第18講 尺規(guī)作圖與定義、命題、定理（解析）初中數(shù)學(xué)

第十八講一一尺規(guī)作圖與定義、命題、定理

考向一基本作圖

典例引領(lǐng)

1.（2020?陜西中考真題）如圖，已知△ABC,AC>AB,/C=45°.請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一

點P,使/PBC=45°.（保留作圖痕跡.不寫作法）

【答案】詳見解析

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個角等于已知角，在AC邊上求作?點P,使NP8C=45°即可.

【詳解】解：如圖，點P即為所求.

作法：（1）以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧交AC于D,交BC于E,

（2）以點B為圓心，以CD長為半徑畫弧，交BC于F,

（3）以點F為圓心，以DE長為半徑畫弧，交前弧于點M,

（3）連接BM,并延長BM與AC交于點P,則點P即為所求.

1

【點睛】本題考查了作圖一一基本作圖.解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

2.（2020?湖北襄陽市?中考真題）如圖，MTA8C中，ZABC=90°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論

B.AB=AEC.ZEDC=ZBACD.ADAC=AC

【答案】D

【分析】由尺規(guī)作圖可知AD是NCAB角平分線，DELAC,由此逐一分析即可求解.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，AD是/CAB角平分線，DELAC,

NAED=ZABD=9Qa

在AAED和AABD中：1NEAD=ZBAD,/.AAED^AABD(AAS),

AD=AD

；.DB=DE,AB=AE,選項A、B都正確，

又在RSEDC中，ZEDC=90°-ZC,在R/ABC中，ZBAC=90°-ZC,AZEDC=ZBAC,選項C正確，

選項D,題目中缺少條件證明，故選項D錯誤.故選：D.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖角平分線的作法，熟練掌握常見圖形的尺規(guī)作圖是解決這類題的關(guān)鍵.

3.（2020?浙江臺州市?中考真題）如圖，已知線段AB,分別以A,B為圓心，大于148同樣長為半徑畫弧,

2

兩弧交于點C,D,連接AC,AD,BC,BD,CD,則下列說法錯誤的是（）

2

A.AB平分NCADB.CD平分NACBC.AB±CDD.AB=CD

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖判斷出四邊形ACBD是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對角線平分--組對角、菱形的

對角線互相垂直平分可得出答案

【詳解】解：由作圖知AC=AD=BC=BD,.?.四邊形ACBD是菱形，

.?.AB平分NCAD、CD平分NACB、AB1CD,不能判斷AB=CD,選：D.

【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、菱形的判定方法等，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與

性質(zhì).

變式拓展

1.（2020?湖南湘西?中考真題）已知作NAOB的平分線OM,在射線上截取線段。C,分別

以0、C為圓心，大于2。。的長為半徑畫弧，兩弧相交于E,F.畫直線所，分別交。4于D,交08于

2

G.那么，口0。6一定是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)題意知EF垂直平分OC,由此證明aOMD嶺aONG,即可得到OD=OG得到答案.

【詳解】如圖，連接CD、CG,

3

?.,分別以o、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E,F；.EF垂直平分OC,

2

設(shè)EF交OC于點N,/.ZONE=ZONF=90°,?.?OM平分ZAO8,AZNOD=ZNOG,

XVON=ON,.?.△OMD絲△ONG,，OD=OG,aODG是等腰三角形，故選：C.

【點睛】此題考查基本作圖能力：角平分線的做法及線段垂直平分線的做法，還考查了全等三角形的判定

定理及性質(zhì)定理，由此解答問題，根據(jù)題意得到EF垂直平分OC是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣東深圳市?中考真題）如圖，已知AB=AC,BC=6,尺規(guī)作圖痕跡可求出（）

【答案】B

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可.

【詳解】由作圖痕跡可知AD為ZBAC的角平分線，而AB=AC,

由等腰三角形的三線合一知D為BC重點，」.BD=3,故選B

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線及三線合一的性質(zhì)，關(guān)鍵在于牢記尺規(guī)作圖的方法和三線合一的性質(zhì).

