蘇教版2019版高考數(shù)學復習：選擇性必修第二冊全冊知識點清單

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單

第9章統(tǒng)計知識點清單

目錄

第9章統(tǒng)計

9.1線性回歸分析

9.2獨立性檢驗

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第9章統(tǒng)計

9.1線性回歸分析

一、變量間的相關關系

1.兩個變量的關系

分類函數(shù)關系相關關系

特征兩變量具有確定性關系兩變量沒有確定性關系

2.相關關系

兩個變量之間具有一定的聯(lián)系，但又沒有確定性函數(shù)關系，這種關系稱為相關關系.

3.散點圖

將樣本中的n個數(shù)據(jù)構成的點(丸y,)(i=l,2,3,…，n)描在平面直角坐標系中得到的

圖形稱為散點圖.

4.線性相關關系

散點圖中的點散布在一條直線附近，將具有這種特性的相關關系稱為線性相關關系.

5.正相關與負相關

具有相關關系的兩個變量的散點圖如果呈從左下向右上方向發(fā)展的趨勢，稱這兩個變

量之間正相關，如果呈從左上向右下方向發(fā)展的趨勢，則稱這兩個變量之間負相關.

二、相關系數(shù)

1.對于變量x與y的n對數(shù)據(jù)(x“y,)(i=L2,3,…，n),一般用

r=X-i(Xi-幻(yi-刃________nZ-iXiyi-(￡1iXi)(￡4iYi)__________

粗匕(應一幻2也(%_"xf-GZ%)2］，￡匕并一(￡匕麗

來衡量y與X的線性相關強弱，這里的r稱為相關系數(shù).

2.相關系數(shù)r具有的性質(zhì)

Q)-lWrWl;

⑵r>0時y與x呈正相關關系，r<0時y與x呈負相關關系；

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⑶|r|越接近1,y與x相關的程度就越強，川越接近0,y與x相關的程度就越弱.

通常情況下，當|r|>0.5時，認為線性相關關系顯著；當3時，認為幾乎沒有線

性相關關系.

三、線性回歸方程

1.線性回歸模型

散點圖上的一些點在一條直線附近，但并不都在這條直線上.也就是說，這條直線并

不能精確地反映x與y之間的關系，y的值不能由x確定，在此，我們將兩者之間的

關系表示為y=a+bx+j其中a+bx是確定性函數(shù)，￡稱為隨機誤差.我們將y=a+bx+e

稱為線性回歸模型.

2.線性回歸方程

設有n對觀測數(shù)據(jù)(x,y,)(i=l,2,3,…，n),根據(jù)線性回歸模型,對于每一個X,對

應的隨機誤差項&二y「(a+bx)當￡+宜+…+以取得最小值時得到的直線y=a+bx稱為這

n對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程稱為線性回歸方程，其中；稱為回歸截距，b稱為回

A

歸系數(shù)，y稱為回歸值.把上述方法稱為“最小二乘法”.

3.線性回歸方程的計算及性質(zhì)

AAA

線性回歸方程：y=a+bx中，

回歸系數(shù)1的計算公式：1二

2々4人(”Xj-義xj1力;知Z.i=】i學Xj—整nx,

A

AA

a的計算公式：a=y-bx.

其中a,b上方加"人”表示由觀察值按最小二乘法求得的估計值.

，表示實際值V的估計值.

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性質(zhì)

⑴回歸直線一定過點區(qū)y).

AA

(2)y與x正相關的充要條件是b>0,y與x負相關的充要條件是b<0.

AAA

(3)b的實際意義：當x增大一個單位時，y增大b個單位.

四、非線性回歸方程

1.對于變量y與x的關系，不是線性相關關系，稱為非線性相關關系，其方程稱為非

線性回歸方程.一般地，非線性回歸方程的曲線類型可以通過作出散點圖進行猜測，

而非線性回歸方程有時可以通過變量替換后，借助求線性回歸方程的過程確定.

五、變量間相關關系的判斷

1.利用散點圖判斷兩個變量的相關性

⑴如果變量X和y正相關，那么散點圖表現(xiàn)為點散布的位置是從左下到右上的區(qū)域；

如果變量x和y負相關，那么散點圖表現(xiàn)為點散布的位置是從左上到右下的區(qū)域.

⑵如果散點落在一條直線附近，則認為這兩個變量線性相關.

2.利用相關系數(shù)判斷兩個變量相關性強弱

相關系數(shù)r是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關程度的量，是定量分析刻畫了樣本

點集中于某條直線的程度.

川越接近L散點圖中的樣本點分布越接近一條直線，兩個變量的線性相關程度越強.

六、求線性回歸方程

1.利用公式［嗥誓票普；與-短求線性回歸方程的一般步驟

2，i=ig-X)Z,i=iXj-nx

⑴列出x,y?x,y,；

⑵計算又，y,Silixf,ZiliXiYi;

⑶代入公式計算b,；的值；

⑷寫出線性回歸方程.

