第2節(jié) 動量定理

第2節(jié)動量定理1教材解讀2物理與生活3如圖8—12所示，跳高運(yùn)動員要落到厚海綿墊上，跳遠(yuǎn)運(yùn)動員要跳到沙堆上，雞蛋掉到水泥地上會打破，而掉到泡沫墊上不易打破．

思考討論 你能解釋上述物理現(xiàn)象嗎?4知識詳解5知識點(diǎn)161.由牛頓第二定律推導(dǎo)出動量定理．(1)設(shè)一個物體的質(zhì)量為m，初速度為v，初動量為p=mv，在與速度方向一致的合力F的作用下，經(jīng)過一段時間t，速度變?yōu)関′，動量變?yōu)閜′=mv′，物體加速 度為 根據(jù)牛頓第二定律，物體運(yùn)動的加速度為 整理得 此式表明合外力的沖量等于物體動量的變化．7(2)由式 可得 此式說明作用力F等于物體動量的變化率．即 是牛頓第二定律的另一種表示形式．82.動量定理的內(nèi)容．動量定理的內(nèi)容：物體所受合力的沖量等于物體的動量變化．即 ，或93.對動量定理的理解(重點(diǎn))．

(1)動量定理的表達(dá)式是一個矢量式，應(yīng)用動量定理時需要規(guī)定正方向．

(2)動量定理中Ft是合外力的沖量，是使研究對象的動量發(fā)生變化的原因，并非產(chǎn)生動量的原因，不能認(rèn)為合外力的沖量就是動量的變化．合外力的沖量是引起研究對象狀態(tài)變化的外在因素，而動量的變化是 合外力沖量作用后導(dǎo)致的必然結(jié)果．10(3)動量定理中的沖量是合外力的沖量，而不是某一個力的沖量．在所研究的物理過程中，如果作用在物體上的各個外力的作用時間相同，求合外力的沖量時，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用時間，也可以先求每個外力作用時間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和．如果作用在物體上各外力的時間不同，就只能先求每一個外力在其時間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和．

(4)動量定理不但適用于恒力，也適用于變力．對于變力的情況，動量定理中的F應(yīng)理解為在變力 作用的這段時間內(nèi)的平均作用力．11例如：一只雞蛋從h=0.8m高處自由落下，第一次讓雞蛋落在水泥地面上，蛋殼與水泥地面的作用時間是t1=0.01s，第二次讓雞蛋落在泡沫墊上，蛋殼與泡沫墊的作用時間是1s，設(shè)兩次雞蛋的質(zhì)量都是m=50g，比較兩次蛋殼受到的平均沖力的大小．分析蛋殼與地的作用時間是指蛋殼與地接觸到完全靜止的這段時間．第一次雞蛋下落到與地開始接 觸前瞬間的速度 動量12作用后的動量為零，設(shè)平均作用力為F，以向下為正，由動量定理可得 則 ，負(fù)號表示方向向上．同理第二次落到泡沫墊上有 這說明雞蛋落到泡沫墊上所受到的平均沖力比落到水泥地面上所受到的平均沖力 要 小得多，因而雞蛋不易破．13又如：一質(zhì)量為m=100g的網(wǎng)球，以10m／s的速度垂直射到網(wǎng)球拍上，與球拍的作用時間為0.01s，后又以45m／s的速度反射出去，則球拍對球的平均作用力為多大?分析以球入射速度方向?yàn)檎虻某鮿恿? 反射速度方向?yàn)樨?fù)，則末動量 14設(shè)拍對球的平均作用力為F，由動量定理有Ft=△p，得 負(fù)號表示與球的入射方向相反．小結(jié)

