2024屆福建省漳州市高三上學期第一次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市2024屆高三上學期第一次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單項選擇題1.設全集，若集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意解指數(shù)不等式可得，由函數(shù)定義域可得，所以；陰影部分表示的集合為.故選：A2.已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗將整理可得，所以；可得.故選：D3.已知函數(shù)的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B4.已知向量，，若，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，且，所以由數(shù)量積的坐標公式可知，解得，因此，由向量減法坐標公式可得，最終結(jié)合向量模的坐標公式可得.故選：C.5.已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面：設雙曲線漸近線被圓所截得的弦長為,圓的半徑為，圓心到漸近線的距離為，又根據(jù)題意有，因此根據(jù)垂徑定理可得，另一方面：不妨設漸近線方程為（其中），又圓的圓心坐標為圓，因此根據(jù)點到直線之間的距離公式有圓.結(jié)合以上兩方面有，解得，又，所以雙曲線的離心率為.故選：B.6.若，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，所以，則，故選：．7.如圖，在五面體ABCDEF中，底面是矩形，，，若，，且底面ABCD與其余各面所成角的正切值均為，則該五面體的體積是（）A.225 B.250 C.325 D.375〖答案〗C〖解析〗過作面于，過作分別交于，記的中點為，連接，同理作出，如圖，因為底面是矩形，所以，又，所以，因為面，面，所以，因為面，所以面，因為面，所以，所以是面與面的所成角，則由題意知，同理是面與面的所成角，則，因為，所以，則，又易得，所以是的中點，由上述分析易知四邊形是矩形，則，所以，則，故，易得，則，因為為的中點，所以，又易得，所以為面與與面的所成角，則，即，則，即，由對稱性可知，從而，因為，同理，所以，又，所以四邊形是矩形，同理可得四邊形與四邊形是矩形，則幾何體是直棱柱，由對稱性可知，，所以該五面體的體積為.故選：C.8.已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則k的最大值是（）A. B. C.2e D.4e〖答案〗B〖解析〗因為是和的公切線，設切點分別為和，則，由，可得，則又由，可得，且，則，所以，可得，即，顯然同號，不妨設，設，（其中），可得，令，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，要使得有解，則需要，即即，解得，所以，即的最大值為.故選：B.二、多項選擇題9.將100個數(shù)據(jù)整理并繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值大于眾數(shù)的估計值C.該組數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)約為109.2D.在該組數(shù)據(jù)中隨機選取一個數(shù)據(jù)記為n，已知，則的概率為〖答案〗BC〖解析〗對于A選項：由陰影部分面積之和為1可知，解得，故A選項不符題意.對于B選項：不妨設眾數(shù)和平均數(shù)分別為，由圖可知顯然有，，因此，即平均數(shù)的估計值大于眾數(shù)的估計值，故B選項符合題意.對于C選項：設第90百分位數(shù)為，且注意到這100個數(shù)據(jù)落在區(qū)間的概率為，所以一定落在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，故C選項符合題意.對于D選項：記、分別為事件，則由圖可知，，則由條件概率公式得，故D選項不符題意.故選：BC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的圖象關于直線對稱C.將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象關于原點對稱D.若在上有且僅有一個零點，則〖答案〗ABD〖解析〗由題意可得，，故，A正確；又因為，故，所以，所以.對于B，當時，，的圖象關于直線對稱,B正確；對于C，將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象不關于原點對稱，C錯誤；對于D，在上有且僅有一個零點，D正確.故選：ABD.11.已知正項等比數(shù)列的前n項積為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗不妨設正項等比數(shù)列的公比為，所以，；對于A，若，則，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，所以可得，即A正確；對于B，若，可得，又，所以；所以，又，可得，因此可得，即，所以B正確；對于C，若，可得，又，因此的大小無法判斷，所以C錯誤；對于D，若，可得，又，所以可得，即數(shù)列為遞減數(shù)列；可得，即，所以D正確；故選：ABD12.已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)的定義域也為.若，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：注意到，又是由向左平移1個單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為即，因此；故A選項符合題意.