高中數學-3. 1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式〉教學設計

?§3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式〉教學設計

一、教學目標

理解以兩角差的余弦公式為基礎，推導兩角和、差正弦和正切公

式的方法，體會三角恒等變換特點的過程，理解推導過程，掌握其應

用.

二、教學重、難點

1.教學重點：兩角和、差正弦和正切公式的推導過程及運用；

2.教學難點：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用.

三、學法與教學用具

學法：研討式教學

四、教學設想：

(一)復習式導入：大家首先回顧一下兩角差的余弦公式：

cos-/?)=cosacos尸+sinasinp?

這是兩角差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和的余弦公式是怎樣

的呢？我們可以在上述公式C(a⑹中將a-B中的角B換成-B就可以。

cos(a+⑶=cosacos/7-sinasino

在公式C(a±B)的基礎上,能否得到兩角和或差的正弦公式？

提示：在第一章我們用誘導公式五(或六)可以實現正弦、余弦的互

化，這對我們解決今天的問題有幫助嗎？讓學生動手完成兩角和與差

正弦和正切公式.

rr

sin(?+/?)=cosw(a+夕)=cos尹+萬=cosjcos^+sin^-(7jsinp

sinacosp+cosasin/3?

;in(二一/?)=sin[a+(-/?)]=sinacos(一分)+cosasin(-/?)=sinacos(3-cosasin/3

讓學生觀察認識兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切

公式.（學生動手）

sin(df+/?)_sinacos[5+cossin0

tan(cr+/?)

cos(a+/7)cosacos/3-sinasinp

通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有tana、tan/7的形式呢?

（分式分子、分母同時除以cosC，得到tan（a+￡）=罌*福

注意：a+B*/)豐%+k7i、B+(kGZ)

以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式

呢？

tan6z+tan(-/?)_tantz-tan/?

tan((z-/?)=tan[a+

1-tanatan(一6)1+tanatan/?

后、：a+,w5+2肛二w萬+女肛wmwz）?

（二）例題講解

例1、利用和（差）公式求75°,15°的正弦、余弦和正切的值.

例2、已知n<B<a<2Ji,cos(a-B)=",sin(a+B)=-3,求cos2

24135

a的值.

蹤訓訓練：已知sin(a-3)cos3+cos(a-3)sin3=-,JLaG(—,

52

R)，求tan(a--)的值.

4

小結：本節(jié)我們學習了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟

記公式，在解題過程中要善于發(fā)現規(guī)律，學會靈活運用.

作業(yè)：

1>已知tan(a+/?)=2,tan(/J-工］+工］的值.(』)

5V4J4<4；22

2、已矢口0<夕<?<a()<平,cos(?—a)=1',sin(,+尸)=得，求

sin(a+0的值.

當堂檢測

1、sin(-智)的值是()

12

(A)(B)(C)"6-、,7(D)—"'4'‘6

2、設角。的終邊經過點⑶-4),則cos(9+4p的值等于()

(A)3(B)-退(C)及⑻-辿

10101010

3.若函數f(x)=(l+V5tanx)cosx,OWx^,則f(x)的最大值為()

(A)l(B)2(C)V3+1(D)V3+2

4.已知cosq+x)=W且x是第三象限角，則產的值為()

451-tanx

(A)-1(B)W(C)|(D)I

5.在銳角^ABC中,設m=sinAsinB,n=cosAcosB,則m,n的大小關

系為()

(A)mWn(B)m<n(C)mln(D)m>n

6sin(a+30”sin(a30：)-

cosa----.

7.0<a<50<B0且tana=itanB則a+0=.

8.已知AABC中，VltanAtanB-tanA-tanB=V3.則C=.

9.已知角a的終邊經過點P(-3,-4、@,求tan(a+；)的值.

