誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系（解析版）-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

目錄

誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系.............................................................2

模塊一：同角三角函數(shù)基本關(guān)系................................................2

考點(diǎn)1:知一求二....................................................2

考點(diǎn)2:齊次式求值..................................................4

模塊二：誘導(dǎo)公式.............................................................5

考點(diǎn)3：誘導(dǎo)公式....................................................5

課后作業(yè)：....................................................................7

專題13誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系

模塊一：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

.221sin%

sinx+cosx=l,------=tanx.

cosx

考點(diǎn)1：知一求二

例1.（1）若。05。=一寸℃（0,1）,貝如次z的值等于（）

」3

A.B.-D.

544

34

【解答】解：若cosa=—y,a￡貝ijs加a=yjl-cos2a=

5

故選：C.

(2)若as(工，,sin<z=-，則tana=()

23

c-0

A.-42B也D.

22

且sina=g

【解答】解：?.?！赆埽?,

3

cosa=—\l\—sin1a=-,

3

esina

貝ijtana---------3

cosa46~~~2~

一§

故選：C.

1

(3)已知sincr+coscr=-aG(O,^,),貝1Jtana=

5

?3

【解答】解：已知sina+cosa=—y,crG(O,^),sin2a+cos2<7=1,sincr>0,:.sina=-

4

cosa=——，

5

isina3

貝mr1Jtana=-------=——

cosa4

故答案為：q

(4)cosa匕士+sina3絲g為第四象限角)

V1+sin6Zv1+cosa

【解答】解：。為第四象限角,

/.sincr<0>cosa>0.

iwgTJ"sina)2+sinaJj°s"=isin"l+8sa=8sa-sin-

則原式=cosa---------------

ICOS。I|sina|

例2.(1)在AABC中，sinA.cosA=—",貝！IcosA—sinA的值為()

A.—立B.—婦C.—D

222

【解答】解：,在AABC中sin4cosA=-L「.A為鈍角，

8

/.cosA—sinA<0,

cosA-sinA=-J(cosA-sinA)2

=-^cos2A+sin2A-2sinAcosA

l-2x

2

故選：B.

、

(2)已知sini+cosa=———,且|sina|>|cosa|,求cos25a-sin3a的值.

【解答】解：:sina+cosa=

、92

「?平方得：1+2sinacosa=—,BPsinacosa=—,

55

21

/.(cos6Z—sincr)=1-2sinacosa=丁

sinor+cosevO,sin<zcosor>0,

「.sinevO,cosavO,

又?|sina|>|cosa|，

/.—sincr>—cosay即cosa—sine>0,

..cosa-sma=—

5

貝■]cos3a—sin3a=(cosa-sina)(l+sinacosa)=x(1+—)=.

考點(diǎn)3：齊次式求值

例3.(1)已知tana=3,求下列各式的值：

4sina-cosa

⑴

3sina+5cosa

________1________

(2)

2sinacosa+cos12*5a

【解答】解：(1)-原式=4sin」cosa

3sina+5cosa

???分子分母都除以cosa,得

4sinacosa

原式=cosacosa_4tana-14x3-1_

八,3sina?5cosa3tana+53x3+514

cosacosa

(2)原式二—；----------------

2sinacosa+cosa

：.將分子化成1=sin2a+cos2a,可得原式=sinF+cos%

2sintzcostz+cosa

再將分子分母都除以cos'a,得

sir^acos2a

原式=cos%cos2a_tan2a+1_3、+1_1°3、+1_10

2sinacosacos2a2tana+l2x3+172x3+17

二

-----c-o--s2-a-----+--c-o-s-a

(2)若tan8=2,則2sin29—3sin<9cose=()

22

A.10B.±-C.2D.-

55

【解答】解：sii^e+cos*：1,

/.2sin26-3sin6cos6

Isir^O-3sin6cos0

sin2?+cos26

-3tan0

1+tan2^

_2X22-3X2

―1+2^-

_2

——,

5

故選：D.

模塊二：誘導(dǎo)公式

⑴公式一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

sin(a+2kn)=sina,cos(6Z+=cosor,tan(ctr+2kn)=tana；

⑵公式二：角a與戊+兀的三角函數(shù)間的關(guān)系.

sin(a+7i)=-sintz,cos(a+7i)=-cosa,tan(a+兀)=tana；

⑶公式三：角a與無一a的三角函數(shù)間的關(guān)系.

sin(7r-a)=sina,cos(7r-a)=-cosa,tan(n-a)=-tantz.