對于B選項：令，此時滿足題意，但，故B選項不符題意.對于C選項：因為的對稱中心為，所以，又已知，所以，這表明了關于直線對稱，即，由復合函數(shù)求導法則且同時兩邊對求導得；故C選項符合題意.對于D選項：由的對稱中心為，即，兩邊對求導得，結(jié)合C選項分析結(jié)論，可知，所以這表明了的周期為4，因此，注意到，所以；故D選項符合題意.故選：ACD.三、填空題13.的展開式中的常數(shù)項是______.〖答案〗15〖解析〗的展開式的通項為，，令，得，所以的展開式中的常數(shù)項是.故〖答案〗為：1514.有一批同一型號的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占，乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號產(chǎn)品的次品率分別為，，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是______.〖答案〗0.024〖解析〗設，分別表示甲、乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，表示取到次品，則，，，，從中任取一件產(chǎn)品取到次品的概率為：，故〖答案〗為：0.024．15.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗如下圖示：易知焦點，設，且當直線斜率不存在時（如圖中虛線所示），可知，此時；當直線斜率存在時，可設直線方程為，顯然，聯(lián)立直線和拋物線方程，消去整理可得，利用韋達定理可知，又利用焦半徑公式可知，所以可得，當且僅當，即時，等號成立；綜上可得，的最小值是.故〖答案〗為：.16.一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計）的上底面半徑為1，下底面半徑為6，母線與底面所成的角為.在圓臺容器內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則正方體的棱長的最大值是______.〖答案〗4〖解析〗如下圖所示：根據(jù)題意可知；又母線與底面所成的角為，即，易得；設圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點，所以可知球的半徑，此時球的直徑為，即此時球與圓臺上底面不相切，因此圓臺內(nèi)能放置的最大球的直徑為;若放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，要求正方體棱長最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，設正方體的最大棱長為，滿足，解得.故〖答案〗為：.四、解答題17.如圖，正方體的棱長為2，E為棱的中點.（1）證明：平面ACE；（2）若F是棱上一點，且二面角的余弦值為，求BF.（1）證明：證法一：連接交于點，連接，則為中點，又為中點，所以，又平面，平面，所以平面.證法二：如圖，以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，,，所以，.設平面ACE的法向量為，則，令，則，，所以取.又，所以，所以.又平面，所以平面.（2）解：如圖，以為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，.設平面的法向量為，則，令，則，，所以取.設，則.設平面的法向量為，則，令，則，，所以取.因為二面角的余弦值為，所以，解得，即.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若D為邊BC上一點，且，，證明：為直角三角形.（1）解：因為，所以，因為，所以，即.又，所以.又，所以，即.（2）證明：證法一：因為，所以.即，所以，所以.因此，又，所以，所以，所以為直角三角形.證法二：因為，所以，所以，又，，所以，即.又，所以，即，所以，所以，所以.因此，所以，所以為直角三角形.19.已知數(shù)列，滿足，，記為的前n項和.（1）若為等比數(shù)列，其公比，求；（2）若為等差數(shù)列，其公差，證明：.（1）解：因為為等比數(shù)列，，，所以，所以.又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）證明：證法一：因為為等差數(shù)列，，，所以，所以.因為，即，所以，所以當時，.又符合上式，所以.所以.證法二：因為為等差數(shù)列，，，所以，所以.因為，即，所以，所以數(shù)列為常數(shù)列.因此，所以.所以.20.甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局n勝制（當一選手先贏下n局比賽時，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.（1）若，，比賽結(jié)束時的局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）若比對甲更有利，求p的取值范圍.解：（1）依題意得，隨機變量所有可能取值為，可得，，所以隨機變量的分布列為23所以的數(shù)學期望.（2）解法一：若采用3局2勝制，甲最終獲勝的概率為，若采用5局3勝制，甲最終獲勝概率為：，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，即，解得.解法二：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用表示3局比賽中甲獲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用表示5局比賽中甲獲勝局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，即，解得.21.