高中數(shù)學競賽第59講概率1教案

第19講概率(一)

概率的一些術(shù)語及基本知識.

1.基本事件：一次試驗(例如擲骰子)，可能有多種結(jié)果，每個結(jié)果稱為基本事件.

2.樣本空間：基本事件的集合，稱為樣本空間，也就是基本事件的總體.本講記為I.

3.隨機事件：樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件.

4.必然事件：在試驗中必然發(fā)生的事件，即樣本空間I自身.它的概率為1,即PQ)=1.

5.不可能事件：不可能發(fā)生的事件，即空集。.它發(fā)生的概率為0,即P(0)=O.

6.互斥事件：事件A、B不能同時發(fā)生，即AAB=0,則稱A、B為互斥事件，也稱為互不相容

的事件.(也稱互不相容的事件)

7.和事件：AUB稱為事件A與B的和事件.

8.積事件：ACB稱為事件A與B的積事件，也簡記為AB.

9.概率：概率是樣本空間I中的一種測度，即對每一個事件A,有一個實數(shù)與它對應，記為

P(A),具有以下三條性質(zhì)：

(1)P(A)》()(非負性);

⑵P⑴=1;

(3)在A、B為互斥事件時,P(AUB)=P(A)+P(B)(可加性).

10.頻率：在同樣的條件下進行n次試驗，如果事件A發(fā)生m次，那么就說A發(fā)生的頻率為2

n

11.古典概型：如果試驗有n種可能的結(jié)果，并且每一種結(jié)果發(fā)生的可能性都相等，那么這種

試驗稱為古典概型，也稱為等可能概型，其中每種結(jié)果發(fā)生的概率都等于土

n

12.對立事件：如果事件A、B滿足AAB==0,AUB=I,那么A、B稱為對立事件，并將B記

為可.我們有一個常用公式P(W)=1-P(A).

13.條件概率：在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)牛的概率稱為條件概率，

記為P(BIA).我們有P(AB)=P(A)P(BIA).即P(BIA)=下澇

注意P(B|A),P(B),P(A1B)的不同.P(B)是事件B上發(fā)生的概率(沒有條件)；P(BIA)是A

已經(jīng)發(fā)生的條件下，B發(fā)生的概率；P(AIB)是B已經(jīng)發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率.

14.獨立事件：如果事件A是否發(fā)生，對于事件B的發(fā)生沒有影響，即P(B1A)=P(B).那么稱

A、B為獨立事件.易知這時P(AB)=P(A)P(B),

并且P(A|B)=P(A),即B是否發(fā)生，對于A的發(fā)生沒有影響.所以事件A、B是互相獨立的.

15.全概率公式:如果樣本空間I可以分拆為B”B”…,B“，即BlUB2U-UB?=I并且BiUBj=0(1

Wi<jWn)那么事件A發(fā)牛的概率P(A)=§P(A|8,)P(B,)

1=1

A類例題

例1(2004年重慶理工卷)某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3

位，二

班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰好

被排在一起

(指演講序號相連)，而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為()

分析排列組合問題，往往以實際問題面目出現(xiàn)，它解法靈活，而排列組合又是概率的基本知

識，如等可能性事件中有一類概率問題，它常與排列組合知識緊密聯(lián)系，本題既考查了解排

列組合問題的“捆綁法”，又考查了“插空法”，分別計算出帶條件與不帶條件限制的排法總

數(shù)，再按照概率的意義求出概率即可.

解將一班3位同學視為一個整體，將這一整體與其他班的5位同學進行全排列,共有A；種

方法，并且他們之間共留下了7個空隙，將余下的二班的2位同學分別插入,共有種方法，

故一班有3位同學恰好被排在一起，而二班的2位同學沒有排在一起排法總數(shù)為A1

故所求的概率為用勺I【答案】B

線20

例2(2004年全國卷)某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題.競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、

二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分.假設這名同學答對第一、二、三個

問題的概率分別為0.8、0.7、0.6,且各題答對與否相互之間沒有影響.

(1)求這名同學得300分的概率；

(2)求這名同學至少得300分的概率.

分析本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件有一個發(fā)生的概率的計算方

法，應

用概率知識解決實際問題的能力.解題突破口：(1)這名同學得300分的概率必是第1、2題

一對一錯,這

樣得100分,而第3小題一定答對,所以共得到300分.(2)至少300分意思是得300分或400

分.故兩種概率

相加即可.

解記“這名同學答對第，個問題”為事件=1,2,3)，則

P(AJ=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.

(1)這名同學得300分的概率：PFP(A,A^A:i)+P(%A2A3)

=P(Ai)P(無)P(A3)+P(I)P(A2)P(A3)

=0.8X0.3X0.6+0.2X0.7X0.6=0.228.

