高中數(shù)學(xué)-數(shù)列求和（一）教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

數(shù)列求和（一）

學(xué)習(xí)目標(biāo):1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式；2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的

幾種常見(jiàn)方法（①分組求和；②并項(xiàng)求和；③裂項(xiàng)相消）.

知識(shí)梳理：

1.求數(shù)列的前〃項(xiàng)和的方法

求和公式：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式￡==

②等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式（i）當(dāng)q=l時(shí)，￡=；

（ii）當(dāng)斤1時(shí)，S?==.

（1）分組求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

（2）并項(xiàng)求和：一個(gè)數(shù)列的前A項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如劣=（一

1）量（〃）類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.

（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差或和求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).

常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式⑴7第一=/喜.⑵L+I4a肅）

⑶高=口-6

分析高考：高考文科數(shù)學(xué)數(shù)列解答題一般是第四道解答題，屬于中等難度的題

目，出題方向主要是求通項(xiàng)和求和，有可能會(huì)和不等式、函數(shù)、程序框圖知識(shí)

結(jié)合。

年份文科理科

2011分組與并項(xiàng)求和（與對(duì)數(shù)運(yùn)算分組與并項(xiàng)求和（項(xiàng)數(shù)分奇數(shù)和

結(jié)合）偶數(shù)）

2012公式法、不等式公式法、不等式

2013乘公比錯(cuò)位相減乘公比錯(cuò)位相減

2014分組求和（項(xiàng)數(shù)分奇數(shù)和偶數(shù)）裂項(xiàng)相消

2015乘公比錯(cuò)位相減乘公比錯(cuò)位相減

診斷自測(cè)：

1.等差數(shù)列｛a｝的公差為2,若如&，金成等比數(shù)列，貝！］｛aj的前A項(xiàng)和S=（）

/一、c/_、cnn+1enn-1

A.77（/7+1）B.〃（〃—1）C.----------D.--------

乙乙

2.若數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為&=2"+2〃-1,則數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為（）

+12,,+12

A.2"+4一1B.2"+/3-1C.2+Z?-2D.2"+n~2

3.數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S,已知$=1-2+3—4+…+(—1)〃7?〃，則品=()

A.9B.8C.17D.16

4.已知等差數(shù)列｛&｝的前A項(xiàng)和為￡,a=5,&=15,則數(shù)歹49一1的前100項(xiàng)和為()

1aa+1J

100n99八99n101

A?而B(niǎo).而C.礪D.而

5.已知函數(shù)/U)"的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),2f'〃水記數(shù)列⑷的前

〃項(xiàng)和為S,貝！ISOM=()A.yj2013-1B.劣20為一1C.y20為一1

D.、2015+1

考點(diǎn)突破：

考點(diǎn)一分組求和

【例1】設(shè)數(shù)歹U?｝滿足囪=2,改+&=8,且對(duì)任意〃GN*,函數(shù)fC?)=(a〃-&+1+2〃+2)彳

+%+icosx—an+2sinx滿足￡(高=0.(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；⑵若

bn=2(a“+J-),求數(shù)列仇｝的前n項(xiàng)和Sn.

考點(diǎn)二并項(xiàng)求和

【例2】在等差數(shù)列｛&｝中，已知公差d=2,切是&與&的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列｛&｝的通

項(xiàng)公式；(2)令=即(“+[),記北=一瓜+慶一瓜+幼一…+(―1)"4,求7k

變式提高：已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和S“=巴聲，〃eN*.(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)d=2%+(-l)"a“，求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和.

考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法

思考：裂項(xiàng)相消主要涉及哪些類型？方法的根本是什么？例如：a尸—L；a產(chǎn)

nn-rk

1〃+1k村

g+W；af〃+22等等

【例3】已知數(shù)列｛4｝滿足a=1,a.+i=l-；,其中〃CN*.

