滬教版(五四學制)九年級數學下冊學案：27.3正多邊形與圓(無答案)

課題正多邊形與圓教學目標1.了解正多邊形和圓的有關概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關計算.重點、難點正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系考點及考試要求會進行正多邊形的有關計算教學內容一【要點梳理】知識點一、正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

知識點二、正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形

正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關計算

(1)正ｎ邊形每一個內角的度數是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數是.要點詮釋：要熟悉正多邊形的根本概念和根本圖形，將待解決的問題轉化為直角三角形.

知識點三、正多邊形的性質

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數個內接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數與它的邊數相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數是偶數時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

要點詮釋：〔1〕各邊相等的圓的內接多邊形是圓的內接正多邊形；〔2〕各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點四、正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點詮釋：畫正n邊形的方法：〔1〕將一個圓n等份，〔2〕順次連結各等分點.二【典型例題】類型一、正多邊形的概念例1．：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，那么∠BPC的度數是〔〕A．45°B．60°C．75°D．90°【答案】A.【解析】如圖，連接OB、OC，那么∠BOC=90°，

根據圓周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．

應選A．【點評】此題主要考查了正方形的性質和圓周角定理的應用．

舉一反三：【變式】如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，那么∠APB等于〔〕A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】連接OA，OB．根據正方形的性質，得∠AOB=90°．再根據圓周角定理，得∠APB=45°．

應選B．例2．如圖1，△PQR是⊙O的內接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，BC∥QR，那么∠AOQ=〔〕A．60°B．65°C．72°D．75°圖1圖2【思路點撥】連接OD，根據題意求出∠POQ和∠AOD的度數，利用平行關系求出∠AOP度數，即可求出∠AOQ的度數．【答案】D.【解析】如圖2，連接OD，由題意可知∠POQ=120°，∠AOD=90°，

由BC∥RQ可知P為弧AD的中點，所以∠AOP=45°，

所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．

應選D．【點評】解決此類問題的關鍵是作出恰當的輔助線〔如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等〕，再利用正多邊形與圓有關性質求解．類型二、正多邊形和圓的有關計算例3．正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的半徑R，邊心距，面積．【答案與解析】如下圖，過中心O作OH⊥AB于H，連接OA，OB，那么△AOH為直角三角形．∵，∴R＝2AH＝AB＝6(cm)，在Rt△AOH中，(cm)，∴(cm)．【點評】關于正多邊形與圓的計算問題一般轉化為解由半徑、邊心距、邊長的一半組成的直角三角形．例4．如圖，假設正方形A1B1C1D1內接于正方形ABCD的內接圓，那么的值為〔〕A．B．C．D．【思路點撥】根據正多邊形的特點，構建直角三角形來解決．【答案】B．【解析】連結OC1，作OF⊥C1D1于F，交BC于E.圖形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似，OF，OC1分別等于兩個正方形的邊心距，△OC1F是等腰直角三角形，因而OF：OC1=，因而那么的值為．應選B．【點評】邊數相同的正多邊形一定相似，邊心距的比，半徑的比都等于相似比．舉一反三：【變式】如圖是對稱中心為點的正六邊形．如果用一個含角的直角三角板的角，借助點〔使角的頂點落在點處〕，把這個正六邊形的面積等分，那么的所有可能的值是

_____________

.【答案】根據圓內接正多邊形的性質可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，

即可知：360÷30=12；

360÷60=6；

360÷90=4；

360÷120=3；

360÷180=2．

故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．三【穩(wěn)固練習】一、選擇題

1．一個正多邊形的一個內角為120°，那么這個正多邊形的邊數為()A．9B．8C．7D．62．如下圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a的值應是()A．cmB．cmC．cmD．1cm第2題圖第3題圖第5題圖3．如下圖，兩個正六邊形的邊長均為1，其中一個正六邊形的一邊恰在另一個正六邊形的對角線上，那么這個圖形(陰影局部)外輪廓線的周長是()A．7B．8C．9D．104．正三角形、正方形、圓三者的周長都等于，它們的面積分別為S1，S2、S3，那么()．A．S1＝S2＝S3B．S3＜S1＜S2C．S1＜S2＜S3D．S2＜S1＜S35．中華人民共和國國旗上的五角星的畫法通常是先把圓五等分，然后連接五個等分點而得到的(如下圖)．五角星的每一個角的度數是()．A．30°B．35°C．36°D．37°第6題圖第7題圖第9題圖6．如下圖，是由5把相同的折扇組成的“蝶戀花”〔如圖①〕和梅花圖案〔如圖②〕〔圖中的折扇無重疊〕，那么梅花圖案中的五角星的五個銳角均為〔〕A．36°B．42°C．45°D．48°二、填空題7．如下圖，平面上兩個正方形與正五邊形都有一條公共邊，那么∠等于________．8．要用圓形鐵片裁出邊長為4的正方形鐵片，那么選用的圓形鐵片的直徑最小是________．9．如下圖，等邊△ABC內接于⊙O，AB＝10cm，那么⊙O的半徑是________．10．正六邊形的周長為12，那么同半徑的正三角形的面積為________，同半徑的正方形的周長為________．11．正六邊形的半徑是5cm，那么邊長________，周長________，邊心距________，面積________．12.正六邊形的外接圓的半徑與內切圓的半徑之比為.三、解答題13．如下圖，正△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，求△ABC的邊長a，周長P，邊心距r，面積S．14.如下圖，半徑為R的圓繞周長為10πR的正六邊形外邊作無滑動滾轉，繞完正六邊形后，圓一共轉了多少圈？一位同學的解答過程：圓的周長為2πR，所以它繞完正六邊形后一共轉了圈，結果一共轉了5圈．你認為這位同學的解答有無錯誤？如有錯誤，請更正．15．某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，進行了如下討論：甲同學：這種多