2024年高中數(shù)學(xué)同步高分突破講義(人教A版2019)專(zhuān)題3-3圓錐曲線最值問(wèn)題-(選擇性必修第一冊(cè))(學(xué)生版+解析)

圓錐曲線最值問(wèn)題1常見(jiàn)的幾何模型①圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離圓⊙O外一點(diǎn)A與圓上一點(diǎn)B的距離AB最小值是AB1=AO?r，最大值A(chǔ)②圓上點(diǎn)到圓外直線的距離圓上一動(dòng)點(diǎn)P到圓外一定直線l的距離最小值是d?r，最大值d+r(r是圓的半徑，d是圓心到直線l的距離)；③三點(diǎn)共線模型一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離分別為PA、PB，當(dāng)P、A、B共線，且點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，PA+PB取到最小值P1當(dāng)P、A、B共線，且點(diǎn)P在A、B同側(cè)時(shí)，|PA?PB|取到最大值P1其本質(zhì)是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；④將軍飲馬模型點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，那AP+BPmin⑤垂線段最值模型點(diǎn)A是∠MON內(nèi)外的一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM上，PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和為PA+PB．(1)點(diǎn)A是∠MON外，PA+PBmin=AB1(2)點(diǎn)A⑥胡不歸模型如圖，求k?AC+BC(0<k<1)，構(gòu)造射線AE，使得角度sinα=k，則k?AC+BC=CD+BC，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“垂線段模型”，則k?AC+BCmin⑦阿氏圓模型如圖，圓O半徑是r，點(diǎn)A，B在圓O外，點(diǎn)P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=在線段OB上截取OC=k?r，則COOP=OP則k?BP+AP的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PA的最小值，當(dāng)然是2最值問(wèn)題常見(jiàn)處理方法①幾何法通過(guò)觀察掌握幾何量的變化規(guī)律，利用幾何知識(shí)點(diǎn)找到幾何量取到最值的位置，從而求出最值，這需要熟悉常見(jiàn)的幾何模型.②代數(shù)法理解幾何量之間的變化規(guī)律，找到“變化源頭”，通過(guò)引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)(一般與源頭有關(guān))，把所求幾何量表示成參數(shù)的式子，再利用求函數(shù)最值的方法（基本不等式、換元法、數(shù)形結(jié)合等）求得幾何量的最值.【方法一】幾何法【典題1】已知橢圓C：x225+y216=1(1)|PM|－|PF1|【典題2】設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=－1的距離之和的最小值為M，若B(3,2)，記|PB|+|PF|的最小值為【典題3】已知雙曲線方程為x2?y24=1，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?【典題4】橢圓x24+y2【方法二】代數(shù)法【典題1】求點(diǎn)A(a,0)到橢圓x2【典題2】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段MN的中垂線為l'．若直線l'與直線l相交于點(diǎn)P，與直線x=2【典題3】P是拋物線x2=2y上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P(x0,y0)作圓C：(1)若兩條切線l1，l2的斜率乘積為(2)求當(dāng)4<y0<8【典題4】如圖，已知拋物線C：y2=2px(p>0)，G為圓H：x+22+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，由G向C引切線，切點(diǎn)分別為E(1)求C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)G在圓H：x+22+y2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記k鞏固練習(xí)1(★★)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A(2,2)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，A．(－2,2) B．(1，2) C．(1,2) 2(★★)F是橢圓x29+y25=1A．9?2 B．3+2 C．6?2 3(★★)點(diǎn)P是雙曲線x24?y2=1的右支上一點(diǎn)，M、NA．2 B．4 C．6 D．84(★★★)【多選題】已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q．若拋物線CA．