3.（2020?河北中考真題）如圖1,己知/A3C,用尺規(guī)作它的角平分線.如圖2,步驟如下，

第一步：以8為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線B4,8C于點E；

第二步：分別以。，E為圓心，以為半徑畫弧，兩弧在NA8C內(nèi)部交于點P；

第三步：畫射線3P.射線5尸即為所求.下列正確的是（）

圖1圖2

A.a,〃均無限制B.a>0,的長

2

C.。有最小限制，匕無限制D.a>0,的長

2

4

【答案】B

【分析】根據(jù)作角平分線的方法進行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】第一步：以5為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交射線氏4，8C于點O，￡；

第二步：分別以O(shè)，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在NA8C內(nèi)部交于點P；

2

...8>LoE的長；第三步：畫射線射線8P即為所求.綜上，答案為：tz>0；匕>！?！甑拈L,

22

故選：B.

【點睛】本題主要考查了基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握作角平分線的方法.

考向二復(fù)雜作圖

典例引領(lǐng)

1.（2020?福建中考真題）如圖，C為線段AB外一點.

（1）求作四邊形ABC。，使得CO//4B,且CZ）=2AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC，80相交于點P，AB,CO的中點分別為M,N,求證：M,P,N

三點在同一條直線上.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【分析】（1）按要求進行尺規(guī)作圖即可；（2）通過證明角度之間的大小關(guān)系，得到NCRV+NCPM=180°，

即可說明M,P,N三點在同一條直線匕

【詳解】解：（1）

則四邊形A8CO就是所求作的四邊形.

5

(2)VAB//CD，/.ZABP=ZCDP,ZBAP=ZDCP,：.^ABP^\CDP,：.—=—.

CDCP

Al\4AP

?;M,N分別為A3，CD的中點，r.=CD=2CN，：.——=—.

CNCP

連接MP，NP,又,：NBAP=NDCP,：2PMs^CPN,：.ZAPM=4CPN,

?.?點P在AC上ZAPM+ZCPM=180°,Z.CPN+ZCPM=180°,

M,P,N三點在同一條直線上.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、

空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

2.（2020?柳州市柳林中學(xué)中考真題）通過如下尺規(guī)作圖，能確定點。是3C邊中點的是（）

【答案】A

［分析】作線段的垂直平分線可得線段BC的中點.

【詳解】作線段8C的垂直平分線可得線段BC的中點.由此可知：選項A符合條件，故選A.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖.

變式拓展

1.（2020?浙江衢州市?中考真題）過直線/外一點尸作直線/的平行線，下列尺規(guī)作圖中錯誤的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可.

【詳解】小由作圖可知，內(nèi)錯角相等兩直線平行，本選項不符合題意.

6

以由作圖可知，同位角相等兩直線平行，本選項不符合題意.

C、與作圖可知，垂直于同一條直線的兩條直線平行，本選項不符合題意，

D、無法判斷兩直線平行，故選：D.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型.

2.（2020?甘肅蘭州市?中考真題）如圖，在RC1ABC中.

。）利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點P,使得點P到AB的距離（PD的長）等于PC的長；

（2）利用尺規(guī)作圖，作出（1）中的線段PD.

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.

【分析】（1）由點P到AB的距離（PD的長）等于PC的長知點P在/BAC平分線上，再根據(jù)角平分線的

尺規(guī)作圖即可得（以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，與AC、AB分別交于一點，然后分別以這兩點為

圓心，以大于這兩點距離的一半長為半徑畫弧，兩弧交于一點，過點A及這個交點作射線交BC于點P,P

即為要求的點）；（2）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即uj?得（以點P為圓心，以大于點P

到AB的距離為半徑畫弧，與AB交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點間距離一半長為半徑畫弧，

兩弧在AB的一側(cè)交于一點，過這點以及點P作直線與AB交于點D,PD即為所求）.

【詳解】（1）如圖，點P即為所求：

7

（2）如圖，線段PD即為所求.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖，靈活

運用所學(xué)知識解決問題.

考向三圓中的作圖問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江嘉興市?中考模擬）如圖，已知蠡纏渡，在族=鞭巴

（1）在圖中，用尺規(guī)作出獻酬的內(nèi)切圓?，并標(biāo)出10帽與邊盤;，解，屢的切點會，函，距（保

留痕跡，不必寫作法）；（2）連接.醒'，題軟，求無遇短的度數(shù).

【答案】⑴作圖見解析；（2）70°.

【解析】（1）直接利用基本作圖即可得出結(jié)論；（2）利用四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可得出

結(jié)論.

。。即為所求.

（2）如圖2,

連接OD,OE,.,.OD1AB,OE±BC,/.ZODB=ZOEB=90°,

VZBMO0,.,.ZDOE=140°,；./EFD=70°.

