四川省成都市2024屆高三數(shù)學(xué)一模文試題含解析

Page25（總分：150分，時(shí)間：120分鐘）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域與絕對(duì)值不等式得出集合與，即可根據(jù)集合的交集運(yùn)算得出答案.【詳解】，，故.故選：B.2.已知純虛數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用純虛數(shù)的概念和復(fù)數(shù)及模的運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，故，，.故選：A3.某公司一種型號(hào)的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為（）A.18.85萬元 B.19.3萬元 C.19.25萬元 D.19.05萬元【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，即可求得，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)榛貧w直線過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，所以回歸直線方程為，則該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為萬元.故選：D4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體最長的棱長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知多面體是如圖所示的三棱錐，然后計(jì)算各棱長比較即可.【詳解】由三視圖可知多面體是如圖所示的三棱錐，由圖可知，，所以最長的棱長為，故選：C5.下列說法正確的是（）A.已知非零向量，，，若，則B.設(shè)x，，則“”是“且”的充分不必要條件C.用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式的值，當(dāng)時(shí)，（第三次計(jì)算一次多項(xiàng)式）的值為14D.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”是兩個(gè)互斥且不對(duì)立的事件【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)，有可推出；B選項(xiàng)：代入特定值驗(yàn)證命題的充分性與必要性；C選項(xiàng)：應(yīng)用秦九韶算法求解；D選項(xiàng)：應(yīng)用事件的互斥對(duì)立定義判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，不能推出，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立時(shí)，必有成立，反之，取，則成立，但不成立，因此“”是“”的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋钥梢园讯囗?xiàng)式寫成如下形式：，按照從內(nèi)而外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)?shù)闹担?，，，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，至少有一個(gè)黑球包含的基本事件有“一黑一紅，兩黑”，至少有一個(gè)紅球包含的基本事件有“一黑一紅，兩紅”，所以兩事件不互斥，故D錯(cuò)誤；故選：C.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先對(duì)兩式進(jìn)行平方，進(jìn)而可求出的值，根據(jù)二倍角公式求出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故，故選：D.7.公差為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，其前項(xiàng)和為，若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則數(shù)列的前100項(xiàng)和等于（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由題意可知，直線與直線垂直，且直線過圓心，可求得和的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得數(shù)列的前項(xiàng)100和.【詳解】因?yàn)橹本€與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線經(jīng)過圓心，且直線與直線垂直，所以且，即，.則，，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為.故選：A.8.已知函數(shù)f(x)＝(a，b，c，d∈R)的圖象如圖所示，則（）A.a＞0，b＞0，c＜0，d＜0 B.a＜0，b＞0，c＜0，d＞0C.a＜0，b＞0，c＞0，d＞0 D.a＞0，b＜0，c＞0，d＞0【答案】B【解析】【分析】由圖像可得ax2＋bx＋c＝0的兩根為1，5，由根與系數(shù)的關(guān)系得－＝6，＝5，從而可確定系數(shù)的正負(fù).【詳解】由圖可知，x≠1且x≠5，則ax2＋bx＋c＝0的兩根為1，5，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－＝6，＝5，∴a，b異號(hào)，a，c同號(hào)，排除A、C；又f(0)＝＜0，∴c，d異號(hào)，排除D，只有B項(xiàng)適合.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用圖像信息分析函數(shù)解析式中的系數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，棱長為2的正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，以下四個(gè)命題：①三棱錐的體積為定值；②；③若，則三棱錐的外接球半徑為；④的最小值為.其中真命題有（）A①②③ B.①②④ C.①②③④ D.③④【答案】A【解析】【分析】由題可證平面，即當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)恒為定值，故①正確；由題可證平面，故②正確；三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，找到球心即可求半徑，故③；旋轉(zhuǎn)，將空間問題平面化，判斷④錯(cuò)誤.【詳解】正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，即當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)恒為定值，又，也為定值，所以三棱錐體積為定值，①正確；在正方體中，平面，平面，所以，在正方形中：，又，平面，所以平面，又平面，所以，②正確；因?yàn)辄c(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，又正方體的中心到三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)距離相等，所以正方體的中心即為外接球球心，半徑為體對(duì)角線的一半，為，③正確；如圖所示：將三角形沿翻折得到該圖形，連接與相交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，延長，過作于點(diǎn)，在中，，故的最小值為，④錯(cuò)誤.故選：A.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值與下面的哪個(gè)數(shù)最接近（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】該程序框圖相當(dāng)于在上任取10000對(duì)數(shù)對(duì)，其中滿足的數(shù)對(duì)有對(duì)，分別計(jì)算出不等式組所表示的區(qū)域面積和不等式組所表示的區(qū)域面積，再利用幾何概型的面積公式可求得的近似值.【詳解】該程序框圖相當(dāng)于在上任取10000對(duì)數(shù)對(duì)，其中滿足的數(shù)對(duì)有對(duì)，顯然該問題是幾何概型．不等式組所表示的區(qū)域面積為9，不等式組所表示的區(qū)域面積為，故，因此.故選：B.11.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)、、且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，將原函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，令，轉(zhuǎn)化為，再令，得到使時(shí)的根的個(gè)數(shù)，再分類討論的范圍與根的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)與方程性質(zhì)及零點(diǎn)的關(guān)系即可得.【詳解】令，得，整理得，令，原方程化為，設(shè)，則，令，解得，且，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，則在時(shí)，有最大值為，則當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，無解，因?yàn)樵匠虨?，由題可知有三個(gè)零點(diǎn)，因此方程有兩個(gè)不等實(shí)根、，設(shè)，則有，，若，則，故舍去，若，則，，有，即有，，代入得，矛盾，故舍去，若則，，，設(shè)，則，得到，所以.故選：D.12.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，直線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，則的最大值為（）A.80 B.81 C.72 D.71【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合圖形，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，故，連接、，如圖所示，可得，其中由圖可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值為80.