拋物線的方程是x2=2y B．拋物線的準(zhǔn)線是C．sin∠QMN的最小值是12 D．線段5(★★)設(shè)P,Q分別為圓x2+y?62=2和橢圓x6(★★★)E、F是橢圓x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在直線7(★★★)已知過(guò)拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，交圓x2+y2－2x=0于M8(★★★)如圖，拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，以A(x1,y(1)過(guò)Q(0,－3)作拋物線C的切線l，切點(diǎn)為R，點(diǎn)F到切線l的距離為2，(2)求△ABC面積的最小值．9(★★★★)已知拋物線C:y2=2pxp>0，焦點(diǎn)為F，直線B(x2,y2)兩點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)若x1x2圓錐曲線最值問(wèn)題1常見(jiàn)的幾何模型①圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離圓⊙O外一點(diǎn)A與圓上一點(diǎn)B的距離AB最小值是AB1=AO?r，最大值A(chǔ)②圓上點(diǎn)到圓外直線的距離圓上一動(dòng)點(diǎn)P到圓外一定直線l的距離最小值是d?r，最大值d+r(r是圓的半徑，d是圓心到直線l的距離)；③三點(diǎn)共線模型一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離分別為PA、PB，當(dāng)P、A、B共線，且點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，PA+PB取到最小值P1當(dāng)P、A、B共線，且點(diǎn)P在A、B同側(cè)時(shí)，|PA?PB|取到最大值P1其本質(zhì)是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；④將軍飲馬模型點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，那AP+BPmin⑤垂線段最值模型點(diǎn)A是∠MON內(nèi)外的一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM上，PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和為PA+PB．(1)點(diǎn)A是∠MON外，PA+PBmin=AB1(2)點(diǎn)A⑥胡不歸模型如圖，求k?AC+BC(0<k<1)，構(gòu)造射線AE，使得角度sinα=k，則k?AC+BC=CD+BC，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“垂線段模型”，則k?AC+BCmin⑦阿氏圓模型如圖，圓O半徑是r，點(diǎn)A，B在圓O外，點(diǎn)P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=在線段OB上截取OC=k?r，則COOP=OP則k?BP+AP的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PA的最小值，當(dāng)然是2最值問(wèn)題常見(jiàn)處理方法①幾何法通過(guò)觀察掌握幾何量的變化規(guī)律，利用幾何知識(shí)點(diǎn)找到幾何量取到最值的位置，從而求出最值，這需要熟悉常見(jiàn)的幾何模型.②代數(shù)法理解幾何量之間的變化規(guī)律，找到“變化源頭”，通過(guò)引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)(一般與源頭有關(guān))，把所求幾何量表示成參數(shù)的式子，再利用求函數(shù)最值的方法（基本不等式、換元法、數(shù)形結(jié)合等）求得幾何量的最值.【方法一】幾何法【典題1】已知橢圓C：x225+y216=1(1)|PM|－|PF1|【解析】(1)由橢圓C：x225+y則F則||PM|－|PF1||≤|M所以?所以|PM|－|PF1|的最大值與最小值分別為34(2)2a=10,設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由|PF∴|PM|+|P等號(hào)僅當(dāng)|PM|=|PF2|－|M由|PM|≤|PF∴等號(hào)僅當(dāng)|PM|=|PF2|+|M故|PM|+|PF1|的最大值10+【點(diǎn)撥】本題采取幾何法，通過(guò)三點(diǎn)共線模型與橢圓的定義進(jìn)行求解.