高中數(shù)學立體幾何詳細教案

【中學數(shù)學教案】

立體幾何教案

一，空間直線與直線的關(guān)系

a,相交

b,平行

c,異面

a,相交直線

b,平行公理：空間中平行于同一條直線的兩條直線平行

c異南（百

1,求贏直線所成角問題

注：利用平行公理找角，利用余弦定理計算，結(jié)果要銳角或直角

異面直線所成角的范圍（0,90°]

（-）平移法利用平行公理把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角

例：正方體A6c￡>—AACD中，E，F(xiàn)分別是和CC中點，則直線AE

和BF所成角的余弦值

㈡補形法

補形：底面是直角三角形的直三棱柱可以補成一個長方體

例：在直三棱柱A8C一ABC中，ZBCA=90,點D，斤分別是

AA，AC中點，BC=CA=CC，則與AF所成角的余弦值

A病B-LCaD屈

1021510

2,求異面直線之間的距離問題

和兩條異面直線垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，

公垂線夾在兩條異面直線之間的長度叫做異面直線的距離。

二，空間直線和平面關(guān)系

a，直線與平面平行

b,直線與平面垂直

c,直線與平面斜交一一射影定理和三垂線定理

a,線面平行

1,判定定理：若平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個平

面平行。

2,性質(zhì)定理：若一條直線和一個平面平行，則過這條直線的平面和這個已知平面的交

線必和這條直線平行。

b,線面垂直

1,判定定理：I,若一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線和這

個平面垂直。

II,若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個

平面。

2,性質(zhì)定理：I,若兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行。

II,過一點能且僅能做一條直線與一個平面垂直。

C,射影定理

1,射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長。

2,相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長。

3,垂線段比任何一條斜線段都短。

d,三垂線定理

1,平面內(nèi)的一條直線，若和斜線在平面內(nèi)的射影垂直，則這條直線和斜線垂直。

2,平面內(nèi)的一條直線，若和平面的斜線垂直，則這條直線和斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

三，空間平面和平面的關(guān)系

a,面面平行b,面面垂直c,面面斜交

a,面面平行

1,判定定理：I,如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個

平面平行。

II,垂直于同一條直線的兩個平面平行。

III如果一個平面上的兩條相交直線分別和另一個平面上的兩條直線平

行，那么這兩個平面平行。

2,性質(zhì)定理：I,如果兩個平行平面分別和第三個平面相交，那么它們的兩條交線平

行。

II,夾在兩個平行平面間的平行線段的長相等。

III,如果兩個平行平面中，有一個平面和一條直線垂直，那么另一個平

面也和這條直線垂直。

b,面面垂直

1,定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直。

2,判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

3,性質(zhì)定理：1,如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線

垂直于另一個平面。

II,如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二

個平面的直線，在第一個平面內(nèi)。

III,如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于

第三個平面。

c,二面角

定義：一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面,

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角。

這條直線叫做二面角的棱。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的

兩條射線，兩條線所成的角叫做二面角的平面角。

空間直線，平面的做題方法。

一、空間平行關(guān)系轉(zhuǎn)化圖及相關(guān)定理

_________________面面平行判定定理推論

▼線面平行面面平行

平行判定定理）判定定理）

線線平行（公理>線線平行_________線面平行《面面平行

t1線而平行~<面面平行-J

基本性質(zhì)

面面平行性質(zhì)定理一

I,線面平行的判定方法

'利用線線平行證線面不亍

①平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖

“利用面面平行證線面不亍

②向量法（后面講）

③線面平行定義:直線與平面沒有公共點

II,線線平行關(guān)系的判定

常見的線線平行的判斷方法有

'平行公理

①平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖從線面平行到線線平行

從面面平行到線面平行

②三角形，平行四邊形（菱形，矩形，正方形）梯形中位線性質(zhì)

在找三角形中位線是常常利用平行四邊形（菱形，矩形，正方形）對角線互相平分

③利用平行線分線段成比例定理推論找平行線

平行于三角形一邊，截其它兩邊或兩邊的延長線，所得的對應(yīng)線段成比例

DE〃BC

八、

⑴-A----D----=---A----E---

DBEC

小、

⑵-A----D----=---A----E----=---D----E----

ABACBC

注：反之任取一組比例式可推得DE

〃BC

DE〃BC

DAEADE

^4C-AB-BC

注：反之任取一組比例式可推知

DE〃BC

BC

④向量法（后面講）

⑤垂直于同一平面的兩條直線平行

例如圖所示：己知E,F,G,M分別是四面體的棱AD,CD,BD,BC的中點，求證:

AM||面EFG

設(shè)計說明：可以通過面面平行證線面平行

例已知正方體ABCD-AJ&CIA，棱長為a,E,F分別在BD上，且RE=BF

求證：EFII平面BCCIBI

本題證明從線線平行到線面平

行。在找線線平行時應(yīng)用平行線

分線段成比例定理推論

法二也是從線線平行到線面平行，

做平行線構(gòu)造平行四邊形證線線

平行

III面面平行關(guān)系的判定

面面平行判定方法

'利用線面平行證面面平亍

①平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖＜

利用線線平行證面面平亍

②向量法(后面講)

③垂直于同一直線的兩個平面平行

④面面平行的定義：兩個平面沒有公共點

例三棱柱ABC-ABC，D是BC上一點，且ABII平面AC。，D是8C中點，

求證：平面243￡)|||平面4(71。

例1如圖所示正方體ABCD-ABC的棱長都是a，M,N分別是下底面棱

ABrBiCi

的中點，P是上底面棱AD上一點，AP=g,過P,M,N的平面交上底面于P,Q,Q在

答案:當a

二，空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖及相關(guān)定理

線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、

線線垂直二一.一一＞線面垂直］.........＞面面垂直

《線面垂直定義—（面面垂直的性質(zhì)定理—

典型例題

I,線面垂直的判定與性質(zhì)

線面垂直與面面垂直是今后我們要研究的主要問題。問題的關(guān)鍵是線線垂直。

線線垂直的判定方法

①空間線面垂直證線線垂直

②利用三垂線定理

③向量法

④利用勾股定理算垂直

線面垂直的判定方法

'利用線線垂直證線面醺:

①空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖-

.利用面面垂直證線面霸:

②向量法

例1如圖所示,AB圓0的直徑,C為圓。上一點，APJ.面ABC,AE_LBP于E,AFLCP

于F,

求證：BP_L平面AEF

本題通過線線垂直證明線面垂直，在找

線面垂直條件時采用了三垂線定理和圓

的直徑對直角的性質(zhì)

練習：如圖已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點，若ZPDA=45°

求證：面PCD

提示：取PD中點Q,證AQ與面

PCD垂直，從而利用“線面垂直的

性質(zhì)定理”證MN與面PCD垂直

例2、直三棱柱ABiCi-ABC中，M為AC中點

求證：ACJ■平面BMCi

設(shè)計說明：

①牢牢把握直（正）棱柱，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征對于研究空間幾何問題（空間平行關(guān)系的判定

與性質(zhì)及空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)）有很大幫助。

②在三視圖的環(huán)境下證明線面，面面關(guān)系是幾何證明的一個重點

練習：⑴如圖所示，直三棱柱ABC-A51c中，B,C=AC,>AC，A6,M，N

是AH，AB的中點，

⑴求證：CM_L面AABBi

⑵求證：^B±AM

⑶求證：平面AMGJ_面NB|C

練習：如圖，在直三棱柱ABOA】C|中，AB=BC=85］，D為AC的中點

⑴求證：ACII面ABD

⑵若ACJ面ABD求證：BiCJ面ABBiA

⑶在⑵的條件下，設(shè)AB=1,求三棱錐B-A。的體積

II,面面垂直的判定與性質(zhì)

面面垂直的判定方法

①空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖：利用線面垂直證面面垂直

②向量法

例1如圖，A4BC為正三角形，EC_L平面ABC,BD1|CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點,

求證：（1）DE=DA

⑵平面BDM1平面ECA

⑶平面DEA1面ECA

取AC中點N,證明DN||BN再

證BN_L面ECA,利用線面垂

直的性質(zhì)定理知DM_L面ECA

最后利用線面垂直證面面垂直

例2已知ABC。中，ZBCD=90-BC=CD=1,AB_L面BCD,NADB=60°，E,F

AFRP/、

分別是AC,AD上動點，且CEnBLn/igv/lvi)