10.已知函數f(x)=2sin(；x-p,xGR.⑴求f(y)的值；

(2)設a,0￡[0,打，且a<B,f(2a+2Ji)=墨f(2B+Ji)哆求sin(a

-B)的值。

學情分析：

學生在本節(jié)之前已經學習了三角函數和平面向量這兩章知識內容，這為本節(jié)課的學習作了很

多的知識鋪墊，學生也有了一定的數學推理能力和運算能力。本節(jié)教學內容需要學生已經具

有單位圓中的任意角的三角概念和平面向量的數量積的表示等方面的知識儲備，這將有利于

進一步促進學生思維能力的發(fā)展和數學思想的形成。

本節(jié)課的教學重點是兩角和與差的余弦公式的推導，其應用是本節(jié)的又一個重點，也

是本節(jié)的一個難點。所以這節(jié)課效果的好壞，體現在對這兩點實現的程度上，因此，例題、

練習、作業(yè)應用繞這兩方面設計。而平面內兩向量的數量積的兩種形式的應用又是推導兩角

差的余弦公式的關鍵；因此在復習平面內兩向量的數量積的兩種形式是本節(jié)課必要的準備。

本節(jié)課采用“創(chuàng)設情境--提出問題…-探索嘗試…-啟發(fā)引導--解決問題”的過程來實現

教學目標。有利于知識產生、發(fā)展、解決這一認知過程的完整體現。在教學手段上使用多媒

體技術，有效增加課堂容量。在教學過程環(huán)節(jié)，采用問題教學，再逐步展開的方式，能夠充

分調動學生的學習積極性，讓學生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在利用平面內兩

向量的數量積的幾何形式、代數形式建立等式，而得到兩角差的余弦公式后，利用代數思想

推出兩角和的余弦公式，使學生進一步體會數學思想的深刻性。通過對公式的對比，可以加

深學生對公式特征的印象，同時體會公式的線形美與對稱美，給學生以美的陶冶。作業(yè)的布

置中，突出了學生學習的個體差異現實，使學有余力的學生產生挑戰(zhàn)的心理感受，也為下一

節(jié)內容的學習做準備。

教學分析

L兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上，進一步研究

具有“兩角和差”關系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導中，教科書都把對照、

比較有關的三角函數式，認清其區(qū)別，尋找其聯系和聯系的途徑作為思維的起點，如比較

cos(a-6)與cos(a+B),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換

元的角度看都有內在聯系，即a+B=a-(-B)的關系，從而由公式推得公式

又如比較sin(a-6)與cos(a-B),它們包含的角相同但函數名稱不同，這就要求進行函

數名的互化，利用誘導公式(5)(6)即可推得公式S〈…八S(.⑹等.

2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導，揭示了兩角和、差的三角函數與

這兩角的三角函數的運算規(guī)律，還使學生加深了數學公式的推導、證明方法的理解.因此本

節(jié)內容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要內容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能

力，發(fā)現問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.

3.本節(jié)的幾個公式是相互聯系的，其推導過程也充分說明了它們之間的內在聯系，讓學生深

刻領會它們的這種聯系，從而加深對公式的理解和記憶.本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練

學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣

進行引導，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確要求，再思考應該聯系什么公

式，使用公式時要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結果而

不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的.

三維目標

L在學習兩角差的余弦公式的基礎上，通過讓學生探索、發(fā)現并推導兩角和與差的正弦、余

弦、正切公式，了解它們之間的內在聯系，并通過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培

養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.

2.通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化筒、恒等證明，

使學生深刻體會聯系變化的觀點，自覺地利用聯系變化的觀點來分析問題，提高學生分析問

題解決問題的能力.

3.通過本節(jié)學習，使學生掌握尋找數學規(guī)律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養(yǎng)學生的

應用意識，提高學生的數學素質.

重點難點

教學重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導.

教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明.

課時安排

2課時

教學過程

第1課時

導入新課

思路1.(舊知導入)教師先讓學生回顧上節(jié)課所推導的兩角差的余弦公式，并把公

式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識地讓學生寫整齊.然后教師引導學生觀察cos(a

-B)與cos(a+B)、sin(a-B)的內在聯系，進行由舊知推出新知的轉化過程，從而推導

出?！摆?gt;、Saw本節(jié)課我們共同研究公式的推導及其應用.

