高中數(shù)學(xué)必考-三次函數(shù)解析

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高中數(shù)學(xué)必考-三次函數(shù)專題解析

三次函數(shù)專題

一、定義*

定義1、形如y=o?+b.d+cx+d(aHO)的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)”(從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名)。

定義2、三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/=3*2+2版+c(a=0),把△=4/?-12ac叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式。

由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重.要內(nèi)容，所以三次函數(shù)的問(wèn)題，已經(jīng)成為高

考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)和亮點(diǎn)。

二、三次函數(shù)T=or'+bx2+cx+d(a^0)圖象與性質(zhì)的探究：

1、單調(diào)性。

?般地，①當(dāng)△=4〃-12仇?40時(shí)，三次函數(shù)^=&/+云2+5+4(。工0)在火上是單調(diào)函數(shù)；

②當(dāng)△=4b2-i2ac>0時(shí)，三次函數(shù)y=axy+hx2+av+d(a工0)在R匕有一個(gè)單調(diào)區(qū)間。

根據(jù)a>0,〃<0兩種不同情況進(jìn)行分類討論，令/'(x)=3ar2+2Ax+r=o兩根為不七且為<與，則：

2、對(duì)稱中心。

三次困數(shù)f(x)=axi+bx2+5+〃僅，0)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱中心為點(diǎn)(-2,八—2)),此點(diǎn)的橫坐標(biāo)

3a3a

是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

證明：函數(shù)/(丫)="3+及2+5+正(。H0)關(guān)于點(diǎn)(m,n)對(duì)稱的充要條件是/(〃7-X)+/(〃7+X)=2〃，

即：[a(/w-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a[m+x)J+b(m4-x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得，

(6ma+2b)x2+(2amy4-2bm2+2mc+2d)=2n,據(jù)多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，可得，

m=--itn=amy+bm2+me+d=/(///)=，(—-)?

3a3a

從而三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線，且對(duì)稱中心是(--,/(--)).

3a3a

可見，y=/(x)圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的對(duì)稱軸匕且乂是兩個(gè)極佗點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)

為零的點(diǎn)(拐點(diǎn)).

由上又可得以下結(jié)論：

y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，

①若y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，4〃)對(duì)稱，則y=/'(x)圖象關(guān)于直線x=，"對(duì)稱.

②若v=/(.V)圖象關(guān)于直線、=m對(duì)稱，則y=f'(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(,”,0)對(duì)稱.

這是因?yàn)椋浩婧瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

3、三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題(或三次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù))。

<1)當(dāng)△=4〃-12ac40時(shí)，由于不等式/'(x)20恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有個(gè)實(shí)根。

(2)當(dāng)△=4尸-12ac>0時(shí)，由于方程/'(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根再戶？，不妨設(shè)再<x?,則:

①若/(七卜/。2)>0,即函數(shù))，=/(.*)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在x軸同側(cè)，圖象均與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以原

②若八再)/(々)<0,

程有三個(gè)不等實(shí)根。

③若/(再)/(々)=。，即/(占)與/(々)中有且只有一個(gè)值為0,所以，原方程有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等。

2

4、奇偶性。

三次函數(shù)/(x)=ax}+bx2+s+4(。x0)當(dāng)且僅當(dāng)6=d=0時(shí)是奇函數(shù)。

5、極值點(diǎn)問(wèn)題.

若函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。的附近恒有/(%)>/(x)(或/(%)</(x)),則稱函數(shù)/(X)在點(diǎn)與處取得極大

值(或極小值)，稱點(diǎn)X。為極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))。

當(dāng)△>()時(shí)，三次函數(shù)y=/(x)在(-8,+8)上的極值點(diǎn)有兩個(gè)。

當(dāng)△4()時(shí)，三次函數(shù)y=/(x)在(-8,+8)I二不存在極值點(diǎn)。

6、6值問(wèn)題。

由函數(shù)/(x)=ax'+hx2+cx+d(aw0)的圖像能夠探究出在區(qū)間的最大值與最小值：

函數(shù)/(x)=ad+投/+4+或“.0),n\,若〃],且/'(x())=0,則：

f?m(x)=max{/〃“)，/(%),/(〃)}；,力?(x)=min{/(/n),f(x?),/(?)}。

8、三次函數(shù)切線問(wèn)題.