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七、非線性回歸分析

1.研究兩個變量的關系時，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，從整體上看，如果樣本點沒

有分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間不具有線性相關關系.當兩個變量不具

有線性相關關系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù)，可通過變量

代換，利用線性回歸模型建立兩個變量間的非線性回歸方程.常見的非線性回歸方程

的轉(zhuǎn)換方式如下：

曲線方程曲線（曲線的一部分）變換公式變換后的線性函數(shù)

，Lb=-l

yb=\yj6<-ic=lna,

a

b[o<ki

y=axi去ol~~i*v=lnx,u=c+bv

0u=lny

'a>O,Z?O)(a>0,6<0)

!

c=lna,

——bxa

y=ae___/u=c+bx

X()\X

0u=lny

(c>0,6>0)(a>0,6<0)

1Iac=lna,

b1

a廠,

y=aexV=x-u=c+bv

X()\X

0u=lny

(a>0,6>0)(a>0,6<0)

V

y=a+blnxav=lnxy=a+bv

1)[1%7)

(a>0,6>0)(a>0,6<0)

2.建立非線性回歸模型的基本步驟

⑴確定研究對象，明確涉及的變量；

⑵畫出確定好的變量間的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；

⑶由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關系，一般選用反

比例函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型等）；

⑷通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

⑸按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)，得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程.

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9.2獨立性檢驗

一、2x2列聯(lián)表

假設兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為僅，X2｝和｛九y2｝,其2x2列聯(lián)表為

Y

V、V2合計

X1aba+b

X

X2Cdc+d

合計a+cb+da+b+c+d

2x2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).

二、與獨立性檢驗相關的概念

1.X,公式

一般地，對于兩個分類變量I和II,I有兩類取值，即類A和類B（如吸煙與不吸煙）；

II也有兩類取值，即類1和類2（如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾?。?

我們得到2x2列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)：

II

類1類2合計

類Aaba+b

1類Bcdc+d

合計a+cb+da+b+c+d

_n(ad-bc)2

記n=a+b+c+d,貝叱

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2.獨立性檢驗

用X,統(tǒng)計量研究兩類變量是否有關的方法稱為獨立性檢驗.

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三、獨立性檢驗的思想

1.要推斷“I與II有關系”，可按下面的步驟進行

⑴提出假設H。：I與II沒有關系；

n(ad-bc)2

⑵根據(jù)2x2列聯(lián)表與X?計算X2的值；

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

⑶根據(jù)臨界值(如下表所示)，做出判斷

P(X2^Xo)0.500.400.250.150.10

Xo0.4550.7081.3232.0722.706

P(X2^Xo)0.050.0250.0100.0050.001

Xo3.8415.0246.6357.87910,828

2.常用檢驗結(jié)論

⑴若干>10.828,則有99.9%的把握認為“I與II有關系”；

(2)若X2>6.635,則有99%的把握認為“I與II有關系”;

⑶若X2>2.706,則有90%的把握認為"I與II有關系”；

⑷若X?W2.706,則認為沒有充分的證據(jù)顯示“I與II有關系”，但也不能得出結(jié)論

“H。成立”,即I與II沒有關系.

四、由于進行獨立性檢驗

1.獨立性檢驗的關注點

在2義2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關系，則應滿足ad-bc=0,事實上，|ad-bc|

越小，兩個分類變量的關系越弱；|ad-bc|越大，兩個分類變量的關系越強.

五、獨立性檢驗與統(tǒng)計、概率的綜合應用

解決與獨立性檢驗有關的統(tǒng)計、概率綜合問題，一般有以下幾個步驟

⑴厘清題意，理解問題中的條件和所要得出的結(jié)論，尤其是直方圖中給定的信息，

找關鍵量.

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⑵分析數(shù)據(jù)，列出2x2列聯(lián)表.

⑶利用獨立性檢驗的步驟進行判斷.

⑷利用概率公式求事件的概率.

⑸反思回顧、檢查關鍵點、易錯點及答題規(guī)范.

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第7章計數(shù)原理知識點清單

目錄

第7章計數(shù)原理

7.1兩個基本計數(shù)原理

7.2排列

7.3組合

7.4二項式定理

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第7章計數(shù)原理

7.1兩個基本計數(shù)原理

一、分類計數(shù)原理（加法原理）

1.如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有種不同的方法，在第2類方

式中有m2種不同的方法……在第n類方式中有種不同的方法，那么完成這件事共

有N=mi+m2+“?+rrin種不同的方法.

二、分步計數(shù)原理（乘法原理）

1.如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有皿種不同的方法，做第2步有

m2種不同的方法……做第n步有rrin種不同的方法，那么完成這件事共有N=rriiXmaX-

xn%種不同的方法.

三、兩個基本計數(shù)原理的比較

1.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的比較

分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理

分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

不同點

每類方式中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事

相同點都可用來計算完成某件事的方法種數(shù)，最終的目的都是完成某件事

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整

四、兩個基本計數(shù)原理的選擇與應用

1.應用分類計數(shù)原理解題的一般思路

分為將完成二件事的方法分成若干婁

計數(shù)求出每一類中的方法數(shù)

占」將每一類中的方法數(shù)相加彳岫

結(jié)論一結(jié)果

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2.應用分步計數(shù)原理解題的一般思路

分步將完成一件事的過程分成若干步

計數(shù)?求出每二步中的方法數(shù)

將每一步中的方法數(shù)相乘，得出

結(jié)論

結(jié)果

應用分步乘法原理時，要確定好順序，還要注意元素是否可以重復選取.

