高中數(shù)學課時作業(yè)十二基本不等式的應(yīng)用湘教版必修第一冊

課時作業(yè)（十二）基本不等式的應(yīng)用

［練基礎(chǔ)］

1.已知a>0,b>0,a+b=l,貝P+7的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

2.已知女>0,6>0,ab=l,且/=6+±則加十刀的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

3.某工廠過去的年產(chǎn)量為a,技術(shù)革新后，第一年的年產(chǎn)量增長率為0（°〉0）,第二年

的年產(chǎn)量增長率為°（力0,P^q）,這兩年的年產(chǎn)量平均增長率為x,貝M）

A.X=TB.

夕+0o+q

C.x>^Y~D.X&Y~

911

4.已知a〉0,6>0,一+7=￡，若不等式2W+629R恒成立，則"的最大值為（）

abb

A.8B.7C.6D.5

5.某人要用鐵管做一個形狀為直角三角形且面積為1inz的鐵架框（鐵管的粗細忽略不

計），在下面四種長度的鐵管中，最合理（夠用，又浪費最少）的是（）

A.4.6mB.4.8mC.5mD.5.2m

6.（多選）小王從甲地到乙地往返的速度分別為a和6（水6）,其全程的平均速度為心

則（）

A.a<.v=y［ab

I-a-\~b2ab

C.\ab<v<---D.v=—-r

v2a~\~b

7.已知x>0,y>0,若紅+包>0+2恒成立，則實數(shù)力的取值范圍是.

xy

8.某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤

P（單位：萬元）與機器運轉(zhuǎn)時間x（單位：年）的關(guān)系為y=—f+18x—25（x￡N*）,則該公司

年平均利潤的最大值是萬元.

9.已知x>0,y>0,且x+4p=40.

（1）求燈的最大值；

⑵的+*最小值.

10.某公司今年3月欲抽調(diào)一批銷售員推銷/產(chǎn)品，根據(jù)過去的經(jīng)驗，每月/產(chǎn)品銷售

920Y

數(shù)量y（萬件）與銷售員的數(shù)量X（人）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=7+3x+i60080）?在該月內(nèi),

銷售員數(shù)量為多少時，銷售的數(shù)量最大？最大銷售量為多少？（精確到0.1萬件）

［提能力］

Y

11.（多選）若對于任意的x〉0,不等式不去聽（2恒成立，則實數(shù)a可能的值為（）

1

X

O12

-X

L

A.B.0C.D.

12.已知不等式（x+y）g+；）N9對任意正實數(shù)x,y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為

（）

A.2B.4C.6D.8

13.若兩個正實數(shù)x,y1,且不等式60恒成立，則實數(shù)必

的取值范圍是

14.在4XD+9XE］=60的兩個口中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小,

應(yīng)分別填上________和.

15.某單位決定用18.8萬元把一會展中心(長方體狀，高度恒定)改造成方艙醫(yī)院，假

設(shè)方艙醫(yī)院的后墻利用原墻不花錢，正面用一種復(fù)合板隔離，每米造價40元，兩側(cè)用磚砌

墻，每米造價45元，頂部每平方米造價20元.問：

(1)改造后方艙醫(yī)院的面積S的最大值是多少？

(2)為使S達到最大，且實際造價又不超過預(yù)算，那么正面復(fù)合板應(yīng)設(shè)計為多長？

［培優(yōu)生］

16.我們學習了二元基本不等式：設(shè)a>0,b>0,一力施，當且僅當a=6時，等號

成立，利用基本不等式可以證明不等式，也可以利用“和定積最大，積定和最小”求最值.

(1)對于三元基本不等式請猜想：設(shè)a>0,6>0,c>0,.$》,當且僅當a

=6=c時，等號成立(把橫線補全).

(2)利用(1)猜想的三元基本不等式證明：

設(shè)GO,Z?>0,c>0,求證：(才+芯+冷(a+5+c)L9HA.

(3)利用⑴猜想的三元基本不等式求最值：

設(shè)力0,Z?>0,c>0,a+b+c=l,求(1—a)(1—6)(1—c)的最大值.

課時作業(yè)(十二)基本不等式的應(yīng)用

1.解析：因為a〉0,6>0,a+6=l,

所以，+；=p+O（a+歷=2+-+1^2+2A/-?1=4,

ab\ab）abab

當且僅當a=6=3寸等號成立，

故選B.