考點：1.作圖一復(fù)雜作圖；2.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

8

2.（2020?浙江嘉興市?中考真題）如圖，在等腰aABC中，4B=AC=2不，BC=8,按下列步驟作圖：

①以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB,AC于點E,F,再分別以點E,尸為圓心，大于!

EF的長為半徑作弧相交于點H,作射線AH；②分別以點A,B為圓心，大于gA8的長為半徑作弧相交于

點M,N,作直線MN,交射線AH于點O；③以點O為圓心，線段04長為半徑作圓.則。O的半徑為（）

%\

vJ

A.275B.10C.4D.5

【答案】D

【分析】如圖，設(shè)OA交BC于T.解直角三角形求出4T,再在RtZ\OCT中,利用勾股定理構(gòu)建方程即可

解決問題.

【詳解】解：如圖，設(shè)OA交BC于T.

：AB=AC=2逐，AO平分NBAC,.".AOXBC,BT=TC=4,

22

.-.AE=7AC-CT=5（2石）2—42=2,在Rt^OCT中，則有於=（r-2）2+42,解得r=5,故選：D.

【點睛】本題考查作圖一一復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運用所學(xué)知識解決問題.

變式拓展

9

1.（2020?黑龍江綏化市?中考真題）（1）如圖，已知線段和點。，利用直尺和圓規(guī)作口45。，使點。

是DABC的內(nèi)心（不寫作法，保留作圖痕跡）；

O

AB

（2）在所畫的口筋。中，若NC=90°,AC=6,8C=8,則口M。的內(nèi)切圓半徑是

【答案】（1）作法：如圖所示，見解析；（2）2.

【分析】（1）內(nèi)心是角平分線的交點，根據(jù)AO和BO分別是NCAB和NCBA的平分線，作圖即可;

（2）連接OC,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,利用三角形的面積公式，即可求出答案.

【詳解】解：（1）作法：如圖所示：

①作射線A。、BO-.②以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交線段A3,射線40于點D,E：

③以點E為圓心，OE長為半徑畫弧，交上一步所畫的弧于點F,同理作出點M；

④作射線Ab，相交于點C,口ABC即所求.

（2）如圖，連接OC,

???NC=90°,AC=6,3C=8,由勾股定理，得：43=后+8?=10,，S從叱=；x6x8=24：

SABC=SSAOB+SSAOC+S^OC,1r+1AC*r+^BC?r=24,A1x（10+6+8）*r=24,

r=2，.,.□ABC的內(nèi)切圓半徑是2；故答案為：2；

【點睛】本題考查了求三角形內(nèi)切圓的半徑，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形的面積公式，解題

的關(guān)鍵是作出圖形，利用所學(xué)的知識正確求出三角形內(nèi)切圓的半徑.

2.（2020?江蘇鹽城市?中考真題）如圖，點。是正方形，ABCD的中心.

10

H

（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點E（異于點0）,使得EB=EC;（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）連接EB、EC、E0,求證：ZBE0=ZCE0.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）作BC的垂直平分線即可求解；（2）根據(jù)題意證明VEBOMVECO即可求解.

【詳解】（1）如圖所示，點E即為所求.

（2）連接。8、OC由（1）得：=是正方形A8CO中心，，。鳥二。。，

EB=EC

?,在△E30和dECO中，,E0=E0:NEBO今ECO（SSS）,：.ABEO=/CEO.

OB=OC

【點睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、垂直平分線的作圖及全等

三角形的判定與性質(zhì).

11

考向四邏輯推理

典例引領(lǐng)

1.（2020?北京中考真題）如圖是某劇場第一排座位分布圖：甲、乙、丙、丁四人購票，所購票分別為2,3,

4,5.每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位之和最小.如果按“甲、

乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲甲購買1,2號座位的票，乙購買3,5,7號座位的票，丙選座購票

后，丁無法購買到第一排座位的票.若丙第一購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種

滿足條件的購票的先后順序.

U—~I-Li---ULJ—v-L^—ul-/----uL/------------------------------------c-Lf——-----1I------1I

【答案】丙，丁，甲，乙

【分析】根據(jù)甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)量分別為2,3,4,5可得若丙第一購票，要使其他三人

都能購買到第一排座位的票，那么丙選座要盡可能得小，因此丙先選擇：I,2,3,4.丁所購票數(shù)最多，

因此應(yīng)讓丁第二購票，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：丙先選擇：1.2,3,4.丁選；5,7,9,II,13.甲選：6,8.乙選：10,12,14.