3.兩個計數(shù)原理的綜合應用

⑴類中有步

從A—B共有(mixmzXiTh+iTuxms)種方法.

(2)步中有類

從A-D共有rriix(m2+m3+m4)xm5種方法.

“類”用"+"連接，"步"用"連接，“類”獨立，“步”連續(xù),“類"標志一

件事的完成，“步”則缺一不可.

五、解決計數(shù)問題的常用方法

1.在計數(shù)問題中常涉及元素與位置，解題時要分析清楚要完成的事是元素選擇位置還

是位置選擇元素.

2.當涉及元素數(shù)目不大時，一般選擇用列舉法、數(shù)形圖法.當涉及元素數(shù)目較大或情

況比較復雜時，一般有兩種方法：

⑴直接法：直接應用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理解題.

⑵間接法：先去掉限制條件，計算方法總數(shù)，然后減去所有不符合條件的方法數(shù)，從

而得到正確答案.

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3.涂色(種植)問題一般是直接利用兩個基本計數(shù)原理求解，常用方法如下：

⑴根據(jù)區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步計數(shù)原理分析；

⑵以顏色(種植作物)為主分類討論，用分類計數(shù)原理分析.

7.2排列

一、排歹k排列數(shù)與排列數(shù)公式

一般地，從n個不同的元素中取出m(mWn)個元素，按照一定的順序

排列

排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列

一般地，從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有排列的個數(shù)，

排列數(shù)

叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A魯表示

排列數(shù)公式A?=n(n-l)(n-2)---(n-m+l),其中n,mGN*,且mWn

二、全排列、階乘的概念及相關結(jié)論

1.全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫作n個不同元素的一個全排列.

2.n的階乘

在排列數(shù)公式中，當m二n時，即有A*n(n-l)(n-2)x…x3x2x1,n(n-l).(n-2)x-x3

x2xl稱為n的階乘，通常用n!表示，即AR=n!.

3.階乘的相關結(jié)論

⑴規(guī)定：0!=1；

⑵排列數(shù)公式的另一種形式：AJ?二1J(其中n,mGN；且mWn).

Qn-mj：

三、排列數(shù)及其運算

1.排列數(shù)運算的方法與技巧

⑴拆項技巧

①m=(n+D!-n!；騁二卷』

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⑵化簡技巧

①n!=n-(n-l)!=n(n-lMn-2)!；

②A曹二nAkf；A*mA/i=Ad1.

2.解有關排列數(shù)的方程或不等式的步驟

將有關排列數(shù)的方程或不等式

轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化為普通方程或不等式

求轉(zhuǎn)化后的普通方程或不等式

求解

的解或解集

代入原方程或原不等式中檢驗,

檢驗尤其注意條件鼠＞m,且EN,

對未知數(shù)取值的限制

四、有限制條件的排列問題

1.“在"與"不在”的問題

常見的“在”與“不在”的有限制條件的排列問題是典型的特殊元素或特殊位置問題.

解決“在”與“不在”的排列問題的原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.解題思路如下：

以元素為主，優(yōu)先

元素分析法

考慮特殊元素

直接法

位置分析法以位置為主，優(yōu)先

考慮特殊位置

若解題時分類太多，用直接法

間接法求解較為麻煩，則往往采用間

接法來解決

2.“相鄰”與“不相鄰”問題

限制條件解題策略

通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看成一個整體并與其他元素進行排

元素相鄰

列

通常采用“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰元

元素不相鄰

素插在前面元素形成的空中

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3.“定序”問題

在排列問題中，某些元素在題意中已排定了順序，對這些元素進行排列時，不再考慮

其順序.在具體的計算過程中，可采用“除階乘法”解決，即n個元素的全排列中有

m(m<n)個元素的順序固定，則滿足題意的排法有今種.

Am

7.3組合

一、組合、組合數(shù)的概念

1.組合：一般地，從n個不同元素中取出m(mWn)個元素并成一組，叫作從n個不

同元素中取出m個元素的一個組合.

2.組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫作從n個

不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.

二、組合數(shù)公式與性質(zhì)

L公式.5-蕊-----------------贏F?(n，mGN-并且mWn)

2.特殊組合數(shù)：Cj=l,禺=n,"=1.

3.組合數(shù)的性質(zhì):C鏟=C『m,cmi=cm-i+cm

三、組合數(shù)的性質(zhì)與運算

1.組合數(shù)公式的主要適用范圍

形式主要適用范圍

而和小「m_n(n_l)(n_2)...(n_m+l)

為4>\球n-m(m-l)(m-2)x...x3x2xl含具體數(shù)字的組合數(shù)的求值

階乘式qp二含字母的組合數(shù)的有關變形及證明

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2.組合數(shù)的性質(zhì)及應用

⑴性質(zhì)"C鏟二印一加的意義及作用

反映的是組合數(shù)的對稱性,即從〃

育7個不同元素中取出m個元素的組

息合數(shù)與取出剩下的M-m)個元素

的組合數(shù)相同

當機＞3時，計算C：通常轉(zhuǎn)化為

作用-2

計算CL

⑵性質(zhì)"c^FCHT+qr的順用、逆用、變形用

順用是將一個組合數(shù)拆成兩個；

逆用則是“合二為一”；

變形式C7二Cdi-qr】，為某些項相互抵消提供了方便，在解題時要注意靈活運用.

