高中數(shù)學(xué)-3. 1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式〉教學(xué)設(shè)計(jì)

?§3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式〉教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公

式的方法，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)

用.

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運(yùn)用；

2.教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運(yùn)用.

三、學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：研討式教學(xué)

四、教學(xué)設(shè)想：

(一)復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角差的余弦公式：

cos-/?)=cosacos尸+sinasinp?

這是兩角差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和的余弦公式是怎樣

的呢？我們可以在上述公式C(a⑹中將a-B中的角B換成-B就可以。

cos(a+⑶=cosacos/7-sinasino

在公式C(a±B)的基礎(chǔ)上,能否得到兩角和或差的正弦公式？

提示：在第一章我們用誘導(dǎo)公式五(或六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互

化，這對(duì)我們解決今天的問題有幫助嗎？讓學(xué)生動(dòng)手完成兩角和與差

正弦和正切公式.

rr

sin(?+/?)=cosw(a+夕)=cos尹+萬=cosjcos^+sin^-(7jsinp

sinacosp+cosasin/3?

;in(二一/?)=sin[a+(-/?)]=sinacos(一分)+cosasin(-/?)=sinacos(3-cosasin/3

讓學(xué)生觀察認(rèn)識(shí)兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切

公式.（學(xué)生動(dòng)手）

sin(df+/?)_sinacos[5+cossin0

tan(cr+/?)

cos(a+/7)cosacos/3-sinasinp

通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有tana、tan/7的形式呢?

（分式分子、分母同時(shí)除以cosC，得到tan（a+￡）=罌*福

注意：a+B*/)豐%+k7i、B+(kGZ)

以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式

呢？

tan6z+tan(-/?)_tantz-tan/?

tan((z-/?)=tan[a+

1-tanatan(一6)1+tanatan/?

后、：a+,w5+2肛二w萬+女肛wmwz）?

（二）例題講解

例1、利用和（差）公式求75°,15°的正弦、余弦和正切的值.

例2、已知n<B<a<2Ji,cos(a-B)=",sin(a+B)=-3,求cos2

24135

a的值.

蹤訓(xùn)訓(xùn)練：已知sin(a-3)cos3+cos(a-3)sin3=-,JLaG(—,

52

R)，求tan(a--)的值.

4

小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟

記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.

作業(yè)：

1>已知tan(a+/?)=2,tan(/J-工］+工］的值.(』)

5V4J4<4；22

2、已矢口0<夕<?<a()<平,cos(?—a)=1',sin(,+尸)=得，求

sin(a+0的值.

當(dāng)堂檢測(cè)

1、sin(-智)的值是()

12

(A)(B)(C)"6-、,7(D)—"'4'‘6

2、設(shè)角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)⑶-4),則cos(9+4p的值等于()

(A)3(B)-退(C)及⑻-辿

10101010

3.若函數(shù)f(x)=(l+V5tanx)cosx,OWx^,則f(x)的最大值為()

(A)l(B)2(C)V3+1(D)V3+2

4.已知cosq+x)=W且x是第三象限角，則產(chǎn)的值為()

451-tanx

(A)-1(B)W(C)|(D)I

5.在銳角^ABC中,設(shè)m=sinAsinB,n=cosAcosB,則m,n的大小關(guān)

系為()

(A)mWn(B)m<n(C)mln(D)m>n

6sin(a+30”sin(a30：)-

cosa----.

7.0<a<50<B0且tana=itanB則a+0=.

8.已知AABC中，VltanAtanB-tanA-tanB=V3.則C=.

9.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3,-4、@,求tan(a+；)的值.