(2)這名同學至少得300分的概率：

P2=Pi+P(A1A2A3)=0.228+P(Ai)P(Az)P(A3)

=0.228+0.8X0.7X0.6=0.564.

情景再現(xiàn)

1.(2003年全國高考上海卷)某國際科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中

國人組成.現(xiàn)從中隨機選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為

(結(jié)果用分數(shù)表示)

2.(1)一圓周上均勻分布著1996個點，從中均等地選出A、B、C、D四個不同的點，則弦AB

與CD相交的概率是()

2

3'

(2)記號為1,2,3的三個球放在一個缸子中.將一個球從缸子中取出，把它的號碼記下來，然

后再將它放回到缸子里.這個過程重復三次.每個球在每次過程中被抽出的機會是等可能的.

如果記錄的數(shù)碼之和為6,那么其中記號為2的球三次全被抽出的概率為()

11八1

AA、.BD、.C、.Dn、

2787

6

B類例題

例3(2003年江蘇卷)有三種產(chǎn)品,合格率分別是0.90,0.95和0.95,各抽取一件進行檢驗.

(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有兩件不合格的概率.(精確到0.001)

分析本題要主考查相互獨立事件概率的計算，運用數(shù)學知識解決問題的能力，正確利用相

互獨立事件、互斥事件、獨立事件重復發(fā)生概率的計算公式解決此類問題.

解設三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C.

(1)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,P(A)=0.10,P(B)=P(C)=0.05.

因為事件A,B,C相互獨立，恰有一件不合格的概率為

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=尸(A)?P(B)-P(C)+P(A)-P(B)-P(C)+P(A)-P(8)?P(C)

=2x0.90x0.95x0.05+0.10x0.95x0.95=0.176

答：恰有一件不合格的概率為0.176.

(2)解法一：至少有兩件不合格的概率為

P(ABC)+P(A-BC)+P(AB-C)+P(AB-C)

=0.90x0.052+2x0.10x0.05x0.95+0.10x0.052=0.012

解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為

P(ABC)=P(A)-P(B)?P(C)=0.90x0.952=0.812

由(I)知，恰有一件不合格的概率為0.176,所以至有兩件不合格的概率為

1-[P(AB-Q+0.176]=1-(0.812+0.176)=0.012.

答：至少有兩件不合的概率為0.012.

例3.(2004年全國高考湖南卷)甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，己知甲機

床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為,，乙機床加工的零件是一

4

等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為-1-,甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的

12

2

概率為一.

9

(1)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；

(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.

分析本題考查相互獨立事件、互斥事件概率的計算及分析和解決實際問題的能力.這是一

個逆向思考題，還是以正向思維解決為佳.可先設甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品

的概率，再由題意列出方程組并解之可解決此類問題.

解(1)設A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件.

-1P(A).(1-P(8))=9，

P(A-6)=T，①

44

一iP(B).(1—P(C))=J

由題設條件有.p(BC)=—,即

12②

「(AC)=￡.P(A)P(C)q

③

由①、③得p(B)=l-2p(C)代入②得27[P(C)『一51P(C)+22=0.

解得產(chǎn)。)=2或口(舍去)?

39

將P?=|分別代入③、②可得P(A)J,P(8)=；.

即甲、乙、丙三臺機床各加工的零件是一等品的概率分別是2

3,4,3,

(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件，

——2315

則P(D)=l-P(D)=l-(l-P(A))(l-P(B))(l-P(C))=l-----=-.

3436

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為2

6,

說明這類問題直接求概率較為困難,若用待求概率去表示已知概率,就得到了待求概率的方

程,使概率問題成為方程問題,從而問題迎刃而解.

例5拋挪一枚硬幣，每次正面出現(xiàn)得1分，反面出現(xiàn)得2分，試證:恰好得到n分的概率是

分析數(shù)列與概率的交匯題需要綜合使用數(shù)列與概率中的主干知識，特別是概率中探索的P?

與P.T關(guān)系的思路，以及由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式的方法和手段都給我們留下了極

其深刻的印象.

解設恰好得到n分的概率為P“，則得到n-1分的概率為P-,得到n-2分的概率為P?-2.

要得n分，必須滿足以下情形:先得n-l分，再擲一次正面，此時概率為或為先得n

一2分，再擲一次反面，此時概率為±P,因為這兩種情況是互斥的，

2

￡=-

12

11?

故有么+]匕由題意而?/P“T=-匕一)

￡「+；心

g)"累加可得￡=][2+,萬)].