順序為丙，丁，甲，乙.（答案不唯一）

【點睛】本題考查有理數(shù)的加法，認真審題，理解題意是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?北京平谷區(qū)?九年級二模）如圖，是某企業(yè)甲、乙兩位員工的能力測試結(jié)果的網(wǎng)狀圖，以O(shè)為圓心

的五個同心圓分別代表能力水平的五個等級由低到高分別賦分1至5分，由原點出發(fā)的五條線段分別指向能

力水平的五個維度，網(wǎng)狀圖能夠更加直觀的描述測試者的優(yōu)勢和不足，觀察圖形，有以下兒個推斷:

12

①甲和乙的動手操作能力都很強；②缺少探索學(xué)習(xí)的能力是甲自身的不足；

③與甲相比乙需要加強與他人的溝通合作能力；④乙的綜合評分比甲要高.其中合理的是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)甲、乙兩位員工的能力測試結(jié)果的網(wǎng)狀圖一一判斷即可得到答案；

【詳解】因為甲、乙兩位員工的動手操作能力均是5分，故甲乙兩人的動手操作能力都很強，故①正確；

因為甲的探索學(xué)習(xí)的能力是1分，故缺少探索學(xué)習(xí)的能力是甲自身的不足，故②正確；

甲的與他人的溝通合作能力是5分，乙的與他人的溝通合作能力是3分，故與甲相比乙需要加強與他人的溝

通合作能力，故③正確；乙的綜合評分是：3+4+4+5+5=22分，甲的綜合評分是：1+4+4+5+5=19分，故乙

的綜合評分比甲要高，故④正確；故選：D；

【點睛】本題主要考查圖象信息題，能從圖象上獲取相關(guān)的信息是解題的關(guān)鍵；

變式拓展

1.（2020?北京門頭溝區(qū)?九年級一模）疫情期間，甲、乙、丙、丁4名同學(xué)約定周一至周五每天做一組俯臥

撐.為了增加趣味性，他們通過游戲方式確定每個人每天的訓(xùn)練計劃.

首先，按如圖方式擺放五張卡片，正面標(biāo)有不同的數(shù)字代表每天做俯臥撐的個數(shù)，反面標(biāo)有玉，%，/，

%,天便于記錄.可WI策s第條甚s具體游戲規(guī)則如下：

甲同學(xué)：同時翻開玉，》2,將兩個數(shù)字進行比較，然后由小到大記錄在表格中，與，X4,它按原順序記

錄在表格中；

乙同學(xué)：同時翻開石，X2,x3,將三個數(shù)字進行比較，然后由小到大記錄在表格中，4,Z按原順序記

錄在表格中；

以此類推，到丁同學(xué)時，五張卡片全部翻開，并由小到大記錄在表格中.

下表記錄的是這四名同學(xué)五天的訓(xùn)練計劃：

星期-星期二星期三星期四星期五

甲同學(xué)工2王當(dāng)%

乙同學(xué)X2工3再%X5

13

丙同學(xué)

丁同學(xué)%X2X3芭

根據(jù)記錄結(jié)果解決問題：

(1)補全上表中丙同學(xué)的訓(xùn)練計劃；

(2)已知每名同學(xué)每天至少做30個，五天最多做180個.

①如果々=36,玉=40,那么石所有可能取值為；

②這四名同學(xué)星期做俯臥撐的總個數(shù)最多，總個數(shù)最多為個.

【答案】(1)見解析；(2)①41,42,43；②三，162.

【分析】(1)由題意同時翻開芯，芻，/將四個數(shù)字進行比較，然后由小到大記錄在表格中，X5按原順

序記錄在表格中即可.(2)①由題意％=30，x4<x5<x2<xy<xe々=36,芻=40,推出xs可以取31,

32,33,34,35,x>>40,應(yīng)用列舉法即可解決問題.②觀察表格可知星期三的做俯臥撐的總個數(shù)最多，不

妨設(shè)％=30,x5=31,當(dāng)X2=32時，X3+xi的最大值為180-30-31-32=87,若xi=44,則X3=43,此時星期三

的做俯臥撐的總個數(shù)為162.應(yīng)用列舉法即uj■解決問題.

【詳解】解：(1)由題意同時翻開不，無2,毛，/將四個數(shù)字進行比較，

由乙同學(xué)可知/<了3<』，又結(jié)合丁同學(xué)可知/，所以％<%2<曰<%，

然后由小到大記錄在表格中，X5按原順序記錄在表格中

補全表中丙同學(xué)的訓(xùn)練計劃：2，工2，七，蒼，X5.故答案為：x4,x2,x3,%,x5.