①在/>(如%)處的切線求法

設(shè)點(diǎn)凡％,加)為三次函數(shù)/(*)="'+笈2+5+"5*0)圖象上任一點(diǎn)，則在點(diǎn)P一定有直線與

y=/(x)的圖象相切，且只有一條。

/2

k=/(x())=3?.r?+2bx<>+c,切線方程為：y_為=(3or；+2bxa+c)(x-x(l)

②過(guò)戶(看，局)處的切線求法

設(shè)點(diǎn)H/，乂))為三次函數(shù)/(x)=ax'+阮2+a+"(ax0)圖象上任一點(diǎn)，則在點(diǎn)P一定有直線與

y=/(x)的圖象相切。

過(guò)P點(diǎn)作V=/(x)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為。(為，乂)，則切線的斜率4=/'(X1)=3ar；+2切+c,

切線方程為：+2如+c)(x-xj,將點(diǎn)/知義)代入，得%-必=(3ar；+27%+c)(x<,-xj,

No-(ax；+6x；+cT]+4)=(3arJ+2bxi+c\x0-,將x1求解出來(lái)即可.

3

9、?:次函數(shù)解析式的常見形式.

(1)一般形式：f(x)=ar3+bx~+ex+d(a^O)

(2)已知函數(shù)的對(duì)稱中心為(，”,”)，則/(x)=/(x-，”)3+B(x-ni)+n(axO)

(3)已知函數(shù)圖象與x軸的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a、。、y(a<￡<y),則

f(x)=a(x-a)(x-p)(x-y)(a*0)

(4)已知函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xo，則/(*)=。-項(xiàng)))(衣2+"a+")(0;t0)

:、例題講解：

例I、已知函數(shù)/(x)=x3-3ar2+3x+L

(1)設(shè)。=2,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)/(X)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。

解：

(I)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=xJ-6xJ+3x+1,/r(x)=3(x-2+>/3)(x-2-^3).

當(dāng)xe(YO.2-J5)時(shí)/((x)>0,/(x)在(-8.2-J5)單調(diào)喈加；

當(dāng)xw(2-/,2+J5)時(shí)/<x)<0,y(x)在(2-抬.2+/)單調(diào)砥少；

當(dāng)xe(2+/,+8)時(shí)/?(^)>0.y(x)在(2+依.+8)單調(diào)憎加,

綜上，/(x)的單調(diào)噌區(qū)間是(-co,2-/)和(2+J5,+8),

」(x)的年調(diào)派區(qū)間是(2-J5.2+/).

(11)f(x)=3[(x-a)2+1+a3],

當(dāng)1-a2NO時(shí)./f(x)SO./(x)為陸函蚊，故/(x)無(wú)極值點(diǎn)，

當(dāng)l-a2Vo時(shí)，_T(x)=O有兩個(gè)根

X[=a-yjaJ_1,Xj=a+—1?

由題意知,2<a—一]<3?或2va+Ja、-1<3?

①式無(wú)解，②式的解為因此a的取值范圍是(工，*].

43U3)

4

例2、已知函數(shù)/（x）滿足/（x）=./+/1|>2-x+C（其中/［：）為/（x）在點(diǎn)x=|處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間：

（2）若方程/（x）=0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求常數(shù)C:

（3）在（2）的條件下，若彳求函數(shù)/（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積.

解：（1）由/（x）=x3+/（|42-x+c,得/，（X）=3X2+2/1：｝-1.

取V，得咯,啕+2用冊(cè)I,解之,得得7,

,?f（x）=JC3-x2-x+C.

從而/，（刀）=3/-2x-l=31+；卜一1）>

列表如下:

/1、_1(-1,1)

Xy,一§)1（1，+8）

3

f'(x)+0——0+

f(x)/有極大值有極小值/

fix）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,-1）和（1,+00）;/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-；,1）.

⑵由（1）知，［/（X）］微大值=/（-；）=（-；）-（-；）+C=/+C；

［/(X)］極小值=/(D=13-12-1+C=-1+C.

...方程/(x)=0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于［/(X)］極大值=0或［/(切極小值=0.

二常數(shù)C=-工或C=1.

27

(3)由(2)知，f(x)=x3-x2-x—f(x)=x3-x2-jc+1.

而/(-；)>0,所以/(X)=/——一》+1.

y22

f(x)=x-x-x+l=0,W(x-l)(x+l)=o,5=-1,x2=1.

所求封閉圖形的面積=/口_/_X+_gXYx2+Xjg

例3、已知函數(shù)/(x)=+cx+d有極值.