即2-與，=(-f7(8_pi)=—L-J-=(-

例6(2005年全國高考江蘇卷)甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是2士和3士假設

34

兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響.

(1)求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；

(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；

(3)假設某人連續(xù)2次本市中目標,則停止射擊.問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率

是多少？

分析本題是一道概率綜合運用問題，第一問中求“至少有一次末擊中問題”可從反面求其概

率問題；第二問中先求出甲恰有兩次末擊中目標的概率，乙恰有3次末擊中目標的概

率，再利用獨立事件發(fā)生的概率公式求解.第三問設出相關(guān)事件，利用獨立事件發(fā)生

的概率公式求解，并注意利用對立、互斥事件發(fā)生的概率公式.

解(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有一次末中目標”為事件A?由題意知，射擊4次，相當于

作4次獨立重復試驗，

故P(A)=1-&4)=1一(不)4=霽.

3o1

答：甲連續(xù)射擊4次至少有一次末中目標的概率為：—.

81

(2)記“甲射擊4次，恰有2次射中目標”為事件A”“乙射擊4次，恰有3次射中目標”

為事件B2.

則

P(4)=C：?(m2.(1_1)2=,

QQ77

3

P(B2)=Ct(z).(l--)'=-

Q271

由于甲乙射擊相互獨立，故P(A2B2)=P(4)P(B2)=—X—=~.

答：兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標且乙恰有3次擊中目標的概率為

8

(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件As“乙第i次射擊末中”為

事件Di(1=1,2,3,4,5),則人：尸。5.。4.仄?可6，且P(0)=；由于各事件相互獨立，

故

------1131145

尸(4)=尸(。5)尸(2)尸(2)尸(22)二/丁/(1-//=而立

IIIIIJ.VZX*I

答：乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為4士5

1024

情景再現(xiàn)

3.棱長為1的正四面體A-BCD,有一小蟲從頂點A處開始按以下規(guī)則爬行:在每一頂點處以

同樣的概率選擇通過這個頂點的3條棱之一，并一直爬到這條棱的盡頭.記小蟲爬了n米后

重新回到點A的概率為P”

(1)求R和P2的值；

(2)探尋P0與P—的關(guān)系；

(3)求P”的表達式.

4.一個數(shù)由7個數(shù)字組成.這7個數(shù)字的和為59.求這個數(shù)被11整除的概率.

C類例題

例7在給定的圓周上隨機地選六個點A,B,C,D,E,F.求AABC與ADEF的邊(線段)互不相

交的概率.

解在6個點中取3個點作為AABC的頂點，有cg=20種方法.其中3個點相鄰的方法有以=6

種(第一個點選定后，另兩個依順時針次序緊隨它的點也就唯一確定)，而這樣得到的AABC與

余下三點組成的4DEF的邊互不相交.所求概率端磊.

例8給定三只相同的有n個面的骰子.它們的對應面上標上同樣的任意寫的整數(shù).證明如果

隨意投擲它們，那么向上的三個面上的數(shù)的和被3整除的概率不小于5

解不妨設每個面上的數(shù)是0,1,2(將每個數(shù)換成它除以3后所得的余數(shù)).

又設每個骰子上0有a個，1有b個，2有c個.這里0Wa,b,cWn

并且a+b+c=n

隨機擲3只骰子，總可能有一種.其中和被3整除的有以下情況：

0,0,0；0,1,2；1,1,1；2,2,2.

共/+6'+/+6abe種.概率為a"

:3

a+b+c+6abc^￡^4(a^+b>+c^6abc)、(a+b+c).

n4

Ua3+b3+c3+6abc^aJb+a2c+bJa+b2c+cJa+c2b.

不妨設a，b》c則a3+b3+2abc—(a-b+a2c+b2a+bJc)

=a2(a-b)—b”(a—b)—ac(a—b)+bc(a-b)

=(a—b)(a2—b2-ac+bc)

=(a—b)'(a+b—c)20

c3+abc—c2a—c2b=c(a—c)(b—c)^0

兩式相加即得結(jié)論

情景再現(xiàn)

5.有人玩擲硬幣走跳棋游戲，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是,，棋盤上標有第0站，第

2

1站，第2站，…，第100站，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前或向后跳.若

擲出正面，棋子向前跳動一站；若擲出的反面，則棋子向前跳動兩站，直到棋子跳到第99站

(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時，游戲結(jié)束，設棋子跳到第n站的概率為P?

(I)求P。,PbP2;

(II)求證：Pn—P“T=1(P—-P『2)；

2

(III)求Ps?及PlOO.