10.已知函數(shù)f(x)=2sin(；x-p,xGR.⑴求f(y)的值；

(2)設(shè)a,0￡[0,打，且a<B,f(2a+2Ji)=墨f(2B+Ji)哆求sin(a

-B)的值。

學(xué)情分析：

學(xué)生在本節(jié)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)和平面向量這兩章知識(shí)內(nèi)容，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作了很

多的知識(shí)鋪墊，學(xué)生也有了一定的數(shù)學(xué)推理能力和運(yùn)算能力。本節(jié)教學(xué)內(nèi)容需要學(xué)生已經(jīng)具

有單位圓中的任意角的三角概念和平面向量的數(shù)量積的表示等方面的知識(shí)儲(chǔ)備，這將有利于

進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)思想的形成。

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)，其應(yīng)用是本節(jié)的又一個(gè)重點(diǎn)，也

是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)。所以這節(jié)課效果的好壞，體現(xiàn)在對(duì)這兩點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的程度上，因此，例題、

練習(xí)、作業(yè)應(yīng)用繞這兩方面設(shè)計(jì)。而平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式的應(yīng)用又是推導(dǎo)兩角

差的余弦公式的關(guān)鍵；因此在復(fù)習(xí)平面內(nèi)兩向量的數(shù)量積的兩種形式是本節(jié)課必要的準(zhǔn)備。

本節(jié)課采用“創(chuàng)設(shè)情境--提出問題…-探索嘗試…-啟發(fā)引導(dǎo)--解決問題”的過程來實(shí)現(xiàn)

教學(xué)目標(biāo)。有利于知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認(rèn)知過程的完整體現(xiàn)。在教學(xué)手段上使用多媒

體技術(shù)，有效增加課堂容量。在教學(xué)過程環(huán)節(jié)，采用問題教學(xué)，再逐步展開的方式，能夠充

分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在利用平面內(nèi)兩

向量的數(shù)量積的幾何形式、代數(shù)形式建立等式，而得到兩角差的余弦公式后，利用代數(shù)思想

推出兩角和的余弦公式，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)思想的深刻性。通過對(duì)公式的對(duì)比，可以加

深學(xué)生對(duì)公式特征的印象，同時(shí)體會(huì)公式的線形美與對(duì)稱美，給學(xué)生以美的陶冶。作業(yè)的布

置中，突出了學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)體差異現(xiàn)實(shí)，使學(xué)有余力的學(xué)生產(chǎn)生挑戰(zhàn)的心理感受，也為下一

節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

教學(xué)分析

L兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究

具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對(duì)照、

比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較

cos(a-6)與cos(a+B),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換

元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即a+B=a-(-B)的關(guān)系，從而由公式推得公式

又如比較sin(a-6)與cos(a-B),它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進(jìn)行函

數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式(5)(6)即可推得公式S〈…八S(.⑹等.

2.通過對(duì)“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與

這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解.因此本

節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能

力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.

3.本節(jié)的幾個(gè)公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深

刻領(lǐng)會(huì)它們的這種聯(lián)系，從而加深對(duì)公式的理解和記憶.本節(jié)幾個(gè)例子主要目的是為了訓(xùn)練

學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的思維習(xí)慣

進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對(duì)問題時(shí)，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公

式，使用公式時(shí)要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而

不顧過程表述的正確性、簡(jiǎn)捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的.

三維目標(biāo)

L在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余

弦、正切公式，了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對(duì)公式的理解，培

養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.

2.通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化筒、恒等證明，

使學(xué)生深刻體會(huì)聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問

題解決問題的能力.

3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的

應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).

教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明.

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(舊知導(dǎo)入)教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公

式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識(shí)地讓學(xué)生寫整齊.然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察cos(a

-B)與cos(a+B)、sin(a-B)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程，從而推導(dǎo)

出?！摆?gt;、Saw本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.

思路2.(問題導(dǎo)入)教師出示問題，先讓學(xué)生計(jì)算以下幾個(gè)題目，既可以復(fù)習(xí)回顧

上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備.若sina=,ae(0,),cosB=,B丘(0,),求cos(a

-B),cos(a+B)的值.學(xué)生利用公式Cec很容易求得cos(a-B)，但是如果求cos(a

+P)的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式的形式來求，此時(shí)思路受阻，從而引出新課題，并由

此展開聯(lián)想探究其他公式.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

①還記得兩角差的余弦公式嗎？請(qǐng)一位同學(xué)到黑板上默寫出來.

②在公式C?c中，角B是任意角，請(qǐng)學(xué)生思考角a-B中B換成角是否可以？此時(shí)觀察

角a+B與a之間的聯(lián)系,如何利用公式C來推導(dǎo)cos(a+與=?