4&

9

(1)設(shè)4=^一7,求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求出｛4｝的通項(xiàng)公式；

4

⑵設(shè)，=蒸，求數(shù)列｛&c葉。的前n項(xiàng)和為T.

變式提高：2、已知等差數(shù)列｛a,,｝的公差為列前〃項(xiàng)和為S“，且，,邑,$4成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（n）令a=（—iyi--------,求數(shù)列他j的前"項(xiàng)和

4%

知識(shí)方法總結(jié):

鞏固練習(xí)

1、設(shè)等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,且S=2S+4,戊=36,數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的

等比數(shù)列，且》?幼=2,幼?4=32.（1）求數(shù)列｛4｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列1+4｝

的前n項(xiàng)和；（3）設(shè)4=￡—1（〃GN*）,7L=T;+T+^----求森

b\bzthbn

《數(shù)列求和》學(xué)情分析

對(duì)于初中學(xué)過(guò)的多數(shù)知識(shí).在高中沒(méi)有系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)而初中內(nèi)容是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)

的必要基礎(chǔ)，因而在學(xué)習(xí)高中內(nèi)容時(shí)有意識(shí)地復(fù)習(xí)、深化初中內(nèi)容顯得特別重要。

適當(dāng)加強(qiáng)本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系適當(dāng)加強(qiáng)這種聯(lián)系，不僅有利于知識(shí)的融匯貫通，加

深對(duì)數(shù)列的理解，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，而且反過(guò)來(lái)可使學(xué)生對(duì)函數(shù)

的認(rèn)識(shí)深化一步。比如，學(xué)生在此之前接觸的函數(shù)一般是自變量連續(xù)變化的函數(shù)，而到本章

接觸到數(shù)列這種自變量離散變化的函數(shù)之后，就能進(jìn)一步理解函數(shù)的一般定義，防止了前面

內(nèi)容安排可能產(chǎn)生的學(xué)生認(rèn)識(shí)上的負(fù)遷移。

數(shù)列求和是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，主要方法有分組求和，并項(xiàng)求和，裂項(xiàng)相消求和，乘公比

錯(cuò)位相減，倒序相加，方法的選擇要根據(jù)通項(xiàng)公式的形式，學(xué)生需要在合作探究中發(fā)現(xiàn)里面

的本質(zhì)，牢固的掌握。

《數(shù)列求和》效果分析

一、學(xué)生明確了高考的考試方向。數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，有可能和函數(shù)相結(jié)合，

綜合性的題目要分解難點(diǎn)解決，目標(biāo)明確，重點(diǎn)突出，學(xué)生要做到既會(huì)又對(duì)。

二、學(xué)生是課堂的主體，通過(guò)學(xué)生表情的變化、思維的速度，回答問(wèn)題、練習(xí)、測(cè)

試、動(dòng)手操作的準(zhǔn)確性等信息反饋，準(zhǔn)確把握學(xué)生新知識(shí)新技能的掌握情況。不僅關(guān)注尖

子生的接受情況，更要及時(shí)關(guān)注弱科生，邊緣生的接受情況，根據(jù)課堂問(wèn)題及時(shí)調(diào)整教學(xué)

方式，一切以學(xué)生接受為教學(xué)的根本。

三、及時(shí)糾正學(xué)生的思維誤區(qū)。學(xué)生對(duì)方法有認(rèn)識(shí)，但是應(yīng)用不熟練，理解不透徹，

如何選擇存在疑慮。課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)師生平等、教學(xué)民主的思想，信息交流暢通，

情感交流融洽，合作和諧，配合默契，教與學(xué)的氣氛達(dá)到最優(yōu)化，課堂教學(xué)效果達(dá)到最大

化。教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得愉快。

《數(shù)列求和》教材分析

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。在本模塊中，學(xué)生通過(guò)等

差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列

模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有

著密切聯(lián)系，過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)在這一章均得到了較為充分

的應(yīng)用，學(xué)習(xí)這一章便于對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合訓(xùn)練，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題

的能力。

本章內(nèi)容中，涉及多種數(shù)學(xué)思想方法,如函數(shù)思想、方程思想、遞歸思想、合理猜想等,

教學(xué)中要突出思想方法在解題中的作用，技巧的熟練掌握應(yīng)建立在學(xué)生體會(huì)理解的基礎(chǔ)上,

不要以特殊的技巧沖淡通性通法的領(lǐng)悟.