6.三名棋手A,B,C進行循環(huán)賽.先是A同B比賽，勝者再與C比賽，新的勝者再與上次比

賽的敗者比賽.如此繼續(xù)下去，直至有一名選手連勝兩次.這名選手就是冠軍.

(1)如果三人棋力相當，問各人得冠軍的概率各是多少？

(2)如果第一盤A勝，那么三人分獲冠軍的概率是多少？

鏈接蒙蒂?霍爾問題

上個世紀90年代，美國有一個廣為流傳的“蒙蒂?霍爾(MontyHall)”問題，后來傳播到了世界各地.

人都能看得懂它，解決它也不需要什么高深的數(shù)學知識，令人感到有意思的是，這樣一個簡單的數(shù)學問題卻曾

很多人陷入尷尬的境地，其中竟然包括一些知名的數(shù)學家.

1蒙蒂?霍爾問題的由來

1991年9月，自稱是世界上最聰明的美國女人沙溫特(MarilynvosSavant)收到一封來信，信中提出

樣一個問題：

假設你正在參加一項游戲節(jié)目.在你面前有三扇門，一扇門后面是豐厚的獎金一一比如說是一輛小轎車，

兩扇門后面則是安慰獎一一比方說一只山羊，不值多少錢.你當然希望得到小汽車，可是你并不知道小汽車在

扇門的后面.主持人先讓你從三扇門中選擇一扇，在打開你選擇的那扇門之前，他先打開另一扇藏有山羊的門.

總是可以辦到的，因為你面前的三扇門中有兩扇門的后面是山羊，所以無論你選擇哪一扇門，主持人總可以牽

一只山羊.現(xiàn)在再給你一次機會：你可以堅持原來的選擇，也可以改變主意換到另一扇未打開的門.這時你怎

做呢？

這就是蒙蒂?霍爾問題.

蒙蒂?霍爾問題與美國70年代非常流行的一檔電視節(jié)目“公平交易"(Let'sMakeaDeal)有關(guān)，節(jié)目

持人是蒙蒂?霍爾(Montyhall),他經(jīng)常耍一些戲法難為嘉賓.其中一個游戲的規(guī)則是這樣的：幾對夫婦共

參加一項比賽，比賽最后只留下一對夫婦，而獎品則放在三扇門中的一扇后面，他們能否獲得獎品，就要看他

能否選擇到有獎品的門.和上面讀者提出的問題情境一樣，主持人給嘉賓兩次選擇機會.他們或者堅持最初的

擇，或者改變主意換到另一扇門，問題是采取哪種策略獲得獎品的概率最大？顯然，前面提出的問題就是蒙蒂?

爾這個戲法的翻版.為了表示對這位著名游戲節(jié)目主持人的尊重，后來人們就用他的名字命名了這個問題.

沙溫特看到這個問題后，認為應該改變主意換到另一扇門.隨后，她把這個問題刊登在她的《行列》(Parad

專欄上，令她意想不到的是，問題登出去之后，竟然引起了軒然大波.讀者的來信似雪片般地飛來.來信者中

數(shù)都不贊同沙溫特的觀點，他們認為堅持原來的選擇和改變主意換到另一扇門，獲得小汽車的概率是一樣的.

些人中不乏有知名的數(shù)學家.這些數(shù)學家給沙溫特發(fā)來一些措辭尖刻的信.

其中一位數(shù)學家后來一定感到極為尷尬，他寫道：“你別胡說八道了，讓我解釋一下吧：如果打開的門后

一只山羊，那么這個信息使余下任何一個選擇的概率都變?yōu)楣?作為一名職業(yè)數(shù)學家，我對公眾缺乏數(shù)學能

2

的狀況是十分關(guān)心的.拜托你承認錯誤吧！以后要加倍小心.”盡管教授對大眾數(shù)學能力的關(guān)注是合理的，然

換一扇門確實是最好的選擇.

眾多的反對聲音讓沙溫特想到用試驗的方法向那些不相信的人驗證這個策略.她在讀者中找來幾位數(shù)學教

和她一起做試驗，還有一些讀者自愿用計算機模擬試驗，經(jīng)過很長一段時間的試驗和辯論后，這個策略才逐:

被人們認可.

2蒙蒂?霍爾問題解決策略的分析

為什么會有一些數(shù)學家在這個問題上出現(xiàn)了失誤呢？仔細分析不難發(fā)現(xiàn)，原因在于這些數(shù)學家都沒能理解

持人展示山羊其實提供了重要的信息.也許理解這個策略最容易的方式是要注意你最初選擇到小汽車的概率

即使在主持人向你打開一扇有山羊的門后，這個概率也不會變，因此另一扇未打開的門后是小汽車的概率

3

是2.這樣改變選擇將使你中獎的概率增加一倍.