思路2.(問題導入)教師出示問題，先讓學生計算以下幾個題目，既可以復習回顧

上節(jié)所學公式，又為本節(jié)新課作準備.若sina=,ae(0,),cosB=,B丘(0,),求cos(a

-B),cos(a+B)的值.學生利用公式Cec很容易求得cos(a-B)，但是如果求cos(a

+P)的值就得想法轉化為公式的形式來求，此時思路受阻，從而引出新課題，并由

此展開聯想探究其他公式.

推進新課

新知探究

提出問題

①還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學到黑板上默寫出來.

②在公式C?c中，角B是任意角，請學生思考角a-B中B換成角是否可以？此時觀察

角a+B與a之間的聯系,如何利用公式C來推導cos(a+與=?

③分析觀察的結構有何特征？

④在公式C(?-p),Cm的基礎上能否推導sin(a+B)=?sin(a-B)=?

⑤公式S”⑹、的結構特征如何？

⑥對比分析公式Csw、CS+B>、SS-Q、S(d+p),能否推導出tan(a-B)=?

tan(a+B)=?

⑦分析觀察公式T<T<i)的結構特征如何？

⑧思考如何靈活運用公式解題？

活動：對問題①，學生默寫完后，教師打出課件，然后引導學生觀察兩角差的余弦

公式，點撥學生思考公式中的a,B既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什么樣的

奇妙想法呢？鼓勵學生大膽猜想，引導學生比較cos(a-B)與cos(a+B)中角的內在聯系,

學生有的會發(fā)現a-B中的角B可以變?yōu)榻?B,所以a-(-B)=a+(3］也有的會根據加減運

算關系直接把和角a+B化成差角a-(-B)的形式).這時教師適時引導學生轉移到公式C(o.

。上來，這樣就很自然地得到

cos(a+P)=cos[a-(-0)]

=cosacos(-B)+sinasin(-B)

=cosacosB-sinasinB.

所以有如下公式:

cos(a+B)=cosacosB-sinasinB

我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作

對問題②，教師引導學生細心觀察公式c(。附的結構特征，可知“兩角和的余弦，等于這兩

角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學生對比公式a。W進行記憶，并填空：COS75。

=cos()===.

對問題③，上面學生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導學生觀察思考，怎樣才能得到

兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現正、余弦的互化呢？學生可能有的想到

利用誘導公式⑸⑹來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關系式sin2a+cos2a=l

來互化，此法讓學生課下進行)，因此有

sin(a+B)=cos[-(a+p)]=cos[(-a)-g]

=cos(-a)cos3+sin(-a)sinP

=sinacosP+cosasinP.

在上述公式中，。用-B代之，則

sin(a-0)=sin[a+(-0)]=sinacos(-3)+cosasin(-B)

=sinacosP-cosasinP.

因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S“c、S<。⑹.

sin(a+p)=sinacosp+cosasinpz

sin(a-p)=sinacosp-cosasinp.

對問題④⑤,教師恰時恰點地引導學生觀察公式的結構特征并結合推導過程進行記

憶，同時進一步體會本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對

稱美.為強化記憶，教師可讓學生填空，如sin(0+<]>)=,sin=.

對問題⑥，教師引導學生思考,在我們推出了公式?！丝冖獭ge、后,

自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導出tan(a-B)=?,tan(a+B)=?呢？學生很

容易想到利用同角三角函數關系式，化弦為切得到.在學生探究推導時很可能想不到討論，

這時教師不要直接提醒，讓學生自己悟出來.

當cos(a+6)W0時，tan(a+B)=

如果cosacosPWO,即cosaWO且cosBWO時,分子、分母同除以cosacos3得

tan(a+B)=,據角a、B的任意性，在上面的式子中，B用-B代之，則有

tan(a-0)=

由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為Teo,、Tse.

tan(a+p)=

tan(a-p)=

對問題⑥,讓學生自己聯想思考，兩角和與差的正切公式中a、B、a±B的取值

是任意的嗎？學生回顧自己的公式探究過程可知，a、B、a±B都不能等于+kn(keZ),

并引導學生分析公式結構特征，加深公式記憶.