ACAD

求證：⑴不論力為何值時，總有平面BEFJ■面ABC

⑵當A為何值時，平面BEF1面ACD

第二問是存在性問題

當BEFJ■面ACD時

由一問可知EF，面ABC又,/BEuABCZ.EF1BE；BEF_L面ACD,BEuBEF

面BEFc面ACD=EFABE±面ACD':ACuACDBE±AC

利用射影定理求AE從而求力

設(shè)計說明：

①本題是存在性問題，解決存在性問題可以把結(jié)論當己知探索使得已知成立的充分性條件

②解決與空間幾何有關(guān)的存在性問題最好用向量法

練習：1、如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點，EP1面ABCD

⑴求證：DPI面EPC

⑵問在EP上是否存在F,使平面AFD1面BFC

問題⑴利用線線垂直證線面垂

直，在尋找線線垂直條件

DP，AC時采用“算垂直”的

方法

2、如圖所示在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是ND4B=6。"，且邊長為a的菱形，側(cè)面

PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD

⑴若G為AD的中點，求證：BGJ?面PAD

⑵求證：AD1PB

⑶若E為BC中點，能否在棱PC上找到一點F,使平面。面ABCD,并證明你的結(jié)

論

分析：問題⑶是存在性問題，可以把結(jié)論當已知找條件，尋找的過程可省略。但本題要求證

明即把條件當已知證結(jié)論

1、如圖所示，在四棱柱ABCD-ABl中，已知DC=O/)|=2AD=2AB,AD_LDC,AB||DC

⑴求證：Dc，Ac；

⑵設(shè)E是DC上一點，試確定E的位置，使面A|BD,并說明理由

一、折疊問題

例如圖，四邊形ABCD中，AClIBC,AD=AB,ABCD=45JZBAD=90°)將沿

對角線BD折起，記折起后點的位置為P,且使平面PBD1面BCD

⑴求證：平面PBC_L面PDC

⑵在折疊前的正方形ABCD中，做AE_LBD于E,過E作EFJ.BC于F,求在折起后的圖形

中ZPFE的正切值

設(shè)計說明：對于折疊問題，關(guān)鍵是抓住圖形折疊前后的不變量及重要的折疊條件

空間直角坐標系及空間向量法

一，空間直角坐標系

1、右手系：伸出右手，彎曲四指使得四指與掌面垂直，大拇指向上垂直翹起，四指的方向

為x軸，手掌向里的方向為y軸，大拇指的方向為z軸，三軸的公共點為z軸

2、卦限：數(shù)軸上原點把數(shù)軸分成正負半軸。在坐標平面上，x軸，y軸把平面分成四個象限,

在空間三個坐標平面把空間分成八個卦限

注:建系時最好建成右手系，并且盡量把圖形放在第一卦限，在坐標軸或坐標平面上的點越

多越好，關(guān)于坐標平面對稱的點越多越好

一、空間直角坐標系上點的坐標：

求一個點的坐標就是找該點在x軸，y軸，z軸上的坐標分量

己知正方體ACIDI-ABCD棱長為2,如圖所示以正方體的中心0為原點建立空間

直角坐標系

Az

A

1、在軸上點的坐標：

Pex^P(x,0,0)產(chǎn)￡)糊”(0,y,0)Pwz軸p(0,0,z)

2、在坐標平面上點的坐標

PEW聲面上，P(x,y,0)P￡yo評面上,P(0,y,z)P￡xo界面上,P(x,0,z)

+

3、已知A&X，zJ,5屋，％22加二中點「XX2乂+丁2Z|+Z2

二’zz’

22

4、與P(x,y,z)關(guān)于定點A(a,b,c)對稱點的p[(2a-x,2a-y,2a—z)

5,關(guān)于坐標平面對稱點的坐標

與P(x,y,z)關(guān)于xoy平面對稱點的坐標p1(x,y,~z)

與P(x,y,z)關(guān)于xoz平面對稱點的坐標P1(x,-y,z)

6、若P點在xoy面的射影為L點，則P點與A點的x,y軸分量相同，P點z軸分量為P點

到面xoy的距離

二、空間向量的坐標運算

注：空間向量的加法，減法，數(shù)乘的幾何意義；兩個向量的共線條件；向量的內(nèi)積運算公式

與平面向量完全相同

空間向量的坐標運算公式

B

若,X’zJ(xi,y2,Z2)則AB=L-為,%-/Z2-z)

若已知aQ,y,z)

+

加減法：1±B=(X-Xi,yy2'Z\Z2)