3

如果你還不能理解的話，我們可以做更具體的解釋.首先把門編上號，1號門，2號門和3號門.不妨假

你最初選的是3號門，主持人打開一扇有山羊的門后，如果你仍舊堅持原來的選擇，只有一種情況你能獲得小

車，即3號門后是小汽車.而如果你改變主意，轉(zhuǎn)移到另一扇門，那么只要小汽車不在3號門后，你就會獲多

即有兩種情況你會獲獎，2號門或1號門后是小汽車.由此，改變選擇會使獲得小汽車的概率大一倍.

一些人發(fā)現(xiàn)如果將問題稍作改動，理解這個策略就更容易了，假設不是三扇門而是1000000扇門供你選至

在你選定一扇門之后，主持人打開余下的臧有山羊的999998扇門.這樣問題就變得很清楚了，改變主意確實

最好的策略，畢竟，你最初選擇獲得小汽車的概率是一百萬分之一.現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)或者你極幸運，在幾乎是天文

字中選中了小汽車，或者小汽車在剩下的那扇未打開的門的后面.

你還可以像沙溫特那樣和你的朋友做試驗驗證.準備三張紙條，在兩張紙條上面寫山羊，另一張紙條寫上

汽車.讓你的朋友隨機抽一張，先不要打開這張紙條.你先從余下的兩張紙條中拿走一張寫有山羊的紙條.問

的朋友是堅持原來的選擇，還是改變主意.記下試驗的總次數(shù)，選擇不變的次數(shù)及選擇不變獲得小轎車的次婁

同時記下改變選擇的次數(shù)和改變選擇后獲得小轎車的次數(shù).你發(fā)現(xiàn)了什么？當試驗做到十幾次時，改變選擇的

勢可能就體現(xiàn)出來了.

3蒙蒂，霍爾問題的推廣

隨著蒙蒂?霍爾問題的廣泛流傳，一些數(shù)學家又在此問題基礎上，引申出了一些新的蒙蒂?霍爾問題.下

選擇其中的兩例：

美國北達克他州大學統(tǒng)計系的婆什迦羅?勞(M.BhaskaraRao)對蒙蒂?霍爾問題的推廣很有啟發(fā)意義.

于三扇門的蒙蒂?霍爾問題，嘉賓有兩次選擇，婆什加邏?勞考慮當給更多次的選擇機會時情形會怎樣呢？

假設有四扇門，其中一扇門后面有巨額獎金，嘉賓先隨機選擇一扇，主持人在余下的三扇門中打開一扇沒

獎金的門.此時，還有三扇門，給你第二次機會，你可以堅持原來的選擇，也可改變主意，從另兩扇未打開的

中選擇一扇.不管你怎樣選擇，主持人總可以從你未選擇的兩扇門中，再打開一扇沒有獎金的門.現(xiàn)在還剩兩

門，最后再給你一次機會，你可以堅持第二次選擇，也可以改變主意換到另一扇門.每一次你怎么做呢？”

在這個問題中，嘉賓每選擇一扇門后，主持人就會從余下的門中打開一扇沒有獎金的門，之后再給嘉賓

擇機會，…直至剩下兩扇門，給嘉賓最后一次選擇機會.所以嘉賓選擇的次數(shù)是門的數(shù)目減一.對于四扇門，

賓就有三次選擇機會，那么嘉賓可以采取哪些策略呢？再有，哪種策略獲得獎金的概率最大呢？下表列出了可

嘉賓選擇

一一

第一次第二次第三次概率

第一種策略選擇不變不變0.25

第二種策略選擇改變不變0.375

第三種策略選擇不變改變0.75

第四種策略選擇改變改變0.625

或許有人認為，按照蒙蒂?霍爾問題的解決策略，在第二次和第三次選擇中都應該改變主意換到另一扇門.

而，從上表我們看到，這個問題的最佳策略卻是在第二次堅持原來的選擇而在第三次改變選擇換到另一扇門.

決蒙蒂罐爾問題，只要有很好的概率直覺就可以了.然而對于這個推廣的問題，光靠概率直覺可能就不夠用了.

是如果你學過一些簡單的概率知識，計算每種策略獲得獎金的概率也不是什么難事.下面我們來詳細分析每種

略獲得獎金的概率：

設八="第一次選擇到有獎金的門”，A="第一次選擇的是沒有獎金的門”

B=”第二次選擇到有獎金的門”，尾="第二次選擇的是沒有獎金的門”

第一種策略：只要第一次選擇的是有獎金的門，第一種策略就會獲得獎金.所以第一種策略獲得獎金的概

為P（A）=,，即0.25.