四、分組與分配問題

分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者是組與組之間只要元素個數(shù)相同，就是不可區(qū)

分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的.

1.分組問題的求解策略

常見形式處理方法

將n個不同元素分成m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考慮各組

非均勻不編號

間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)為

分組

A二心1.心2,「013...rmm

，L,L,，L,

―一5n-m1n-(m1+m2)n-(m1+m2+---+mnl-1)

將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，

均勻不編號分不管是否分盡，其分法種數(shù)為玲(其中A為非均勻不編號分組中的分

組

法數(shù)).如果再有k組均勻分組,"則應再除以A"

非均勻編號分將n個不同元素分成m組，各組元素數(shù)目均不相等，

組且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為AA器

將n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的

均勻編號分組順序，其分法種數(shù)為供“

Ar

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2.相同元素分配問題的處理策略

"n個相同元素分成m組(每組的任務不同)”的問題，一般可用隔板法求解.

⑴當每組至少含一個元素時，其不同分組方式有CW1種，即給n個元素中間的(n-l)

個空隙中插入(m-1)個隔板.

⑵任意分組，可出現(xiàn)某些組含0個元素的情況，其不同分組方式有(：有，1種，即將n

個相同元素與(m-1)個相同隔板進行排序，在(n+m-1)個位置中選(m-1)個安排隔板

五、排列、組合的綜合應用問題

1.正確區(qū)分“有序"與“無序”

區(qū)分排列與組合的重要標志是“有序”和“無序”，無序的問題用組合的知識解答，有

序的問題用排列的知識解答.

2.辯證看待"元素”與“位置”

排列、組合問題中的元素與位置沒有嚴格的界定標準，哪些事件看成元素或位置，隨

解題者的思維方式的變化而變化，要視具體情況而定.有時“元素選位置”解決問題

更簡捷，有時“位置選元素”效果會更好.

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7.4二項式定理

7.4.1二項式定理

一、二項式定理及相關的概念

1.公式（a+by;CRaU禺a(chǎn)i】b+…+（：河*+…+*blnEN）叫作二項式定理,右邊的多項

式叫作（a+b）"的二項展開式，它一共有n+1項，其中喘a-H叫作二項展開式的第r+1

項（也稱通項）,用Ta表示,即"其病一匕.喘（r=0,1...............n）叫作第r+1項的

二項式系數(shù).

二、求二項展開式中的特定項（項的系數(shù)）

1.求二項展開式的特定項的常用方法

⑴對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0（即0次項）.

⑵對于有理項，一般先寫出展開式的通項，然后令其所有的字母的指數(shù)都等于整數(shù).

解這類問題必須合并通項中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)

的整除性來求解.

⑶對于二項展開式中的整式項，其通項中同一字母的指數(shù)合并后應是非負整數(shù)，求解

方式與求有理項一致.

三、三項展開式問題

1.三項式求特定項的方法

⑴因式分解法：先通過因式分解將三項式變成兩個二項式，然后用二項式定理分別展

開.

⑵逐層展開法：先將三項式分成兩組（一項組和兩項組），用二項式定理展開，再把其

中的兩項組展開.

⑶利用組合知識：把三項式（a+b+cy看成n個式子（a+b+c）的積，利用組合知識分析

項的構成，注意最后把各個同類項合并.

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四、求展開式的系數(shù)和(賦值法)

“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)問題常用的方法，根據(jù)題目要求,

靈活賦予字母不同的值.一般地，若f(x)=ao+aiX+a2x2+…+aW,貝ijf(x)展開式中各項系

數(shù)之和為f(l),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+⑴偶數(shù)項系數(shù)之和為

ai+a3+as+…=S）；（一I

7.4.2二項式系數(shù)的性質(zhì)及應用

一、二項式系數(shù)的性質(zhì)

在(a+b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，

對稱性

即C7二C丁1n(mEN,nGN*,mWn)

增減性:當時，的＜的+1;當r＞等時,喘+i＜C]

增減性與最最大值：當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)點最大；

大值

nTn+l

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)C；,C苗n相等，且最大

各二項式系⑴二項展開式中，各二項式系數(shù)的和CR+禺+鬃+…+*=2r1;

數(shù)的和(2)C[+鬣+墨+…:仁+/+端+…=2--

在楊輝三角中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，

特殊情況

即呼+盤一1二喘1

二、二項式系數(shù)與系數(shù)的最大項

1.展開式中二項式系數(shù)最大項的確定方法

⑴當n為偶數(shù)時，中間一項(第畀1項，即《)的二項式系數(shù)最大；

n—1n+l

(2)當n為奇數(shù)時，中間兩項(第等項和第等+1項，即和C/)的二項式系數(shù)

相等且最大.