對問題⑦⑧，教師與學生一起歸類總結，我們把前面六個公式分類比較可得C”⑻、

S⑹田、Tg.我叫和角公式;S?R>、C?p)、叫差角公式.并由學生歸納總結以上六個公

式的推導過程，從而得出以下邏輯聯系圖.可讓學生自己畫出這六個框圖.通過邏輯聯系圖，

深刻理解它們之間的內在聯系，借以理解并靈活運用這些公式.同時教師應提醒學生注意：

不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變

形式

tana+tanP=tan(a+p)(1-tanatanB),tana-tanB=tan(a-P)(1+tanatan

B),在化筒求值中就經常應用到，使解題過程大大簡化，也體現了數學的簡潔美.對于兩角

和與差的正切公式，當tana,tanB或tan(a±B)的值不存在時，不能使用，處

理某些有關問題，但可改用誘導公式或其他方法，例如：化簡tan(-B),因為tan的值不

存在，所以改用誘導公式tan(-8)=來處理等.

應用示例

思路1

例1已知sina=,a是第四象限角，求sin(-a),cos(+a),tan(-a)的值.

活動：教師引導學生分析題目中角的關系，在面對問題時要注意認真分析條件，明

確要求.再思考應該聯系什么公式，使用公式時要有什么準備，準備工作怎么進行等.例如本

題中，要先求出cosa,tana的值，才能利用公式得解，本題是直接應用公式解題，目的是

為了讓學生初步熟悉公式的應用，教師可以完全讓學生自己獨立完成.

解：由sina=,a是第四象限角，得cosa=.

tana==.

于是有sin(-a)=sincosa-cossina=

cos(+a)=coscosa-sinsina=

tan(a-)===.

點評：本例是運用和差角公式的基礎題，安排這個例題的目的是為了訓練學生思維

的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣.

變式訓練

1.不查表求cos75°,tanl05°的值.

解：cos75°=cos(450+30")=cos45°cos30°-sin45°sin30°

tanl05°=tan(60°+45°)==-(2+).

2.設aG(0,)，若sina=，則2sin(a+)等于()

A.B.C.

D.4

答案：A

例2已知sina=,aC(,n),cosB=,B右(n,).

求sin(a-0),cos(a+P),tan(a+0).

活動：教師可先讓學生自己探究解決，對探究困難的學生教師給以適當的點撥，指

導學生認真分析題目中已知條件和所求值的內在聯系.根據公式Sew、C<.)、—>應先求

出cosa、sinB、tana、tanB的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數值的

符號.

解：由sina=,aW(,貝)，得

cosa==-=,；.tana=.

又由cosB=,BG(n,).

sinB==,

tanB=.sin(a-B)=sinacosB-cosasinP

=X()-(.

cos(a+6)=cosacosB-sinasinB=()X()-X()

tan(a+8)==.

點評：本題仍是直接利用公式計算求值的基礎題，其目的還是讓學生熟練掌握公式

的應用，訓練學生的運算能力.

變式訓練

引導學生看章頭圖，利用本節(jié)所學公式解答課本章頭題，加強學生的應用意識.

解：設電視發(fā)射塔高CD=x米，ZCAB=a,則sina=,

在Rt/XABD中，tan(45°+a)=tana.

于是x=,

又sina=,aG(0,),.'.cosa七,tana.

tan(45°+a)==3,

x=-30=150(米).

答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.

例3在ZkABC中,sinA=(0°

活動：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角

函數誘導公式與和差公式有關的問題，難度不大，但應是學生必須熟練掌握的.同時也能加

強學生的應用意識，提高學生分析問題和解決問題的能力.教師可讓學生自己閱讀、探究、

討論解決，對有困難的學生教師引導學生分析題意和找清三角形各角之間的內在聯系，從而

找出解決問題的路子.教師要提醒學生注意角的范圍這一暗含條件.

解：?.?在△ABC中，A+B+C=180°,；.C=180°-(A+B).

又：sinA=且0°

又,；cosB=且45°

sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

=X+X=,

cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

=X-X=.

點評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學生的應

用意識，也使學生更加認識了公式的作用，解決三角形問題時，要注意三角形內角和等于180。

這一暗含條件.