(I)求c的取值范圍：

(【I)若/(x)在x=2處取得極值，且當(dāng)x<0時(shí)，〃x)<1a2+2d恒成立，求”的取值范圍.

6

322

解：(I)VJ\x)=^x-^x+cr+t/?f\x)—x-x+cf

要使/(x)有極值，則方程/"(x)=x2-x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，從而△=l-4c>0,

5

(II)???/(x)在x=2處取得極值，??.r(2)=4-2+c=0,???c=-2.

/'(x)=-xy--x2-2x+d?

32

Vf\x)=A-2-x-2=(x-2)(x4-1),???當(dāng)xw(ro,—l］時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

7

當(dāng)xw(-l,2］時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.；.x<0時(shí)，/(x)在x=-l處取得最大值一+d,

6

171

Vx<OR't，/Xx)*:—"?+2d恒成立，.'.-+d<-d22d,即(4+7)(d-l)>0,

666+

二d<-7或d>l,即d的取值范圍是(YO,-7)U(L+8).

例4、設(shè)函數(shù)/(x)=a\'+hY+cx+，/(a,h,c,deR,4>0),犬中/(0)=3,/"(x)是./(*)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若/'(-1)=/'(3)=-36,/'(5)=0,求函數(shù)/(x)的解析式;

(2)若c=-6,函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為占，占滿足7<XI<1<X2<2.設(shè)/1=/+62-6“+%+10,試求

實(shí)數(shù))的取值范圍.

解：?.?/(0”3,W=3

(I)據(jù)題意,fXx)-3aP+2bx+c

由/'(-1)=/'⑶=-36知，x=1是二次函數(shù)/")圖象的對(duì)稱軸

又/1(5)-八-3)-0,故%--3,4?5是方程/1W-0的兩根

設(shè)■加-3)(x-5),將/*(-1)=-36代入得川=3

/?(x)-+3)(x-5)-3A?-6x-45比較系數(shù)得：assLb=7c■-45

故/?(機(jī)7-3,45x+3為所求

另解：.KO)”,八3,

3a-2i+c=-36a=1

<27a+68+c=-36<b=-3

據(jù)題意得P5a+106+c=0解得［c=-45

故〃x”N-3/-45x+3為所求

(II)據(jù)題意，以則/3=3aN+26x-6

又小，是方程/1?-°的兩根，且-1<再<1<%<2,“>0

6

A-i)>o3a-2b-6>0

/'(i)<o3^+2i-6<0

八2)>o6a+24-3>0

a>0

則點(diǎn)3"的可行區(qū)域如圖

v^=（a-3）2+（i+l）2

義的幾何意義為點(diǎn)P（&3與點(diǎn)'?/I）的距離的平方.觀察圖形知點(diǎn)，A到直線

刀_(3x3-2x16)2_1

3a+23-6=0的距離的平方/為4的最小值3?+2?=13

6+8)

故外的取值范圍是

三次函數(shù)作業(yè)

1,設(shè)/'"）是函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)，y=/'（x）的圖象如圖所示，則y=/（x）的圖象最有可能是（）

解：根據(jù)圖象特征，不妨設(shè)f（x）是三次函數(shù)。則〉=''（x）的圖象給出了如下信息:

①a>0；

②導(dǎo)方程兩根是0,2,（f（x）對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是1）；

③在（0,2）上/‘⑶<°；在（一8,0）或（2,+8）上,

由①和性質(zhì)】可排除B、D；由③和性質(zhì)1確定選C。

2、函數(shù)/（x）=.d-3x+l在閉區(qū)間［-3,0］上的最大值、最小值分別是（）

A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-19

解：函數(shù)的導(dǎo)方程是3/-3=0,兩根為1和一1,由性質(zhì)2得：

/(x)tt?=max{/(-?)./(-I)./(O)./(1))=3(

=mm(/(-3)(/(-I),f(O),/(l))=-17o

故選C.

3,已知函數(shù)y=x'-x,求過(guò)點(diǎn)/(1,0)的切線方程。

解:，卜)*-1,

若A是切點(diǎn)，則切線方程為y-O=2(x-l)=>j，=2x-2

若A不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為(，/-，),則切線方程為>-(--，)=(/-l)(xT),將*J代入得

2?-3/2+1=On戊-21(+1)%(4)，2,所以切點(diǎn)為卜找)，則切線方程為x+4j，-l=0.