故選：A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【詳解】拋物線即，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.14.如圖所示的莖葉圖記錄著甲、乙兩支籃球是各6名球員某份比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y即可求解.【詳解】由題意，甲的中位數(shù)為：，故乙的中位數(shù)①，，因?yàn)槠骄鶖?shù)相同，所以②，由①②可得，，所以，故答案為：.15.在等腰直角三角形中，，為斜邊的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在上，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形分析即可.【詳解】以為圓心，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由于所以，由于點(diǎn)在，不妨設(shè)，，，其中，，所以，可看作是上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由于點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)距離最大，為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)距離最小為0，綜上可知：.故答案為：.16.已知函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為________．【答案】1【解析】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的定義推出為上的奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)推出在上單調(diào)遞增．利用奇偶性和單調(diào)性將不等式化為對(duì)任意的恒成立，再參變分離得對(duì)任意的恒成立．然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以為上的奇函?shù)．又，所以在上單調(diào)遞增．不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立．令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)．所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在，使得，所以，此時(shí)，所以，即的最大值為1．故答案為：1【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.三、解答題（本題共6道小題，共70分）17.已知向量，，函數(shù).（1）若，求的值；（2），，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線定理可得，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式的應(yīng)用可得解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式可得，進(jìn)而可得，再利用余弦定理和基本不等式求的最大值，最后用三角形面積公式即可得解.【小問1詳解】，，則；.故.【小問2詳解】，即.又，所以，得，又，即，因?yàn)椋矣捎嘞叶ɡ砜芍?，，所以，由基本不等式可得，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），故，即面積最大值為.18.如圖甲是由直角梯形ABCD和等邊三角形CDE組成的一個(gè)平面圖形，其中，⊥，，將沿CD折起使點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位置（如圖乙），使二面角為直二面角.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到，由面面垂直得到線面垂直，得到線線垂直；（2）作出輔助線，證明出線面垂直，得到，求出各邊長，利用等體積法求出點(diǎn)到平面距離.【小問1詳解】證明：取AD中點(diǎn)為F，連接AC，CF，由且得且，∴四邊形為平行四邊形，又且⊥，∴平行四邊形為正方形，∴，故，所以，∴，又∵二面角為直二面角，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵移矫嫫矫?，，所以，所?因?yàn)?，，在中，，在中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所?令點(diǎn)到平面距離為，所以，，即點(diǎn)到平面距離為.19.某公司是一家集無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)，產(chǎn)品主要應(yīng)用于森林消防、物流運(yùn)輸、航空測(cè)繪、軍事偵察等領(lǐng)域，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．該公司分別收集了甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)在5個(gè)不同的地點(diǎn)測(cè)試的某項(xiàng)指標(biāo)數(shù)，，數(shù)據(jù)如下表所示：地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)5甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)x24568乙型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)y34445（1）試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很高）（2）從這5個(gè)地點(diǎn)中任抽2個(gè)地點(diǎn)，求抽到的這2個(gè)地點(diǎn)，甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)的概率．附：相關(guān)公式及數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）0.95，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（2）．【解析】【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式計(jì)算求解，判斷即可．（2）由列舉法并利用古典概型求概率【小問1詳解】，，所以，由于，相關(guān)系數(shù)，因?yàn)?，所以y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．【小問2詳解】將地點(diǎn)1，2，3，4，5分別記為A，B，C，D，E，任抽2個(gè)地點(diǎn)的可能情況有，，，，，，，，，，共10種情況，其中在地點(diǎn)3，4，5，甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)，即，，3種情況，故所求概率為．20.已知函數(shù).（1）若時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若對(duì)于任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】20.21.兩個(gè)22.【解析】【分析】（1）當(dāng)，，然后即可求解；（2）求出導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求解.（3）利用（2）中結(jié)論，即證恒成立，從而可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，由，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】由（1）可知，因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又因?yàn)椋?，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得.故函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【小問3詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由得，下面證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，恒成立，即證，即證；而當(dāng)時(shí)，，由（2）知，；所以時(shí)，恒成立；綜上所述，.21.已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點(diǎn)，若軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，直線DN與EM交于點(diǎn)Q.①求證：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求此定直線；②求面積的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析，；②【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可；（2）①求出直線DN與EM方程，得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可判定；②將面積表示出來，然后換元，利用基本不等式求最值.【小問1詳解】因?yàn)闉榈闹匦模疫吷系膬蓷l中線長度之和為6，所以，故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長軸的端點(diǎn)），且，所以，所以的軌跡的方程為.【小問2詳解】①依題意，設(shè)直線DE方程為.聯(lián)立，得，易知設(shè)，，則，.因?yàn)檩S，軸，所以，.所以直線DN：，直線EM：，聯(lián)立解得.從而點(diǎn)Q在定直線上