完整的數(shù)學(xué)建模(鉛球投擲)

PAGE2012年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了四川理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料)，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是(從A/B/C/D中選擇一項填寫)：C 我們的參賽報名號為(如果設(shè)置報名號的話)：所屬學(xué)校(請?zhí)顚懲暾娜?：四川理工學(xué)院黃嶺校區(qū)參賽隊員(打印并簽名)：1.2.3.日期：2012年05月21日

2012年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁評閱編號(由評委團評閱前進(jìn)行編號)：評閱記錄表評閱人評分備注1-從而可以得出:當(dāng)投擲距離取得最大值時可以得下列關(guān)系式:…………［１］由上是化簡可以得3.1.2問題一的分析,在定義域內(nèi)單增,則易知:當(dāng)出手高度一定時:最佳出手角度隨出手速度增大而增大.當(dāng)出手速度一定時:最佳出手角度隨出手高度增大而減小.結(jié)論:應(yīng)該根據(jù)出手速度與人的具體身高與其習(xí)慣的出手姿勢計算并得出最佳的出手角度,并且最佳出手角度可由方程:得到.3.2問題二模型的建立3.2.1建立模型由于速度與角度相互有關(guān)聯(lián)，并且要找到一種折中辦法使拋球的距離最大，則想到找到速度與角度的函數(shù)，函數(shù)是由數(shù)學(xué)軟件根據(jù)給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合而來所以得到兩個方程，Ｆ(v,u)(速度v與角度u兩個變量所組成的方程),X(v,u)(拋球距離x關(guān)于變量v與變量u的函數(shù)),從而由兩個函數(shù)關(guān)系并且根據(jù)角度與速度的實際變化范圍求得拋球距離x的最大值．由題中提供的數(shù)據(jù)即:表1運動員投擲鉛球數(shù)據(jù)姓名出手速度出手高度出手角度實測成績s(m)李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內(nèi)克13.772.0640.0021.41李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95以出手速度作為變量擬合關(guān)于角度的函數(shù),首先作出速度關(guān)于角度的散點圖,然后擬合并在同一圖中顯示擬合的函數(shù)與散點的相符效果,結(jié)果如下:圖3角度關(guān)于速度的散點圖.(這就是擬合到得角度關(guān)于速度的方程)Out[4]=Out[3]=圖3角度關(guān)于速度擬合方程的圖圖4擬合曲線與散點圖在同一坐標(biāo)中的顯示狀況.由第一問的解答有:……………….①擬合方程:………②可得:s=3.2.2問題二的分析上式是出手距離與出手速度及出手高度的函數(shù)關(guān)系式，假設(shè)高度一定時則只有速度v一個變量。因此可以取不同的速度v值而得到不同的出手距離，然后由出手速度與出手角度的關(guān)聯(lián)式，即②式，從而得出對應(yīng)的出手角度，然后列出一個表格，由表格中得出的數(shù)據(jù)找出出手角度與出手速度的最佳折中辦法。由題所給的所有數(shù)據(jù)得到出手高度的平均值為：h=1.99875，把此值作為定值?？梢缘贸鱿旅娴臄?shù)據(jù)表：出手速度13.413.513.613.713.8出手距離19.406919.608619.797420.035220.320820.629520.93621.222出手角度37.270739.457138.230937.861338.0478.38.49738.921839.0412出手速度13.91414.414.514.6出手距離21.46621.618421.559721.053419.719417.106313.038.32289出手角度38.580437.270734.848931.057325.64418.3628.969632.76989表2投擲遠(yuǎn)度影響因素則由上表可看出來出手距離先隨速度變大而變大，當(dāng)速度增大到14再往上逐漸增大時，出手距離逐漸減小，出手角度隨出手速度的增大同樣是先增大后減小，速度從13.1~14.3時出手角度的變化是37.2707~25.644，運動員以這個出手角度范圍的角度出手都不太難，所以角度的考慮是次要因素，而主要因數(shù)是成績評定標(biāo)準(zhǔn)的出手距離，當(dāng)v在14m/s時速度達(dá)到最大，所以此時運動員得到的成績最理想。結(jié)論：速度與角度的最佳折中辦法是：使出手速度在14m/s左右，從而對應(yīng)的出手角度在37.2707°左右。3.3問題三模型的建立及求解3.3.1建立模型經(jīng)過上述分析，投擲鉛球的遠(yuǎn)近是一個關(guān)于出手高度、出手速度、出手角度相關(guān)的復(fù)雜變量。其中出手速度的影響最為重要。由此，教練員應(yīng)該著力提高運動員施力于鉛球上的力而提高成績。假設(shè)：滑步階段為水平運動，鉛球隨人體產(chǎn)生一個水平初速度；用力階段，運動員從開始用力推鉛球到鉛球出手有一段時間；作用時間內(nèi)的推力大小不變離得方向與鉛球出手方向相同。……………[3]符號約定：X:水平位置Y:豎直位置：初速度：作用時間：推力大?。恒U球質(zhì)量水平位置有：豎直方向有：所以在區(qū)間的積分可得：因為有所以得到3.3.2問題三的分析由可得增大作用與鉛球上的力和時間以及增大初速度均可提高鉛球的出手速度。從而提高投擲距離。因此教練員可從以下方面來訓(xùn)練運動員。1.增大手與鉛球間的摩擦力以增大作用時間。2.采用旋轉(zhuǎn)投擲法，從腰間發(fā)力，旋轉(zhuǎn)將力施加到鉛球上以增大作用力。3.在投擲點采用前后腳交替以增大初速度。四、模型求解用mathematica7.0軟件進(jìn)行的求解過程如下:4.1第一問求解Solve[h1+h==g*(t2)^2/2,t2]得顯然負(fù)值舍去筆算可得：然后根據(jù)參考文獻(xiàn)可得：4.2第二問求解建立二維數(shù)據(jù)表,畫散點圖,擬合方程及散點圖與擬合方程在同一圖中的顯示操作如下:x={13.75,13.52,13.77,13.16,13.51,13.58,13.95,14.08};y={37.60,38.69,40.00,40.27,38.69,37.75,39.00,35.13};data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,8}];=ListPlot[data,PlotStylePointSize[0.02]];f=Fit[data,{1,v,v^2,Log[v]},v];w=Plot[f,{v,13.00,15.00}];Show[w,shu]擬合圖與問題一的方程求解如下:得出s關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)h值一定,以v緩慢增大的過程對v及定值g,h的復(fù)值如下：s/.{h1.99875,va,g9.8}(其中a為v緩慢增大的任意取值，從而可以得出s關(guān)于v的多組數(shù)據(jù))．根據(jù)v的值求對應(yīng)出手角度的計算如下：(a同上為v緩慢增大的任意取值)．五、模型評價本模型建立了投擲鉛球所需的最佳角度范圍，研究了速度，夾角以及投擲高度對投擲距離的影響，通過定量和定性分析，得出了投擲的最佳角度，最佳速度，以及應(yīng)保持怎樣的方式投擲．給教練員在訓(xùn)練運動員時提供了有效的參考。但是由于某些假設(shè)過于理想，如速度與角度的相互影響，滑步過程的假設(shè)，在實際運用中并不能很好的應(yīng)用。因此在不同的環(huán)境，對于不同的人訓(xùn)練時，運動員應(yīng)選擇