高中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試卷

中學(xué)數(shù)學(xué)青年老師解題競賽試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.全卷共5頁,

滿分為150分.考試時間120分鐘.

n第I卷（選擇題共60分）

Hv

-*

參考公式:

三角函數(shù)和差化積公式正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式

sin6+sin0=2sin"cos仁S臺=5（c'+。）/其中C，、C分別表示

22

sinO-sin。=2cos上、下底面周長,/表示斜高或母線長

22

-￡

八」-e+。e—0嚏體=/炳+S>7

cos夕+cos。=2cos—廣cos臺體的體積公式:

2

6+0,0-<b

cos。一cos。=-2sin------sin------其中S'、S分別表示上、下底面積，力表示高

22

3

s，三

題號—>二總分

171819202122

分?jǐn)?shù)

、

「

二

J一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

-d

是符合題目要求的.每小題選出答案后，請?zhí)钕卤碇?

題號123456789101112

答案

（1）常數(shù)T滿意sin（T+x）=-cosx和tg（T-x）=ctgr,則T的一個值是（）.

TTIT

(A)-n(B)TV(C)--(D)-

22

(2)在等差數(shù)列｛/｝中，q+34+小=120,則2a9-的值為().

(A)24(B)22(C)20(D)-8

(3)設(shè)點P對應(yīng)復(fù)數(shù)是3+3i,以原點為極點，實軸的正半軸為極軸，建立極坐

標(biāo)系，則點P的極坐標(biāo)為().

(A)(3"芝|(B)13立用(C)134)(D)1年

(4)設(shè)A、8是兩個非空集合，若規(guī)定：A—5=月/eB｝,則A—

等于().

(A)B(B)ACIB(C)AU8(D)A

(5)函數(shù))=/(x)的圖象與直線x=l的交點個數(shù)為().

(A)0(B)1(C)2(D)0或1

(6)設(shè)函數(shù)/(x)=Asin(<yx+>)(其中A>0⑷>0,xeR),則/(0)=0是/(x)為

奇函數(shù)的().

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

(7)如圖，在斜三棱柱ABC—A4G中，NB4C=90°,BCt±AC,過C;作

GaJ?底面ABC,垂足為“，則().R

(A)”在直線AC上(B)”在直線AB上X.

(C)”在直線BC上(D)”在△ABC內(nèi)BC

(8)電訊資費調(diào)整后，市話費標(biāo)準(zhǔn)為：通話時間不超過3分鐘收費0.2元；超

過3分鐘，以后每增加1分鐘收費0.1元，不足1分鐘以1分鐘收費則通話收S(元)與通話

時間r(分鐘)的函數(shù)圖象可表示為().

(A)(B)(C)(D)

22r22

(9)以橢圓工+工=1的右焦點為圓心,且與雙曲線\一Jv=1的漸近線相

169144916

切的圓的方程為().

(A)x2+y2-10x+9=0(B)x2+y2-10x-9=0

(C)x2+/+10x-9=0(D)x2+/+10x+9=0

(10)已知(l+2x)"的綻開式中全部項系數(shù)之和為729,則這個綻開式中含/項

的系數(shù)是().

(A)56(B)80(C)160(D)180

(11)A3是過圓錐曲線焦點F的弦，/是與點F對應(yīng)的準(zhǔn)線，則以弦AB為直

徑的圓與直線/的位置關(guān)系().

(A)相切(B)相交(C)相離(D)由離心率e確定

(12)定義在R上的函數(shù)y=/(-x)的反函數(shù)為丁=廣依)，則曠=/(6是().

(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)

(C)非奇非偶函數(shù)(D)滿意題設(shè)的函數(shù)/(x)不存在

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫

線上.

(13)函數(shù)y=sinX[TC<X<—)的反函數(shù)是.

(14)已知拋物線的焦點坐標(biāo)為(2,1),準(zhǔn)線方程為2x+y=0,則其頂點坐標(biāo)為

A

(15)如圖，在棱長都相等的四面體A—BCD中，

E、F分別為棱A。、3C的中點，則直線B//\r\D

AF.CE所成角的余弦值為.rxi/X

C

(16)甲、乙、丙、丁、戊共5人參與某項技術(shù)競賽，決出了第1名到第5名

的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成果，回答者對甲說：“很缺憾，你

和乙都沒拿冠軍”，對乙說：''你當(dāng)然不是最差的.”請從這個回答分析，

5人的名次排列共可能有種不同狀況(用數(shù)字作答).

三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

(17)(本小題滿分10分)

已知復(fù)數(shù)"=cosA+2icos2C,其中A、C為△ABC的內(nèi)角，且三個內(nèi)角

2

鼠滿意2B=A+C.試求的取值范圍.

施

郢

（18）（本小題滿分12分）

已知曲線C上的任一點M（x,y）（其中x20），到點A（2,0）的距離減去它到

y軸的距離的差是2,過點A的一條直線與曲線C交于P、。兩點，通過點P和坐標(biāo)原點的直

線交直線x+2=0于N

（I）求曲線C的方程；

（II）求證：N0平行于x軸.

（19）（本小題滿分12分）

是否存在一個等差數(shù)列&},使對隨意的自然數(shù)〃，都有2"?ata2…%=

(20)(本小題滿分12分)

如圖，△ABC是一個遮陽棚，點A、3是地面上

南北方向的兩定點，正西方向射出的太陽(用點

。表示)光線OCD與地面成銳角0.

(I)遮陽棚與地面成多少度的二面角時，

才能使遮影△A3。面積最大？

(II)當(dāng)AC=3,BC=4,AB=5,6=30°時，試求出遮影△A3。的最

大面積.