已知橢圓的左焦點為，且過點.（1）求C的方程；（2）不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.（i）求的斜率；（ii）求的面積的取值范圍.解：（1）由題知，橢圓C的右焦點為，且過點，所以，所以.又，所以，所以C的方程為.（2）（?。┯深}知，直線l的斜率存在，且不為0.設，，，則，所以，所以，，且，即.因為直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.所以，即，所以，且.因為，所以，所以.（ii）由（?。┲?，，所以，且.設點O到直線PQ的距離為d，所以.因為，所以，，所以，又，且.所以即的面積的取值范圍.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）依題意，得.當時，，所以在單調(diào)遞增.當時，令，可得；令，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）因為當時，，所以，即，即，即.令，則有對恒成立.因為，所以在單調(diào)遞增，故只需，即對恒成立.令，則，令，得.當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以.因此，所以.福建省漳州市2024屆高三上學期第一次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單項選擇題1.設全集，若集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意解指數(shù)不等式可得，由函數(shù)定義域可得，所以；陰影部分表示的集合為.故選：A2.已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗將整理可得，所以；可得.故選：D3.已知函數(shù)的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B4.已知向量，，若，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，且，所以由數(shù)量積的坐標公式可知，解得，因此，由向量減法坐標公式可得，最終結(jié)合向量模的坐標公式可得.故選：C.5.已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面：設雙曲線漸近線被圓所截得的弦長為,圓的半徑為，圓心到漸近線的距離為，又根據(jù)題意有，因此根據(jù)垂徑定理可得，另一方面：不妨設漸近線方程為（其中），又圓的圓心坐標為圓，因此根據(jù)點到直線之間的距離公式有圓.結(jié)合以上兩方面有，解得，又，所以雙曲線的離心率為.故選：B.6.若，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，所以，則，故選：．7.如圖，在五面體ABCDEF中，底面是矩形，，，若，，且底面ABCD與其余各面所成角的正切值均為，則該五面體的體積是（）A.225 B.250 C.325 D.375〖答案〗C〖解析〗過作面于，過作分別交于，記的中點為，連接，同理作出，如圖，因為底面是矩形，所以，又，所以，因為面，面，所以，因為面，所以面，因為面，所以，所以是面與面的所成角，則由題意知，同理是面與面的所成角，則，因為，所以，則，又易得，所以是的中點，由上述分析易知四邊形是矩形，則，所以，則，故，易得，則，因為為的中點，所以，又易得，所以為面與與面的所成角，則，即，則，即，由對稱性可知，從而，因為，同理，所以，又，所以四邊形是矩形，同理可得四邊形與四邊形是矩形，則幾何體是直棱柱，由對稱性可知，，所以該五面體的體積為.故選：C.8.已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則k的最大值是（）A. B. C.2e D.4e〖答案〗B〖解析〗因為是和的公切線，設切點分別為和，則，由，可得，則又由，可得，且，則，所以，可得，即，顯然同號，不妨設，設，（其中），可得，令，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，要使得有解，則需要，即即，解得，所以，即的最大值為.故選：B.二、多項選擇題9.將100個數(shù)據(jù)整理并繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值大于眾數(shù)的估計值C.該組數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)約為109.2D.在該組數(shù)據(jù)中隨機選取一個數(shù)據(jù)記為n，已知，則的概率為〖答案〗BC〖解析〗對于A選項：由陰影部分面積之和為1可知，解得，故A選項不符題意.對于B選項：不妨設眾數(shù)和平均數(shù)分別為，由圖可知顯然有，，因此，即平均數(shù)的估計值大于眾數(shù)的估計值，故B選項符合題意.對于C選項：設第90百分位數(shù)為，且注意到這100個數(shù)據(jù)落在區(qū)間的概率為，所以一定落在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，故C選項符合題意.對于D選項：記、分別為事件，則由圖可知，，則由條件概率公式得，故D選項不符題意.故選：BC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的圖象關于直線對稱C.將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象關于原點對稱D.若在上有且僅有一個零點，則〖答案〗ABD〖解析〗由題意可得，，故，A正確；又因為，故，所以，所以.