變式訓練

在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB》l,則aABC是()

A.銳角三角

形

B.鈍角三角形

C.直角三角

形

D.等腰非直角三角形

答案：C

思路2

例1若sin(+a)=,cos(-B)=，且0〈a〈<P<，求cos(a+p)的值.

活動：本題是一個典型的變角問題，也是一道經典例題，對訓練學生的運算能力以

及邏輯思維能力很有價值.盡管學生思考時有點難度，但教師仍可放手讓學生探究討論，教

師不可直接給出解答.對于探究不出的學生，教師可恰當點撥引導，指導學生解決問題的關

鍵是尋找所求角與已知角的內在聯系，引導學生理清所求的角與已知角的關系，觀察選擇應

該選用哪個公式進行求解，同時也要特別提醒學生注意：在求有關角的三角函數值時，要特

別注意確定準角的范圍，準確判斷好三角函數符號，這是解決這類問題的關鍵.學生完全理

清思路后，教師應指導學生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它.對于程度比較好的學生可讓其擴展

本題，或變化條件，或變換所求的結論等.如教師可變換a,B角的范圍,進行一題多變訓練，

提高學生靈活應用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓練價值.

解：；0〈a〈<p<,<+a<jt,-<-p<0,

又己知sin(+a)=,cos(-3)=,

/.cos(+a)=,sin(-B)=.

?*.cos(a+P)=sin[+(a+0)]=sin[(+a)-(-P)]

=sin(+a)cos(-P)-cos(+a)sin(-3)

=X-()X()=.

本題是典型的變角問題，即把所求角利用已知角來表示,實際上就是化歸思想.這需

要巧妙地引導,充分讓學生自己動手進行角的變換，培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力.

變式訓練

己知a,gE(,Jt),sin(a+B)=,sin(B-)=,

求cos(a+)的值.

解：；a,ge(,n),sin(a+(3)=,sin(P-)=,

，<a+0<2n,<p-<.

cos(a+B)=,cos(B-)=.

cos(a+)=cos[(a+B)-(。-)]

=cos(a+B)cos(B-)+sin(a+B)sin(B-)

=X()+()X=.

例2化簡

活動：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數的形式，教師可

以先讓學生自己獨立地探究，然后進行講評.

解：原式=

=0.

點評：本題是一個很好的運用公式進行化簡的例子，通過學生獨立解答，培養(yǎng)學生熟練運用

公式的運算能力.

變式訓練

化簡

解：原式=

知能訓練

課本本節(jié)練習1—4.

1.(1),(2),(3),(4)2-.

2..

3.

4.~2,

作業(yè)

已知0<B,<a<,cos(-a)=,sin(+B)=，求sin(a+B)的值.

解：<a<,<-a<0,sin(-a)==.

又0<B<,<JI,cos(+8)==.

sin(a+p)=-cos(+a+0)=-cos[(+3)-(-a)]

=-cos(+P)cos(-a)-sin(+P)sin(-a)

=-()XX()=.

課堂小結

1.先由學生回顧本節(jié)課都學到了哪些數學知識和數學方法，有哪些收獲與提高，在公式推導

中你悟出了什么樣的數學思想？對于這六個公式應如何對比記憶？其中正切公式的應用有

什么條件限制？怎樣用公式進行簡單三角函數式的化簡、求值與恒等式證明.

2.教師畫龍點睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導，

明白從已知推得未知，理解數學中重要的數學思想一一轉化思想,并要正確熟練地運用公式

解題.在解題時要注意分析三角函數名稱、角的關系，一個題目能給出多種解法，從中比較

最佳解決問題的途徑，以達到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領悟變換思路，強化數學思想

方法之目的.

設計感想

1.本節(jié)課是典型的公式教學模式，是在兩角差的余弦公式的基礎上進行的，因此本教案的設

計流程是“提出問題f轉化推導f分析記憶f應用訓練”.它充分展示了公式教學中以學生

為主體，進行主動探索數學知識發(fā)生、發(fā)展的過程.同時充分發(fā)揮教師的主導作用，引導學

生利用舊知識推導證明新知識，并學會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題，從而

使學生領會了數學中重要的數學思想一一轉化思想，并培養(yǎng)他們主動利用轉化思想指導探索

解決數學問題的能力.