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2.展開式中系數(shù)最大的項的確定方法

⑴在系數(shù)符號相同的前提下，求系數(shù)的最大(小)值只需比較兩組相鄰兩項系數(shù)的大小,

Tr+l—%Tr+i<T,

根據(jù)通項正確列出不等式組r即可.

Tr+i>Tr+2Tr+i—、+2

⑵當各項系數(shù)正負相間時，求系數(shù)的最大值應在系數(shù)都為正的各項系數(shù)間構造不等式

組；求系數(shù)的最小值應在系數(shù)都為負的各項系數(shù)間構造不等式組.

三、二項式定理的應用

1.利用二項式定理解決整除或求余數(shù)問題

利用二項式定理解決整除或求余數(shù)問題，關鍵是要巧妙構造二項式，通常把底數(shù)寫成

除數(shù)(或與除數(shù)密切相關的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮

后面(或前面)一兩項就可以了.

2.利用二項式定理進行近似計算

利用二項式定理進行近似計算，其關鍵在于構造恰當?shù)亩検?p+q)n(nEN*,pGZ,

|q|<l),并根據(jù)近似要求，對其展開式的項合理取舍，從而確定其近似值(p+q))

3.利用二項式定理證明有關不等式

利用二項式定理證明組合數(shù)不等式，通常表現(xiàn)為二項式定理的正用或逆用，再結(jié)合不

等式證明的方法進行論證.證明不等式時，應注意運用放縮法，可將對結(jié)論不構成影

響的若干項去掉.

四、楊輝三角問題

解決與楊輝三角有關的問題的一般思路

對數(shù)據(jù)要橫看、豎看、隔行看、

視"''連續(xù)看，多角度觀察

鐵律通過觀察找出每一行的數(shù)據(jù)之

規(guī)律間、行與行的數(shù)據(jù)之間的規(guī)律

表在將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學式子表達

結(jié)論用數(shù)學表達式寫出結(jié)論

第19頁共42頁

第8章概率知識點清單

目錄

第8章概率

8.1條件概率

8.2離散型隨機變量及其分布列

8.3正態(tài)分布

第20頁共42頁

第8章概率

8.1條件概率

8.1.1條件概率

一、條件概率

L一般地，設A,B為兩個事件，P(A)>0,我們稱鬻為事件A發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率，記為P(B|A),讀作“A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率”，即P(B|A)=鬻

(P(A)>0).

二、概率的乘法公式

1,由條件概率公式可知P(AB)=P(B|A)-P(A).

說明：假設A表示事件，i=l,2,3,且P(A)>0,P(A1A2)>0,

則P(A1A2A3)=R(A1)-P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3|AA)表示已知Al與A2都發(fā)生時A3發(fā)

生的概率，而P(AiA2A3)表示Ai,A2,A3同時發(fā)生的概率.

三、條件概率的性質(zhì)

(1)P(Q|A)=1(Q為樣本空間)；

(2)P(0|A)=O；

⑶若Bl,B2互斥，則P((B]+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A).

四、條件概率的計算方法

1.計算條件概率的方法一般有兩種

⑴利用定義計算，先分別計算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=9黑計算.

⑵利用縮小樣本空間法計算(局限在古典概型內(nèi))，即P(B|A尸嚙.

五、求較復雜事件的概率

1.當所求事件的概率比較復雜時，往往把該事件分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事

件，求出這些簡單事件的概率，再利用公式便可求得較復雜事件的概率.

第21頁共42頁

2.求較復雜事件的概率的一般步驟

⑴列出題中涉及的各個事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?/p>

⑵厘清事件之間的關系(兩個事件是互斥事件還是對立事件)，列出關系式；

⑶根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；

⑷當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接計算其對立事件的概

率，再求出符合條件的事件的概率.

六、乘法公式及其應用

1.乘法公式的特點及注意事項

⑴知二求一：若P(A)>0,P(B)>0,則①已知P(A),P(B|A),P(AB)中的兩個值就可以求

得第三個值；②已知P(B),P(A|B),P(BA)中的兩個值就可以求得第三個值.

⑵P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同，它們是兩個不同的概念，在數(shù)值

上一般也不同.

第22頁共42頁

8.1.2全概率公式

8.1.3貝葉斯公式*

一、全概率公式

L一般地，若事件A】,A2,二兩兩互斥,且它們的和￡字1A,=Q,P(A,)>0,i=l,

2,3,n,則對于Q中的任意事件B,有P(B尸2kP(Aj)P(B|AD.這個公式稱為

全概率公式.

二、貝葉斯公式

1.一般地，若事件Al,A2,…，An兩兩互斥,且A1UA25UA產(chǎn)Q,P(A)>0,i=l,

2,n,則對于Q中的任意事件B,P(B)〉O,有P(A|B)P(B尸P(B|A)P(A).因此P(A|B尸

嗎臀.再由全概率公式得P(A|B):-P(黑(篇;AY這個公式稱為貝葉斯公式.

