微積分：六個(gè)不定積分計(jì)算步驟及其答案D7

微積分：六個(gè)數(shù)學(xué)不定積分計(jì)算步驟1.計(jì)算eq\i(,,\f(12x-16,6x2-16x+4))dx。解：觀察積分函數(shù)特征，對(duì)于積分函數(shù)的分母有(6x2-16x+4)'=12x-16，剛好是分母表達(dá)式，故本題可以用積分公式eq\i(,,\f(dx,x))=lnx+c來(lái)變形計(jì)算。eq\i(,,\f(12x-16,6x2-16x+4))dx=eq\i(,,\f(d(6x2-16x),6x2-16x+4))=eq\i(,,\f(d(6x2-16x+4),6x2-16x+4))=ln|6x2-16x+4|+C。2.計(jì)算eq\i(,,(10x2-7)2)dx.解：對(duì)此類(lèi)型總體思路是降次積分，有兩種思路，思路一是將積分函數(shù)2次冪展開(kāi)，再分別計(jì)算不定積分，即：eq\i(,,(10x2-7)2)dx=eq\i(,,(102x?-140x2+72))dx,=eq\i(,,102x?dx)-eq\i(,,140x2dx)+eq\i(,,72dx),=eq\f(1,5)*102x?-eq\f(1,3)*140x3+72x+C.思路二：通過(guò)分部積分進(jìn)行計(jì)算，有：eq\i(,,(10x2-7)2)dx=(10x2-7)2x-eq\i(,,xd(10x2-7)2)，=(10x2-7)2x-4*10eq\i(,,x2(10x2-7))dx，=(10x2-7)2x-4*10eq\i(,,(10x?-7x2)dx)，=(10x2-7)2x-4*102eq\i(,,x?dx)+4*10*7eq\i(,,x2dx),=(10x2-7)2x-eq\f(4,5)*102x?+eq\f(2,3)*140x3+C。3.積分eq\i(,,\f(dx,(x2-16x+115)))的計(jì)算。解：根據(jù)積分函數(shù)的特點(diǎn)，分母看作成二次函數(shù)，則判別式△=162-4*115＜0,即與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故分母函數(shù)可以通過(guò)配方得到形如(x-a)2+c的形式，再根據(jù)不定積分公式eq\i(,,\f(dx,1+x2))=arctanx+C變形計(jì)算即可，有：eq\i(,,\f(dx,(x2-16x+115)))=eq\i(,,\f(dx,x2-16x+64+51))=eq\i(,,\f(dx,(x-8)2+51))=eq\f(1,51)eq\i(,,\f(dx,1+\f((x-8)2,51)))=eq\f(1,eq\r(51))eq\i(,,\f(deq\f(x,\r(51)),1+\f((x-8)2,51))),=eq\f(1,eq\r(51))arctaneq\f(x-8,eq\r(51))+C。4.計(jì)算eq\i(,,(\f(31,80x)+\f(52x,9))2dx).解：本題主要采用將積分函數(shù)通過(guò)平方展開(kāi)后，再分別進(jìn)行積分，有：eq\i(,,(\f(31,80x)+\f(52x,9))2dx)=eq\i(,,[(eq\f(31,80x))2+2*eq\f(31,80)*eq\f(52,9)+(eq\f(52x,9))2]dx),=(eq\f(31,80))2eq\i(,,\f(dx,x2))+eq\f(403,90)eq\i(,,dx)+(eq\f(52,9))2eq\i(,,x2dx),=-eq\f((\f(31,80))2,x)+eq\f(403x,90)+eq\f(1,3)*(eq\f(52,9))2x3+C。5.計(jì)算eq\i(,,(21x3-33x2+28)104(63x2-66x)dx)不定積分計(jì)算解:本積分函數(shù)的特征是變形指數(shù)低的部分，即后一項(xiàng)，又因?yàn)?21x3-33x2+28)'=63x2-66x,所以可以使用湊分法進(jìn)行不定積分計(jì)算，則：eq\i(,,(21x3-33x2+28)104(63x2-66x)dx)=eq\i(,,(21x3-33x2+28)104d(21x3-33x2+28)),=eq\f(1,105)(21x3-33x2+28)105+C.6.計(jì)算eq\i(,,xln(107x-56))dx。解:本積分出現(xiàn)自然對(duì)數(shù)與一次函數(shù)x的乘積形式，思路是將x湊分到積分單元中，再進(jìn)行分部積分法，有：eq\i(,,xln(107x-56))dx=eq\f(1,2)eq\i(,,ln(107x-56)dx2)，=eq\f(1,2)x2ln(107x-56)-eq\f(1,2)eq\i(,,x2dln(107x-56)),=eq\f(1,2)x2ln(107x-56)-eq\f(107,2)eq\i(,,\f(x2dx,107x-56)),=eq\f(1,2)x2ln(107x-56)-eq\i(,,(x+\f(56,107)))dx-(eq\f(56,107))2eq\i(,,\f