4

第二種策略：只要第一次選擇的是沒有獎金的門，而第二次選擇的是有獎金的門，第二種策略就會獲得獎4

所以第二種策略獲得獎金的概率為

P（AB）=P（A）P（BM）=-xl=-=0.375.

428

第三種策略：只要第一次選擇的是沒有獎金的門，第三種策略就會獲得獎金，所以第三種策略獲得獎金的

_a

率為P（A）=2=0.75.

4

第四種策略：第四種策略要復雜些，這種策略獲得獎金可分為兩種情況，第一種情況是第一次選擇的是沒

獎金的門，而第二次選擇的還是沒有獎金的門，此種情況下獲得獎金的概率為p（KZ）=p（入）p（z1X）=3X

4

=3,第二種情況是第一次選擇的是有獎金的門，而第二次選擇的是沒有獎金的門，此種情況下概率為P（AZ

8

=P（A）P（否|A）=-Xl=l.所以第四種策略獲得獎金的概率為3+,=2=0.625.

44848

事實上，在多次選擇機會的蒙蒂?霍爾問題中，采取的最佳策略是在最后選擇一步前，都要堅持原來的

擇.

數(shù)學家基斯?第伯林（KeithDeblin）也推廣了蒙蒂?霍爾問題：

假設有7扇門，其中有一扇門后面有巨額獎金，嘉賓先隨意選擇其中的三扇，主持人從余下的四扇門中

開三扇沒有獎金的門，現(xiàn)在只剩下四扇，你可以堅持原來的選擇，（若獎金在你選擇的三扇門中，獎金就歸你

有了），或者你改變選擇，只選擇另外的那一扇門，你是堅持原來的還是改變主意換到另一扇門呢？

這個問題要比數(shù)學家婆什迦羅?勞推廣的問題容易些.很顯然，該問題的最佳策略是應該換到另一扇門.

不換，獲得獎金的概率為2.而若轉(zhuǎn)換，獲得獎金的概率就為所以轉(zhuǎn)換要比不換獲得獎金的概率大.

77

習題19

A類題

1.有五條線段，長度分別為1,3,5,7,9,從這五條線段中任取三條，則所得的三條線段不能

拼成三角形的概率是（）

A.203-7「4

B.-C.—D.一

55105

2.若a,b,C是從集合｛1,2,3,4,5｝中任取的三個元素（不一定不同）.則ab+c為偶數(shù)的概率為

059,1n64

A、D、?、?D、?

51252125

3.把編號為1到6的六個小球，平均分到三個不同的盒子內(nèi)，則有一盒全是偶數(shù)號球的概率

為（）

4.有5副不同的手套，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一

只.求下列事件的概率.

（1）A：甲正好取得兩只配對手套.；（2）B：乙正好取得兩只配對手套；（3）A與B是否獨

立？

5.（2005年上海市高中數(shù)學競賽）a、b、c、d、e是從集合｛1,2,3,4,5｝中任取的5個元素

（允許重復），則aOcd+e為奇數(shù)的概率為.

6.（第六屆北京高中數(shù)學知識應用競賽）體育彩票的抽獎是從寫在36個球上的36個號碼隨機

搖出7個.有人統(tǒng)計了過去中特等獎的號碼，聲稱某一號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次數(shù)最多，

它是一個幸運號碼，人們應該買這一號碼，也有人說，若一個號碼在歷次特等獎中出現(xiàn)的次

數(shù)最少，由于每個號碼出現(xiàn)的機會相等，應該買這一號碼，你認為他們的說法對嗎？

B類題

7.7前年全國高考湖南卷）某單位組織4個部門的職工旅游，規(guī)定每個部門只能在韶山、衡

山、張家界3個景區(qū)中任選一個，假設各部門選擇每個景區(qū)是等可能的.

（1）求3個景區(qū)都有部門選擇的概率；

（II）求恰有2個景區(qū)有部門選擇的概率.

8.如果從某個五位數(shù)的集合中隨機地抽出一個數(shù)，它的各位數(shù)字和均等于43,求這個數(shù)可

以被11除盡的概率.

9.有人玩擲骰子移動棋子的游戲，棋盤分為從6兩方，開始時棋子放在1方，根據(jù)下列①、

②、③的規(guī)定移動棋子：①骰子出現(xiàn)1點時，不能移動棋子；②出現(xiàn)2、3、4、5點時，把棋

子移向?qū)Ψ?；③出現(xiàn)6點時，如果棋子在4方就不動，如果棋子在8方就移至4方.

（1）求將骰子連擲2次，棋子擲第一次后仍在A方而擲第二次后在B方的概率.