4、設(shè)函數(shù)/(X)=；X3-=/+6X+C,其中“>0,曲線N=/(x)在點(diǎn)Ro,/(0))處的切線方程為》=1

(/)確定/八C的值。

(〃)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)U，/(x,))及(占，/&))處的切線都過(guò)點(diǎn)(0,2)證明：當(dāng)x尸當(dāng)時(shí)，

/'區(qū)―

(〃/)若過(guò)點(diǎn)(0,2)可作曲線j，=/(x)的三條不同切線，求“的取值范圍。

解；<】)由/5)=：*'-：/+加+。得，/(0)-c.八切=/-<?+6.r(0)?6.

又由曲段y=/(x)在點(diǎn)P(O./e)>處的切戊方程為y=1,1./'(())?0.

故bn0.?！鯥?

<11)由于點(diǎn)《./(，》處的切戊方代為

X-/(O?/W-O.而點(diǎn)(0,2>在切線上.2-/(0-/#(IX-/).化荷用

+1=0,即,滿足的方程為

卜面刖反證法iF明

假設(shè)/(演)=/2*1卜的線r=/(x)在點(diǎn)($./(』))及(占./(&))處的切線都過(guò)

點(diǎn)(0.2),則聲列。式成立.

裝一封+1.....(1)

1只言+1.....⑵

:V：一啊=X；-ax2.....(3)

由(3)得巧+占=a.由。)一(2)得x；+x1x2+x；=2/......(4)

4

，/a、a32

Xxj+x；.(&+x?)：71M=/_%("與)=1：一叫+a?.(X)一).+Y

24

ittlll(4)^X[-*此時(shí)與=3。演*x1矛盾所以/'(七)=/'(xj

<iniin<n>知，過(guò)點(diǎn)<o,2)可作j=y(x)的工條切線.等價(jià)r方理

2—'(r)(O-r)

何：個(gè)相片的實(shí)根,即等價(jià)「方程|■廣一才+1=0白：個(gè)相.計(jì)的啖根.

設(shè)g(r)=］『-gJ+Lg'(0*2r2-at=2t(t--^).由于a>0.故有

a

tSO)0他)尊收)

1

g'(r)+0—0

極小值

g(r)/梭大值1/

1---

24

illg(r)的中謝性即：陵使g(r)=Ofi葉相上的土根，。fl,僅”-《<0.a>WJ.

24

二。的取值范用足(2”.+oc).

9

5,已知函數(shù)/(x)=；x'+ar2+bx,且/'(-1)=0

(1)試用含。的代數(shù)式表示心并求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令。=-1,設(shè)函數(shù)/(x)在片,三(為<三)處取得極值，記點(diǎn)N(x2,f(x2)),),

x,<m<x2，請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線/(x)在點(diǎn)尸處的切線與線段加產(chǎn)的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下間題：

(/)若對(duì)任意的機(jī)毛)，線段用戶與曲線/(X)均有異于用，尸的公共點(diǎn)，試確定，的最小值，并

證明你的結(jié)論；

(〃)若存在點(diǎn)0(〃，/(〃)),Xw〃<，〃，使得線段尸。與曲線/(X)有異于P、。的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出，”的

取值范圍(不必給出求解過(guò)程)

解：解法一：

(I)依題意，得/'(*)=、+2ar+Z>

|t|f\—\)=\—2a+b=0得6=2a—\.

從而f(x)=；+ax'+(2a-1)x,Afj/'(x)=(x+1)(x+2a-1).

令,/'(-v)=0,得x=-llfJtr=1-2a.

①當(dāng)a>l時(shí)，

當(dāng)X變化時(shí)，f\x)與/(x)的變化情況如下表：

X(-00,1-2a)(1-2")(T+00)

f\x)+—+

fix)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(Y,1-2“)和(-1,+8),單調(diào)減區(qū)間為,

②當(dāng)。=1時(shí)，1-2。=一1此時(shí)有了?)>0恒成立，且僅在x=-l處./''(x)=0,故函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為R

③當(dāng)時(shí)，1-2a>-1同理可得，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(YO,T)和單調(diào)減區(qū)間為(-1,1-2幻

綜上：

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,1-2a)和(-1,-KO),單調(diào)減區(qū)間為(1-2a,-1)；

當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)a<l時(shí),函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(7,-1)和(1-20,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-l,l-2a).

io

(n)由a=_］得/(x)=1??_x?_3x令f(x)=x2_2x_3=0得再=_1,再=3

由(1)得/(*)增區(qū)間為(-oo,-l)和(3,xo),單調(diào)減區(qū)間為(一1,3),所以函數(shù)/(X)在處占=-l,x?=3取得極值,