數(shù)乘：=|%，4y，4z)

—>—>

=++

內(nèi)積：abXxXiy,y2zt-z2

模Q==舊+y：+z：

其它一些常用公式

Jf、2_>2iC2——22

[Q_"=Q-b

=a+卜±2aba+bla-b

〃上Z?o%.H+yJ>2+Zi.Z2=0

設(shè)直線a的方向向量為〃，直線b的方向向量為，

三、直線的方向向量與平面的法向量

注：直線的方向向量與平面的法向量都不取零向量

1、直線的方向向量：在直線上或與直線平行的向量叫做直線的方向向量

2、平面的法向量：和平面上兩條不共線向量都垂直的向量叫做平面的法向量

下面介紹平面法向量的求法

例：已知：已知Q=（1,1,0）,6=（0,1,1）,求Q與人的法向量〃

設(shè)〃(x,y,z)

na=0

—>—>—>—>—>

n^b^nb=0

x+y=0

y+z=0

由于x每給一個值，就各有一個與之對應(yīng)的y值和z值，由此說明一個平面的法向量有無窮

多個，這和常識也是相符的，我們只需取其中一個法向量即可

令x=l,y=-l,z=l

'"（LT】）

一、向量法分析空間線線，線面，面面的位置關(guān)系

T->~*T

/，分別為直線l,m的方向向量;加］，孔2分別為平面。，夕的法向量

㈠線線平行：

1、文字語言：兩直線的方向向量平行則線線平行

2、圖形語言：

在這里強調(diào)，=%//II贏GR）

但反之不對，當/=6/06時，這是不可以的

這樣寫正確：

f、

m>m

3、符號語言：

//||m=^/||m(/le/?)

㈡線面平行：

1、文字語言：如果直線的方向向量與平面的法向量垂直，則線面平行

2、圖形語言：

7->->->

3、符號語言：/?a]=0=/"L幾]=/||a

㈢面面平行：

1、文字語言：如果兩個平面的法向量共線則面面平行

2、圖形語言：

3、符號語言：

九1=，〃2n幾1"。"分

㈣線線垂直：

1、文字語言：兩直線的方向向量垂直則線線垂直

2、圖形語言：

3、符號語言：/?〃=()=/=

(為線面垂直：

1、文字語言：如果直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條不共線向量垂直則線面垂直

2、圖形語言：

3、符號語言:

—>—>—>—>—>—>—>—>

3)面面垂直：

1、文字語言：如果兩個平面的法向量垂直則面面垂直

2、圖形語言；

3、符號語言:

=°=〃1〃2=2"

二、空間角

㈠空間角的范圍

1、線線角的范圍b，90°]2、異面直線所成角的范圍6,900]

3、線面角的范圍b，90°]4、斜線與平面所成的角范圍（0,90°]

5、二面角的范圍[0M800]6、向量夾角范圍[0480°]

7、直線的傾斜角范圍104800）

㈡空間角的定義：

1、異面直線所成角的定義：略

2、斜線與平面所成角的定義：斜線與平面所成的角等于斜線與它在這個平面上的射影所成

的角

如圖1為平面。的垂線，m為

平面a的斜線，n為斜線m在

平面a上的射影

注：求線面角關(guān)鍵找與斜線有

交點的平面的垂線

注：在用定義法求線面角時常會用到空間垂直關(guān)系相關(guān)定理（特別是線面垂直的判定定理，

線面垂直定義，面面垂直性質(zhì)定理），三垂線定理及推論，直（正）棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱

錐的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的判定方法

例：已知正三棱柱ABCABiCi的側(cè)棱長與底面邊長相等，則與側(cè)面ACCA所

成角的正弦值

依gV6

答案：一4

練習：⑴在長方體ABCD-ABCJDI中，AB=BC=2AA=1，則8c與平面

所成角的正弦值

答案:叵

5

⑵正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1,則側(cè)棱與底面所成角為

答案：45

3、二面角的定義：在二個平面內(nèi)各引一條與交線垂直的直線，這兩條垂線所成的角就是這

兩個平面所成的二面角的平面角

mua,〃u=l,m,〃工I

二面角的求法：

i）定義法：在用定義法求二面角時常會用到空間平行及垂直關(guān)系相關(guān)定理，三垂線定理及

推論，直（正）棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的判定方法

利用定義計算二面角常常使用余弦定理。

例1已知已知正四棱錐的體積是12,底面對角線長2指，則側(cè)面與底面所成的二面角等于

7T

答案：—

3

ii）平移交線法，截面法與截面法

例2已知正三棱柱ABC-A51cl的底面邊長是2,高為1，過頂點A做一平面a,與側(cè)