（2）將骰子擲了〃次后，棋子仍在力方的概率記為已求辦

10.將A,B,C三個字母之一輸入，輸出時為原字母的概率是a,為其他兩個字母之一的概率

1—3

都是二.現(xiàn)將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入，輸入的概率分別為p”p2,p；＞（Pl+p2+p3=l）.發(fā)

現(xiàn)輸出為ABCA.求輸入為AAAA的概率是多少？（假定傳輸每個字母的工作是互相獨立的）.

C類題

11.（2005年全國高中數(shù)學競賽）將編號為1,2,…，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分

點上，每個等分點上各有一個小球.設圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為要S.求使

s達到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合,

則認為是相同的放法）

12.（2004年全國高中數(shù)學競賽）一項“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次,

如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2",則算過關(guān).問:

（I）某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？

（II）他連過前三關(guān)的概率是多少？

(注：骰子是一個在各面上分別有1,2,3,4,5,6點數(shù)的均勻正方體.拋擲骰子落地靜止

后，向上一面的點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù).)

本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：

1.噂，提示：屬于同一個國家的概率為=磊,所求概率為1一忌=用或：所

求概率為11x4+11x5+4x5=119

小帆中介夜190

2.(1)選B.考慮點A、B、C、D的順序即可.因為對任意凸四邊形而言，孔AB、CD恰為兩對

角線時，它們才相交.當A、B為相鄰頂點時，其順序情況有8種;C、D順序有2種；當A、B為

4x?1

相對頂點時，其順序情況有4種;C、D順序有2種;這樣，所求概率為———

4x2+8x23

(2)選C.因為一共有7種抽出情形使小球數(shù)碼的和為6,且它們是等可能的.用下面的三元

有序組來表示即(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)和(2,2,2),所以記

號為2的球三次全被抽中的概率為

7

3.(1)小蟲從點A爬了一米后又回到點A是不可能的，Pi=0,小蟲從點A爬了兩米后又回到點

A,有A-B(或C,或D)fA這3種情況，

概率都是,*'=工，所以H='+L+_1=_1

33929993.

⑵小蟲爬了n米后回到點A,則爬了n-1米后不在點A,概率是1一,此時小蟲從另

三點中的一點回到點的概率是工，故P,=-(l-P,,)

3"3

(3)由題意月=o,又e=g(1—匕,)，故B_；=t

數(shù)列是以為。首項，-工為公比的等比數(shù)列，

I4J44

所以E,=：+[(—；)”?

4.7個數(shù)字的和為59有以下幾種情況：

(1)6個9,1個5；(2)5個9,1個8,1個6；(3)5個9,2個7；(4)4個9,2個8,1個7；

(5)3個9,4個8.共7+7X6+4+7XC：+C%210個.

其中被11整除的，奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差應被11整除.

但奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的和為59,是一個奇數(shù)，

所以上述的差只能為11,而且必須是奇數(shù)位4個數(shù)字之和為35(53Q^+1)1,

偶數(shù)位3個數(shù)字之和為24.奇數(shù)位4個數(shù)字的和為35,只有3個數(shù)字為9,1個數(shù)字為8這

一種情況，共4個.

偶數(shù)位3個數(shù)字的和為24,有(1)3個8；(2)2個9,1個6；⑶1個9,1個8,1個7三種

情況,共1+3+3!=10種.

所以被11整除的數(shù)共4X10=40個.

404

所求概率為赤方.

乙JLU乙JL

5.(I)Po=l,P1=—,Pz=-----1--——?

22224

(II)棋子跳到第n站(2WnW99,必是從第n—1站或第n—2站跳到的)的概率為

pp1

P?=^=L+-!^-,所以P-P?-.=--(Pn-1-P,,^)

22n2

(III)由(H)知數(shù)列｛Pi-Pj是首項為R-P°=—公比為一,的等比數(shù)列，該數(shù)列的前

22

99項和，由PLPO,P2—PI,…，P99—P98相加得，

P的一1=(—1)+(―,)，…+(―L)9\所以

222

?1121

P99=-[l-(-)10°],則P98=P99—(--)"=-[1+(-)"]

32232

即P100=，P98=![1+(—)"].

232

6.先考慮(2),設A,C,B獲勝的概率分別為pi,p2,P3,則顯然有

Pl+P2+P,3=l⑴

(總有一人能得冠軍一無限制地循環(huán)下去的概率為gxgx/x…=0,因為/一0)

A得冠軍有兩種可能：第二盤A勝C,概率為|；第二盤A負于C,概率

為;，而下一盤B勝C(C勝B則C為冠軍，A不為冠軍)，從這盤算起，A成

為B,C,A系列中的第三個人，獲勝概率為P3,.