2.縱觀本教案的設計，知識點集中，容量較大，重點是公式的推導證明、記憶以及簡單的應

用等，通過本節(jié)的學習，使學生深刻理解公式的推導、證明方法，熟練應用公式解決簡單的

問題.同時教給學生發(fā)現規(guī)律、探索推導、獲取新知的方法，讓他們真正體驗到自己發(fā)現探

索數學知識的喜悅和成功感.

第2課時

導入新課

思路L(復習導入)讓學生回憶上節(jié)課所學的六個公式，并回憶公式的來龍去脈，

然后讓一個學生把公式默寫在黑板上或打出幻燈.教師引導學生回顧比較各公式的結構特征,

說出它們的區(qū)別和聯系，以及公式的正用、逆用及變形用，以利于對公式的深刻理解.這節(jié)

課我們將進一步探究兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活應用.

思路2.(問題導入)教師可打出幻燈，出示一組練習題讓學生先根據上節(jié)課所學的

公式進行解答.

1.化簡下列各式

(l)cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB;

(2);

(3)

2.證明下列各式

(1)

(2)tan(a+B)tan(a-B)(l-tan2tan2B)=tan2a-tan2B;

(3)

答案：1.⑴cosa;(2)0;(3)1.

2.證明略.

教師根據學生的解答情況進行一一點撥，并對上節(jié)課所學的六個公式進行回顧復習，由此展

開新課.

推進新課

新知探究

提出問題

①請同學們回憶這一段時間我們一起所學的和、差角公式.

②請同學們回顧兩角和與差公式的區(qū)別與聯系，可從推導體系中思考.

活動：待學生稍做回顧后，教師打出幻燈，出示和與差角公式，讓學生進一步在直

觀上發(fā)現它們內在的區(qū)別與聯系，理解公式的推導充分發(fā)揮了向量的工具作用，更要體會由

特殊到一般的數學思想方法.教師引導學生觀察，當a、B中有一個角為90°時，公式就變

成誘導公式，所以前面所學的誘導公式其實是兩角和與差公式的特例.在應用公式時，還要

注意角的相對性，如a=(a+B)-B,等.讓學生在整個的數學體系中學會數學知識，學會數

學方法，更重要的是學會發(fā)現問題的方法，以及善于發(fā)現規(guī)律及其內在聯系的良好習慣，提

高數學素養(yǎng).

sin(a±P)=sinacosB±cosasinB(S<oie))；

cos(a±B)=cosacos0sinasinP(C(a+p));

tan(a±p)=(T<°±R>).

討論結果：略.

應用示例

思路1

例1利用和差角公式計算下列各式的值.

(1)sin72-COS42--cos72°sin42°;

(2)cos20°cos700-sin20°sin70°;

(3)

活動：本例實際上是公式的逆用，主要用來熟悉公式，可由學生自己完成.對部分

學生，教師點撥學生細心觀察題中式子的形式有何特點，再對比公式右邊，馬上發(fā)現(1)

同公式的右邊，(2)同公式CWQ右邊形式一致，學生自然想到公式的逆用，從而化

成特殊角的三角函數，并求得結果.再看(3)式與T“如右邊形式相近，但需要進行一定的

變形.又因為tan45°=1,原式化為，再逆用公式?、蕛燃纯山獾?

解：(1)由公式S(…)得

原式=sin(72°-42°)=sin30°=.

(2)由公式Q-+C得

原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.

(3)由公式T—c得

原式==tan(45°+15°)=tan600=.

點評：本例體現了對公式的全面理解，要求學生能夠從正、反兩個角度使用公式.

與正用相比，反用表現的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識，對思維的靈

活性要求也高，而且對公式要有更全面深刻的理解.

變式訓練

1.化簡求值：

(1)cos44°sinl4°-sin44°cosl4";

(2)sinl4°cosl60+sin76°cos74°;

(3)sin(540-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(360+x).

解：(1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.

(2)原式=sinl4°cosl6°+cosl40sinl6°=sin(14°+16°)=sin30°=.