③分析觀察的結(jié)構(gòu)有何特征？

④在公式C(?-p),Cm的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(a+B)=?sin(a-B)=?

⑤公式S”⑹、的結(jié)構(gòu)特征如何？

⑥對(duì)比分析公式Csw、CS+B>、SS-Q、S(d+p),能否推導(dǎo)出tan(a-B)=?

tan(a+B)=?

⑦分析觀察公式T<T<i)的結(jié)構(gòu)特征如何？

⑧思考如何靈活運(yùn)用公式解題？

活動(dòng)：對(duì)問題①，學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦

公式，點(diǎn)撥學(xué)生思考公式中的a,B既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會(huì)有些什么樣的

奇妙想法呢？鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(a-B)與cos(a+B)中角的內(nèi)在聯(lián)系,

學(xué)生有的會(huì)發(fā)現(xiàn)a-B中的角B可以變?yōu)榻?B,所以a-(-B)=a+(3］也有的會(huì)根據(jù)加減運(yùn)

算關(guān)系直接把和角a+B化成差角a-(-B)的形式).這時(shí)教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式C(o.

。上來，這樣就很自然地得到

cos(a+P)=cos[a-(-0)]

=cosacos(-B)+sinasin(-B)

=cosacosB-sinasinB.

所以有如下公式:

cos(a+B)=cosacosB-sinasinB

我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作

對(duì)問題②，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式c(。附的結(jié)構(gòu)特征，可知“兩角和的余弦，等于這兩

角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)比公式a。W進(jìn)行記憶，并填空：COS75。

=cos()===.

對(duì)問題③，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到

兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到

利用誘導(dǎo)公式⑸⑹來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2a+cos2a=l

來互化，此法讓學(xué)生課下進(jìn)行)，因此有

sin(a+B)=cos[-(a+p)]=cos[(-a)-g]

=cos(-a)cos3+sin(-a)sinP

=sinacosP+cosasinP.

在上述公式中，。用-B代之，則

sin(a-0)=sin[a+(-0)]=sinacos(-3)+cosasin(-B)

=sinacosP-cosasinP.

因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡(jiǎn)記為S“c、S<。⑹.

sin(a+p)=sinacosp+cosasinpz

sin(a-p)=sinacosp-cosasinp.

對(duì)問題④⑤,教師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過程進(jìn)行記

憶，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點(diǎn)，體驗(yàn)三角公式的這種簡(jiǎn)潔美、對(duì)

稱美.為強(qiáng)化記憶，教師可讓學(xué)生填空，如sin(0+<]>)=,sin=.

對(duì)問題⑥，教師引導(dǎo)學(xué)生思考,在我們推出了公式?！丝冖?、Sge、后,

自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導(dǎo)出tan(a-B)=?,tan(a+B)=?呢？學(xué)生很

容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到.在學(xué)生探究推導(dǎo)時(shí)很可能想不到討論，

這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來.

當(dāng)cos(a+6)W0時(shí)，tan(a+B)=

如果cosacosPWO,即cosaWO且cosBWO時(shí),分子、分母同除以cosacos3得

tan(a+B)=,據(jù)角a、B的任意性，在上面的式子中，B用-B代之，則有

tan(a-0)=

由此推得兩角和、差的正切公式，簡(jiǎn)記為Teo,、Tse.

tan(a+p)=

tan(a-p)=

對(duì)問題⑥,讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中a、B、a±B的取值

是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過程可知，a、B、a±B都不能等于+kn(keZ),

并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶.

對(duì)問題⑦⑧，教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類比較可得C”⑻、

S⑹田、Tg.我叫和角公式;S?R>、C?p)、叫差角公式.并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個(gè)公

式的推導(dǎo)過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖.通過邏輯聯(lián)系圖，

深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式.同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：

不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變

形式

tana+tanP=tan(a+p)(1-tanatanB),tana-tanB=tan(a-P)(1+tanatan

B),在化筒求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過程大大簡(jiǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.對(duì)于兩角

和與差的正切公式，當(dāng)tana,tanB或tan(a±B)的值不存在時(shí)，不能使用，處

理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡(jiǎn)tan(-B),因?yàn)閠an的值不

存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(-8)=來處理等.