(2)①由題意X4=30,Vx4<x5<x2<x3<xrx2=36,x,=40,

；.X5可以取31,32,33,34,35,xi>40,當(dāng)xs=31時,xi的最大值為43,

當(dāng)X5=32時，xi的最大值為42,當(dāng)X5=33時，xi的最大值為41,

當(dāng)X5=34或35時，xi的值不符合題意，；.xi的可能取41,42,43.故答案為：41,42,43.

②觀察表格可知星期三的做俯臥撐的總個數(shù)最多，

不妨設(shè)X4=30,X5=31,當(dāng)X2=32時，X3+X1的最大值為180-30-31-32=87,

若xi=44,則X3=43,此時星期三的做俯臥撐的總個數(shù)為162.當(dāng)x2=33時，xs+xi的最大值為180-30-31-33=86,

若xi-44,則X3-42,此時星期三的做俯臥撐的總個數(shù)為161,當(dāng)X2=34時,X3+XI的最大值為180-30-31-34=85,

14

若xi=43,則X3=42,此時星期三的做俯臥撐的總個數(shù)為161,當(dāng)X2=35時，X3+XI的最大值為180-30-31-33=84,

若xi=43,則X3=41,此時星期三的做俯臥撐的總個數(shù)為160,

綜上所述，星期三的做俯臥撐的總個數(shù)的最大值為162.故答案為：162.

【點睛】本題考查推理與論證，統(tǒng)計等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會推理論證的方法.

考向五真命題'假命題

典例引領(lǐng)

1.（2020?云南昆明市?中考真題）下列判斷正確的是（）

A.北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查

B.一組數(shù)據(jù)6,5,8,7,9的中位數(shù)是8

C.甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為S,2=2.3,S/=i.8.則甲組學(xué)生的身高較整齊

D.命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形''是真命題

【答案】D

【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查、中位數(shù)定理、命題的判斷進行分析即可；

【詳解】解：A.北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇全面調(diào)查，所以A選項錯誤；

B.一組數(shù)據(jù)6,5,8,7,9的中位數(shù)是7,所以B選項錯誤；

C.甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為SM=2.3,腔2=1.8.貝ij乙組學(xué)生的身高較整齊，所以C選項錯誤;

D.命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形''是真命題，所以。選項正確.故選：D.

【點睛】本題主要考查了數(shù)據(jù)分析的知識點應(yīng)用，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）從下列命題中，隨機抽取一個是真命題的概率是（）

（1）無理數(shù)都是無限小數(shù)；（2）因式分解數(shù)之一a=a（x+］）（x-l）；（3）棱長是1cm的正方體的表面展

開圖的周長一定是14cm；（4）弧長是20%cm,面積是240〃cm2的扇形的圓心角是120°.

113

A.—B.—C.—D.1

424

【答案】C

【分析】分別判斷各命題的真假，再利用概率公式求解.

【詳解】解：（1）無理數(shù)都是無限小數(shù)，是真命題，（2）因式分解0?一。=。（％+1）（%-1）,是真命題,

（3）棱長是1cm的正方體的表面展開圖的周長一定是14cm,是真命題，

15

(4)設(shè)扇形半徑為r,圓心角為n,?.?弧長是20%cm,則黑=20?，則"=3600，

18()

riTrr~nr~360x740

?.?面積是2407rcm②，則----=2401，則nr2=360x240,則一=r=---------=24，則n=3600-24=150°,

360nr3600

3

故扇形的圓心角是150。，是假命題，則隨機抽取一個是真命題的概率是一，故選C.

4

【點睛】本題考查了命題的真假，概率，扇形的弧長和面積，無理數(shù)，因式分解，正方體展開圖，知識點

較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是運用所學(xué)知識判斷各個命題的真假.

變式拓展

1.(2020?廣西貴港市?中考真題)下列命題中真命題是()

A.4的算術(shù)平方根是2B.數(shù)據(jù)2,0,3,2,3的方差是?

C.正六邊形的內(nèi)角和為360。D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

【答案】B

【分析】A.根據(jù)算術(shù)平方根解題；B.根據(jù)方差、平均數(shù)的定義解題；

C.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為180°x(n-2)解題；D.根據(jù)菱形、梯形的性質(zhì)解題.