故M(-1,-)N(3,-9)。

3

觀察/(X)的圖象，有如卜現(xiàn)象：

①當(dāng)m從-1(不含-1)變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線〃x)在點(diǎn)P處切線的斜率/(X)之差的的值

由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。

②線段MP與曲線是否力異于H.P的公共點(diǎn)上曲“一/'(⑼的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；

③&/1一/'(機(jī))=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿足A”,,一/'(加)的m就足所求的t最小色，下面給出證明

并確定的t坡小值.曲線/(x)在點(diǎn)尸(，”,/(，”))處的切線斜率/'(〃。=機(jī)2-2機(jī)一3；

線段MP的斜率kw=3,7

當(dāng)kMP-f\m)=0時(shí)，解得，*=-1或加=2

mn54w

直線MP的方程為y=(~~^~x+-^~)

令g(x)=/(x)T士產(chǎn)x+中)

當(dāng)m=2時(shí)，g'(x)=x?-2x在(-1,2)上只有一個(gè)零點(diǎn)》=0，可判斷/*)函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上

單調(diào)遞減,又g(-l)=g(2)=0,所以g(x)在(-L2)上沒(méi)有零點(diǎn),即線段MP與曲線/(X)沒(méi)有異于M,P的公共

點(diǎn)。

當(dāng)機(jī)e(2,3］時(shí)，g(0)=->0.g⑵=-(5一2尸<0

所以存在，"€(0,2］使得g(S)=O

即當(dāng)mw(2,3］時(shí),MP與曲線/(x)有異J-M.P的公共點(diǎn)

綜上，t的最小值為2.

(2)類似(1)丁中的觀察，可得m的取佗范闞為(2,3］.

)1

解法二：

(1)同解法一.

⑵由。=一1得/Cr)=-§x3-x2-3x,令/'(幻=》2-2工一3=0，得為=-1,出=3

由(1)得的/(幻單調(diào)增區(qū)間為(-8,-1)和(3,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-1,3),所以函數(shù)在處取得極值。故

M(-l,|).N(3,-9)

nr—4m-5nr—4w

(I)直線MP的方程為>=

m2-4m-5m~-4m

y=-x3-x2-3x

13

得F—3x2-(nr-4m+4)x-m2+4m=0

線段MP與曲線/(戈)有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(一l,m)上有根，即函數(shù)

g(x)=x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2+4〃?在(-1,m)上有零點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn).

又g(T)=g(m)=0.因此,g(x)在(-1,m)上有零點(diǎn)等價(jià)于g(x)在(T⑼內(nèi)恰有個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，即

g'(x)=3x2-6x-(〃F-46+4)=0在(1,〃。內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.

A=36+12(m2-4m+4)>0

、，I-1<m<5

3(-1)~+6-(nr-4/w+4)>0?

等價(jià)于1,即加>2或雨<一1,解得2<〃J<5

3m~-6m-(m~-4ni+4)>0.

又因?yàn)?1VmW3,所以m的取值范圍為(2,3].

6、設(shè)函數(shù)/(x)=6d+3(a+2)/+2ar.

(1)若/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為芯,當(dāng)，且須出=1，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)%使得/(幻是(-oo,xo)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出。的值；若不存在，說(shuō)明理由.

程.f\x)=18x2+6(a4-2)x+2a

(1)由已知有/'(xJ=/'(X2)=°,從而*18-I,所以a=9；

(2)山△=36("+2>-4x18x2"=36(/+4)>0

所以不存在實(shí)數(shù)。，使得/(X)是貝卜.的單調(diào)函數(shù).

12

7、設(shè)定函數(shù)/。)=*，+*+5+力〃>0),且方程/'(x)-9x=0的兩個(gè)根分別為1,4。

(I)當(dāng)“=3且曲線y=/(x)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求/(幻的解析式；

(II)若/(X)在(YO,+00)無(wú)極值點(diǎn)，求〃的取值范圍。

解：

由7r(X)+&X2+cx+d得y(x)=ox，+26x+c

因?yàn)?r'(x)—9x=ax2+2bx+c-9x=0的兩個(gè)根分別為1,4*

a+2b+c—9=0

所以(*)

16a+8b+c—36=0

=0

(I)當(dāng)a=3時(shí)，又由(*)式福：0八

Sb+c+12=0

解得5=-3,c=12

又因?yàn)榍€N=/(x)過(guò)原點(diǎn)，所以d=0

故/(》)=/-3/+12萬(wàn)

(II)由于a>0,所以“，(工)=2/+笈:+〃+3在(-°°?2)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于

"/'(X)=ox：+2fcr+c20在(-°°?**>)內(nèi)恒成立”.

