2024年高中數(shù)學(xué)同步高分突破講義(人教A版2019)1.2空間向量基本定理-(選擇性必修第一冊)(學(xué)生版+解析)

空間向量基本定理1空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p證明存在性：設(shè)a,b,c不共面，過點O作OA=過點P作直線PP'平行于OC交平面OAB于點P'在平面過點P'作直線P'存在三個數(shù)x,y,z，使得OA'=xOA=x∴OP∴p唯一性：設(shè)另有一組實數(shù)x',y則x∴x?∵a,b,c不共面，∴x?故實數(shù)x,y,z是唯一的.2基底若三向量a,b,c不共面，我們把特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi3推論設(shè)O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z，使

若x+y+z=1，則點P,A,B,C四點共面.【題型一】空間向量基本定理的理解【典題1】若{a,A．b+c,b,b?c 【典題2】已知非零向量a=3m?2n?4p，b=(x+1)m+8n【典題3】如圖，在三棱錐S?ABC中，點E,F分別是SA,BC的中點，點G在棱EF上，且滿足EGGF=12，若SAA．13a?12b+16鞏固練習(xí)1(★)已知O,A,B,C為空間四點，且向量OA,OB,A．OA,OB,OC共線 C．OA+OB與OC共線 D．2(★)(多選題)下面四個結(jié)論正確的是()A．空間向量a,b(a≠B．若對空間中任意一點O，有OP=16OAC．已知{a,b,c}D．任意向量a,b3(★★)如圖所示，在四面體O?ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在A．12a?23b+124(★★)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AA．12a+12b+c 【題型二】空間向量基本定理的應(yīng)用【典題1】如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且【典題2】如圖，在三棱錐P?ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA,PB,PC于點D,E,F，若PD=mPA【鞏固練習(xí)】1(★★)如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都相等，∠A1AB=∠A1AC=60°(1)用a,b,c表示2(★★)如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為DD1，BD的中點，點G3(★★★)如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量AA1,AD,AB表示向量MN；(2)求證：4(★★★)已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證:這個四面體相對的棱丙兩垂直.已知：如圖，四面體ABCD，E,F,G,H,K,M分別為棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中點，且|EG|=|FH|=|KM|.求證AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC.5(★★★)已知正三棱錐P?ABC的側(cè)棱長為2，過其底面中心O作動平面α交線段PC于點S，分別交PA,PB的延長線于點M,N，求1PS+空間向量基本定理1空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p證明存在性：設(shè)a,b,c不共面，過點O作OA=過點P作直線PP'平行于OC交平面OAB于點P'在平面過點P'作直線P'存在三個數(shù)x,y,z，使得OA'=xOA=x∴OP∴p唯一性：設(shè)另有一組實數(shù)x',y則x∴x?∵a,b,c不共面，∴x?故實數(shù)x,y,z是唯一的.2基底若三向量a,b,c不共面，我們把特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi3推論設(shè)O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z，使

若x+y+z=1，則點P,A,B,C四點共面.【題型一】空間向量基本定理的理解【典題1】若{aA．b+c,b,b?c 【解析】對于A，若向量b+則b+即&λ+μ=1&?λ=1，解得λ=?1,μ=2故向量b+c,對于B，若向量a+b,a?故向量a+b,對于C，若向量a,則a+b=λa+μ(故向量a,a+對于D，若向量a+b,a+故向量a+b,故選：B．【典題2】已知非零向量a=3m?2n?4p，b=(x+1)m+8【解析】∵m、n∵a//b，故存在λ≠0即(x+1)m∴&x+1=3λ&8=?2λ&2y=?4λ，解得：&x=?13&y=8【典題3】如圖，在三棱錐S?ABC中，點E,F分別是SA,BC的中點，點G在棱EF上，且滿足EGGF=12，若SAA．13a?12b+16【解析】因為SG==1=1故選：B．鞏固練習(xí)1(★)已知O,A,B,C為空間四點，且向量OA,A．OA,OB,OC共線 C．OA+OB與OC共線 D．【答案】D【解析】由于向量OA,OB,所以O(shè),A,B,C四點共面，故選：D．2(★)(多選題)下面四個結(jié)論正確的是()A．空間向量a,b(a≠B．若對空間中任意一點O，有OP=16OAC．已知{a,b,c}D．任意向量a,b【答案】ABC【解析】對于A：空間向量a,b(a≠0,對于B：若對空間中任意一點O，有OP=16OA+13對于C：已知{a,b,c}是空間的一組基底，若對于D：任意向量a,b,c滿足(a?b)?c=a故選：ABC．3(★★)如圖所示，在四面體O?ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在A．12a?23b+12【答案】B【解析】連接ON，∵N是BC的中點，∴ON∵OM∴MN故選：B．4(★★)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A．12a+12b+c 【答案】D【解析】∵在平行六面體ABCD－A1B1C1∴CM=?AD=?1故選：D．【題型二】空間向量基本定理的應(yīng)用【典題1】如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且【求證】如圖，設(shè)CD=CB=CC1=a，令CDCA∴C又a?a=∴CA1?BD同理可證CA又C1B∩BD=B，C1∴CA1⊥【典題2】如圖，在三棱錐P?ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA,PB,PC于點D,E,F，若PD=mPA【證明】如圖示：連接AG并延長交BC于點H，由題意可令{PA故PM=3連接DM，因為點D,E,F,M共面，故存在實數(shù)λ,μ，使得DM=λ即PM?故PM=(1?λ?μ)由空間向量基本定理知14故1m【鞏固練習(xí)】1(★★)如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都相等，∠A1AB=∠A1AC=60°(1)用a,b,c表示【答案】(1)A1【解析】(1)因為△ABC為正三角形，點M為△ABC的重心，所以N為所以AN=所以A1(2)設(shè)三棱柱的棱長為m，則A1所以A12(★★)如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F(1)求證:EF⊥B1C；(2)求【答案】(1)略(2)51【解析】(1)證明設(shè)DA=則EFB1∵EF=?1∴EF(2)解由(1)知EF=12又|EFEF?=1cos?∴EF與C1G所成角的余弦值為3(★★★)如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量AA1,(2)求證：D,M,B(3)當(dāng)AA1AB【答案】(1)MN=AB+AD?【解析】(1)MN=證明：(2)∵DM=AM∴DM=N解：(3)當(dāng)AA1AB證明：設(shè)AA∵底面ABCD為菱形，則當(dāng)AA1AB∵AC1∠A∴A∴AC4(★★★)已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證:這個四面體相對的棱丙兩垂直.已知：如圖，四面體ABCD，E,F,G,H,K,M分別為棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中點，且|EG|=|FH|=|KM|.求證AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC.證明設(shè)AB=則EG=FH=KM=∵|EG∴(?a∴a∴4a又b=∴AC⊥DB∴這