應(yīng)用示例

思路1

例1已知sina=,a是第四象限角，求sin(-a),cos(+a),tan(-a)的值.

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對(duì)問題時(shí)要注意認(rèn)真分析條件，明

確要求.再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等.例如本

題中，要先求出cosa,tana的值，才能利用公式得解，本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是

為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨(dú)立完成.

解：由sina=,a是第四象限角，得cosa=.

tana==.

于是有sin(-a)=sincosa-cossina=

cos(+a)=coscosa-sinsina=

tan(a-)===.

點(diǎn)評(píng)：本例是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個(gè)例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維

的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣.

變式訓(xùn)練

1.不查表求cos75°,tanl05°的值.

解：cos75°=cos(450+30")=cos45°cos30°-sin45°sin30°

tanl05°=tan(60°+45°)==-(2+).

2.設(shè)aG(0,)，若sina=，則2sin(a+)等于()

A.B.C.

D.4

答案：A

例2已知sina=,aC(,n),cosB=,B右(n,).

求sin(a-0),cos(a+P),tan(a+0).

活動(dòng)：教師可先讓學(xué)生自己探究解決，對(duì)探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，指

導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系.根據(jù)公式Sew、C<.)、—>應(yīng)先求

出cosa、sinB、tana、tanB的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的

符號(hào).

解：由sina=,aW(,貝)，得

cosa==-=,；.tana=.

又由cosB=,BG(n,).

sinB==,

tanB=.sin(a-B)=sinacosB-cosasinP

=X()-(.

cos(a+6)=cosacosB-sinasinB=()X()-X()

tan(a+8)==.

點(diǎn)評(píng)：本題仍是直接利用公式計(jì)算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式

的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力.

變式訓(xùn)練

引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

解：設(shè)電視發(fā)射塔高CD=x米，ZCAB=a,則sina=,

在Rt/XABD中，tan(45°+a)=tana.

于是x=,

又sina=,aG(0,),.'.cosa七,tana.

tan(45°+a)==3,

x=-30=150(米).

答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.

例3在ZkABC中,sinA=(0°

活動(dòng)：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角

函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問題，難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必須熟練掌握的.同時(shí)也能加

強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、

討論解決，對(duì)有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而

找出解決問題的路子.教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一暗含條件.

解：?.?在△ABC中，A+B+C=180°,；.C=180°-(A+B).

又：sinA=且0°

又,；cosB=且45°

sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

=X+X=,

cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

=X-X=.

點(diǎn)評(píng)：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)

用意識(shí)，也使學(xué)生更加認(rèn)識(shí)了公式的作用，解決三角形問題時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和等于180。

這一暗含條件.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB》l,則aABC是()

A.銳角三角

形

B.鈍角三角形

C.直角三角

形

D.等腰非直角三角形

答案：C

思路2

例1若sin(+a)=,cos(-B)=，且0〈a〈<P<，求cos(a+p)的值.

活動(dòng)：本題是一個(gè)典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力以

及邏輯思維能力很有價(jià)值.盡管學(xué)生思考時(shí)有點(diǎn)難度，但教師仍可放手讓學(xué)生探究討論，教

師不可直接給出解答.對(duì)于探究不出的學(xué)生，教師可恰當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問題的關(guān)

鍵是尋找所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，觀察選擇應(yīng)

該選用哪個(gè)公式進(jìn)行求解，同時(shí)也要特別提醒學(xué)生注意：在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時(shí)，要特

別注意確定準(zhǔn)角的范圍，準(zhǔn)確判斷好三角函數(shù)符號(hào)，這是解決這類問題的關(guān)鍵.學(xué)生完全理

清思路后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它.對(duì)于程度比較好的學(xué)生可讓其擴(kuò)展

本題，或變化條件，或變換所求的結(jié)論等.如教師可變換a,B角的范圍,進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，

提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力，因此教師要充分利用好這個(gè)例題的訓(xùn)練價(jià)值.

解：；0〈a〈<p<,<+a<jt,-<-p<0,

又己知sin(+a)=,cos(-3)=,

/.cos(+a)=,sin(-B)=.