數(shù)列求和

一、選擇題

1.在等差數(shù)列｛%｝中，%=1,%=5,則｛?！埃那?項(xiàng)和55=()

A.7B.15C.20D.25

2.若數(shù)歹H｝的通項(xiàng)公式是為=(-2),則a+色H--Faio=().

A.15B.12C.-12D.-15

i9niQ

3.在數(shù)列｛&｝中，&=-上一，若｛&｝的前〃項(xiàng)和為宗需，則項(xiàng)數(shù)〃為().

n〃十1/014

A.2011B.2012C.2013D.2014

4.數(shù)列｛a｝滿足a+］+(—1)”為=2〃-1,則｛4｝的前60項(xiàng)和為().

A.3690B.3660C.1845D.1830

5.已知數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式為a.=2〃+l,令4=,(國(guó)+a+…+a.),則數(shù)列｛4｝的前10

n

項(xiàng)和/io=()

A.70B.75C.80D.85

6.數(shù)列｛&｝滿足4+&+尸：(力@心，且a=1，S是數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，則5=().

A.^B.6C.10D.11

二、填空題

7.在等比數(shù)列｛a｝中，若24=—4,則公比q=；|311+|aH----H&l=

8.等比數(shù)列｛a〃｝的前A項(xiàng)和S=2"—1,則4+■+…+4=.

9.已知等比數(shù)列｛aj中，&=3,a=81,若數(shù)歹!］伉｝滿足瓦=log3a”，則數(shù)歹”念;］的前〃

項(xiàng)和Sn=.

三、解答題

10.等差數(shù)列｛a.｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a=3,前A項(xiàng)和為S,｛4｝為等比數(shù)列，瓦=1,且質(zhì)S

=64,左W=960.(1)求品與4；(2)求----

Ol02)

11.已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,且a=La+i=［s(〃=l,2,3,…).

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=log1(3&+i)時(shí)，求數(shù)列kA］的前〃項(xiàng)和Tn.

Z\DnUn+\\

12、設(shè)等差數(shù)列｛&｝的前刀項(xiàng)和為S,且W=2S+4,a=36,數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的

等比數(shù)列，且A?慶=2,瓜?&=32.⑴求數(shù)列｛&｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列｛&+〃｝

的前n項(xiàng)和；(3)設(shè)1(〃￡N*),北=4+4+4+…+［，求森

D\thDiOn

評(píng)測(cè)練習(xí)答案

BACDBB-2|(4"-1)n

n+1

10.

解(1)設(shè)｛4｝的公差為“｛4｝的公比為S則d為正數(shù)，&=3+(〃-l)d,bn=(f\

[&&=6+(/g=64,

依題意有…

&h=9+3dq2=960,

r,6

陽(yáng)2,仁飛'

解得O或〈S(舍去)

(q=840

故4=3+2(〃—1)=2〃+Lbn=8〃T.

⑵S=3+5+…+(2〃+1)=刀(〃+2),

所以工----F—=—^―+^—+-^—

切以SS&1X32X43X5n+2

圭一旬

_3_2〃+3

42〃+1〃+2'

11.

r一乂

a+i-26，

解(1)由已知得1]

&=尹-1

3

得到an+i=-aX^2).

3

二數(shù)列｛&｝是以選為首項(xiàng)，以￡為公比的等比數(shù)列.

pill

又為=5$=5&=5,

...&=檢x2（62）.

《數(shù)列求和》課后反思

學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念要求教師從片面注重知識(shí)的傳授轉(zhuǎn)變到注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，

教師不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更重要的是要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)