(3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.

2.計算

解：原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.

例2已知函數f(x)=sin(x+9)+cos(x-9)的定義域為R,設0d[0,2n],若f(x)為偶函數,

求0的值.

活動:本例是一道各地常用的、基礎性較強的綜合性統(tǒng)考題,其難度較小，只需利用

偶函數的定義,加上本節(jié)學到的兩角和與差的三角公式展開即可，但不容易得到滿分.教師可

先讓學生自己探究,獨立完成,然后教師進行點評.

解：(x)為偶函數,(x),

即sin(-x+0)+cos(-X-9)=sin(x+0)+cos(x-0),

即一sinxcos0+cosxsin0+cosxcos0-sinxsin0

=sinxcos6+cosxsin9+cosxcos0+sinxsin9.

.".sinxcos0+sinxsin9=0.

.'.sinx(sin0+cos0)=0對任意x都成立.

sin(0+)-0,BPsin(9+)=0.

0+=kn(k€Z).0=kJi—(kEZ).

又0G[0,2n),0=或0=.

點評:本例學生可能會根據偶函數的定義利用特殊值來求解.教師應提醒學生注意，

如果將本例變?yōu)檫x擇或填空,可利用特殊值快速解題，作為解答題利用特殊值是不嚴密的，以

此訓練學生邏輯思維能力.

變式訓練

已知：<3<a<,cos(a-g)=,sin(a+B)=，求cos2B的值.

解：</<3<a<,

/.0<a-0<,n<a+g<.

XVcos(a-g)=,sin(a+0)=,

sin(a-p)=,cos(a+P)=.

cos2P=cosL(a+p)-(a-p)]

=cos(a+B)cos(a-{3)+sin(a+0)sin(a-p)

=X+()X=.

例3求證：cosa+sina=2sin(+a).

活動：本題雖小但其意義很大,從形式上就可看出來,左邊是兩個函數,而右邊是一

個函數,教師引導學生給予足夠的重視.對于此題的證明，學生首先想到的證法就是把等式右

邊利用公式Sgg展開，化簡整理即可得到左邊此為證法，這是很自然的，教師要給予鼓勵.

同時教師可以有目的的引導學生把等式左邊轉化為公式Sv的右邊的形式，然后逆用公式

化簡即可求得等式右邊的式子，這種證明方法不僅僅是方法的變化，更重要的是把兩個三角

函數化為一個三角函數.

證明：方法一：右邊=2(sincosa+cossina)=2(cosa+sina)

=cosa+sina=左邊.

方法二：左邊=2(cosa+sina)=2(sincosa+cossina)

=2sin(+a)=右邊.

點評：本題給出了兩種證法，方法一是正用公式的典例，而方法二則是逆用公式證

明的，此法也給了我們一種重要的轉化方法，要求學生熟練掌握其精神實質.本例的方法二

將左邊的系數1與分別變?yōu)榱伺c，即輔助角的正、余弦.關于形如asinx+bcosx(a,b

不同時為零)的式子，引入輔助角變形為Asin(x+0)的形式，其基本想法是“從右向左”用

和角的正弦公式，把它化成Asin(x+或)的形式.一般情況下,如果a=os*b=Asin想那么

asinx+bcosx=A(sinxcos+cosxsin6)=Asin(x+).由sin'6+cos，@=1,可得

A"=a2+b\A=±,不妨取A=,于是得至!!cos<t>=,sin6=,從而得至!Jtan4>=,因止匕asinx+bcosx=

sin(x+。)，通過引入輔助角巾，可以將asinx+bcosx這種形式的三角函數式化為一個角的

一個三角函數的形式.化為這種形式可解決asinx+bcosx的許多問題，比如值域、最值、周

期、單調區(qū)間等.教師應提醒學生注意，這種引入輔助角的變換思想很重要，即把兩個三角

函數化為一個三角函數，實質上是消元思想，這樣就可以根據三角函數的圖象與性質來研究

它的性質.因此在歷年高考試題中出現的頻率非常高，是三角部分中高考的熱點,再結合續(xù)內

容的倍角公式,在解答高考物理試題時也常常被使用，應讓學生領悟其實質并熟練的掌握它.

