2025屆新高考數學沖刺精準復習函數的奇偶性與周期性

2025屆新高考數學沖刺精準復習函數的奇偶性與周期性01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】了解函數的奇偶性；了解周期函數的概念.【考情概述】函數的奇偶性與周期性是新高考考查的重點內容之一，

常以選擇題或填空題的形式進行考查，有時與其他知識交匯考查，難度

中等，屬于高頻考點.

知識梳理1.偶函數、奇函數的概念（1）

一般地，設函數

f

（

x

）的定義域為

D

，如果?

x

∈

D

，都有－

x

∈

D

，且

，那么函數

f

（

x

）就叫做偶函數.（2）

一般地，設函數

f

（

x

）的定義域為

D

，如果?

x

∈

D

，都有－

x

∈

D

，且

，那么函數

f

（

x

）就叫做奇函數.2.奇、偶函數的圖象特點偶函數的圖象關于

對稱，奇函數的圖象關于

對稱.f

（－

x

）＝

f

（

x

）f

（－

x

）＝－

f

（

x

）y

軸原點3.函數的周期性（1）

一般地，設函數

f

（

x

）的定義域為

D

，如果存在一個

?

T

，使得對每一個

x

∈

D

，都有

x

＋

T

∈

D

，且

?

，那么函數

f

（

x

）就叫做周期函數，非零常數

T

叫做這個函數的周期.（2）

如果在周期函數

f

（

x

）的所有周期中存在一個最小的正數，那么

這個最小正數就叫做

f

（

x

）的

正周期.非零常

數f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）最小常用結論1.函數奇偶性的常用結論（1）

具有奇偶性的函數，其定義域關于

?對稱，即函數為奇函

數或偶函數的必要條件是其定義域關于

對稱.（2）

如果一個奇函數

f

（

x

）在

x

＝0處有定義，即

f

（0）有意義，那

么一定有

?.（3）

如果函數

f

（

x

）是偶函數，那么

f

（

x

）＝

f

（－

x

）＝?

?.（4）

奇函數在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有

?的單調性；偶

函數在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有

的單調性.（5）

若函數

f

（

x

）是奇函數，則

f

（

x

）＋

f

（－

x

）＝0.特別地，若

f

（

x

）存在最值，則

f

（

x

）max＋

f

（

x

）min＝

?.原點原點f

（0）＝0

f

（｜

x

｜）相同相反0

｜

a

－

b

｜2

a

2

a

2

a

3.函數對稱性的常用結論（1）

若函數

y

＝

f

（

x

＋

a

）是偶函數，則函數

f

（

x

）的圖象關于直

線

對稱.（2）

若函數

y

＝

f

（

x

＋

b

）是奇函數，則函數

f

（

x

）的圖象關于

點

對稱.（3）

若對于R上任意的

x

，都有

f

（

x

）＝

f

（2

a

－

x

），則函數

y

＝

f

（

x

）的圖象關于

對稱；若

f

（

x

）＋

f

（2

a

－

x

）＝2

b

，則函數

y

＝

f

（

x

）的圖象關于

對稱.x

＝

a

（

b

，0）直線

x

＝

a

點（

a

，

b

）

??√?2.（RA一教參P155本章學業(yè)水平測試題第2題）已知

f

（

x

）是定義在區(qū)

間[－6，6]上的偶函數，且

f

（3）＞

f

（1），則下列各式一定成立的是

（

C

）A.

f

（0）＜

f

（6）B.

f

（3）＞

f

（2）C.

f

（－1）＜

f

（3）D.

f

（2）＞

f

（0）C

A.

y

＝｜

sin

x

｜B.

y

＝

cos

x

C.

y

＝tan

x

4.（多選）（RA一P86習題3.2第5題改編）下列函數中，既是偶函數又

在區(qū)間（0，＋∞）上是增函數的有（

BC

）A.

y

＝2－｜

x

｜C.

y

＝

x

2－1D.

y

＝

x

3ABC5.（RA一P86習題3.2第11題改編）已知函數

f

（

x

）是定義域為R的奇函

數，當

x

≥0時，

f

（

x

）＝

x

（1＋

x

），則當

x

＜0時，

f

（

x

）＝

?