答案：B

2.解析:V5>0,"0,ab=l,且

貝!Jm+n=a+-+Z?+y^2Aa,~+2y/b?7=4,

ab\la\lb

當且僅當a=-,6=]即a=l,6=1時取等號.

ab

故選B.

答案：B

3.解析：由題意，可得a（1+A）（1+q）=a（l+x）：即（1+2）（l+q）=（l+x）2,

2

因為（1+而（1+q）+1,當且僅當時取等號，pWq,

所以（l+Md+g）〈產(chǎn)產(chǎn)）[

則1+*”丑=1+三，即/薩，

故選D.

答案：D

4.解析：可得6(2+口=1,所以2a+6=6仔+J]?(2a+6)=6(5+半+邊)26X(5+

\3.uj\3,UJ\uQ,J

9o2h

4)=54,當且僅當工=一時等號成立，所以9HW54,即〃W6,故選C.

ba

答案：C

5.解析：設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為xm,ym,貝成盯=1,即盯=2.

周長1=x+y+yjx+y2y[xy+yj2xy=2y[2+2^4.83(m),

當且僅當x=p時等號成立.結(jié)合實際問題，可知選C.

故選C.

答案：C

cc

6.解析：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s,則全程所需的時間為Lz，

._2s_2ab

**Vssa+b

:十%

*.*力石>0,由基本不等式可得，獲1b,

2ab2ab

—---<—j==

a+b2ylab

另方面2].〔室

a~\~b

另一萬面廣市〈a+6

2

2abab—aa—a

V~d=l+baa+b>a~\-b°

v>a,則a<v<.-\[ab.

故選AD.

答案：AD

7.解析：因為x>0,y>0,所以紅十包28,當且僅當紅=地時，"=”成立.所以〃+

xyxy

2<8,解得欣6.

答案：欣6

8.解析：每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為｝=18—.十空），而x>0,故』W18—2回

X\XJX

=8,當且僅當x=5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元.

答案：8

9.解析：（1）因為x〉0,y>0,.,.40=x+4y22V^j=4而

（當且僅當x=4y,即x=20,尸5時等號成立）

所以XJWIOO,

因此燈的最大值為100.

⑵因為x+4y=40,即±(x+4p)=l,

所以：+；=木5+4力9

40,

（當且僅當x=2y,即x=—,尸丁時等號成立）

oO

11Q

所以]+亍的最小值為而.

920

10.解析：依題意得

X

因為x+上幽三2

X

當且僅當即x=40時上式等號成立,

X

920

所以Jmax~n.1（萬件）.

83

所以當銷售員為40人時，銷售量最大，最大銷售量約為11.1萬件.

x

11.解析：對于V￡>0,不等式Wa恒成立.即對Vx>0,不等式-------Wa

x+3x+l

x+~+3

x

.當且僅當x=l時，取等號，所以一J-的最大值

恒成立.=x+:+323+2.

X吊+3

X

為’.所以名

故選BCD.

答案：BCD

12.解析：（入+力8+號=1+3+[+亍21+己+2\/：?亍=1+3+2—,

當且僅當[=亍，即〃=爪才時取等號.

依題意得l+a+2，^29,

即（、瓜一2）（，^+4）20,又，^+4>0,

???/三2,解得324,故a的最小值為4.

故選B.

答案：B

且僅當x=16y,即y=4且x=64時取等號.,.?，^+4，7>卬2—6%恒成立，貝!J16>方一6勿，解

得一2〈冰8.

答案：一2〈水8

14.解析：設(shè)兩數(shù)分別為x,y（x,HN*）,即4x+9y=60,

1?

Xy\Xy)60

$(13+產(chǎn)+牛>示(13+12)=.

當且僅當生'=紅，且4x+9y=60,即x=6且了=4時，等號成立，

yx

故應(yīng)分別填上6,4.

答案：64

15.解析：(1)設(shè)正面復(fù)合板長為xm,側(cè)面長為ym,總造價為z元，則方艙醫(yī)院的面

S=xy,總造價z=40x+2X45y+20xy=40x+90y+20xy.

由條件知zW188000,即4x+9y+2xj<18800.

Vjr>0,y>0,

.18800~4jr

?E-9+2x?

t—9

令1=9+2x,則矛=-^一(辦9),

一C—918800-(2t-18)

S=xj<^-?----------------------------

一1+9418L9X9409

t

9X9409、

+9418

9義9409

9418

t

=-2X3X97+9418

=8836,

9X9409

當且僅當t=t,即力=291時等號成立.

故S的最大值為8836m2.

.,.,