正態(tài)分布的教學設計

2．4正態(tài)分布教學目標：知識目標：理解并掌握〔標準〕正態(tài)分布和正態(tài)曲線的概念，意義及性質(zhì)，能簡單應用。能力目標：能用正態(tài)分布、正態(tài)曲線研究有關(guān)隨機變量分布規(guī)律，引導學生通過觀察并探究規(guī)律，提高分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法。情感、態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學中一系列的探究過程，使學生體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，形成積極的情感，培養(yǎng)學生進取的意識和科學精神。教學重點：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、正態(tài)曲線的特點及其所表示的意義。教學難點：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。教具準備：多媒體、實物投影儀。教學設想：在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是最根本、最重要的一種分布。內(nèi)容分析：1．這節(jié)課是學生在必修三中已經(jīng)學習過統(tǒng)計的知識根底之上來進行學習的。學生已經(jīng)知道當樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學地反映了總體分布.但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口.正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是最根本、最重要的一種分布.2．課本中首先通過高爾頓板實驗向?qū)W生演示了小球落下的規(guī)律，畫出頻率直發(fā)圖，發(fā)現(xiàn)隨著實驗重復次數(shù)的增加，頻率直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線。接著給出正態(tài)曲線的定義，引出正態(tài)分布的概念。課本中還談到正態(tài)曲線的由來及其實際生活中的應用。3．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的.其密度函數(shù)可寫成：，〔σ＞0〕由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標準差σ唯一決定的常把它記為.4．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值.從x=μ點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的.5．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的根本特征.6．結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時借助幾何畫板作圖，學生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導學生歸納其性質(zhì).教學過程：學生探究過程：上節(jié)課，給全班學生布置了一道作業(yè)：即讓每個學生在計算機課上搜索正態(tài)分布的由來及其相關(guān)的知識。具體做法如下：將全班學生按座位分成了四個小組，每個小組有一個小組長，小組長在上課之前將各個小組成員查到的資料做總結(jié)，寫成報告稿的形式。上課之前老師先讓每位小組長將調(diào)查的情況同全班同學分享。老師再作總結(jié)，其內(nèi)容如下：一、正態(tài)分布的由來正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概率是由法國數(shù)學家和天文學家棣莫弗于1733年首次提出的。但由于德國數(shù)學家高斯最先將其應用于天文學家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。高斯這項工作對后世的影響極大，他使正態(tài)分布同時有了“高斯分布”的名稱，后世之所以多將最小二乘法的創(chuàng)造權(quán)歸之于他，也是出于這一工作。高斯是一個偉大的數(shù)學家。重要的奉獻不勝枚舉?，F(xiàn)今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達了一種想法：在高斯的一切科學奉獻中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。二、講解新課復習引入：總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．創(chuàng)設情境：給學生演示高爾頓板實驗：這個實驗是英國科學家高爾頓設計的。具體操作如下：自上端放入一小球，任其自由下落，在下落過程中小球碰到釘子從左邊落下的概率記為P，從右邊落下的概率記為1-P，碰到下一排釘子時，也是如此。最后落入底板中的某個格。因此任意放入一個球，小球最后落入某個格子內(nèi)事先是難以確定的，但是實驗證明，如果放入大量球的話那么其最后呈現(xiàn)的曲線總是雷同的，也就是說落入格中的小球的頻率趨向穩(wěn)定。下面我們來驗證一下：給學生演示動畫，讓學生更直觀地看到小球動態(tài)的落入情況，提高了學生的學習興趣。演示完動畫后，給5分鐘時間讓學生之間進行合作交流總結(jié)實驗結(jié)果有什么共同特征？最后老師進行點評。它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線．三、探求新知一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機變量X滿足,那么稱X的分布為正態(tài)分布〔normaldistribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定經(jīng)驗說明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．例如，高爾頓板試驗中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標X是眾多隨機碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布．正態(tài)分布的應用：在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標〔如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等〕；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實際之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位．說明:1參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計．2．正態(tài)分布〕是由均值μ和標準差σ唯一決定的分布思考：觀察上圖，結(jié)合的解析式及概率的性質(zhì)，你能說說正態(tài)曲線的特點嗎？正態(tài)曲線的性質(zhì)：〔1〕曲線在軸的上方，與軸不相交.〔2〕曲線是單峰的，它關(guān)于直線=μ對稱〔由得〕〔3〕曲線在=μ處到達峰值〔4〕曲線與軸之間的面積為1四、用計算機〔幾何畫板〕研究正態(tài)曲線隨著和變化而變化的特點通過固定其中一個值，討論均值與標準差對于正態(tài)曲線的影響.如以下圖所示請一個學生上講臺演示，其它學生在下面觀察圖像的變化趨勢。上下拖動點A，觀察參數(shù)的變化及圖像的變化趨勢上下拖動點B，觀察參數(shù)的變化及圖像的變化趨勢同桌之間互相討論，得出結(jié)論：〔5〕當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿X軸平移〔6〕當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。五、特殊區(qū)間的概率：假設~，那么對于任何實數(shù)，為圖中陰影局部的面積，對于固定的和a而言，該面積隨著的減少而變化，這說明越小，X落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別有：上述結(jié)果可用以下圖表示：可以看到，正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生。在實際應用中就只考慮這個區(qū)間，稱為原那么.六、講解范例：例1．給出以下三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式，請找出其均值μ和標準差σ.〔１〕〔２〕〔３〕答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2