【詳解】A.4=2,2的算術(shù)平方根是0,故A錯誤；

B.數(shù)據(jù)2,0,3,2,3的平均數(shù)是2+°+3+2+3=2,方差是

1[(2-2)2+(0-2)2+(3-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=1,故B正確；

C.正六邊形的內(nèi)角和為180°義(6-2)=720。，故C錯誤;

D,對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，可能是梯形，故D錯誤，故選：B.

【點睛】本題考查判斷真命題，其中涉及算術(shù)平方根、方差、多邊形內(nèi)角和、梯形性質(zhì)、菱形性質(zhì)等知識,

是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

2.(2020?湖南岳陽市?中考真題)下列命題是真命題的是()

A.一個角的補角一定大于這個角B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.等邊三角形是中心對稱圖形D.旋轉(zhuǎn)改變圖形的形狀和大小

【答案】B

【分析】由補角的定義、平行線公理，中心對稱圖形的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別進行判斷，即可得到答案.

16

【詳解】解：A、一個角的補角不一定大于這個角，故A錯誤；B、平行于同一條直線的兩條直線平行，故

B正確；C、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯誤；D、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，

故D錯誤：故選：B.

【點睛】本題考查了補角的定義、平行線公理，中心對稱圖形的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及判斷命題的真假，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，分別進行判斷.

考向六互逆命題與互逆定理

典例引領(lǐng)

1.（2020?上海市九年級期中）下列定理中，沒有逆定理的是（）.

A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補B.線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等

C.等腰三角形兩個底角相等D.同角的余角相等

【答案】D

【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.再分析逆命題是否為真命題.

【詳解】解：A、逆命題是：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，是真命題，故本選項不符合題意；

B、逆命題是：到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，是真命題，故選項不符合題意；

C、逆命題是：如果三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，是真命題，故本選項不符合題意；

D、逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角，是假命題，故選項符合題意.故選：D.

【點睛】本題主要考查了互逆定理的知識，如果一個定理的逆命題是假命題，那這個定理就沒有逆定理.

2.（2020?內(nèi)蒙古包頭市?）下列命題：（1）對于>=&（攵。0）,當(dāng)k>0時，y隨x的增大而減?。唬?）菱

X

bc

形的對角線互相垂直；（3）若一>一，則a">ac；（4）若孤=既，則/=〃；其中原命題和逆命題均

aa

為真命題的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】根據(jù)逆命題的書寫方法，寫出逆命題，判斷原命題，逆命題的真假性即可.

k

【詳解.】A.原命題：對于y=—（憶。0）,當(dāng)憶〉0時，y隨x的增大而減??；假命題

x

k

逆命題：對于y=—（ZwO）,當(dāng)y隨x的增大而減小時，k>0；假命題

x

B.原命題：菱形的對角線互相垂直；真命題逆命題：對角線互相垂宜的四邊形是菱形；假命題

17

bcbc

C.原命題：若一>一，則真命題逆命題：若cib>ac,則一>一；真命題

aaaa

D.原命題：若也=&,則/=力2；真命題逆命題：若/=從，則網(wǎng)=防；假命題故選：B.

【點睛】本題考查了逆命題的書寫，及原，逆命題的真假性的判斷，熟知相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?廣東廣州市?）下列命題的逆命題成立的是（）

A.全等三角形的對應(yīng)角相等B.兩個角都是45°，則這兩個角相等

C.有兩邊相等的三角形是等腰三角形D.菱形的對角線互相垂直

【答案】C

【分析】寫出每個命題的逆命題，然后逐一判斷逆命題的真假，即可.

【詳解】A.全等三角形的對應(yīng)角相等的逆命題是：“對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，不成立：

B.兩個角都是45°，則這兩個角相等的逆命題是：“兩個角相等，則這兩個角都是45°”不成立；

C.有兩邊相等的三角形是等腰三角形的逆命題是：”等腰三角形有兩邊相等”，成立

D.菱形的對角線互相垂直的逆命題是：“對角形相互垂直的四邊形是菱形”，不成立故選C.

【點睛】本題主要考查命題的逆命題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，菱形的性質(zhì)，是

解題的關(guān)鍵.

2.（202（）?安徽滁州市?九年級二模）命題"等邊三角形的重心與內(nèi)心重合”的逆命題_________________.

【答案】重:心與內(nèi)心重合的三角形是等邊三角形

【分析】根據(jù)逆命題的定義寫出即可得到.