以上兩例都是變力對物體發(fā)生作用，因此所求出的力是相互作用的這段時間內(nèi)的平均作用力．15

(5)動量定理中的研究對象可以是一個物體，也可以是幾個物體組成的系統(tǒng)．例如：質(zhì)量為m1的木塊和質(zhì)量為m2的鐵塊通過細(xì)線系在一起，從靜止開始以加速度a在足夠深的水中加速下沉(木塊在上，鐵塊在下)，經(jīng)時間t，線斷了，木塊與鐵塊分離，再經(jīng)時間t′，木塊停止下沉，此時鐵塊的速度多大?分析此題若用牛頓定律和運(yùn)動學(xué)公式求解 將很復(fù)雜，若把木塊和鐵塊整體作為研 究對象，就容易得多了．16

以木塊和鐵塊整體為研究對象，系統(tǒng)所受的合外力 設(shè)木塊停止運(yùn)動時，鐵塊速度為可v′，從開始運(yùn)動到木塊停止運(yùn)動這段時間內(nèi)應(yīng)用動量定理有 解得小結(jié)

對系統(tǒng)應(yīng)用動量定理時系統(tǒng)內(nèi) 物體的內(nèi)力不予考慮．17(6)動量定理不僅適用于宏觀物體的低速運(yùn)動，對微觀現(xiàn)象和高速運(yùn)動仍然適用．動量定理和動能定理的區(qū)別和聯(lián)系184.動量定理反映的是合外力的沖量與物體的動量變化的規(guī)律，是兩個矢量之間的關(guān)系．動能定理反映的是合外力做功與物體動能變化的關(guān)系，是兩個標(biāo)量之間的關(guān)系．有外力作用(合外力不為零)，這個外力對物體一定有沖量，物體的動量一定會發(fā)生變化．有外力作用(合外力不為零)，這個外力對物體有可能不做功，物體的動能不一定發(fā)生變化．例如：做勻速圓周運(yùn)動的物體受到向心力的作用，在一段時間t(t不等于其運(yùn)動周期的整數(shù)倍) 內(nèi)，物體的動量一定變化，而向心力對物 體卻不做功，物體的動能不發(fā)生變化．19知識點(diǎn)2應(yīng)用動量定理的幾個典型問題201.應(yīng)用動量定理定性地解釋一些現(xiàn)象．由Ft=△p知，當(dāng)△p一定時，t越大F越小，為了減小作用力，則應(yīng)盡量延緩作用時間，這就是我們所說的“緩沖現(xiàn)象”．例如：為了減少雞蛋在運(yùn)輸途中的破損，必須用泡沫塑料格盤裝蛋或在蛋與蛋之間用碎紙屑等充塞．因?yàn)樵谶\(yùn)輸途中由于車速的變化而引起雞蛋的動量變化△p是一定的，不用泡沫塑料格盤裝時，蛋與蛋之間的相互作用時間短，導(dǎo)致作用力大而易使蛋破碎，當(dāng)借用這類物質(zhì)盛裝時，就延長了它們相互作用的時間 而使作用力減?。?1又如：為了防止車禍中的人員傷亡，車在高速公路上行駛，車內(nèi)人員必須系好安全帶．當(dāng)發(fā)生車禍時，人體的動量改變△p是一定的，這時人體由與車體保持相對靜止到人體與靜止的車體發(fā)生作用，這個作用的時間很短，則人體受到車體的沖力就很大，車禍中的人員傷亡就是這樣發(fā)生的．如果人系好安全帶，人體在車開始發(fā)生車禍時就通過安全帶與人體發(fā)生作用，從而延緩了人體與車體作用的時間，大大減小了人體受到的沖力(再因安全帶與人 體的接觸面積較大，人體受到作用力的壓強(qiáng)就 更小了)，保護(hù)了人體的安全．22

再如：一輛轎車強(qiáng)行超車時，與另一輛迎面駛來的轎車相撞，兩車相撞后連為一體，兩車車身因相互擠壓，皆縮短了約0．5m，據(jù)測算兩車相撞前速度約為30m／s，則：

