，當(dāng)四邊形是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點，使原點關(guān)于直線的對稱點恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)當(dāng)時，的值最大，最大值為；(3)或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；（2）先利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為，根據(jù)題意設(shè)，，，則，證明，利用銳角三角函數(shù)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)，拋物線對稱軸交x軸于點H，交矩形邊于G，分三種情況：①點O的對稱點恰好落在對角線上時；②點O的對稱點恰好落在對角線上時，③點O的對稱點恰好落在對角線的延長線上時，分別畫出圖形，利用對稱性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等分析求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，∴，解得，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，將、代入，得，解得，∴直線的表達(dá)式為，∵拋物線上的動點在第一象限，且橫坐標(biāo)為，軸，交直線于點，∴，，∴，∵，軸，∴，又，∴，∴，即，∵點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，∴，，則，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，的值最大，最大值為；（3）解：∵，∴該拋物線的對稱軸為直線，∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，，，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點H，交矩形邊于G，則，，，若點O的對稱點恰好落在對角線上時，如圖，連接，，則垂直平分，即，∴，∴,∴，則，∴，解得，則；若點O的對稱點恰好落在對角線上時，如圖，設(shè)與相交于點K，由對稱性質(zhì)得，，∵，∴，則，∴，∵在拋物線對稱軸上，是矩形的對角線，∴K為的中點，則，，∴在中，，∴，∴，則；若點O的對稱點恰好落在對角線的延長線上時，如圖，過作軸于K，連接交延長線于M，由對稱性質(zhì)得，，，，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，則，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)時，，則，綜上，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、對稱性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，解答的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，運用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點的坐標(biāo)；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)線段的中點在該二次函數(shù)的圖象的對稱軸上時，的面積為．

【答案】(1)，；(2)①的大小不變，理由見解析；②線段的長度存在最大值為；(3)【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標(biāo)，把化為頂點式即可求得點的坐標(biāo)；（2）①在上取點，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結(jié)論；②由，得當(dāng)最小時，的長最大，即當(dāng)時，的長最大，進(jìn)而解直角三角形即可求解；（3）設(shè)的中點為點，連接，過點作于點，證四邊形是菱形，得，進(jìn)而證明得，再證，得即，結(jié)合三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴頂點為，令，，解得或∴；（2）解：①的大小不變，理由如下：在上取點，使得，連接，

∵，∴拋物線對稱軸為，即，∵將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，

∴是等邊三角形，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，即的大小不變；②，∵，∴當(dāng)最小時，的長最大，即當(dāng)時，的長最大，∵是等邊三角形，∴∴，∴，

∴，∴，∴，即線段的長度存在最大值為；（3）解：設(shè)的中點為點，連接，過點作于點，

∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，，∵的中點為點，∴，

∴，∴，∵，∴，，∵的中點為點，是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴即，∴，

∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，題目綜合性較強(qiáng)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A在y軸正半軸上．(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．

【答案】(1)①1；②；③是，值為1(2)或【分析】（1）①當(dāng)，，可知不在二次函數(shù)圖象上，將代入，求解值即可；②由①知，二次函數(shù)解析式為，設(shè)菱形的邊長為，則，，由菱形的性質(zhì)得，，，則軸，，根據(jù)，即，計算求出滿足要求的解即可；③如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點，，，則，證明，則，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，計算求解即可1；（2）由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時，②當(dāng)在軸左側(cè)時，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，三種情況求解；①當(dāng)在軸右側(cè)時，，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，解得；②當(dāng)在軸左側(cè)時，求解過程同（2）①；③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且不垂直于軸時，同理可求，當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且垂直于軸時，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，．【詳解】（1）①解：當(dāng)，，∴不在二次函數(shù)圖象上，將代入，解得，故答案為：1；②解：由①知，二次函數(shù)解析式為，設(shè)菱形的邊長為，則，，由菱形的性質(zhì)得，，，∴軸，∴，∵，∴，解得（舍去），（舍去），，∴菱形的邊長為；③解：如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，

由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，∴，，，，∴，，∴，∵點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，∴，∴，∴是定值，值為1；（2）解：由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時，②當(dāng)在軸左側(cè)時，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，三種情況求解；①當(dāng)在軸右側(cè)時，∵，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，∴，，，，∴，，∴，化簡得，∵∴；②當(dāng)在軸左側(cè)時，同理可求；③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且不垂直于軸時，同理可求，當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且垂直于軸時，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，；綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，正方形、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．8．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．(1)當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．