【詳解】解：命題“等邊三角形的重心與內(nèi)心重合”的逆命題是重心與內(nèi)心重合的三角形是等邊三角形.

故答案為：重心與內(nèi)心重合的三角形是等邊三角形.

【點睛】考查了四種命題及其關(guān)系，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另外一個命題的結(jié)

論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題.

考向七反證法

典例引領(lǐng)

1.（2020?安徽宿州市?）為了說明命題”等腰三角形腰上的高小于腰”是假命題，可以找的反例是.

18

【答案】因為等腰直角三角形的腰上的高等于腰，則可以找出該命題的反例，即為等腰直角三角形.

【解析】

【分析】等腰三角形腰上的高大于腰是不可能的，只能從等腰三角形腰上的高等于腰進行思考?.

【詳解】解：因為等腰直角三角形的腰上的高等于腰，則可以找出該命題的反例，即為等腰直角三角形.

故答案為等腰直角三角形.

【點睛】考查反證法，說明一個命題是假命題時，只需舉出一個反例即可.

2.（202（）?吉林長春市?）用反證法證明命題“若。。的半徑為廣，點P到圓心的距離為乩且則點P

在。。的外部”，首先應(yīng)假設(shè).

【答案】若。。的半徑為r，點P到圓心的距離為“，且”>廠，則點P在。。上或。。內(nèi).

【分析】直接利用反證法的基本步驟得出答案.

【詳解】用反證法證明命題''若。。的半徑為廣，點P到圓心的距離為止且d>r,則點?在。。的外部“，

首先應(yīng)假設(shè)：若。。的半徑為r,點P到圓心的距離為"，且d>r,則點P在③。上或。。內(nèi).

故答案為：若。。的半徑為廣，點P到圓心的距離為d,旦d>r,則點P在。O上或。。內(nèi).

【點睛】本題主要考查了反證法，正確掌握反證法的解題方法是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?湖北宜昌市?中考真題）能說明“銳角a,銳角夕的和是銳角”是假命題的例證圖是（）.

【答案】c

【分析】先將每個圖形補充成三角形，再利用三角形的外角性質(zhì)逐項判斷即得答案.

【詳解】解：A、如圖1,N1是銳角，且/1=。+夕，所以此圖說明“銳角a,銳角/的和是銳角“是真命

題，故本選項不符合題意；

19

B、如圖2,N2是銳角，且N2=a+￡,所以此圖說明“銳角a,銳角夕的和是銳角''是真命題，故本選項

不符合題意；C、如圖3,/3是鈍角，且/3=。+4，所以此圖說明“銳角a,銳角夕的和是銳角“是假命

題，故本選項符合題意；D、如圖4,/4是銳角，且N4=a+/7,所以此圖說明“銳角a,銳角夕的和是

銳角”是真命題，故本選項不符合題意.故選：C.

【點睛】本題考查了真假命題、舉反例說明一個命題是假命題以及三角形的外角性質(zhì)等知識，屬于基本題

型，熟練掌握上述基本知識是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?浙江寧波市?九年級一模）用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，應(yīng)首先假

設(shè)這個四邊形中（）

A.沒有一個角是銳角B.每一個角都是鈍角或直角C.至少有一個角是鈍角或直角D.所有角都是銳角

【答案】D

【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立.

【詳解】用反證法“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時第一步假設(shè)：四邊形中所有角都是銳角.選D.

【點睛】本題考查反證法和四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握反證法和四邊形內(nèi)角和.

、學(xué)點沖關(guān)充

1.（2020?上海九年級二模）現(xiàn)有以下命題：①斜邊中線和一個銳角分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

②一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；③在圓中，平分弦的直徑垂直于弦；④平行于

同一條直線的兩直線互相平行.其中真命題的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形的判定、平行四邊形的判定、垂徑定理、平行線的性質(zhì)一一判斷即可.

20

【詳解】①斜邊中線和一個銳角分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，是真命題：

②一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，是假命題，比如等腰梯形；

③在圓中，平分弦的直徑垂直于弦，是假命題（此弦非直徑）；

④平行于同一條直線的兩直線互相平行，是真命題；故選B.

【點睛】本題考查命題與定理、全等三角形的判定、平行四邊形的判定、垂徑定理、平行線的性質(zhì)等知識，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念.