(1)車禍中車內(nèi)質(zhì)量約60kg的人受到的平均沖力是多大?(2)若此人系有安全帶，安全帶在車禍過程中與人體的作用時間是1s，求這時人體受到的平均沖力為多大?分析

(1)兩車相撞時認(rèn)為人與車一起做勻減速運(yùn)動直到停止，位移為0．5m．設(shè)運(yùn)動時間為t，根據(jù) 得23根據(jù)動量定理所以(2)若人系有安全帶，則24

2.求變力的沖量或求變力在某段時間內(nèi)的平均作用力時，不能用I=Ft，一定要用動量定理(這是上節(jié)提到的問題)．例如：如圖8—13所示，光滑水 平面上一輕彈簧，左端固定在豎 直擋板上，自然伸長，其勁度系數(shù)為k，一質(zhì)量為m的小球以速度v0由右向左運(yùn)動與彈簧接觸并壓縮彈簧，最后被彈簧向右反彈出去，小球與彈簧接觸的時間為t，則這段時間內(nèi)彈簧彈力的沖量和平均 彈力各為多大?25分析彈簧對小球的作用力是變力，只能用動量定理求彈力的沖量和這段時間內(nèi)的平均彈力．以向左為正方向，初速度v0方向向左，故p1=mv0．根據(jù)機(jī)械能守恒定律，小球被反彈后的動能與初動能相同，即方向向右，為負(fù)值，故p2=－mv0．設(shè)彈力沖量為I，這段時間內(nèi)的平均彈力為F， 則根據(jù)動量定理有26由Ft=△p得 ，負(fù)號表示方向向右．小結(jié)

求變力的沖量只能用動量定理，用動量定理求出的是變力在這段時間內(nèi)的平均作用力．27

3.在恒力作用下做曲線運(yùn)動的物體其速度方向不斷地變化，用△p=mvt－mv0求動量的變化比較復(fù)雜，用動量定理求這段時間內(nèi)的沖量就比較簡單．例如：如圖8—14所示，在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，有一質(zhì)量為m的物體，沿x軸方向以速度v，離開原點(diǎn)開始運(yùn)動，物體受到與x軸方向成45°的大小恒定的力F作用，求經(jīng)過時間t物體動量的變化．28分析如果要求t時刻物體運(yùn)動的速度大小和方向再用矢量運(yùn)算的法則求△p=p2－p1是很困難的(高中一般不要求用平行四邊形定則進(jìn)行定量運(yùn)算)，但用動量定理能很容易求出這段時間內(nèi)物體動量的變化．根據(jù)動量定理Ft=△p，可知這段時間內(nèi)物體動量變化的大小為Ft，方向．與x軸成45°角．29知識點(diǎn)3應(yīng)用動量定理解題的步驟301.明確研究對象，選定正方向，確定相互作用的始末時刻及這兩時刻的動量及變化．2.分析整個這段時間內(nèi)物體的受力情況和合力的沖量．3.由動量定理列式求解．

說明在分析物體的動量及其變化和受力情況及力的沖量時，一定要按“應(yīng)用動量定理的注意事項(xiàng)”中的原則進(jìn)行．在確定了研究對象后，始、末時刻的確定也非常重要，這兩時刻選定的是否恰當(dāng)能影 響解題的繁簡．31

例如：質(zhì)量為m=1kg的小球從5m高處自由落到泥潭中，小球整個運(yùn)動過程所用時間為l．8s，求泥潭中的淤泥對小球的平均作用力．(g取10m／s2)

解法l：以小球?yàn)檠芯繉ο?，它做自由落體運(yùn)動的時間為與淤泥作用的時間t2=t－t1=0．8s．以小球接觸淤泥為初時刻，以向下方向?yàn)檎?，則小球的速度 初動量 靜止時為末時刻，末動量p2=0．32