對于B，當時，，的圖象關于直線對稱,B正確；對于C，將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象不關于原點對稱，C錯誤；對于D，在上有且僅有一個零點，D正確.故選：ABD.11.已知正項等比數(shù)列的前n項積為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗不妨設正項等比數(shù)列的公比為，所以，；對于A，若，則，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，所以可得，即A正確；對于B，若，可得，又，所以；所以，又，可得，因此可得，即，所以B正確；對于C，若，可得，又，因此的大小無法判斷，所以C錯誤；對于D，若，可得，又，所以可得，即數(shù)列為遞減數(shù)列；可得，即，所以D正確；故選：ABD12.已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)的定義域也為.若，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：注意到，又是由向左平移1個單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為即，因此；故A選項符合題意.對于B選項：令，此時滿足題意，但，故B選項不符題意.對于C選項：因為的對稱中心為，所以，又已知，所以，這表明了關于直線對稱，即，由復合函數(shù)求導法則且同時兩邊對求導得；故C選項符合題意.對于D選項：由的對稱中心為，即，兩邊對求導得，結(jié)合C選項分析結(jié)論，可知，所以這表明了的周期為4，因此，注意到，所以；故D選項符合題意.故選：ACD.三、填空題13.的展開式中的常數(shù)項是______.〖答案〗15〖解析〗的展開式的通項為，，令，得，所以的展開式中的常數(shù)項是.故〖答案〗為：1514.有一批同一型號的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占，乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號產(chǎn)品的次品率分別為，，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是______.〖答案〗0.024〖解析〗設，分別表示甲、乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，表示取到次品，則，，，，從中任取一件產(chǎn)品取到次品的概率為：，故〖答案〗為：0.024．15.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗如下圖示：易知焦點，設，且當直線斜率不存在時（如圖中虛線所示），可知，此時；當直線斜率存在時，可設直線方程為，顯然，聯(lián)立直線和拋物線方程，消去整理可得，利用韋達定理可知，又利用焦半徑公式可知，所以可得，當且僅當，即時，等號成立；綜上可得，的最小值是.故〖答案〗為：.16.一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計）的上底面半徑為1，下底面半徑為6，母線與底面所成的角為.在圓臺容器內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則正方體的棱長的最大值是______.〖答案〗4〖解析〗如下圖所示：根據(jù)題意可知；又母線與底面所成的角為，即，易得；設圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點，所以可知球的半徑，此時球的直徑為，即此時球與圓臺上底面不相切，因此圓臺內(nèi)能放置的最大球的直徑為;若放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，要求正方體棱長最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，設正方體的最大棱長為，滿足，解得.故〖答案〗為：.四、解答題17.如圖，正方體的棱長為2，E為棱的中點.（1）證明：平面ACE；（2）若F是棱上一點，且二面角的余弦值為，求BF.（1）證明：證法一：連接交于點，連接，則為中點，又為中點，所以，又平面，平面，所以平面.證法二：如圖，以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，,，所以，.設平面ACE的法向量為，則，令，則，，所以取.又，所以，所以.又平面，所以平面.（2）解：如圖，以為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，.設平面的法向量為，則，令，則，，所以取.設，則.設平面的法向量為，則，令，則，，所以取.因為二面角的余弦值為，所以，解得，即.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若D為邊BC上一點，且，，證明：為直角三角形.（1）解：因為，所以，因為，所以，即.又，所以.又，所以，即.（2）證明：證法一：因為，所以.即，所以，所以.因此，又，所以，所以，所以為直角三角形.證法二：因為，所以，所以，又，，所以，即.又，所以，即，所以，所以，所以.因此，所以，所以為直角三角形.19.已知數(shù)列，滿足，，記為的前n項和.（1）若為等比數(shù)列，其公比，求；（2）若為等差數(shù)列，其公差，證明：.（1）解：因為為等比數(shù)列，，，所以，所以.又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）證明：證法一：因為為等差數(shù)列，，，所以，所以.因為，即，所以，所以當時，.又符合上式，所以.所以.證