2.（2019?湖南郴州市?中考真題）如圖，分別以線段AB的兩端點A,B為圓心，大于‘AB長為半徑畫弧，

2

在線段AB的兩側(cè)分別交于點E,F,作直線EF交AB于點O.在直線EF上任取一點P（不與O重合），連

二接PA,PB,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.OA=OBC.OP=OFD.POLAB

【答案】C

【分析】依據(jù)分別以線段AB的兩端點A,B為圓心，大于LAB長為半徑畫弧，在線段AB的兩側(cè)分別交

2

于點E,F,作直線EF交AB于點O,即可得到EF垂直平分AB,進而得出結(jié)論.

【解析】???由作圖可知，EF垂直平分AB,，PA=PB.故A選項正確；

OA=OB，故B選項正確；OE=OF,故C選項錯誤；PO1AB.故D選項正確，故選C.

【點睛】本題考查不基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法，利用

線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等解決問題.

3.（2020?浙江嘉興市?中考模擬）數(shù)學(xué)活動課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“如圖，已知直線1和1外一點P,

用直尺和圓規(guī)作直線PQ,使PQL與點Q分別作出了下列四個圖形.其中做法錯誤的是（）

?P

21

【答案】A

【分析】根據(jù)作已知線段的垂直平分線對8進行判斷；根據(jù)圓周角定理對C進行判斷；根據(jù)對稱的性質(zhì)對

。進行判斷.

【詳解】解：A.沒有任何作法依據(jù)，A選項的作法錯誤；

B.作了線段的垂直平分線，則PQ_L/,所以C選項的作法正確；

C.作了直徑所對的圓周角，則尸QJJ,所以。選項的作法正確.

D.作了P點關(guān)于/的對稱點，則尸Q_U,所以8選項的作法正確；故選A.

【點睛】本題考查了基本作圖：掌握5個基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角：作

己知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線).注意。選項要運用圓周角定理

判斷.

4.(2020?湖北宜昌市?中考模擬)尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是

【答案】B

【分析】根據(jù)過直線外一點向直線作垂線即可.

【解析】己知：直線AB和AB外一點C.

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.

作法：(1)任意取一點K,使K和C在AB的兩旁.

(2)以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點D和E.

(3)分別以D和E為圓心，大于^DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F,

2

(4)作直線CF.直線CF就是所求的垂線.故選B.

22

【點睛】此題主要考查了過一點作直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2020?河北中考模擬）尺規(guī)作圖要求：I、過直線外一點作這條直線的垂線；II、作線段的垂直平分線;

III、過直線上一點作這條直線的垂線；IV、作角的平分線.

如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：

A.①-IV,②-n,③-I,④-IHB.①-iv,②-in,③-n,?-I

c.①-n,②-iv,③-in,?-ID.①-M②-I,③-I],?-III

【答案】D

【分析】分別利用過直線外一點作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的作法和過直線上一點作這條

宜線的垂線、角平分線的作法分別得出符合題意的答案.

【解析】I、過直線外一點作這條直線的垂線，觀察可知圖②符合；

II、作線段的垂直平分線，觀察可知圖③符合；

III、過直線上一點作這條直線的垂線，觀察可知圖④符合；

IV、作角的平分線，觀察可知圖①符合，

所以正確的配對是：①-IV,②-I,③-11,@-111,故選D.

【點睛】本題主要考查了基本作圖，正確掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵.

6.（2019?遼寧鐵嶺市?中考真題）如圖，NM4N=60°,點B為AM上一點，以點A為圓心、任意長為半

徑畫弧，交AM于點E,交AN于點D.再分別以點D,E為圓心、大于'OE的長為半徑畫弧，兩弧交于

2

點尸.作射線4F,在4尸上取點G,連接8G,過點G作GC_LAN,垂足為點C.若AG=6,則BG的長

可能為（)

23

A.1B.2C.6D.26

【答案】D

【分析】利用基本作圖得到4G平分NMON,所以NM4G=NM4G=30。，利用含30度的直角三角形三

邊的關(guān)系得到GC=3,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到G點到AM的距離為3,然后對各選項進行判斷.

【詳解】解：由作法得AG平分AMON）:.ZNAG=ZMAG=30°，

\-GC±AN,:.ZACG^9Q°^：.GC=-AG=-x6=3,

22

???AG平分NM4N,，G點到AM的距離為3,.?.8G23.故選：D.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已

知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.

7.（2019?廣西中考真題）如圖，在AABC中，AC=8C,NA=40。，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知ZBCG

的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和基本作圖得到CG_LA5,則CG平分Z4CB,利用NA=/B和三角形

內(nèi)角和計算出Z