在與淤泥相互作用過程中，小球受到向下的重力mg和淤泥對小球的作用力F的作用，其合沖量為(mg+F)t2．(mg為正，F(xiàn)為未知量，“+”號是運(yùn)算符號，表示重力和F之和)由動量定理Ft=△p有解得 ，負(fù)號表示方向向上．33解法2：若以小球開始自由下落為初時刻，這時動量p1=0，以剛靜止在泥中為末時刻，p2=0．則這段時間內(nèi)小球受到的合沖量是小球重力的 沖量和淤泥對小球作用力的沖量之和，由動量定理有得 ，負(fù)號表示 與重力方向相反．

34注意 小球與淤泥作用時，不能忽略重力對小球的沖量，小球的動量變化是小球所受合外力沖量的結(jié)果。35典例剖析361．力、沖量和功的區(qū)別例l若物體在運(yùn)動過程中所受到的合外力不為零，則()A．物體的動能不可能總是不變的

B．物體的動量不可能總是不變的

C．物體的速度不可能總是不變的

D．物體的加速度一定變化37

解析根據(jù)動能定理，力的方向與運(yùn)動方向垂直時,有力存在但力不做功，動能不改變．例如在勻速圓周運(yùn)動中，物體所受到的合外力不為零，物體運(yùn)動的速度大小不變，其動能也不變，選項(xiàng)A錯誤．根據(jù)動量定理，有力存在，這個力就有作用時間，就有沖量，因而物體的動量就一定發(fā)生變化，選項(xiàng)B正確。力是產(chǎn)生加速度的原因，有力才有加速度，有加速度物體的速度就一定會發(fā)生變化，選項(xiàng)C正確．根據(jù)牛頓第二定律，如果合外力恒定，質(zhì)量一定，則物體的加速度恒定，選項(xiàng)D錯.

答案BC

點(diǎn)撥物理中有許多物理量“形似而質(zhì)異”、含義相 近，應(yīng)善于辨析．382．用動量定理計(jì)算變力的沖量例2長為L的細(xì)線一端固定，另一端系一個質(zhì)量為m的小球，在光滑的水平面上以速率v做勻速圓周運(yùn)動．在半個周期的時聞內(nèi)，細(xì)繩對小球拉力的沖量大小為() B．0 C．2mv D．mv39解析細(xì)繩拉力提供了小球做勻速圓周運(yùn)動所需要的向心力．雖然細(xì)繩對小球拉力大小為 ，半個周期的時間 都可求得，但由于拉力F的方向是不斷變化的，不能用沖量的定義I=Ft求拉力F的沖量．根據(jù)動量定理I=△p，可用小球動量的變化量求拉力，的沖量．在半個周期的時間內(nèi)，小球動量的變化量的大小為： 所以細(xì)繩對小球拉力 的沖量大小為2mv.40答案C點(diǎn)撥有些問題直接解決比較困難，運(yùn)用“逆向思維”、“等效思想”有時會峰回路轉(zhuǎn)，找到有效而簡單的方法．用動量定理求變力的沖量是一種很好的方法，一定要掌握．413．用動量定理解釋物理現(xiàn)象例3跳遠(yuǎn)時，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全。這是由于()A．人跳在沙坑里的動量比跳在水泥地上小B．人跳在沙坑里的動量變化比跳在水泥地上小C．人跳在沙坑里受到的沖力比跳在水泥地上小D．人跳在沙坑里受到的沖量比跳在水泥地上小42解析人跳遠(yuǎn)時，落地前的速度一定，初動量一定；落地后靜止，末動量也一定，所以人落地過程的動量變化量△p一定．因落在沙坑上的作用時間長、落在水泥地上的作用時間短，根據(jù)動量定理 一定，t大，則F小，故選項(xiàng)C正確．答案C點(diǎn)撥此類問題的似是而非的解釋很多，應(yīng)認(rèn) 真分析，認(rèn)清實(shí)質(zhì)．43例4如圖8—2—1所示，把重物壓在紙帶上，用一水平力緩緩拉動紙帶，重物跟著一起運(yùn)動；若迅速拉動紙帶，紙帶將會從重物下面抽出，解釋這一現(xiàn)象的正確說法是()A．在緩緩拉動時，重物和紙帶間的摩擦力大

