備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)6.2等比數(shù)列(精講)(原卷版+解析)

6.2等比數(shù)列（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一基本量的計(jì)算【例1-1】（2022·河南開封）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的公比為______．【例1-2】（2022·吉林·洮南市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則________．【例1-3】（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則λ＝________.【一隅三反】1．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等比數(shù)列的公比，則等于（

）A． B． C．3 D．3．（2022·河南省杞縣高中）在等比數(shù)列中，，則的公比______．4．（2022·河南安陽(yáng)）已知為等比數(shù)列，，則_________．考點(diǎn)二等比中項(xiàng)【例2-1】（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等差數(shù)列中，其前5項(xiàng)的和，等比數(shù)列中，則（

）A．或 B． C． D．【例2-2】（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在等比數(shù)列中，若，則（

）A．5 B．10 C．15 D．20【例2-3】（2022·江西·二模（文））已知m是1和4的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（

）A． B．或C． D．或【一隅三反】1．（2022·四川廣安）已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．10 B．12 C．32 D．332．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，對(duì)任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.考點(diǎn)三前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例3-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．21 D．27【例3-2】（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為（

）A．12 B．30C．45 D．813．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．66 B．65 C．64 D．63考點(diǎn)四最值問題【例4-1】（2022·四川綿陽(yáng)·一模（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為(

)A． B． C． D．【例4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）等比數(shù)列中，公比為，其前項(xiàng)積為，并且滿足.，，下列選項(xiàng)中，正確的結(jié)論有（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然數(shù)等于198【一隅三反】1．（2022·青海西寧）已知等比數(shù)列，，的最小值為（

）A．70 B．90 C．135 D．1502．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的公差為，且，且、、成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和．則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·襄陽(yáng)五中模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前和項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且滿足條件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．0＜q＜1 B．S2020+1＜S2021C．T2020是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng) D．T4041＞1考點(diǎn)五等比數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用【例5】（2022·遼寧·昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“徵”；“徵”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”；……．依次損益交替變化，獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（

）A．“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列C．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列 D．“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列2．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）（多選）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”．則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為12里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某新學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生1900名，為了了解同學(xué)們對(duì)學(xué)校關(guān)于對(duì)手機(jī)管理的意見，計(jì)劃采用分層抽樣的方法，從這1900名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本容量為38的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好組成一個(gè)以為公比的等比數(shù)列，則此學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為______人．6.2等比數(shù)列（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一基本量的計(jì)算【例1-1】（2022·河南開封）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的公比為______．【答案】１或.【解析】當(dāng)時(shí)，滿足，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，，可得：，解得，此時(shí).綜上所述：公比的值為：１或.

【例1-2】（2022·吉林·洮南市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知是等差數(shù)列，，公差，為其前n項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，，成等比?shù)列，即解得或（舍）故答案為：【例1-3】（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則λ＝________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∵，∴，，將代入，可得.故答案為：【一隅三反】1．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，則，由已知可得，可得，，則，因此，.故選：B.2．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等比數(shù)列的公比，則等于（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，所以．故選：D3．（2022·河南省杞縣高中）在等比數(shù)列中，，則的公比______．【答案】或【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋曰颍蚀鸢笧椋夯颍?．（2022·河南安陽(yáng)）已知為等比數(shù)列，，則_________．【答案】【解析】設(shè)公比為，由題意知：，又，解得或，若，則，，則；若，則，，則.故答案為：.考點(diǎn)二等比中項(xiàng)【例2-1】（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知等差數(shù)列中，其前5項(xiàng)的和，等比數(shù)列中，則（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：，解得：，設(shè)等比數(shù)列的公比是，因?yàn)?，所以，解得：，顯然，所以，所以，所以故選：D【例2-2】（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在等比數(shù)列中，若，則（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以；故選：C.【例2-3】（2022·江西·二模（文））已知m是1和4的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】m是1和4的等比中項(xiàng),所以,解得,當(dāng)時(shí),圓錐曲線為,離心率為,當(dāng)時(shí),圓錐曲線,離心率為,故選:B【一隅三反】1．（2022·四川廣安）已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．10 B．12 C．32 D．33【答案】B【解析】因?yàn)?，為函?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，所以或所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，.故選：B2．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，所以，所以，所以，故選：A3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，對(duì)任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.【答案】21【解析】因?yàn)閷?duì)任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，令m＝1，則a1·an＝a1＋n對(duì)任意的n∈N*恒成立，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為a1，由等比數(shù)列的性質(zhì)有a3a5＝，因?yàn)閍3·a5＋a4＝72，則＋a4＝72，∵a4＞0，∴a4＝8，∴l(xiāng)og2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2＝log287＝21.故答案為：21．考點(diǎn)三前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例3-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．21 D．27【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C.【例3-2】（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以，，，所以，即，解得.故選：B【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，依題意.故選：A2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為（

）A．12 B．30C．45 D．81【答案】C【解析】顯然公比不為-1，是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列，，，，則，，則.故選：C.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．66 B．65 C．64 D．63【答案】B【解析】由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.考點(diǎn)四最值問題【例4-1】（2022·四川綿陽(yáng)·一模（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，，仍然構(gòu)成等比數(shù)列，所以.又，，成等差數(shù)列，所以，，所以.又是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B.【例4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）等比數(shù)列中，公比為，其前項(xiàng)積為，并且滿足.，，下列選項(xiàng)中，正確的結(jié)論有（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然數(shù)等于198【答案】ABD【解析】對(duì)于，，，.，.又，，且.，故正確；對(duì)于，，，即，故正確；對(duì)于，由于，而，故有，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，故正確.不正確的是.故選：.【一隅三反】1．（2022·青海西寧）已知等比數(shù)列，，的最小值為（

）A．70 B．90 C．135 D．150【答案】B【解析】設(shè)的公比為，由等比數(shù)列的知識(shí)可知，，結(jié)合可得，.由基本不等式及等比數(shù)列的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B2．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列的公差為，且，且、、成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和．則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，即，可得，，解得，，所以，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，數(shù)列中，最小，故的最小值為.故選：D.3．（2022·湖北·襄陽(yáng)五中模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前和項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且滿足條件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．0＜q＜1 B．S2020+1＜S2021C．T2020是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng) D．T4041＞1【答案】AC【解析】由等比數(shù)列{an}公比為q，a1＞1，a2020a2021＞1，，由a1＞1可得，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，得或（舍去），故，綜上故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由已知，，可知T2020是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)，故該選項(xiàng)C正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以，故該選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.考點(diǎn)五等比數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用【例5】（2022·遼寧·昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【答案】A【解析】記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，.故選：A．【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“徵”；“徵”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”；……．依次損益交替變化，獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（

）A．“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列C．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列 D．“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列【答案】A【解析】設(shè)“宮”的頻率為，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率是；“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率是，“商”經(jīng)過一