面BCCiBl交于EF,且EFIIBC,若平面a與底面ABC所成二面角大小為x|o<x,

四邊形BCEF的面積為y,則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是：答案：C

AC.AC

圖2

圖i

法一：平移交線法如圖1

VEFHBC,EEZ面ABC,BCu面ABC

；.EF||面ABC

設(shè)面AEFC面ABC=/

又EFu面AEF

.,.EF||1

取EF中點M,BC中點N

則AN1EF,AN1EF

則/MAN就是面AEF與面ABC所成的二面角的平面角

注：在本題中很難找到面AEF與面ABC的交線，故在圖形中找一條與交線平行的直線EF,

在這兩個平面內(nèi)引EF的垂線，從而找到二面角的平面角

注：求空間角時，空間角大多是特殊角，對于非特殊角題目一般要求求空間角的某個三角函

數(shù)值。若題目特別強調(diào)用反三角函數(shù)表式，利用下面公式

公式一：若=e[―1,1]^|

則a=arcsinm

公式二：若cosa=w[0,萬]加61D

則a=arccosm

公式三：若tana=Ja加為常實數(shù)

則a=arctanm

例：①sina=—0,—，求a

3L2.

②cosa=-,aw0,工，求a

32

③tana=—0,工求a

3L2；

通過本題引出下面公式

常用公式：

arcsin-x=-arcsinx

arccos-x=兀一arccosx

tan-x=-arctanx

]7C>

練習：①cosa=一—.aG—求a

3|_2_

②tana=——,aG--,0求二

3I2」

三、向量法求空間角

㈠向量法求線線角：空間兩條直線所成的角與它們方向向量所成的角相等或互補

綜上:

|cos(/,m)|=

㈡向量法求線面角：空間直線與平面所成的角和直線的方向向量與平面法向量所成的角互

TT

余，或比向量角小二

2

—>

功基線為a的垂線

T

綜上：|sin〈/，G|=由0,^故sin?,a)=||

㈢空間向量的方法求二面角，方法一：內(nèi)積法

如圖所示，在兩個平面a,￡內(nèi)以交線上的點為起點各引一條與交線垂直的向量/，一

m^a,n^/3,ao/3=l,m,nLl

3⑼=嫁,〃)

例：已知直角A4BC中，NC=90°,N8=30°,AB=4,D為AB的中點，沿中線將A4CO

折起使得AB="3,則二面角A-CD-B的大小為

對于折疊問題，關(guān)鍵是抓住圖形折疊前后的不變量及重要的折疊條件

解：作

二面角A-CD-B等于（血,血

AB=AE+EF+FB

、2

AE+EF+FB

7

2

EF4-怛司+2AEFB+2EFFB+2AEEF

同3庇=2,網(wǎng)

V3

Tf3

AEFB=&

—?—>

CO

^AEFBAE^BLQ

f=2>

AEFB\

又,：,￡，前4，兀1

2萬

-{EAFB

方法二：坐標法

mua,〃u/3,ac0=l,m,n上I

綜上:

|cos(a,姍=［。㈤

co?〃i，〃2)1，3萬)為銳角

-(a，g為鈍角

注：①求二面角是二面角一般為銳角或鈍角很少求直角，零角或平角

②二面角的性質(zhì)可以直觀觀察得到

四、空間向量方法求空間點到平面的距離

典例

一、向量法確定空間線線，線面，面面位置關(guān)系，求空間角及空間點到平面的距離

注：①應(yīng)用向量法研究空間幾何問題的關(guān)鍵是建系及確定空間點的坐標，

②在建系時最好建立右手系（在原圖形上找或作三條有公共點且兩兩垂直的線段做為坐標

軸），在坐標平面上的點越多越好，關(guān)于原點或坐標平面對稱的點越多越好

③在建系時會用到空間垂直關(guān)系相關(guān)定理（線面垂直的判定定理，線面垂直定義，面面垂直

的性質(zhì)定理），線面角的定義，直（正）棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

④確定空間點的坐標必要時時可以設(shè)參數(shù)表示空間點的坐標，但參數(shù)用得越少越好如軸上點

的坐標可用一個參數(shù)表示;坐標平面上點的坐標可用兩個參數(shù)表示;已知線段兩端點的坐標，

只需一個參數(shù)就可以表示該線段上任意點坐標（利用向量共線條件）如下圖

ACB

若已知A,B坐標設(shè)C（x,y,z）

岫毋設(shè)*0=丸4萬可求點c坐

標

例在四棱錐P-ABCD中，PA,平面ABCD,PB與底面所成的角為45"，底面ABCD為直

角梯形，ZABC=ZBAD=90°'PA=BC=gA/）

⑴求證：面PAC_L面PCD

⑵在棱PD上是否存在一點E,使CE||面PAB?若存在確定E的位置，若不存在說明理由

A

（0,0,1）p

b（02（）寧

BXI.0.())

C(1,1,0)

面PAB的法向量為XZ)(O,2,O)

要想CE||面PAB必須Ab’ck

—>—>

??ADCE=。

/.y=1

PEWPD[PD力6]=P>E=APD

\7

可求點E坐標

注：解決存在性問題，把結(jié)論當已知，從結(jié)論出發(fā)，找是結(jié)論成立的條件

練習1、如圖，在直三棱柱ABC-ABlC中，NAC6=90°，AC=BC=a,D,E分別為棱

AB,BC的中點，M為A上的點，二面角M-DE-A為30’

⑴證明：A3JC。

答案：一

4

2、(07高考全國H)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD_L底面

ABCD,E,F分別為AB,SC的中點，

⑴證明:EFUffiSAD

⑵設(shè)SD=2DC,求二面角A-EF-D的正切值

答案：V2

例2：07福建正三棱柱ABC-AAG中，所有棱長為2,D為中點,

⑴求證：48，面從8口

⑵求二面角A-AiD-B的正弦值

⑶求C到平面A|BD的距離

取AB的中點0,則C01AB

又?.?面ABCJ?面AC，OCu面ABC,?ABCn?AQ=AB

，OC1面AC

再取31cl的中點尸如圖所示建立空間直角坐標系

2廂后

答案：-——

42

注：本題在建系時使用了面面垂直性質(zhì)定理及正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

練習1、（08全國I）如圖，四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC1底面BCDE,

BC=2,CD=V2,AB=AC

⑴證明：ADICE

⑵設(shè)CE與平面ABE所成的角為45，求二面角C-AD-E的余弦值

取BC,DE中點0,F

AOlffiBCDE

答案「四

10

2、如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=&,AF=1,M是線段EF

的中點

⑴求證：AM||面BDE

⑵試在線段AC上確定一點P,使得PF與CD所成角是60,

答案:「母字。

例3（08湖南）四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的菱形，NBCD=6。，E是CD的中點,

PA1底面ABCD,PA=2

證明：平面PBE1面PAB

如圖所示建立空間直角坐標系

本題難點在于確定P點坐標，P點在xoy面上的射影是A點，故P點和A點的x,y軸分量相

同，P點z軸分量為P點到xoy面的距離即為線段PA長

如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-2431cl口，經(jīng)平面AEFG所截

后得到的圖形，其中N8AE=NG4T>=45'，AB=2AD=2NB4Z)=60°

⑴求證：BD±AD（Jt

⑵求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值

答案：V21

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB，底面ABCD,CDL>D,底面ABCD為直角梯形，AD||BC,AB±

BC,AB=AD=PB=3,點E在棱PA上，且PE=2EA,

⑴求異面直線PA與CD所成的角

⑵求證：PC||面EBD

⑶求二面角A—BE—D的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）

⑴本題重點不是建系也不是求空間角和分析空間線面關(guān)系，而是用向量法確定點的坐標

解：(DC(0,y,O),(7￡)(3,3-y,0),p￡)(3,3-3)

—>—?

