《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》（文）復(fù)習(xí)概要

《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》（文）復(fù)習(xí)概要山東張俊華李緒軍一、導(dǎo)數(shù)1．導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)：函數(shù)在到之間的平均變化率，即，如果當(dāng)時(shí)，有極限，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo).注意：（1）導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別.一般地，導(dǎo)數(shù)是對(duì)一個(gè)點(diǎn)而言的，它是一個(gè)確定的數(shù)值（常數(shù)），與給定的函數(shù)及x（或）的位置有關(guān)，而與無關(guān)；導(dǎo)函數(shù)是對(duì)一個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)確定的函數(shù)，依賴于函數(shù)本身，但與x、x均無關(guān).因此，導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)常用“求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”與“求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”在文字?jǐn)⑹錾霞右詤^(qū)別；同時(shí)采用“”與“等在符號(hào)上加以區(qū)別.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)，它就是導(dǎo)函數(shù)在處的值，即是一個(gè)常量.也可以先求導(dǎo)數(shù)，再用代入計(jì)算其值，但前提條件是在處必須可導(dǎo).（2）并不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù).（3）自變量的增量有多種表達(dá)形式，不論采用哪種形式，中自變量的增量都必須用相應(yīng)的形式.如求，易出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：，這是將中自變量的增量誤認(rèn)為是所致，事實(shí)上應(yīng)為，令，則.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率k，即.3．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法、步驟（1）用定義基于對(duì)導(dǎo)數(shù)定義三個(gè)層次的理解，求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般先求函數(shù)的改變量，再求平均變化率，最后取極限，得導(dǎo)數(shù).即分為以下三個(gè)步驟：①求差分，即求函數(shù)的變化量（增量）；②求差商，即求平均變化率（增量之比）；③求導(dǎo)，即求局部變化率（增量比的極限）.以上步驟熟練之后，可一并寫成.（2）利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù).①常用的導(dǎo)數(shù)公式（C為常數(shù)），， ， （，且），（，且）；②兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)法則可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和（或差）；，特別的；，特別的當(dāng)時(shí)，有.③復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)，則.注意：對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，關(guān)鍵在于選取合適的中間變量，弄清每一步是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，不要混淆，最后要將中間變量換為自變量的函數(shù).二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．求切線的斜率：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.注意：當(dāng)切線平行于軸時(shí)，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為.2．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）令，解出x的取值范圍，得函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間；令，解出x的取值范圍，得函數(shù)單調(diào)遞減的區(qū)間.注意：在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意到定義域，以及定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).函數(shù)在某一區(qū)間（或）是在該區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件.如函數(shù)在為增函數(shù)，但有.3．求函數(shù)極值：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)且，若在點(diǎn)附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若在點(diǎn)附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn).注意：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是且在左右側(cè)符號(hào)不同.是為極值點(diǎn)的必要不充分條件.函數(shù)的極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)在極小值點(diǎn)處是不可導(dǎo)的.把使的點(diǎn)附近的函數(shù)值的變化情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.4．求函數(shù)的最值：在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，在［a，b］上必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，先求出的點(diǎn)，然后求出使的所有點(diǎn)的函數(shù)值，再與端點(diǎn)函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.注意：極值與最值的區(qū)別：（1）函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個(gè)局部概念，而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義區(qū)間而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個(gè)整體性概念.（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間