所以P1=1xP3.(2)

C得冠軍必須A在第二盤負(概率為》，這樣C成為C,B,A系列中的第一個人，

獲勝的概率為必，

所以P2=/pi.(3)

421

由⑴，(2),(3)得pi=y,P2=y,P3亍.

ii耳

在第⑴問中，A、B得冠軍的概率均為嚴―尹3K.

59

C得冠軍的概率為1—

(無論第一盤A,B誰勝C得冠軍的概率都為P2=1)

本節(jié)“習題19”解答:

1.C.提示：能拼成三角形的三條線段僅有357；579；379這三種可能，故所求概率

為一含二擊

2.選B.首先從集合任取三元素的總事倒數(shù)為53=125.下面考慮c的情況：從｛1,3,5｝中選一

個有C；=3種情況c是奇數(shù)；以｛2,4｝中選一個有C；=2種情況c是偶數(shù).而ab為奇數(shù)的情形

有32=9和I為偶數(shù)的情形有52-32=16種.由“奇+奇=偶”“偶+偶=偶"知,a〃c為偶數(shù)的情

5Q

形共有3X9+2X16=59（種）這樣所求概率為碇.

3.6個球平均分入三盒有CCC種等可能的結(jié)果，每盒各有一個奇數(shù)號球的結(jié)果有

種，所求概率P（A）=CCC=W，則有一盒全是偶數(shù)號球的概率是g.故選B.

4?…生4⑵尸所生泮"

生會《故A與B是不獨立.

(3)P{AB)=

u1794

5.

3125

6.體育彩票應本36個號碼的36個球大小、重量等應該是一致的，嚴格說，為了保證公平，

每次用的36個球，應該只允許用一次，除非能保證用過一次后，球沒有磨損、變形，和沒有

用過的球一樣.

因此，當你把這36個球看成每次抽獎中只用了一次時，不難看出，以前抽獎的結(jié)果對今

后抽獎的結(jié)果沒有任何影響，上述兩種說法都是錯的.

7.解：某單位的4個部門選擇3個景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為3'.由于是任意選擇，這些結(jié)果

出現(xiàn)的可能性都相等.

（I）3個景區(qū)都有部門選擇可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為C>3!（從4個部門中任選2個作為1組，

另外2個部門各作為1組，共3組，共有=6種分法，每組選擇不同的景區(qū)，共有3!

種選法），記“3個景區(qū)都有部門選擇“為事件A”那么事件人的概率為

P(AJ='=-

349

（II）解法一：分別記“恰有2個景區(qū)有部門選擇”和“4個部門都選擇同一個景區(qū)”為事件

31

A2和A：；,則事件A3的概率為P(A3)=F=——，事件Az的概率為

3427

4114

P(A2)=1一P(A,)-P(A3)=1--------=—.

92727

解法二：恰有2個景區(qū)有部門選擇可能的結(jié)果為3(C：?2!+C：).(先從3個景區(qū)任意選定2個,

共有C；=3種選法，再讓4個部門來選擇這2個景區(qū)，分兩種情況：第一種情況，從4個部

門中任取1個作為1組，另外3個部門作為1組，共2組，每組選擇2個不同的景區(qū)，共有2!

種不同選法.第二種情況，從4個部門中任選2個部門到1個景區(qū)，另外2個部門在另1個景

區(qū)，共有C：種不同選法).所以p(Az)=J_±__42=—.

8.十進制中每位數(shù)字最大是9,因而五位數(shù)字和山+山+&計&+&5最多是45.而數(shù)字和是43則

有下面情況：

(1)其中一個數(shù)字是7,其余是9,有5種可能：

79999,97999,99799,99979,99997.

(1)其中兩個數(shù)字是8,其余數(shù)字是9,有10種可能：

88999,89899,89989,89998,98899,

98989,98998,99889,99898,99988.

而上述諸數(shù)中可被11整除者僅97999,99979,98989三個.

31

綜上所求概率p

155

9.(1)將骰子連擲2次，棋子擲第一次后仍在1方而擲第二次后在B方的概率P2=Wx4±2=W

669

(2)設把骰子擲了〃+1次后，棋子仍在｛方的概率為分“有兩種情況：

①第〃次棋子在4方，其概率為匕，且第次骰子出現(xiàn)1點或6點，棋子不動，其概

率為於②第〃次棋子在8方，且第〃+1次骰子出現(xiàn)2,3,4,5或6點，

63

其概率為焉以產(chǎn)氣+_|(1_匕),即匕+「5=一：解-5),入=1，

I