CD1PD,ACDPZ)=。，，y=6

C(0,6,0)

E(x,0,z)

PE=^EA

(x,0,z-3)=(6-2x,0,-2z)

x=6-2x=>x=2

<

z—3=—2z=>z=1

E(2,0,z)

以下略

二、地球經(jīng)緯度問題

例設(shè)地球半徑為R,在60°緯線圈上有A，B兩地，它們在緯線圈上的弧長是:成，則A,

B兩底的球面距離是

注：①A,B兩地球面距離也稱A,B兩地最短距離，它等于A,B兩點所在的大圓的劣弧長

②緯線圈與赤道面平行，緯線圈是小圓，赤道面是大圓，經(jīng)線圈是半圓，0度經(jīng)線是本初子

午線

③緯度：在緯線圈上任取一點和球心連線所得的地球半徑與赤道面所成的線面角，

緯線圈與赤道面平行

o'為緯線圈的圓心，

O為球心，。0與緯線

圈及赤道面垂直，

r為緯線圈的半徑，R為

球的半徑，

。等于緯線圈的維度

④經(jīng)度：經(jīng)線所在的半平面與本初子午線(0度經(jīng)線)所在的半平面所成的二面角

解：利用上圖可知〃=內(nèi),作出緯圓如下圖

2

I-ra

22

a-7i

AB=2r=R

作出通過A,B兩點的大圓

n

O為球心，Y=—

3

二、頂點轉(zhuǎn)移的方法求體積

已知正三棱柱31c中，底面邊長為2,高為1,則點8到平面ABC的距離

為

nrV33

A、J3B、——C、2D、一

設(shè)8到面A^c距離為九

A到面38C距離為加

B,-A,BC=VAr?B,c

3萬SyWC="2S&BBC、

hiS&B、BC

/li

SAA.BC

"（A，面BCBR4A，面C8B）

取BiC中點D，連AD

可證A而5HCG，A。=九=看

1

SAB\BC=&S矩形B^cc=

=

SAA/C=2六h\^Y

注：本題除了用頂點轉(zhuǎn)移的方法求體積同時還涉及把點面距離轉(zhuǎn)化為線面距離

空間幾何體

一、空間幾何體的分類

'棱柱

多面體棱錐

1棱臺

空間幾何體，

國柱

旋轉(zhuǎn)體＜圓錐

圓臺

二、柱錐臺的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱：有兩個平行的面，這兩個平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的側(cè)面，側(cè)

面是平行四邊形，相鄰側(cè)面的公共邊是棱柱的側(cè)棱，棱柱的側(cè)棱平行且相等

棱柱的特征簡記為：底面平行，側(cè)面是平行四邊形，側(cè)棱平行且相等

2、棱錐：有一個面是多邊形（底面），其它各面（側(cè)面）都是有公共頂點的三角形，相鄰兩

側(cè)面的公共邊叫側(cè)棱。

注意：棱錐的側(cè)棱相交于一點

3、棱臺：用平行于棱錐底面的截面取截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺

注：棱臺是用棱錐截出來的，所以棱臺側(cè)棱延長線相交于一點

多面體用頂點字母命名如棱柱ABC-入Cr棱錐V-ABC,棱臺ABC-ABxCi

對于棱柱和棱臺也可用對角線頂點字母命名如棱柱AC

注：在同一條棱上的字母對應(yīng)著寫

4、圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征：

三、棱柱分類及直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱的分類及直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

側(cè)棱與底面垂直的棱柱)宜棱柱

棱柱

側(cè)棱叮底面不垂直的棱柱,斜棱柱

特別地：底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱

側(cè)面與底面垂『［的四棱柱>直四棱柱.底面是矩形的;泗極柱)長方體

四棱柱4

側(cè)面ij底面不乖正的四校柱,斜四棱柱

底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，顯然正四棱柱是特殊的長方體，棱長都相等的長方體

是正方體

｛正方體｝U｛正四棱柱｝U｛長方體｝U｛直四棱柱｝

注：重點掌握直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

（側(cè)棱與底面垂直側(cè)棱與底面垂直

側(cè)面與底面垂直側(cè)面與底面垂直

直棱柱的結(jié)構(gòu)特征正棱柱的結(jié)構(gòu)特征

側(cè)面是矩形側(cè)面是全等的矩形

底面是多邊形底面是正多邊形

想一想：能不能說出直三棱柱與正三棱柱與正四棱柱的的結(jié)構(gòu)特征?

側(cè)棱與底面垂直側(cè)棱與底面垂直

側(cè)面與底面垂直側(cè)面與底面垂直

直四棱柱結(jié)構(gòu)特征《正四棱柱結(jié)構(gòu)特征《

側(cè)面是矩形側(cè)面是全等的矩形

底面是四邊形