?*.cos(a+P)=sin[+(a+0)]=sin[(+a)-(-P)]

=sin(+a)cos(-P)-cos(+a)sin(-3)

=X-()X()=.

本題是典型的變角問題，即把所求角利用已知角來表示,實(shí)際上就是化歸思想.這需

要巧妙地引導(dǎo),充分讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行角的變換，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力.

變式訓(xùn)練

己知a,gE(,Jt),sin(a+B)=,sin(B-)=,

求cos(a+)的值.

解：；a,ge(,n),sin(a+(3)=,sin(P-)=,

，<a+0<2n,<p-<.

cos(a+B)=,cos(B-)=.

cos(a+)=cos[(a+B)-(。-)]

=cos(a+B)cos(B-)+sin(a+B)sin(B-)

=X()+()X=.

例2化簡(jiǎn)

活動(dòng)：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數(shù)的形式，教師可

以先讓學(xué)生自己獨(dú)立地探究，然后進(jìn)行講評(píng).

解：原式=

=0.

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)很好的運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)的例子，通過學(xué)生獨(dú)立解答，培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用

公式的運(yùn)算能力.

變式訓(xùn)練

化簡(jiǎn)

解：原式=

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)1—4.

1.(1),(2),(3),(4)2-.

2..

3.

4.~2,

作業(yè)

已知0<B,<a<,cos(-a)=,sin(+B)=，求sin(a+B)的值.

解：<a<,<-a<0,sin(-a)==.

又0<B<,<JI,cos(+8)==.

sin(a+p)=-cos(+a+0)=-cos[(+3)-(-a)]

=-cos(+P)cos(-a)-sin(+P)sin(-a)

=-()XX()=.

課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，有哪些收獲與提高，在公式推導(dǎo)

中你悟出了什么樣的數(shù)學(xué)思想？對(duì)于這六個(gè)公式應(yīng)如何對(duì)比記憶？其中正切公式的應(yīng)用有

什么條件限制？怎樣用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明.

2.教師畫龍點(diǎn)睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)，

明白從已知推得未知，理解數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想一一轉(zhuǎn)化思想,并要正確熟練地運(yùn)用公式

解題.在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，一個(gè)題目能給出多種解法，從中比較

最佳解決問題的途徑，以達(dá)到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想

方法之目的.

設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，是在兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此本教案的設(shè)

計(jì)流程是“提出問題f轉(zhuǎn)化推導(dǎo)f分析記憶f應(yīng)用訓(xùn)練”.它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生

為主體，進(jìn)行主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程.同時(shí)充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)

生利用舊知識(shí)推導(dǎo)證明新知識(shí)，并學(xué)會(huì)記憶公式的方法，靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問題，從而

使學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想一一轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)他們主動(dòng)利用轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)探索

解決數(shù)學(xué)問題的能力.

2.縱觀本教案的設(shè)計(jì)，知識(shí)點(diǎn)集中，容量較大，重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)證明、記憶以及簡(jiǎn)單的應(yīng)

用等，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻理解公式的推導(dǎo)、證明方法，熟練應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單的

問題.同時(shí)教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo)、獲取新知的方法，讓他們真正體驗(yàn)到自己發(fā)現(xiàn)探

索數(shù)學(xué)知識(shí)的喜悅和成功感.

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路L(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的六個(gè)公式，并回憶公式的來龍去脈，

然后讓一個(gè)學(xué)生把公式默寫在黑板上或打出幻燈.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧比較各公式的結(jié)構(gòu)特征,

說出它們的區(qū)別和聯(lián)系，以及公式的正用、逆用及變形用，以利于對(duì)公式的深刻理解.這節(jié)

課我們將進(jìn)一步探究兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活應(yīng)用.

思路2.(問題導(dǎo)入)教師可打出幻燈，出示一組練習(xí)題讓學(xué)生先根據(jù)上節(jié)課所學(xué)的

公式進(jìn)行解答.

1.化簡(jiǎn)下列各式

(l)cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB;

(2);

(3)

2.證明下列各式

(1)

(2)tan(a+B)tan(a-B)(l-tan2tan2B)=tan2a-tan2B;

(3)

答案：1.⑴cosa;(2)0;(3)1.