.特別地,當且時，有P(A)P(B|A)_P(A)P(B|A)

2O<P(A)<1P(B)>0P(A|B)=P(B)-P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

三、全概率公式及其應用

1.全概率公式的意義在于，當直接計算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時，可以先找

到樣本空間Q的一個劃分。:AiUAzU-UAn,Ai,A2,???,4兩兩互斥，將Ai,A21…，

An看成是導致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個部分，分別計算P(B|

Ai),P(B|A2),P(B|An),再利用全概率公式求解.

2.運用全概率公式計算事件B發(fā)生的概率P(B)時，一般步驟如下：

⑴求劃分后的每個小事件的概率，即P(A,),i=L2,n；

⑵求每個小事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，即P(B|A),i=l,2,n；

⑶利用全概率公式計算P(B),即P(B)=IXiP(Ai)P(B|AD.

第23頁共42頁

四、貝葉斯公式及其應用

1.貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發(fā)生的原因，在運用貝葉斯公式時，一

般已知和未知的條件如下：

(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即

P(A)已知;

⑵事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已

知，即P(B|A)已知；

⑶P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；

⑷求解的目標是用A的某種情況A的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件

概率P(A|B).

8.2離散型隨機變量及其分布列

8.2.1隨機變量及其分布列

一、隨機變量

1.隨機變量的概念

一般地，對于隨機試驗樣本空間。中的每個樣本點3,都有唯一的實數(shù)X(3)與之對

應，則稱X為隨機變量.

2.隨機變量的表示

隨機變量通常用大寫英文字母x,Y,z(或小寫希臘字母W,n,。等表示，而用小寫英

文字母x,y,z(加上適當下標)等表示隨機變量的取值.

3.隨機變量的分類

離散型隨機變量取值為離散的數(shù)值的隨機變量

連續(xù)型隨機變量取值為連續(xù)的實數(shù)區(qū)間的隨機變量

第24頁共42頁

二、隨機變量的概率分布

1.概率分布列

一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是Xi,X2,Xn,且P(X=x)=p,,

i=l,2,n,稱上式為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.

2.概率分布表

XXiX2Xn

PPiP2Pn

將上表稱為隨機變量X的概率分布表，概率分布列和概率分布表都叫作隨機變量X的

概率分布.

3.概率分布的性質(zhì)

概率分布里的p,(i=l,2,n)滿足條件：

(l)Pi^O；(2)Pl+p2+--+Pn=l.

三、兩點分布

I.隨機變量X只取兩個可能值0和1,我們把這一類概率分布稱為0-1分布或兩點分

布.

四、兩個相關的隨機變量的概率分布問題

1.一般地，若X是隨機變量，則丫;f(X)也是隨機變量.

2.已知隨機變量X的概率分布，求隨機變量Y=f(X)的概率分布，其關鍵是弄清X取每

一個值時相對應的丫的值，若f(X)的取值出現(xiàn)重復，則需要把它們的相應概率相加，

所求即為Y的取值概率.

第25頁共42頁

五、求離散型隨機變量的概率分布

1.求離散型隨機變量的概率分布的步驟(其中i=l,2,n)

第一員——確定隨機變量X的可能取值現(xiàn)

笫二步求出相應的概率=〃，

第三步列出概率分布表

2.求離散型隨機變量概率分布時應注意的問題

⑴確定離散型隨機變量X的概率分布的關鍵是要弄清X取每一個值對應的隨機事件,

進一步利用排列、組合知識求出X取每一個值時的概率.當隨機變量X取值較多時,

應由簡單情況先導出一般的通式，從而簡化過程.

⑵在求離散型隨機變量X的概率分布時，要充分利用概率分布的性質(zhì)，這樣不但可

以減少運算量，還可以驗證概率分布是否正確.

8.2.2離散型隨機變量的數(shù)字特征

一、離散型隨機變量的均值

1.一般地，隨機變量X的概率分布如下表所示,

XXiX2Xn

概率PPiP2Pn

其中P，，0,i=L2,n,Pl+p2+---+Pn=l,我們將PlXl+p2X2+-“+PnXn稱為隨機變量

X的均值或數(shù)學期望，記為E(X)或H，

2.離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

3.若X與Y都是隨機變量，且丫=aX+b(aWO),則由X與丫之間概率分布的關系可知

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

第26頁共42頁

二、離散型隨機變量的方差與標準差

L一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如下表所示,

XX1X2Xn

PP1P2Pn

其中,Pi^o,i=l,2,???,n,P1+P2+…+Pn=l,貝lJ(Xi-u)2(產(chǎn)E(X))描述了Xi(i=l,2,???,

n)相對于均值H的偏離程度,故(X】f)2p1+(X2劉2P2+…+%-日心刻畫了隨機變量X與其

均值U的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機變量X的方差，記為D(X)或。2,即

2222

D(X)=a=(xi-|d)pi+(x2-n)p2+■?,+(xn-n)pn.

2.隨機變量X的方差也稱為X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算術平方根稱為

X的標準差，即。二河0

3.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度.方差

或標準差越小，隨機變量偏離于均值的平均程度就越小.

4,若X和丫都是離散型隨機變量，且丫=aX+b(aK0),則由X和Y之間概率分布和均

值的關系可知D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).

