高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項與求和

通項公式

—：%+1與明

類型I：整體性-一與等差(比)數(shù)列對比

如果/(?+1)=是常數(shù))

貝|J｛/(“)｝是以了⑴為首項，公差為△的等差數(shù)列。

如果/(n+l)=f(n)-q(neN*,g是非零常數(shù))

則"5)｝是以了⑴為首項，公比為q的等比數(shù)列。

[范例1]已知數(shù)列伍“｝滿足：〃3=%+1,%=1,%>0;則a“=__

解：設(shè)a=力(如果能理解整體性可不設(shè))

則2m=2+1=>數(shù)列他,｝是等差數(shù)列，且4=1,公差d=1

bn=4+(〃-l)d=〃。a：=??<=>an=&(;an>0)

K練習(xí)

1.(1)....-----Fl,q=1；則—___(2)(〃+l)a〃+]—+l,q—1；則an-__

“i%

(3)an-all+l=2a“4+|,q=1；則a“=一

(4)。川+S“XS“T=0,q=1；則S“=(此題高要求)

2.(1)也=迎辿，出=3；則a“=_

ann+1

(2)a｝=l,an>0,(〃+l)a；+|-?a；+an-an+i=0(〃eN)；則an=_(此題高要求)

類型II:形如%+i=/(〃)(〃eN")形如也=/(〃)(〃eN*)

a”

疊加(乘)法(注意項數(shù))

a”+i-a“=/(〃)(〃eN*)得-=/(〃)(〃eN*)得

/-卬=/⑴

%-電=/⑵aa

a=fl]x%x%x—Ax???x—n—

?4-a=/(3)

36?2%??-i

=</1X/(1)X/(2)X.--X/(H-1)

-a,,,

將上面1個等式相加：an-ai=/(l)+/(2)+---/(n-l)

K練習(xí)23

1.（1）ci\=1,an+i=an+2n；則a“=_（2）ax=2,a,l+1=an+2"+1；則a“=—

2.（1）a,=l,?n+l-Tan；則a“=一（2）=2（〃+j）,.=3；則%=一

%〃+1

類型III：提示構(gòu)造--根據(jù)題目提示，構(gòu)造等差（比）數(shù)列

[范例2]已知數(shù)列｛4｝滿足：a,=2,an+l=2a?-l；

求使｛a“+c｝成等比數(shù)列的常數(shù)；并求數(shù)列｛a,,｝的通項公式

C—1

解：??+）=2/-1oan+l+c=2an-l+c=2（a?+—）

當^y^=c（c=_l）時，an+l-1=2（an-1）

設(shè)a=a“-l（如果能理解整體性可不設(shè)）得："用=22n數(shù)列色｝是等比數(shù)列

既存在c=—1使數(shù)列｛&“-1｝是等比數(shù)列

-1

bn=仇x2"-'=2"i0a"一1=2"T=an=2"+1

K練習(xí)331.已知數(shù)列｛a,J滿足:q=l,a“+i=2a“+2"；

（1）求證：數(shù)列｛墨｝是等差數(shù)列（2）求明

2.已知數(shù)列｛4｝滿足：a,=2,a?+1=2a?+2"-1；

（1）是否存在常數(shù)c使數(shù)列/『｝是等差數(shù)列（2）求明

3.數(shù)列｛%｝滿足：a,=l,an+i=-5?Sn+1；（1）求證：｛」-｝是等差數(shù)列；（2）求S,及明

4.已知數(shù)列｛?！埃凉M足：q=1,私=3,a“+2=3a“+]-2%（此題高要求）

（1）求證：數(shù)列｛。的一%｝是等比數(shù)列；（2）求a,

類型IV：構(gòu)造法

1：形如a,#]=pa“+q（aw0,1,夕工0）令x=px+q（解出x）

相減：an+l-x=p（an-x）得：數(shù)列x｝是等比數(shù)列。

【范例3】數(shù)列a｝滿足‘=S』)’求明

解：?j=—an+1<^>an+,-2=—(a-2)(注：由x=,x+l解出x=2)