2.證明略.

教師根據(jù)學(xué)生的解答情況進(jìn)行一一點(diǎn)撥，并對(duì)上節(jié)課所學(xué)的六個(gè)公式進(jìn)行回顧復(fù)習(xí)，由此展

開新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

①請(qǐng)同學(xué)們回憶這一段時(shí)間我們一起所學(xué)的和、差角公式.

②請(qǐng)同學(xué)們回顧兩角和與差公式的區(qū)別與聯(lián)系，可從推導(dǎo)體系中思考.

活動(dòng)：待學(xué)生稍做回顧后，教師打出幻燈，出示和與差角公式，讓學(xué)生進(jìn)一步在直

觀上發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的區(qū)別與聯(lián)系，理解公式的推導(dǎo)充分發(fā)揮了向量的工具作用，更要體會(huì)由

特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，當(dāng)a、B中有一個(gè)角為90°時(shí)，公式就變

成誘導(dǎo)公式，所以前面所學(xué)的誘導(dǎo)公式其實(shí)是兩角和與差公式的特例.在應(yīng)用公式時(shí)，還要

注意角的相對(duì)性，如a=(a+B)-B,等.讓學(xué)生在整個(gè)的數(shù)學(xué)體系中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)

學(xué)方法，更重要的是學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題的方法，以及善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣，提

高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

sin(a±P)=sinacosB±cosasinB(S<oie))；

cos(a±B)=cosacos0sinasinP(C(a+p));

tan(a±p)=(T<°±R>).

討論結(jié)果：略.

應(yīng)用示例

思路1

例1利用和差角公式計(jì)算下列各式的值.

(1)sin72-COS42--cos72°sin42°;

(2)cos20°cos700-sin20°sin70°;

(3)

活動(dòng)：本例實(shí)際上是公式的逆用，主要用來熟悉公式，可由學(xué)生自己完成.對(duì)部分

學(xué)生，教師點(diǎn)撥學(xué)生細(xì)心觀察題中式子的形式有何特點(diǎn)，再對(duì)比公式右邊，馬上發(fā)現(xiàn)(1)

同公式的右邊，(2)同公式CWQ右邊形式一致，學(xué)生自然想到公式的逆用，從而化

成特殊角的三角函數(shù)，并求得結(jié)果.再看(3)式與T“如右邊形式相近，但需要進(jìn)行一定的

變形.又因?yàn)閠an45°=1,原式化為，再逆用公式?、蕛?nèi)即可解得.

解：(1)由公式S(…)得

原式=sin(72°-42°)=sin30°=.

(2)由公式Q-+C得

原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.

(3)由公式T—c得

原式==tan(45°+15°)=tan600=.

點(diǎn)評(píng)：本例體現(xiàn)了對(duì)公式的全面理解，要求學(xué)生能夠從正、反兩個(gè)角度使用公式.

與正用相比，反用表現(xiàn)的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識(shí)，對(duì)思維的靈

活性要求也高，而且對(duì)公式要有更全面深刻的理解.

變式訓(xùn)練

1.化簡(jiǎn)求值：

(1)cos44°sinl4°-sin44°cosl4";

(2)sinl4°cosl60+sin76°cos74°;

(3)sin(540-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(360+x).

解：(1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.

(2)原式=sinl4°cosl6°+cosl40sinl6°=sin(14°+16°)=sin30°=.

(3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.

2.計(jì)算

解：原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.

例2已知函數(shù)f(x)=sin(x+9)+cos(x-9)的定義域?yàn)镽,設(shè)0d[0,2n],若f(x)為偶函數(shù),

求0的值.

活動(dòng):本例是一道各地常用的、基礎(chǔ)性較強(qiáng)的綜合性統(tǒng)考題,其難度較小，只需利用

偶函數(shù)的定義,加上本節(jié)學(xué)到的兩角和與差的三角公式展開即可，但不容易得到滿分.教師可

先讓學(xué)生自己探究,獨(dú)立完成,然后教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

解：(x)為偶函數(shù),(x),

即sin(-x+0)+cos(-X-9)=sin(x+0)+cos(x-0),

即一sinxcos0+cosxsin0+cosxcos0-sinxsin0

=sinxcos6+cosxsin9+cosxcos0+sinxsin9.