三、兩點分布的均值和方差

1,隨機變量X的概率分布如下表所示.

X01

p1-pp

貝IJE(X)=p,D(X)=p(l-p),o=Jp(l-p).

四、求離散型隨機變量的均值與方差

1.求離散型隨機變量的均值與方差的類型及解決方法

⑴已知概率分布型：直接利用定義求解.

⑵未知概率分布型：求解時可先借助已知條件等求得概率分布，然后利用定義求解.

⑶已知E(X),D(X),求E(aX+b),D(aX+b)型:利用E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2D(X)

求解.

第27頁共42頁

五、實際生活中的離散型隨機變量的數(shù)字特征

I.求實際生活中離散型隨機變量X的均值與方差的步

1理解X的意義，寫出X的所有可能取值

2求X取每個值時的概率

3寫出X的概率分布

4由均值的定義求E(㈤

5由方差的定義求。(㈤

六、數(shù)學期望與方差在實際生活中的應用

1.在實際生活中存在許多決策問題，在確定性現(xiàn)象中，我們決策和優(yōu)化的目的通常是

使損失最小或利益最大.

2.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差反映了離散

型隨機變量的取值相對于均值的離散程度(或波動大小).因此,在利用均值和方差的意

義去分析、解決實際問題時，兩者都要考慮.

⑴若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量X1，X2的均值，當E(XI)=E(X2)

時，不應認為它們一樣好，還需要用D(XJ,D(X3來比較這兩個隨機變量的偏離程度，

偏離程度越小越好.

⑵若我們希望隨機變量的取值比較穩(wěn)定時，則應先考慮方差，再考慮均值是否相等或

接近.

第28頁共42頁

8.2.3二項分布

一、二項分布

L伯努利試驗

我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫作伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進

行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.

2.二項分布

若隨機變量X的分布列為P(X=k)=C'pkq”其中o<p<i,p+q=l,k=0,1,2,???,

一般地，當X~B(n,p)時,E(X)=np,D(X)=np(l-p),Jnp(l-p).

三、二項分布的實際應用

1.利用二項分布模型解決實際問題的一般步驟

⑴根據(jù)題意設出隨機變量；

⑵分析隨機變量是否服從二項分布；

⑶若服從二項分布，則求出參數(shù)n和p的值；

(4)根據(jù)需要列出相關式子并解決問題.

2.解決二項分布問題的兩個關注點

⑴公式P(X=k)=C^pkqnk(O<p<l,p+q=l,k=0,1,2,…，n)必須在滿足“獨立重復

試驗”時才能運用，否則不能應用該公式.

⑵判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，

事件發(fā)生與否，二者必居其一；二是重復性，即試驗是否獨立重復地進行了n次

第29頁共42頁

四、二項分布中的最大值

1.求二項分布中的最大值的步驟

⑴由X?B(n,p),得P(X二k)=C^pk(l-p)n-k,k=0,1,2,n.

⑵令P(X=k)-P(X=k-l)20或給求出k的取值區(qū)間，此區(qū)間即為P(X=k)

的單調(diào)遞增區(qū)間，它的補集區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間.

⑶結(jié)合P(X=k)的單調(diào)性確定P(X二k)的最大值和對應的k值.

8.2,4超幾何分布

一、超幾何分布

L對一般情形，一批產(chǎn)品共N件，其中有M件不合格品，隨機取出的n件產(chǎn)品中,

不合格品數(shù)X的概率分布如表所示.

X0121

「0「n「1「n-1「2「n-2「n-]

Prn

CNCNUN1

其中l(wèi)=min{n,M}.

2.一般地，若一個隨機變量X的分布列為P(X=r)=齒滬，其中r=0,1,2,3,

CN

I,l-min{n,M),則稱X服從超幾何分布，記為X?H(n,M,N),并將P(X二r)二弓甲

LN

記為H(r；n,M,N).

二、超幾何分布的均值

1.當X?H(n,M,N)時,E(X)=Sk=okPk=詈,其中I=min{n,M}.

第30頁共42頁

三、超幾何分布的應用

1.解決超幾何分布問題的關鍵點

⑴超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決

問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶.

⑵超幾何分布中，只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同值時的概率，

從而求出X的概率分布.

四、二項分布與超幾何分布的區(qū)別

1,判斷是不是二項分布就是看它是不是n次獨立重復試驗，隨機變量是不是在這n

次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則

不服從二項分布.

2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).

超幾何分布的特征是：

①對象分兩類；

②已知各類對象的個數(shù)；

③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢

產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.

第31頁共42頁

8.3正態(tài)分布

一、正態(tài)密度曲線

1.概率密度曲線

在頻率直方圖中，如果數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率直方圖上的折線將趨

于一條光滑的曲線，將此曲線稱為概率密度曲線.

2.正態(tài)密度曲線

1(X—)2

將函數(shù)P(x)二卷e-k(xER)的圖象稱為正態(tài)密度曲線.這里有兩個參數(shù)口和

其中o>0,(JGR.