⑷公式四：角a與-e的三角函數(shù)間的關(guān)系.

sin(—or)=—sincr,cos(—cr)=cosor,tan(—cr)=—tana；

⑸公式五：角a與曰-。的三角函數(shù)間的關(guān)系.

sina\=cosacosa=sin

12JuJ

考點(diǎn)3：誘導(dǎo)公式

例1.(1)求值：cosl290°=()

A.-B.--

22CT

【解答】解：cos1290°=cos210°=-cos30°=-—,

2

故選：D.

(2)已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為尸(-；,當(dāng)，角%+a,-a,n-a,會一夕的終邊

與單位圓分別交于點(diǎn)片，鳥，月，巴，則有()

A.哈與B.嗎冬C,月(LD.優(yōu)，一

【解答】解：角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-;當(dāng)，角…，…，猴一夕的

終邊與單位圓分別交于點(diǎn)片，P2,P3,巴，

?M(g，-孝)、與(一?當(dāng)、月(；，亭、逐f

故選：D.

(3)已知cosg_2)=：，則sin(a+g=()

A.±1B.-C.--D.-

5555

【解答】解：已矢口cosg—c)=：，則sin(cr+a=cosg—(2+3)]=85((—a)=：，

故選：D.

(4)已知角a的始邊為％軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)0,-根-1),且cosa=g.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

37r

sin(3%+a)cos(-----a)

(2)若7%>0,求--------------Z-----的值.

,、.,71、

cos(a-n)sin(—+a)

【解答】(本題滿分為10分)

解：(1),.由題意可得：x=m,y=-m-1,r=^n^+(-m-l)2,

mm

cosa=—=/,

5yjm2+(-m-1)2

二.整理可得：m2+m—12=09

解得m=3或T.

34

(2)m>0,由(1)可得m=3,cosa=—，sina=——，

55

3兀44

sin(3?+a)cos(------a).、(.、—x-

、2_z(-sin?)(-sincr)_55_16

9

"cos(a-^)sm(j+?)-(-cosa)cosa-一'

33

sin(-a——%)?sin(—TI-a)?tan3*5(2%-a)

(5)已知sintz是方程5f_7x_6=0的根，求---------------------------------的值.

,TC.,TC.

cos(--?>cos(—+a)

【解答】解：由sin二是方程5爐一7%-6=0的根，可得

sina=-3或sine=2(舍)，

5

333

sin(-a——乃)?sin(一萬一a)?tan(2乃-a)

.________22_________________

,TC、,7C、

cos(----a).cos(——Fa)

3TT3TT

-sin(7+a)xsin(^--a)x(-tana)3

sinax(-sina)

cosax(-cosa)x[-tan3a]

sincrx(-sincr)

=—tana?

由sina=--可知a是第三象限或者第四象限角.

5

,tana=』或.

44

即所求式子的值為士」.

4

課后作業(yè)：

1.sin240。的值是()

A.--B.-C.—D.

2222

【解答】解：sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=,

故選：D.

34

2.已知cosQr-c)=丁貝Usin(75r--a)的值為()

443

A.±-B.--C.-D.

555

3

【解答】解：因為cos(〃一。)=一cosa=《，

23

所以sin(7-r-a)=-cosa=-.

故選：D.

sin(?-a)cos(24-a)sin(-----a)

3.已知/(a)----------------------------z_%-----,則/(一包)的值為()

/、、3

cos(一4-a)cos(------a)

11

A.B.C.

2

_、sin。cosacos。

【解答】解:t(za)=----------------------=cosa,

(-cos6Z)(-sina)

貝U/(--1-)=COS(-^1^-)=COS(8萬+y)=COSy=1

2

故選：B.

4.已知sin(?+a)=且a為第四象限角，貝hana()

2

A.石B.—石D.

3

【解答】解：\sin(7r+a)=-sina=g,

「?XT得1sincc——，

2

a為第四象限角，

sina

/.tana=-------

cosa3

故選：D.

4

5.已知cosQr+a)=g,且tanc>0.

(1)求tana的值；

2sin(7r-a)+sin(----a)

(2)求---------------2——的值.