.".sinxcos0+sinxsin9=0.

.'.sinx(sin0+cos0)=0對(duì)任意x都成立.

sin(0+)-0,BPsin(9+)=0.

0+=kn(k€Z).0=kJi—(kEZ).

又0G[0,2n),0=或0=.

點(diǎn)評(píng):本例學(xué)生可能會(huì)根據(jù)偶函數(shù)的定義利用特殊值來求解.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意，

如果將本例變?yōu)檫x擇或填空,可利用特殊值快速解題，作為解答題利用特殊值是不嚴(yán)密的，以

此訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力.

變式訓(xùn)練

已知：<3<a<,cos(a-g)=,sin(a+B)=，求cos2B的值.

解：</<3<a<,

/.0<a-0<,n<a+g<.

XVcos(a-g)=,sin(a+0)=,

sin(a-p)=,cos(a+P)=.

cos2P=cosL(a+p)-(a-p)]

=cos(a+B)cos(a-{3)+sin(a+0)sin(a-p)

=X+()X=.

例3求證：cosa+sina=2sin(+a).

活動(dòng)：本題雖小但其意義很大,從形式上就可看出來,左邊是兩個(gè)函數(shù),而右邊是一

個(gè)函數(shù),教師引導(dǎo)學(xué)生給予足夠的重視.對(duì)于此題的證明，學(xué)生首先想到的證法就是把等式右

邊利用公式Sgg展開，化簡(jiǎn)整理即可得到左邊此為證法，這是很自然的，教師要給予鼓勵(lì).

同時(shí)教師可以有目的的引導(dǎo)學(xué)生把等式左邊轉(zhuǎn)化為公式Sv的右邊的形式，然后逆用公式

化簡(jiǎn)即可求得等式右邊的式子，這種證明方法不僅僅是方法的變化，更重要的是把兩個(gè)三角

函數(shù)化為一個(gè)三角函數(shù).

證明：方法一：右邊=2(sincosa+cossina)=2(cosa+sina)

=cosa+sina=左邊.

方法二：左邊=2(cosa+sina)=2(sincosa+cossina)

=2sin(+a)=右邊.

點(diǎn)評(píng)：本題給出了兩種證法，方法一是正用公式的典例，而方法二則是逆用公式證

明的，此法也給了我們一種重要的轉(zhuǎn)化方法，要求學(xué)生熟練掌握其精神實(shí)質(zhì).本例的方法二

將左邊的系數(shù)1與分別變?yōu)榱伺c，即輔助角的正、余弦.關(guān)于形如asinx+bcosx(a,b

不同時(shí)為零)的式子，引入輔助角變形為Asin(x+0)的形式，其基本想法是“從右向左”用

和角的正弦公式，把它化成Asin(x+或)的形式.一般情況下,如果a=os*b=Asin想那么

asinx+bcosx=A(sinxcos+cosxsin6)=Asin(x+).由sin'6+cos，@=1,可得

A"=a2+b\A=±,不妨取A=,于是得至!!cos<t>=,sin6=,從而得至!Jtan4>=,因止匕asinx+bcosx=

sin(x+。)，通過引入輔助角巾，可以將asinx+bcosx這種形式的三角函數(shù)式化為一個(gè)角的

一個(gè)三角函數(shù)的形式.化為這種形式可解決asinx+bcosx的許多問題，比如值域、最值、周

期、單調(diào)區(qū)間等.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意，這種引入輔助角的變換思想很重要，即把兩個(gè)三角

函數(shù)化為一個(gè)三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)上是消元思想，這樣就可以根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研究

它的性質(zhì).因此在歷年高考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，是三角部分中高考的熱點(diǎn),再結(jié)合續(xù)內(nèi)

容的倍角公式,在解答高考物理試題時(shí)也常常被使用，應(yīng)讓學(xué)生領(lǐng)悟其實(shí)質(zhì)并熟練的掌握它.

變式訓(xùn)練

化簡(jiǎn)下列各式：

(1)sinx+cosx;

(2)cosx-6sinx.

解：(1)原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)

=2sin(x+).