?.x

（1

－

x

）

解：由題意，得函數

f

（

x

）的定義域為R，關于原點對稱.當

x

＜0時，

－

x

＞0，

f

（－

x

）＝－（－

x

）2＋（－

x

）＝－（

x

2＋

x

）＝－

f

（

x

）；當

x

＞0時，－

x

＜0，

f

（－

x

）＝（－

x

）2＋（－

x

）＝－（－

x

2＋

x

）＝－

f

（

x

）；當

x

＝0時，

f

（0）＝0滿足

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

）為奇函數.總結提煉

判斷函數奇偶性的方法（1）

根據定義判斷，首先看函數的定義域是否關于原點對稱；在定

義域關于原點對稱的條件下，再化簡解析式，根據

f

（－

x

）與

f

（

x

）

的關系作出判斷.（2）

分段函數奇偶性的判斷，要分別從

x

＞0或

x

＜0來判斷等式

f

（－

x

）＝

f

（

x

）或

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）是否成立，只有當對稱的兩個區(qū)

間上滿足相同的關系時，分段函數才具有確定的奇偶性.[對點訓練]

1.（多選）下列函數中，存在實數

a

，使得函數

f

（

x

）為奇函數的是

（

ACD

）B.

f

（

x

）＝

x

2＋

ax

ACD

A.3B.4C.5D.6B

（2）

已知函數

f

（

x

）是定義在R上的周期為3的周期函數，且當

x

∈

（1，4]時，

f

（

x

）＝3

x

－1，則

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋…＋

f

（100）＝

?.解：由函數

f

（

x

）的周期為3，得

f

（1）＝

f

（4）＝3×4－1＝11，

f

（2）＝3×2－1＝5，

f

（3）＝3×3－1＝8，所以

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）＝24.所以

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋…＋

f

（100）＝

f

（1）＋

33×[

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）]＝11＋33×24＝803.803

總結提煉

函數周期性的判定與應用（1）

判定：判斷函數

f

（

x

）的周期性只需證明

f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）

（

T

≠0）.（2）

應用：根據函數的周期性，可以由函數的局部性質得到函數的

整體性質.此外，若

T

是函數的周期，則

kT

（

k

∈Z且

k

≠0）也是函數

的周期.

A.3B.5C.7D.9D

D

A.（－∞，－1）∪（2，＋∞）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）C.（－2，1）D.（－1，2）C解：當

x

＞0時，－

x

＜0，

f

（－

x

）＝－4

x

－

x

2＝－

f

（

x

）；當

x

＜0

時，－

x

＞0，

f

（－

x

）＝

x

2－4

x

＝－

f

（

x

）；當

x

＝0時，

f

（0）＝

0，滿足

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

）為R上的奇函數.易知

f

（

x

）在定義域上為增函數，所以原不等式可化為

f

（

a

）＜－

f

（

a

2－

2）＝

f

（2－

a

2）.所以

a

＜2－

a

2，解得－2＜

a

＜1，即實數

a

的取值范

圍是（－2，1）.（2）

已知函數

f

（

x

）的定義域為R，當

x

∈[－2，2]時，

f

（

x

）單調

遞減，且函數

f

（

x

＋2）為偶函數，則下列結論正確的是（

C

）C

[對點訓練]