變式訓練

化簡下列各式：

(1)sinx+cosx;

(2)cosx-6sinx.

解：(1)原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)

=2sin(x+).

(2)原式=2(cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)

=2sin(-x).

例4(1)已知a+0=45°，求(1+tana)(1+tanB)的值；

(2)已知sin(a+B)=,sin(a-B)=,求

活動：對于(1)，教師可與學生一起觀察條件，分析題意可知，a+B是特殊角，

可以利用兩角和的正切公式得tana,tanB的關系式，從而發(fā)現所求式子的解題思路.在(2)

中，我們欲求若利用已知條件直接求tana,tanB的值是有一定的困難，但細心觀察公式

S(?.p),Sg-c發(fā)現,它們都含有sinacosB和cosasin6,而化切為弦正是,由此找到

解題思路.教學中盡可能的讓學生自己探究解決，教師不要及早地給以提示或解答.

解：⑴：a+B=45°,...tan(a+B)=tan45°=1.

又Vtan(a+8)=

tana+tanB=tan(a+p)(1-tanatanB),

即tana+tan3=1-tanatanB.

，原式=l+tana+tanB+tanatanB=1+(1-tanatan3)+tanatanB=2.

(2)Vsin(a+g)=,sin(a-p)=,

.".sinacos6+cosasin6

①

sinacosB-cosacosB

②

①+②得sinacosB=,

①-②得cosasinB二，

點評：本題都是公式的變形應用，像(1)中當出現a+B為特殊角時，就可以逆用兩

角和的正切公式變形tana+tanB=tan(a+0)(1-tanatanB),對于我們解題很有用處，而

(2)中化切為弦的求法更是巧妙，應讓學生熟練掌握其解法.

變式訓練

L求(1+tanl。)(l+tan2°)(l+tan30)-(l+tan44°)(l+tan45°)的值.

解：原式二[(l+tanl°)(l+tan44°)][(l+tan2°)(l+tan43°)]?,?[(l+tan22°)(l+tan23°)]

(l+tan45°)=2X2X2X-X2=223.

2.計算：tanl5°+tan30°+tanl50tan300.

解：原式二tan450(l-tanl5°tan30°)+tanl5°tan30°=1.

知能訓練

課本本節(jié)練習5—7.

解答：

5.解：(1)原式二sin90°=1.

(2)原式二cos60°=.

(3)原式二tan45。=1.

(4)原式二一sin60°=.

(5)原式二-cos60°=.

(6)原式二sin20°(-cos70°)+(-cos20°)sin70°

="(sin20°cos700+cos20°sin70°)=-sin90°=-l.

6.(1)原式二sincosx-cossinx=sin(-x).

(2)原式二2(sinx+cosx)=2sin(x+).

(3)原式=2(sinx-cosx)=2sin(x-).

(4)原式二2(cosx-sinx)二2sin(-x).

點評：將asinx+bcosx轉化為Asin(x+6)或Acos(x+6)的形式，關鍵在于“湊"

和(或差)角公式.

7.解:由sin(a-6)cosa-cos(P-a)sina=，可得

sin(a-p)cosa-cos(a-0)sina=sin(a-0-a)=-sinB-,

???sinB二.又B是第三象限角，

cosP=..*.sin(B+)=sinBcos+cosBsin=.

作業(yè)

已知一元二次方程ax'+bx+c=O(acWO)的兩個根為tana、tanB,求tan(a+B)的值.

解：由韋達定理得：tana+tanB=,tanatan6=,

?*.tan(a+B.

課堂小結

L先讓學生回顧本節(jié)課的主要內容是什么？我們學習了哪些重要的解題方法？通過本節(jié)的

學習，我們在運用和角與差角公式時，應注意什么？如何靈活運用公式解答有關的三角函數

式的化簡、求值、恒等證明等問題.

2.教師畫龍點睛：通過本節(jié)課的學習，要熟練掌握運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

解決三角函數式的化簡、求值、恒等證明等問題,靈活進行角的變換和公式的正用、逆用、

變