(2)原式=2(cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)

=2sin(-x).

例4(1)已知a+0=45°，求(1+tana)(1+tanB)的值；

(2)已知sin(a+B)=,sin(a-B)=,求

活動(dòng)：對(duì)于(1)，教師可與學(xué)生一起觀察條件，分析題意可知，a+B是特殊角，

可以利用兩角和的正切公式得tana,tanB的關(guān)系式，從而發(fā)現(xiàn)所求式子的解題思路.在(2)

中，我們欲求若利用已知條件直接求tana,tanB的值是有一定的困難，但細(xì)心觀察公式

S(?.p),Sg-c發(fā)現(xiàn),它們都含有sinacosB和cosasin6,而化切為弦正是,由此找到

解題思路.教學(xué)中盡可能的讓學(xué)生自己探究解決，教師不要及早地給以提示或解答.

解：⑴：a+B=45°,...tan(a+B)=tan45°=1.

又Vtan(a+8)=

tana+tanB=tan(a+p)(1-tanatanB),

即tana+tan3=1-tanatanB.

，原式=l+tana+tanB+tanatanB=1+(1-tanatan3)+tanatanB=2.

(2)Vsin(a+g)=,sin(a-p)=,

.".sinacos6+cosasin6

①

sinacosB-cosacosB

②

①+②得sinacosB=,

①-②得cosasinB二，

點(diǎn)評(píng)：本題都是公式的變形應(yīng)用，像(1)中當(dāng)出現(xiàn)a+B為特殊角時(shí)，就可以逆用兩

角和的正切公式變形tana+tanB=tan(a+0)(1-tanatanB),對(duì)于我們解題很有用處，而

(2)中化切為弦的求法更是巧妙，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握其解法.

變式訓(xùn)練

L求(1+tanl。)(l+tan2°)(l+tan30)-(l+tan44°)(l+tan45°)的值.

解：原式二[(l+tanl°)(l+tan44°)][(l+tan2°)(l+tan43°)]?,?[(l+tan22°)(l+tan23°)]

(l+tan45°)=2X2X2X-X2=223.

2.計(jì)算：tanl5°+tan30°+tanl50tan300.

解：原式二tan450(l-tanl5°tan30°)+tanl5°tan30°=1.

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)5—7.

解答：

5.解：(1)原式二sin90°=1.

(2)原式二cos60°=.

(3)原式二tan45。=1.

(4)原式二一sin60°=.

(5)原式二-cos60°=.

(6)原式二sin20°(-cos70°)+(-cos20°)sin70°

="(sin20°cos700+cos20°sin70°)=-sin90°=-l.

6.(1)原式二sincosx-cossinx=sin(-x).

(2)原式二2(sinx+cosx)=2sin(x+).

(3)原式=2(sinx-cosx)=2sin(x-).

(4)原式二2(cosx-sinx)二2sin(-x).

點(diǎn)評(píng)：將asinx+bcosx轉(zhuǎn)化為Asin(x+6)或Acos(x+6)的形式，關(guān)鍵在于“湊"

和(或差)角公式.

7.解:由sin(a-6)cosa-cos(P-a)sina=，可得

sin(a-p)cosa-cos(a-0)sina=sin(a-0-a)=-sinB-,

???sinB二.又B是第三象限角，

cosP=..*.sin(B+)=sinBcos+cosBsin=.

作業(yè)

已知一元二次方程ax'+bx+c=O(acWO)的兩個(gè)根為tana、tanB,求tan(a+B)的值.

解：由韋達(dá)定理得：tana+tanB=,tanatan6=,

?*.tan(a+B.

課堂小結(jié)

L先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？我們學(xué)習(xí)了哪些重要的解題方法？通過本節(jié)的

學(xué)習(xí)，我們?cè)谶\(yùn)用和角與差角公式時(shí)，應(yīng)注意什么？如何靈活運(yùn)用公式解答有關(guān)的三角函數(shù)

式的化簡(jiǎn)、求值、恒等證明等問題.

2.教師畫龍點(diǎn)睛：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要熟練掌握運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

解決三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、恒等證明等問題,靈活進(jìn)行角的變換和公式的正用、逆用、

變