由(*)式得2b=9-5a,c=4a.

又A=(2d)2-4ac=9g-1)(.-9)

解Mae[1,9]

[A=9(a-】Xa-9)401J

即a的取值范圍[L9]

8、已知函數(shù)/(幻=水'-|/+心€尺)，其中a>0.

(I)若a=l，求曲線)，=/'(x)在點(diǎn)(2,/⑵)處的切線方程；

(II)若在區(qū)間上，/(x)>0恒成立，求“的取值范圍.

解析：(I)解：當(dāng)“=1時(shí)，/(x)=x'-#+l,/(2)=3/x)=3/-3x,/"(2)=6.所以曲線產(chǎn)/(x)

在點(diǎn)(2,/⑵)處的切線方程為j-3=6(x-2),即j=6x-9.

13

(II)解:f\x)=3ax2-3x=3x(ax-1).令f\x)-0,解得x=0或x=—.

a

以卜.分兩種情況討論：

若0vaK2,則當(dāng)x變化時(shí)，f\x)./'(x)的變化情況如卜.表:

a2

X0

f\x)+0—

f(x)□極大值□

5-a

>0

8

當(dāng)時(shí)，/(x)>0等價(jià)于?2，即.,解不等式組得一5<。<5.因此0va?2.

_22_5+a

/(1)>0>0

8

若。>2,則0<1<1.當(dāng)x變化時(shí)，/"(X),/(x)的變化情況如下表:

a2

1

X0(叫層)

f\x)+0—0+

fM□極大值□極小值□

/(-；)>05-6/

丁>°4141

當(dāng)xw時(shí)，/(x)>0等價(jià)于即，,解不等式組得J<〃<5或〃<一J.因此

22122

/(-)>01——>0

a2/7

2v〃v5.綜合(1)和(2),可知〃的取值范圍為Ov〃v5.

9、已知函數(shù)/(x)=ad+/+以(其中常數(shù)-bwR),g(.0=/(x)+/'(x)是奇函數(shù).

(I)求/")的表達(dá)式；

(II)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值.

解：

14

解：(I)由題意得/'(x)=3a/+2x+b

因此g(x)=/(.V)+/r(x)=ax2+(3a+l)x2+(b+2)x+b.因?yàn)榍鷶?shù)g(x)是奇的數(shù)，

所以g(r)=-g(x).即對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有

a(-x)3+(3a+l)(-x)2-(b+2)(-x)+6=-[ar2+(3a+1).1」-(6+2)x4-b].

從而3。+1=02=0.解得。=-；2=0,因此/>(萬(wàn)曲解析表達(dá)式為

/(x)=-1xJ+x2.

,II)itl<I)如g(x)=-jx:+2x,所以g'(x)=-x'+2,令g'(x)=0,解得I=-72,

1-1

x2=>/2,W]ix<—y/2a^x>yfiii'i.gXx)<0,從而g(x)/「M|H](-x,—V2],[V2,-!-X)

1：是減函數(shù)：巧-J?<x<V2U4.g'(x)>0.從Ifi)g(x)農(nóng)區(qū)間[-V2.JI]卜艮增函數(shù).

卜前面討論知,g(x)在區(qū)間[1Z上的最大值與最小值只能在x=1.42時(shí)取得，血

5?—4萬(wàn)4

g⑴=；g(JI)=岸42)=孑因此g(x)在區(qū)網(wǎng)[1口?的最大色為

g(J7)=羋,段小值為g(2)=：

10、已知在函數(shù)/■(x)=-"uJ-x的圖象上以N(1,")為切點(diǎn)的切線的傾斜角為工，

4

(1)求〃7、〃的值：

(2)是否存在最小的正整數(shù)鼠使不等式/(x)4A-1992對(duì)于xw[-l,3]恒成立？求出最小的正整

數(shù)鼠若不存在說(shuō)明理由；

(3)求證：|/(sinx)+/(cosx)|42/a+g)(xe/?,/>0).

解：(1)f(x)=3mx1-\,

，121

/(I)=tan—=1,.'.???=—,7/=—.

-433

(