〃十12〃〃十?2'〃'2

得：數(shù)列伍“一2｝是以q-2=-1為首項，公比為:的等比數(shù)列

4-2=-1、W嚴0%=2-(，1

3—a

K練習(xí)43設(shè)數(shù)列伍“｝的首項4=1,。,用=二萬上；求僅“｝的通項公式；

nn+n

2：形如a.=pan+cq(aH0,1,qH1)構(gòu)造an+l-kq'=p(an-kq)

[范例I4]數(shù)列｛a“｝滿足q=1,《川=2an+3",求an

分析.構(gòu)造a”+「kx=2(a〃-Zx3")=>an+i=2a“-Ax3"

=>一4=]o攵=-1

nn+1

解：an+l=2an+3=a?+1-3=2(a?-3")

得：數(shù)列｛。"一3"｝是以4-3=-2為首項，公比為2的等比數(shù)列

3"-T

K練習(xí)53設(shè)數(shù)列｛%｝的首項4=1，4用=；a,,+3x2"\求｛《,｝的通項公式;

—-S“與a“

S、.........n=1

類型1：4=

［范例5］已知數(shù)列［“｝的前n項和S,,=2"+2〃—1；求數(shù)列5.｝的通項公式。

解：(1)當〃=1時，，a1=S[=3

(2)當“22時，a,,=S“-S“_]=(2"+2〃—1)一[2"一|+2(〃-1)-1]=2"T+2

6=3也滿足上式：%=2"T+2

K練習(xí)6》1.已知數(shù)列｛七｝的前n項和S?=2"；求數(shù)列伍“｝的通項公式

2.已知數(shù)列伍，J滿足：O]+2a2+3a,H—+〃a“=〃(〃+1)(〃+2)；求a

提示：設(shè)d

1-7

3.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4+3%+32%+-+314,=§；求知

類型II：S“與%的等式關(guān)系

①%fS,,a.=S“-S,i(〃N2)

［范例6］己知數(shù)列｛4｝滿足：卬=1,。用=(1+-)5,,

n

(1)求證：數(shù)列｛口｝是等比數(shù)列；(2)求證：Sn+2=4an

n

證明：(1)。，用=(1+2)5,,=S,M—S”=TS“。辿=2x8

nn〃+ln

得數(shù)列｛二H是首項為包=1,公比為2的等比數(shù)列

n1

S

(2)由(1)得：x2〃"=S〃=〃x2'ins,.=5+l)x2〃

n

a,,=—S?_,=(n+1)x2"-2(3n>2),q=l也滿足上式：%=(〃+1)義2"々

n-1

得：S,,+2=4%

K練習(xí)7U已知數(shù)列｛%｝滿足：an+l+2S?xSn+i=0,a,=1；求許

②S.->4S?-Sn_,=an(n>2)

..2

【范例7】已知數(shù)列｛%｝滿足：S〃=l+；a〃；求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式。

2

解：(1)當〃=1時，S.=1H—。］<=>々］=3

3

2222

(2)5?=1+-??=>S?+1=l+-an+l兩式相減得：an+l=~an+i~~a?

既a“M=—2a“n數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列=>4=qx(-2)"'=3x(-2)z

K練習(xí)8》（知數(shù)列｛4｝滿足:S“=l+2a“+1,a,=3；求數(shù)列｛凡｝的通項公式。

數(shù)列求和

方法一:分項求和將項中不同特點的部分分別求和

數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；則s“=a券+若2d

naxn=\

數(shù)列伍“｝是等比數(shù)列；則S“=爾1-/）、°

,i-q

【范例1］已知｛%｝的通項公式為勺=2"-4〃+2；求S.