4.若函數

f

（

x

＋2）為偶函數，對任意的

x

1，

x

2∈[2，＋∞），且

x

1≠

x

2，都有（

x

1－

x

2）·[

f

（

x

1）－

f

（

x

2）]＜0，則下列大小關系正確的

是（

D

）D

考向2

函數的奇偶性與周期性的綜合例4（1）

（多選）已知

f

（

x

）是定義在R上的奇函數，且滿足

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），當0≤

x

≤1時，

f

（

x

）＝

x

2，則下列結論正確

的是（

ABD

）A.函數

f

（

x

）的圖象關于直線

x

＝1對稱B.函數

f

（

x

）是周期函數C.函數

f

（

x

）在區(qū)間[2020，2022]上單調遞增D.函數

f

（

x

）有最小值－1ABD解：因為

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），所以

f

（

x

－1）＝－

f

（

x

＋

1），即

f

（1＋

x

）＝－

f

（

x

－1）.由題意，得函數

f

（

x

）是R上

的奇函數，所以

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（1＋

x

）＝

f

（1－

x

），即函數

f

（

x

）的圖象關于直線

x

＝1對稱.故A正確.因為

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），所以

f

（

x

＋2）＝－

f

（

x

＋4）.所以

f

（

x

＋4）＝－

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

）.所以

T

＝4，函數

f

（

x

）是周

期函數.故B正確.當0≤

x

≤1時，

f

（

x

）＝

x

2，所以函數

f

（

x

）

在區(qū)間[0，1]上單調遞增.又因為

f

（

x

）是R上的奇函數，所以

f

（

x

）在區(qū)間[－1，1]上單調遞增.因為函數

f

（

x

）的圖象關于直

線

x

＝1對稱，所以

f

（

x

）在區(qū)間[0，2]上不單調.由周期性可知，

C錯誤.由題意可知，

f

（

x

）min＝

f

（－1）＝－

f

（1）＝－1.故D

正確.

0

[拓展探究]（多選）已知函數

f

（

x

）的定義域為R，且

f

（

x

＋1）為偶函數，

f

（3

x

＋2）為奇函數，則下列結論正確的是（

AC

）A.

f

（

x

）的圖象關于直線

x

＝1對稱B.

f

（

x

）的圖象關于點（1，0）對稱C.

f

（

x

＋4）＝

f

（

x

）AC

總結提煉

函數性質的綜合問題的常見類型及解題策略（1）

奇偶性與單調性的綜合問題.注意函數的單調性及奇偶性的定

義，以及奇、偶函數圖象的對稱性.

（2）

奇偶性與周期性的綜合問題.此類問題多考查求值問題，常利用

奇偶性及周期性進行轉化，將所求函數值的自變量轉化到已知函數解

析式的定義域內求解.（3）

單調性、奇偶性與周期性的綜合問題.解決此類問題通常先利用

周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解.[對點訓練]

A.

a

＝1B.

f

（

x

）的最小正周期

T

＝4C.

y

＝

f

（

x

）－｜log6

x

｜有4個零點D.

f

（2023）＞

f

（2022）D解：對于A，由題意，可得

f

（0）＝

a

－1＝0，解得

a

＝1.故A正確.對于B，因為

y

＝

f

（

x

＋1）是偶函數，所以

f

（

x

＋1）＝

f

（－

x

＋1），則

f

（2＋

x

）＝

f

（－

x

）.又因為

f

（

x

）為奇函數，所以

f

（－

x

）＝－

f

（

x

），則

f

（2＋

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

＋4）＝－

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

），則

f

（

x

）的最小正周期

T

＝4.故B正確.對于C，令

f

（

x

）－｜log6

x

｜＝0，則

f

（

x

）＝｜log6

x

｜，

x

＞0，作出

y

＝

f

（

x

）和

y

＝｜log6

x

｜的圖象如圖所示.由圖象可知，

y

＝

f

（

x

）和

y

＝｜log6

x

｜的圖象有4個交點，所以

y

＝

f

（

x

）－｜log6

x

｜有4個零點.故C正確.對于

D，因為

f

（2023）＝

f

（3）＝－

f

（－3）＝－

f

（1）＝－1，

f

（2022）＝

f

（2）＝

f

（0）＝

0，所以

f