B．在迅速拉動時，重物和紙帶間的摩擦力小

C．在緩緩拉動時，紙帶給重物的沖量大

D．在迅速拉動時，紙帶給 重物的沖量小44

解析在緩緩拉動時，兩物體之間的作用力是靜摩擦力，在迅速拉動時，它們之間的作用力是滑動摩擦力．所以緩拉，摩擦力??；快拉，摩擦力大，故選項(xiàng)A、B都錯．緩拉紙帶時，摩擦力雖小些，但作用時間可以很長，故重物獲得的沖量，即動量的改變可以很大，所以能把重物帶動．快拉時，摩擦力雖大些，但作用時間很短，故沖量小，所以重物動量改變很小，紙帶能從重物下面抽出．選項(xiàng)C、D正確．答案CD

點(diǎn)撥 解釋現(xiàn)象時，應(yīng)認(rèn)真分析現(xiàn)象本身，找出 合理解釋現(xiàn)象的概念及規(guī)律，有針對性地進(jìn)行準(zhǔn) 確判斷和解釋．454．用動量定理求恒力作用下的曲線運(yùn)動中物體動量的變化例5 做平拋運(yùn)動的物體，在相等的時間內(nèi)，物體的動量變化量()A．大小相等，方向相同 B．大小相等，方向不同

C．大小不等，方向相同D．大小不等，方向不同46解析本題如果根據(jù)平拋運(yùn)動的知識，直接判斷在相等時間內(nèi)物體的動量變化量，是比較麻煩的．由于做平拋運(yùn)動的物體，只受到重力(恒力)的作用，根據(jù)動量定理△p=F·△t可知，平拋運(yùn)動的物體的動量變化量等于它受到的重力的沖量，若時間相等，則動量變化量大小相等、方向相同，選項(xiàng)A正確．答案A

點(diǎn)撥有些變力作用或曲線運(yùn)動的問題，用牛頓第二定律無法解決，而應(yīng)用動量可以化

難為易、化繁為簡．47的比較例6如圖8-2-2所示中四個圖象是豎直上拋物體的動量增量隨時間變化的圖線和動量變化率隨時間變化的圖線，若不計(jì)空氣阻力，取豎直向上為正方向，則()48A．動量增量隨時間變化的圖線是甲圖B．動量變化率隨時間變化的圖線是乙圖C．動量增量隨時間變化的圖線是丙圖D．動量變化率隨時間變化的圖線是丁圖解析設(shè)物體的質(zhì)量為m，根據(jù)動量定理，動量增量等于重力的沖量－mgt，所以動量增量隨時間變化的圖線是丙圖；動量變化率， 所以動量變化率隨時間變化的圖線是丁圖．答案CD點(diǎn)撥用圖象來描述物理規(guī)律是物理學(xué)中常用的方法， 解決圖象問題的關(guān)鍵是要理解圖象的物理意義，特 別是圖象的斜率、面積等所表示的物理量．49易錯點(diǎn)和易忽略點(diǎn)導(dǎo)析50易忽略點(diǎn)：動量定理和矢量性51易忽略點(diǎn)導(dǎo)析：動量定理公式中的沖量Ft，動量P、P'，動量變化△P都是矢量，都具有方向性，因此在解題時要注意矢量運(yùn)算的方法，避免出錯．例 3kg的物體以5m/s的初速度做斜拋運(yùn)動，3s后速度變?yōu)?m／s，求這3s內(nèi)物體動量的增量．52錯解：根據(jù) ，可得錯解分析：動量是矢量，把不知方向的兩個時刻的動量的代數(shù)差看成動量的增量是錯誤的。正確解法：物體拋出后只受重力作用，而且重力是恒力，由動量定理 有， ，方向豎直向下。53創(chuàng)新講解54一、學(xué)科綜合思維專題點(diǎn)撥學(xué)科綜合思維導(dǎo)析：動量定理通常和力學(xué)、運(yùn)動學(xué)、能量等知識點(diǎn)綜合．有些題可用動量定理求解，也可用運(yùn)動學(xué)結(jié)合牛頓運(yùn)動定律來求解．由于動量定理未涉及加速度和位移，所以有關(guān)曲線問題和變力問題，應(yīng)用動量定理比用牛頓第二定律解決要簡單得多．當(dāng)求解相互作用時間極短，不發(fā)生位移的碰撞、爆炸問題時，牛頓運(yùn)動定律無法直接應(yīng) 用，而應(yīng)用動量定理則可、解決．55【例1】某物體由靜止開始在牽引力的作用下做勻加速直線運(yùn)動，作用時間為t1，接著又在阻力作用下做勻減速直線運(yùn)動，經(jīng)時間t2速度為零．若物體一直在同樣的水平面上運(yùn)動，則前一段的牽引力與后一段的阻力大小之比為

