湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題

2024年6月高一數(shù)學(xué)月考試題一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．已知復(fù)數(shù)z＝（1﹣3i）（2+i），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，則下列四個(gè)命題正確的是（）A．若l∥α，且m∥α，則l∥m B．若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m∥n C．若m∥l，且m⊥α，則l⊥α D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β3．已知向量，，且，則k＝（）A． B． C． D．4．若，且，則sinα的值為（）A． B． C． D．5．已知某扇形的周長(zhǎng)是24，則該扇形的面積的最大值是（）A．28 B．36 C．42 D．506．在正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝A1B1＝1，則側(cè)棱BB1與底面ABCD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．已知D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，且△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，使得，若AB＝4，則＝（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．168．將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（0）＝1，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．g（x）為偶函數(shù) B． C．當(dāng)ω＝5時(shí)，g（x）在上恰有2個(gè)零點(diǎn) D．若g（x）在上單調(diào)遞減，則ω＝1二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）（多選）9．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．棱柱是有且僅有兩個(gè)平面平行，其他平面為平行四邊形的多面體 B．圓柱是由一個(gè)四邊形繞著其中一條邊旋轉(zhuǎn)得到的 C．棱臺(tái)的所有側(cè)棱交于同一點(diǎn) D．用一個(gè)平面去截圓錐，這個(gè)平面和圓錐的底面之間的部分是圓臺(tái)（多選）10．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則（）A．當(dāng)時(shí)，△ABC為直角三角形 B．當(dāng)a＝5，b＝7，c＝8時(shí)，△ABC最大角與最小角之和為 C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，△ABC為銳角三角形（多選）11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0，點(diǎn)D在邊BC上，AD＝1，AB?CD＝BD?AC，則（）A． B．b+c＝bc C．△ABC面積的最小值是 D．2b+8c的最小值是18（多選）12．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是（）A．異面直線BD1與B1C所成的角大小為90° B．四面體D1DBC的每個(gè)面都是直角三角形 C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小為30° D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球上一點(diǎn)與外接球上一點(diǎn)的距離的最小值為三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）13．在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1的面積分別為S和S1，若AB＝2A1B1，則＝．14．已知，則sinα＝．15．已知復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），且|z|＝2，則的最小值是．16．在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，∠ABC＝60°，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為．四．解答題（共5小題，共70分）17．如圖，這是由一個(gè)半圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的幾何體，其中AB＝AA1＝2，AD＝6．（15分）（1）求該幾何體的體積；（2）求該幾何體的表面積．18．如圖幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內(nèi)部）以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，P是上的中點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，BP與CE交于點(diǎn)O．（15分）（1）求證：OQ∥平面ABEF；（2）求證：AP⊥CE．19．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且sinB+sinC＝2sinA，8b＝7a．（10分）（1）求sinB的值；（2）求sin（A﹣B）的值．20．如圖所示，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，P為棱SA上一點(diǎn)，AB＝2AD＝2CD＝2AP＝4PS＝4．（15分）（1）證明：SC∥平面PBD；（2）求二面角S﹣DC﹣A的大小；（3）求點(diǎn)A到平面PBD的距離．21．對(duì)任意兩個(gè)非零向量，，定義：．（15分）（1）若向量，，求的值；（2）若單位向量，滿足，求向量與的夾角的余弦值；（3）若非零向量，滿足，向量與的夾角是銳角，且是整數(shù)，求的取值范圍．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1-5：DCCDB6-8:BBC二．多選題（共4小題）9：ABD．10：ABC．11：BCD．12：ABD三．填空題（共4小題）13：4．14：．15：1．16：[﹣3，21]．四．解答題（共5小題）17．解：（1）長(zhǎng)方體的體積為2×2×6＝24，半圓柱的底面積為，半圓柱的體積為，該幾何體的體積為24+3π．（2）長(zhǎng)方體去掉上底面后的表面積為2×6+2×2×2+2×6×2＝44，由（1）得半圓柱的底面積為，半圓柱的側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為．18證明：（1）連接AE，∵P是上的中點(diǎn)，∴O是EC的中點(diǎn)，又Q是AC的中點(diǎn)，∴OQ∥AE，∵AE?平面ABEF，OQ?平面ABEF，∴OQ∥平面ABEF；（2）由題意，AB⊥CE，BP⊥CE，又AB，BP?平面ABP，且AB∩BP＝B，∴CE⊥平面ABP，而AP?平面ABP，∴AP⊥CE．19．解：（1）根據(jù)sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得b+c＝2a，由8b＝7a，得，可得c＝2a﹣b＝a，根據(jù)余弦定理得＝＝，因?yàn)锽∈（0，π），所以（舍負(fù)）；（2）由8b＝7a，可得8sinB＝7sinA，所以，根據(jù)，，由余弦定理得，所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB＝．20．解：（1）證明：連接AC交DB于點(diǎn)O，連接OP．在底面ABCD中，因?yàn)锳B∥CD，且AB＝2CD，由△ABO∽△CDO，可得，因?yàn)锳P＝2PS，即，所以在△CAS中，，所以O(shè)P∥CS，又因?yàn)镺P?平面PBD，SC?平面PBD，所以SC∥平面PBD．（2）設(shè)CD的中點(diǎn)為M，連接AM、SM，因?yàn)椤螩DA＝60°，AD＝CD＝2，所以△CDA為等邊三角形，所以AM⊥CD，又SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以SA⊥CD，SA∩AM＝A，SA，AM?平面SAM，所以CD⊥平面SAM，SM?平面SAM，所以CD⊥SM，所以∠SMA為二面角S﹣DC﹣A的平面角，SA⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，所以SA⊥AM，在Rt△SMA中SA＝SP+AP＝3，，所以，所以∠SMA＝60°，即二面角S﹣DC﹣A的大小為60°；（3）因?yàn)锳B∥CD，∠CDA＝60°，所以∠DAB＝120°，所以，在△PBD中，，，所以PD2+PB2＝BD2，即PD⊥PB，所以，設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為d，則VA﹣PBD＝VP﹣ABD，即，即，即點(diǎn)A到平面PBD