3.正態(tài)密度曲線的特征

⑴當X<|J時，曲線上升；當x>pi時，曲線下降；當曲線向左右兩邊無限延伸時，以x

軸為漸近線.

⑵曲線關于直線x=n對稱.

(3)。越大，曲線越扁平；。越小，曲線越尖陡.

⑷在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1.

二、正態(tài)分布

1.正態(tài)分布

設X是一個隨機變量，若對任給區(qū)間(a,b],P(a<XWb)是正態(tài)密度曲線下方和x

軸上(a,b]上方所圍成的圖形的面積(如圖所示)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為口和4

的正態(tài)分布，簡記為X~N(n，o2).

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2.標準正態(tài)分布

尸0且的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1).

若X?N(|d,O2),則平?N(0,1).

三、正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)的取值

如圖，隨機變量X的取值

落在區(qū)間(pi-o,|1+。)內(nèi)的概率約為68.3%；

落在區(qū)間(H-2O,H+2O)內(nèi)的概率約為95.4%；

落在區(qū)間(上3。,口+3。)內(nèi)的概率約為99.7%.

事實上，口就是隨機變量X的均值，4就是隨機變量x的方差，它們分別反映X取值

的平均大小和穩(wěn)定程度.

四、正態(tài)分布的概率問題

1.利用正態(tài)分布求概率的三種方法

⑴對稱法：由于正態(tài)曲線是關于直線x=n對稱的，且概率的和為L故關于直線x二口

對稱的區(qū)間上概率相等.如：

①P(X<a)=l-P(X2a)；

(2)P(X<(j-a)=P(X>n+a).

⑵轉(zhuǎn)化法：若X?N(H，o2),則呼?N(0,1).

⑶“3o”法:利用隨機變量X取值落在區(qū)間(口-o,口+o),(上2o,口+2。)，(氏3o,口+3。)

內(nèi)的概率分別約是68.3%,95.4%,99.7%求解.

第33頁共42頁

五、正態(tài)分布的實際應用

利用服從正態(tài)分布N（|J,。2）的隨機變量X取值落在三個特殊區(qū)間內(nèi)的概率，可以解決

兩類實際問題：

一類是估計在某一范圍內(nèi)的數(shù)量.具體方法是先確定隨機變量的取值在該范圍內(nèi)的概

率，再乘樣本容量即可；

另一類是利用3。原則作決策.決策步驟如下：①確定一次試驗中取值a是否落入范

圍（口-3。，n+3o）；②作出判斷，若（口-3o,口+3。），則接受統(tǒng)計假設，若響口-3。，

口+3。），則拒絕統(tǒng)計假設.

第34頁共42頁

第9章統(tǒng)計知識點清單

目錄

第9章統(tǒng)計

9.1線性回歸分析

9.2獨立性檢驗

第35頁共42頁

第9章統(tǒng)計

9.1線性回歸分析

一、變量間的相關關系

1.兩個變量的關系

分類函數(shù)關系相關關系

特征兩變量具有確定性關系兩變量沒有確定性關系

2.相關關系

兩個變量之間具有一定的聯(lián)系，但又沒有確定性函數(shù)關系，這種關系稱為相關關系.

3.散點圖

將樣本中的n個數(shù)據(jù)構成的點(丸y,)(i=l,2,3,…，n)描在平面直角坐標系中得到的

圖形稱為散點圖.

4.線性相關關系

散點圖中的點散布在一條直線附近，將具有這種特性的相關關系稱為線性相關關系.

5.正相關與負相關

具有相關關系的兩個變量的散點圖如果呈從左下向右上方向發(fā)展的趨勢，稱這兩個變

量之間正相關，如果呈從左上向右下方向發(fā)展的趨勢，則稱這兩個變量之間負相關.

二、相關系數(shù)

1.對于變量x與y的n對數(shù)據(jù)(x“y,)(i=L2,3,…，n),一般用

r=X-i(Xi-幻(yi-刃________nZ-iXiyi-(￡1iXi)(￡4iYi)__________

粗匕(應一幻2也(%_"xf-GZ%)2］，￡匕并一(￡匕麗

來衡量y與X的線性相關強弱，這里的r稱為相關系數(shù).

2.相關系數(shù)r具有的性質(zhì)

Q)-lWrWl;

⑵r>0時y與x呈正相關關系，r<0時y與x呈負相關關系；

第36頁共42頁

⑶|r|越接近1,y與x相關的程度就越強，川越接近0,y與x相關的程度就越弱.

通常情況下，當|r|>0.5時，認為線性相關關系顯著；當3時，認為幾乎沒有線

性相關關系.

三、線性回歸方程

1.線性回歸模型

散點圖上的一些點在一條直線附近，但并不都在這條直線上.也就是說，這條直線并

不能精確地反映x與y之間的關系，y的值不能由x確定，在此，我們將兩者之間的

關系表示為y=a+bx+j其中a+bx是確定性函數(shù)，￡稱為隨機誤差.我們將y=a+bx+e

稱為線性回歸模型.

2.線性回歸方程

設有n對觀測數(shù)據(jù)(x,y,)(i=l,2,3,…，n),根據(jù)線性回歸模型,對于每一個X,