．解： 點(diǎn)撥：研究對象經(jīng)歷兩個過程，受力情況不同，但都遵循動量定理．選擇不同 的運(yùn)動過程，可有不同的解題方法．56法一：物體加速運(yùn)動時，水平方向受兩個力作用，設(shè)運(yùn)動方向?yàn)檎较颍┧俣葹関1，有：物體減速運(yùn)動時，水平方向受一個力作用，末速度為0，有： ，解得57法二：雖然各個力作用時間長短不一，仍可將全過程作為一個整體，由動量定理可得： 解得

本題也可用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求解，同學(xué)們可以試一試．運(yùn)用動量定理解題的優(yōu)點(diǎn)是：(1)只需考慮始末狀態(tài)，不考慮復(fù)雜的過程．可以是分過程，也可以是全過程．(2)在不涉及位移、加速度的情況下，用 動量定理求解更為方便．58二、實(shí)際應(yīng)用思維專題點(diǎn)撥 實(shí)際應(yīng)用思維導(dǎo)析：由動量定理Ft=△p可知，在動量變化相同時，作用時間越長，作用力就越?。虼嗽谖矬w發(fā)生運(yùn)動狀態(tài)變化時，為了減小作用力，常用延長作用時間的方法，這叫緩沖．在碰撞、爆炸等作用時間短、作用力大的問題中，也可用動量定理計(jì) 算平均作用力．59【例2】“蹦床”已成為奧運(yùn)會的比賽項(xiàng)目．質(zhì)量為m的運(yùn)動員從床墊正上方h1高處自由落下，落到墊上后被反彈的高度為h2，設(shè)運(yùn)動員每次與床墊接觸的時間為t，求在運(yùn)動員與床墊接觸的時間內(nèi)運(yùn)動員對床墊的平均作用力．(空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g)60

某同學(xué)給出了如下解答：設(shè)在時間t內(nèi)，床墊對運(yùn)動員的平均作用力大小為F，運(yùn)動員剛接觸床墊時的速率為v1，剛離開床墊時的速率為讓，則由動量定理可知：由機(jī)械能守恒定律分別有：即 即 聯(lián)立①②③④式可得61該同學(xué)的解答過程是否正確？若不正確，請指出該同學(xué)解答過程中所有的不妥之處，并加以改正。解：該同學(xué)的解答過程有如下四個錯誤：(1)原解法中②式中未注意動量的矢量性，規(guī)定豎直向上方向?yàn)檎?，正確的表達(dá)式為：△P= ；(2)①式中沖量應(yīng)為合外力的沖量，即墊對運(yùn)動員的作用力和重力的合力的沖量，正確的表達(dá)式為： ，解得62(3)上述解答中所求F為床