【答案】(1)(2)或(3)，見解析【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，進(jìn)而得出頂點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性，即可求解．（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，，則拋物線．進(jìn)而得出可得，①當(dāng)時，如圖1，過作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當(dāng)時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當(dāng)時，此情況不存在．（3）由（2）知，當(dāng)時，，此時的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)時，，此時的面積為3，符合題意．由題意可求得．取的中點，在中可求得．在中可求得．易知當(dāng)三點共線時，取最小值，最小值為．【詳解】（1）∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)．∵，點和點關(guān)于直線對稱．∴．（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，∴，拋物線．∴當(dāng)時，可得．①當(dāng)時，如圖1，過作軸，垂足為．∵，∴．∵∴．∴．∵，∴．∵直線軸，∴．∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵當(dāng)時，可得，此時重合，舍去．當(dāng)時，符合題意．將代入，得．

②當(dāng)時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得．∵，∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵，∴．此時符合題意．將代入，得．③當(dāng)時，此情況不存在．綜上，所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或．（3）如圖3，由（2）知，當(dāng)時，，此時則，，則的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)時，，則，∴，此時的面積為3，符合題意∴．依題意，四邊形是正方形，∴．取的中點，在中可求得．在中可求得．∴當(dāng)三點共線時，取最小值，最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊三角形問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，面積問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過、兩點．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點坐標(biāo)；(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點，當(dāng)時，求點的橫坐標(biāo)；(3)如圖（2），點關(guān)于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，直接寫出的長．【答案】(1)，頂點坐標(biāo)(2)點橫坐標(biāo)為或或或(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)，則，，則，由題意可得方程，求解方程即可；（3）由題意可知Q點在平行于的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點為G，由，求出點，作A點關(guān)于的對稱點，連接與交于點Q，則，利用對稱性和，求出，求出直線的解析式和直線的解析式，聯(lián)立方程組，可求點，再求．【詳解】（1）解：將點，代入∴解得∴∵，∴頂點坐標(biāo)；（2）解：設(shè)直線的解析式為，∴解得∴，設(shè)，則，，∴，，∵，∴，∴或，當(dāng)時，整理得，解得，，當(dāng)時，整理得，解得，，∴點橫坐標(biāo)為或或或；（3）解：∵，點與點關(guān)于軸對稱，∴，令，則，解得或，∴，∴，∵，∴點在平行于的線段上，設(shè)此線段與軸的交點為，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，作點關(guān)于的對稱點，連接與交于點，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，同理可求直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴，∵，∴.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離的方法，解絕對值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）一次函數(shù)的圖像與軸交于點，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、原點和一次函數(shù)圖像上的點．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于點、（），過點作直線軸于點，過點作直線軸，過點作于點．①_________，_________（分別用含的代數(shù)式表示）；②證明：；(3)如圖2，二次函數(shù)的圖像是由二次函數(shù)的圖像平移后得到的，且與一次函數(shù)的圖像交于點、（點在點的左側(cè)），過點作直線軸，過點作直線軸，設(shè)平移后點、的對應(yīng)點分別為、，過點作于點，過點作于點．①與相等嗎？請說明你的理由；②若，求的值．【答案】(1)(2)①，；②見解析(3)①，理由見解析；②3【分析】（1）通過一次函數(shù)表達(dá)式可以求出A、B兩點坐標(biāo)，將A、B、C三點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；（2）①通過聯(lián)立關(guān)系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值；②通過A（-2，0），E即可求出AE的長度；通過B，F(xiàn)即可求出BF的長度；（3）①通過二次函數(shù)平移前后的表達(dá)式可以確定新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的，從而可以得到：，．通過聯(lián)立關(guān)系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點P、點Q的橫坐標(biāo)，通過坐標(biāo)即可表示出的長度．②由①可得，求解即可．【詳解】（1）令，則，解得，∴，將點代入中，解得，∴點的坐標(biāo)為．將，，代入可得：，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）①∵一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于點、（），∴聯(lián)立關(guān)系式得：，整理得：，解得：，，故答案為：，；②當(dāng)時，位于的上方，∵、，∴，，∴，當(dāng)時，位于的下方，同理可證．故可得：；（3）方法一：①∵二次函數(shù)圖像的頂點為，二次函數(shù)的圖像的頂點為，∴新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的．∴的對應(yīng)點為，的對應(yīng)點為，聯(lián)立關(guān)系式可得：，整理得：，，當(dāng)時，解得：，，∴，，∴．②∵，．∴，∴，解得:．方法二：①設(shè)、平移前的對應(yīng)點分別為、，則．則，∵、平移前的對應(yīng)點分別為、，由（2）②及平移的性質(zhì)可知，．②∵，∴，∵到軸的距離為，點是軸與二次函數(shù)的圖像的交點，∴平移后點的對應(yīng)點即為點．∵二次函數(shù)圖像的頂點為，二次函數(shù)的圖像的頂點為，∴新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的．∴，將點的坐標(biāo)代入中，解得