【典題2】設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=－1的距離之和的最小值為M，若B(3,2)，記|PB|+|PF|的最小值為【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PG垂直于直線x=－1，垂足為點(diǎn)G，由拋物線的定義可得|PG|=|PF|，所以點(diǎn)P到直線x=－1的距離為|PG|，所以|PA|+|PG|=|PA|+|PF|≥|AF|=(三點(diǎn)共線模型)當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PG|取到最小值，即M=5如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作直線PH垂直于直線x=－1，垂足為點(diǎn)H，由拋物線的定義可得|PH|=|PF|,點(diǎn)B到直線x=－1的距離為d=4，所以|PB|+|PF|=|PB|+|PH|≥4，當(dāng)且僅當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即N=4，(垂線段最值模型)因此M+N=5【點(diǎn)撥】①本題采取幾何法，通過(guò)幾何模型與拋物線的定義進(jìn)行求解；②處理拋物線類(lèi)似的題目，注意點(diǎn)在拋物線之內(nèi)還是之外，比如本題點(diǎn)A在拋物線外，點(diǎn)B在拋物線內(nèi).【典題3】已知雙曲線方程為x2?y24=1，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?【解析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，0)，則點(diǎn)由雙曲線的定義，得|MA|－|MD|=2a=2．∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，(此時(shí)相當(dāng)于把點(diǎn)B看成“定點(diǎn)”看待，當(dāng)M,B,D三點(diǎn)共線時(shí)|MB|+|MD|取到最小值，這是處理兩動(dòng)點(diǎn)的常規(guī)方法)又B是圓x2+半徑為1，故|BD|≥|CD|－1=10從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥10當(dāng)點(diǎn)M,B在線段CD上時(shí)取等號(hào)，即|MA|+|MB|的最小值為10+1【點(diǎn)撥】本題眨眼一看，存在兩動(dòng)點(diǎn)M、B，有些頭疼.題中通過(guò)雙曲線的定義把|MA|+|MB|的最小值轉(zhuǎn)化為|BD|最小值問(wèn)題，這就是圓外一點(diǎn)到圓上最短距離問(wèn)題，即|BD|≥|CD|－1=10【典題4】橢圓x24+y2【解析】設(shè)與直線2x+3y－9=0平行的直線2x+3由2x+3y+m=0x由?=0得m=±5設(shè)直線2x+3y+m=0與直線2x+3當(dāng)m=5時(shí)，d=477；當(dāng)橢圓x24+y2【點(diǎn)撥】通過(guò)觀察，可知與直線l平行且與橢圓相切的直線與橢圓的切點(diǎn)即是取到最小距離的點(diǎn)，最小距離為兩平行線的距離.【方法二】代數(shù)法【典題1】求點(diǎn)A(a,0)到橢圓x2【解析】設(shè)橢圓x22+y2則PA設(shè)fx=x(構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)定區(qū)間動(dòng)軸最值問(wèn)題)①當(dāng)2a<?2，即a<?22時(shí)，y=f(x)則fxmin=f?2②當(dāng)?2≤2a≤2，即?22則fxmin=f2a=2③當(dāng)2a>?2，即a>?22時(shí)，y=f(x)則fxmin=f2=綜上，當(dāng)a<?22時(shí)，|PA|最小為?22≤a≤22a>?22時(shí)，|PA|最小為【點(diǎn)撥】①兩點(diǎn)A、B距離AB往往用兩點(diǎn)距離公式xA②本題把求距離最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，函數(shù)問(wèn)題優(yōu)先討論定義域x∈[?2,2]，函數(shù)含有參數(shù)a③本題還是利用橢圓的參數(shù)方程x=acosθy=bsinθ，設(shè)橢圓上點(diǎn)P(2cosθ,sinθ)，從而構(gòu)造函數(shù)|PA|=cos2θ?2【典題2】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段MN的中垂線為l'．若直線l'與直線l相交于點(diǎn)P，與直線x=2【解析】(1)過(guò)程略，橢圓C的方程為x2(2)(采取代數(shù)法，思路很直接，引入變量表示|PQ||MN|再求其最值，而PQ,|MN|是線段，用兩點(diǎn)距離公式和弦長(zhǎng)公式求出，由于它們是由直線由題意知直線l的斜率不為0，故設(shè)直線l的方程為x=my－1，設(shè)M(x聯(lián)立x2+2y此時(shí)△=8(m∴y由弦長(zhǎng)公式，得MN=(用m表示MN，弦長(zhǎng)公式求得)又yP∴P(?2∵直線l與直線l'相互垂直，∴∴yQ?∴|PQ|=1+∴|PQ|當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=∴當(dāng)m=±1，即直線l的斜率為±1時(shí)，|PQ||MN|取得最小值【點(diǎn)撥】①本題中求|PQ||MN|的最小值，用代數(shù)法，則可把|PQ|、|MN|表示出來(lái)，|MN|用到了弦長(zhǎng)公式，而|PQ|用兩點(diǎn)距離公式，最后|PQ|②求|PQ|時(shí)，也可以PQ=【典題3】P是拋物線x2=2y上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P(x0,y0)作圓C：(1)若兩條切線l1，l2的斜率乘積為(2)求當(dāng)4<y0<8【解析】(1)設(shè)點(diǎn)直線PA,PB的斜率分別為k1,∴PA的方程：