解：Sn=q+c（2+生+,?，+%=（2+2~+2+,,,+2”）-4（1+2+3+?,,+/?）+2n

=嗡%><吟吟…一"一2

K練習(xí)11o5-1—+2—+3—H---\-(n+)—

"2482"

2.求數(shù)列：2,22,222,…的前〃項和

3.求數(shù)列：1,1+2,1+2+2?,…的前〃項和

4.數(shù)列1,2+3,4+5+6+7,…，（第安項有2"「數(shù)的和）前〃項和（注意項數(shù)）

5.數(shù)列1,3+5,7+9+11,…，（第〃項有〃個奇數(shù)的和）的前〃項和（注意項數(shù)）

方法二:分類求和—將類型相同項合并求和

類型I（奇偶性）

_6〃-5（〃為奇數(shù)）

【范例2］已知數(shù)列｛4｝的通項4=《；求其前〃項和S,,.

12"（〃為偶數(shù)）

解：（1）當“是正偶數(shù)時

S"=（?,+a2+a3---1-a?_|）+（a2+tz4+a64---1-an）

n

n(42-l)

4+—J?2（注意項數(shù)及公比）

224-1

l+6(n-l)-5n42"+29￡-15n-8

x-+-(2"-1)+

2236

(1)當〃是正奇數(shù)時

2'川9(〃—1)2-15(〃—1)一8,《"w

S,,=+a=——+-----------------+(6〃-5)(〃>3))

n3O

2"+i9rt2+3//-14

='十+?！?，〃=1時，4=1也滿足上式

36

’2"+29〃2—15〃—8/斗丁/田加、

——+------------(〃為正偶數(shù))

S=，36

"I2"+'9/?2+3H-14以丁大蛤、

+-------------(Z〃為正奇數(shù))

K練習(xí)221。已知數(shù)列｛%｝滿足：q=La“+%+i=2"；求其前〃項和S,,

2.己知數(shù)列伍“｝的通項公式為=(—1)X(2〃—1)；求①§2。與邑?、赟?

3.求S“=/-2?+32—4?+…+(—I)"-。/

類型II(正負)

［范例3］已知數(shù)列僅“｝中，％=|2n-19|；求其前n項和S?

解：設(shè)包=2〃-19及其前〃項和為T,；則7；="2x〃=〃2—18〃

〃〃=2〃-1920=〃<9,bn=2n-19<0<x>n>10

(1)當〃W9時，S“=一(4+9+…+b“)=_7；=18〃-〃2

—

(2)當“210時，Sn—(6f1+ci-,+…+%)+(Go+ci\?+???+a“)

=Tn-2Tg=--18/1+162

JISn-n2(?<9)

得：5?=<.

n2-18?+162(w>10)

K練習(xí)321.已知數(shù)列｛4｝中，a“=|2"-10。；求其前〃項和S,

2.已知數(shù)列｛q｝,也』的通項公式為=5",2=2〃+20,

數(shù)列｛，,｝滿足：q,=1?；求數(shù)列匕,｝前〃項和S“(此題高要求)

一(%<")

方法三:錯位相減法

求｛%?qn｝型（｛%｝為等差數(shù)列，qH0,1）數(shù)列和的方法；

2.3

S“=a}q+a-,q~+a3qd—+anq①

n+l

qS.=a聞2+生/+…++anq②

—+i

①-②得(1q)S〃=axq+d(q~+q/H---Fq")—anq"

1+3+3+...+〃+1

【范例4】求S,

22232"

,345〃+1

解:1+r+F+■+----(1)

2223F"2"

234nn+1

2S1------1--------F■+—+(2)

2223F"2"2“+1

,,1111、〃+1

(1)-(2)得：-S1+(-7—rH—r+…H---)-----7-

212223242"2"+,

=?（昌）〃+13〃+3

（注意項數(shù)）

2n+l22,,+1

…竽

習(xí)431.求S“=l+3a+5a~+,1,+(2z?—l)a"1

1.數(shù)列｛《』的通項公式為％,=〃（一）"，4+。2+。3+~+4<“對任意”€"均成立；

求正整數(shù)M的最大值;

方法四：裂項相消法

若僅“｝是公差為d（d#0）的等差數(shù)列；則—=1（-——-）

a“a,mdanan+l