（21）（本小題滿分14分）

甲、乙、丙三種食物維生素A、8含量及成本如下表:

項目甲乙丙

維生素A（單位/千克）600700400

維生素8（單位/千克）800400500

成本（元/千克）1194

酸某食物養(yǎng)分探討所想用x千克甲種食物、y千克乙種食物、z千克丙種食物

配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000單位維生素A和63000

磔單位維生素A試用x、y表示混合物的成本M（元）；并確定x、y、z的值,

使成本最低.

(22)(本小題滿分14分)

定義在(一1,1)上的函數(shù)f(x)滿意：①對隨意x、yw(-1,1),都有/(》)+/()，)=/[]三

②當(dāng)xe(-l,O)時，有/(x)>0.

證明：(I)函數(shù)/(x)在(-1,1)上的圖象關(guān)于原點對稱；

(II)函數(shù)/(x)在(-1,0)上是單調(diào)減函數(shù)；

(111)伊總卜…

中學(xué)數(shù)學(xué)青年老師解題競賽試卷

參考答案

一、選擇題：

題號1234567891()1112

答案cABBDcBcAcDD

2

二、填空題：(13)y=7r-arcsinx,xe[-1,0](14)1,(15)-(16)54

3

三、解答題:

（17）（本小題滿分10分）

解：由AABC的內(nèi)角關(guān)系之二:2燈=5=60。=華

又〃=cosA+2zcos2g=cosA+z(l+cosC)

1+cos2A1+cos2c

貝ijI”-f|=Vcos2A+cos2C-------------+-------------

22

1+g(cos2A+cos2C)

1—-cos(A—C)

?A-C=120°-2C

由4+。=120。=/、=>-1200<A-C<120°

A,Ce(0°J20°)

n-g<cos(A-C)<1

歷

從而《\u—/|為^^求.

（18）（本小題滿分12分）

（I）解：由題設(shè)知：曲線C上隨意一點M（x,y）到定點A（2,0）距離等于它到直線x=-2的距離.

由拋物線定義知：

曲線C的方程為V=8x…

（注：若不限制心0,拋物線C還可為y=0（x<0）,即x軸負(fù)半軸）

（II）證明：①當(dāng)過點A的直線不與x軸垂直時，斜率Kpq存在,

設(shè)P。方程為），=《-2）

y2=^X尸/斗_]6=0

由<

y=k(x-2)k

n=T6

又直線OP方程為y=

Xp…浮一2

而點N在直線OP上，也在直線x=-2上

?rvp”=4-(-2)=—

麻.嘰司二.]

)(\而處為=-16

(證0、N點縱坐標(biāo)相等)=以=%

故NO〃x軸

②當(dāng)過點A的直線P。與x軸垂直時，結(jié)論明顯成立

(19)(本小題滿分12分)

解：若存在一個等差數(shù)列｛〃“｝滿意題設(shè)，則

〃=1時，有2〃]=En〃[=1；

〃=2時，有2?a。=廳ng=3；

3

〃=3時，有2ala2a3=n%=5.

???猜想存在這樣的一個數(shù)列｛an｝的通項為%=2〃-1(〃eN)

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)當(dāng)〃=1時，卬=1滿意%=2〃-1

(2)假設(shè)〃=H2￡N)滿意題設(shè)，

即2"./2…耿=既成立

當(dāng)〃=2+1時,…4-a〃+i=26>%+1

=2(24+1).成

即…(2Z—1*2左+1)=2(2%.1?2.3-5…(2%—0(2%+1))

=2(k+抽+2)…(無+k)-(2k+1)

=(%+2)(%+3)…(&+1〉(％+%+*%+%+2)

=片2)

則”=z+i也成立.

綜上(1)、(2)知a,,=2〃—1對〃eN都有2%〃2…4=石：成立.

。、太陽

(20)(本小題滿分12分)

E'

AB

(I)解：設(shè)”為點。在地面的射影,

D

連結(jié)HD交AB于E.

則NCOE=e,且0"，平面AB。]

』OH1AB、

48<=平面48?！?nAB，平面O”O(jiān)

又A3是南北方向，CD是西東方向，則CD，AB-

JABLOE=>DE是△A3。中AB邊上的高

^[ABLCE且NCEO是C—AB—O的平面角.

在△A3。中，要使面積最大，只須OE最大

rp

而△CDE中，由正弦定理。E=-------sin/OCE.（目標(biāo)函數(shù)中sindCE均為定值）

sin。

所以，當(dāng)NDCE=90°時.sinNDCE最大，則DE最大，

從而NCEO=90?！?時:遮影△4BO面積最大.

（II）解：當(dāng)AC=3,BC=4,AB=5,6=30°時，

（S./=1?A5"=g5/=12為所求.

（21）（本小題滿分14分）

（I）依題設(shè)知：M=1T+9y+4z

又x+y+z=100=z=100-x-y代入上式

則M=400+7x+5y為所求.

,、……"600x+700y+400z256000①

（ID由題設(shè)得《

800x+40（》+500z>63000②

將z=100-x-y分別代入①、②得：

j2x+3y>160

[3x-y>130

止匕時M=400+7x+5y

=400+2（2x+3y）+（3x-y）

>400+2-160+130

=85（）

當(dāng)且僅當(dāng)[2x+3,=160即（X=50時取等號

[3x-y=130[y=20

答:當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克成本最低為850元.

（22）（本小題滿分14分）

證明：⑴由條件①可取>=一工€（-1,1）,則/（6+/（7）=/（0）、

再取y=0e（-1,1）,則f（x）+/（0）=f（x）J=