y－y則由直線l1與圓相切得：同理直線l2與圓相切可得所以k1,k∴又∵k1又x∴y(2)由(1)得x∴S由(1)知：|k∴S故令t=y∴∵ft=t+4故函數(shù)值域?yàn)?8,32即△PAB面積的取值范圍為(8,32【點(diǎn)撥】①若x1、x2滿足ax②本題求△PAB面積的取值范圍，則先求出S△PAB=y02y0?2(【典題4】如圖，已知拋物線C：y2=2px(p>0)，G為圓H：x+22+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，由G向C引切線，切點(diǎn)分別為E(1)求C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)G在圓H：x+22+y2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記k【解析】(1)設(shè)切線方程為：y=k(x+1)，不妨設(shè)k>0．聯(lián)立y=k(x+1)y2=2px則△=2k2方程k2x2+(2k∴E(1,2k)，由對(duì)稱(chēng)性可知F(1,?2k)，∵△GEF的面積為4，∴12×2×4k=4∴p=2．∴C的方程為：y2(2)設(shè)G(x0,設(shè)切線方程為：y－y聯(lián)立y?y0=k(x?△1∴x0k∴|k∴|1∴|1k1?【點(diǎn)撥】理解到本題的變化源頭在點(diǎn)G(x0,y0)，利用直線與拋物線相切把|1k1?1k2鞏固練習(xí)1(★★)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A(2,2)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，A．(－2,2) B．(1，2) C．(1,2) 【答案】C【解析】根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x=－1的距離為PQ,則所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)P、A、Q三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PQ|最小，∴|PA|+|PQ|的最小值為A到準(zhǔn)線l的距離；此時(shí)P的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線方程得P的橫坐標(biāo)為1，得P(1,2)故選：C．2(★★)F是橢圓x29+y25=1A．9?2 B．3+2 C．6?2 【答案】C【解析】橢圓x29+如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'(2,0)，則|PF|+|PF'|=2a=6；∴|PA|+|PF|=|PA|+6－|PF'|=6+|PA|－|PF'|；由圖形知，當(dāng)P在直線AF'上時(shí)，PA－當(dāng)P不在直線AF'上時(shí)，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，||PA|－|PF'||<|AF'|=2∴當(dāng)P在F'A的延長(zhǎng)線上時(shí)，|PA|－|PF'|取得最小值?∴|PA|+|PF|的最小值為6?故選：C．3(★★)點(diǎn)P是雙曲線x24?y2=1的右支上一點(diǎn)，M、NA．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】雙曲線x2∵a=2,b=1,c=∴F∴|MP|≤|PF1∵|PN|≥|PF可得－|PN|≤－|PF2∴①②相加，得|PM|－|PN|≤|P∵|P∴|PM|－|PN|≤4+1+1=6故選：C．4(★★★)【多選題】已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q．若拋物線CA．拋物線的方程是x2=2y B．拋物線的準(zhǔn)線是C．sin∠QMN的最小值是12 D．線段【答案】BC【解析】(1)拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F得拋物線的準(zhǔn)線方程為y=?點(diǎn)點(diǎn)E(t,2)到焦點(diǎn)F的距離等于3，可得2+p2=3則拋物線C的方程為x2=4y；所以拋物線的準(zhǔn)線方程：y=－1，所以B正確；(2)由題知直線l的斜率存在，F(xiàn)(0,1)，設(shè)A(x1,y1由y=kx+1x2=4y，消去所以x1所以y1所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2k,2k|AB|=y所以圓Q的半徑為r=2k在等腰△QMN中，sin∠QMN=當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)．所以sin∠QMN的最小值為12．所以C線段AB的最小值是：y1+y故選：BC．5(★★)設(shè)P,Q分別為圓x2+y?62=2和橢圓x【答案】62【解析】設(shè)橢圓上的點(diǎn)為(x,y)，則∵圓x2+y－62∴橢圓上的點(diǎn)(x,y)到圓心(0,6)的距離為x2∴P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是526(★★★)E、F是橢圓x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在直線【答案】π【解析】設(shè)P(